考点培优练03 圆锥曲线的离心率解法归类7大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练03圆锥曲线的离心率解法归类7大考点 考点预览 目录 考点01 利用定义公式求离心率 1 考点02 构造齐次式方程法求离心率的值或范围 6 考点03 利用自变量范围求离心率范围 12 考点04 构造不等式求离心率的取值范围 21 考点05 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 27 考点06 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 34 考点07 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 40 考点通关 考点01 利用定义公式求离心率 解题时要把所给的几何特征转化为的方程，或根据条件解方程求得，或得到a与c间的关系， 公式1: 公式2: 椭圆：变形 证明: 公式3：双曲线：变形 证明: 【典例1】（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义和已知比例关系求得，借助余弦定理建立等量关系，求得的关系，从而求得离心率. 【详解】由双曲线的定义可知，又因为， 所以，所以 在和中 ， 即， 所以，所以. 【跟踪训练】1．（2026·河北沧州·一模）已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为椭圆离心率范围为，可得，即， 当，椭圆焦点在轴上时， 由可得，则， 所以离心率，解得， 此时，所以椭圆两个焦点为. 2．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）椭圆的左焦点为，点，均在上，且关于坐标原点对称．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的对称性和椭圆定义求出的值，再结合椭圆参数关系计算离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为，因为点关于原点对称，所以四边形为平行四边形， 因此，又因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 因此，结合已知，可得，解得， 又因为，由椭圆参数关系可得：，故离心率. 3．（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图象，利用抛物线性质以及椭圆的性质结合已知条件建立等式得出的关系，根据椭圆离心率公式求解即可. 【详解】作抛物线的准线，则过椭圆的左焦点，过作交于， 因为椭圆与抛物线有共同的焦点，所以，设， 因为，， 所以，， 又因为，所以， 在直角三角形中，， 所以，解得，所以. 4．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆，双曲线，设点在第一象限，且，根据椭圆及双曲线的定义，结合余弦定理、离心率公式列式求解即可. 【详解】如图，设椭圆，双曲线， 因为它们有相同的焦点，所以， 不妨设点在第一象限，且， 因为点在椭圆上，所以， 即，又因为， 所以，所以， 因为，所以， 又因为点在双曲线上，所以， 即，又因为， 所以，所以，可得， 所以双曲线的离心率为. 5．（26-27高三上·安徽·开学考试）(多选)双曲线：的上、下焦点分别为，，下列结论正确的是（    ） A．的虚轴长为 B．的离心率为 C．若为上一点，则 D．C的渐近线方程为 【答案】ABD 【详解】由题可得双曲线方程可化为，则， 双曲线虚轴长为，故A选项正确； 双曲线的离心率，故B选项正确； 根据双曲线的定义，若在上支则，若在下支则， C选项没有给出具体位置，所以C选项错误； 因为焦点在y轴上，故C的渐近线方程为，故D选项正确. 6．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）、为椭圆（，）的4个顶点、两个焦点中的两点，，椭圆的离心率为______． 【答案】 【分析】根据椭圆，，可得，根据以及结合可确定，再求离心率. 【详解】因为，所以， 所以椭圆顶点：，；焦点：， 所以，， 当、为短轴顶点时，，不合题意， 当、为焦点和左右顶点中的两点时，两点间距离可能为，若其中任意一个为，解得均不是整数，不合题意， 当、一个为焦点一个为短轴顶点时，，是整数，所以，不合题意， 当、一个为长轴顶点一个为短轴顶点时，，解得，满足题意， 所以， 所以. 考点02 构造齐次式方程法求离心率的值或范围 （1）直接法只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式两边分别除以或转化为关于e的方程，解方程即可得e的值． 齐次式求离心率 ①根据几何条件列出齐次等式； ②利用关系式 （椭圆）、（双曲线）消去，得到只含的齐次式； ③等式两侧同除以，借助，即，转化为关于的方程，解出。 【典例2】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，从而得，代入椭圆方程可得，再由及离心率公式求解即可, 【详解】由题意，抛物线的焦点为，则. 抛物线方程为. 因为轴且点在第一象限，所以点的横坐标为. 将代入抛物线方程得，故. 又点在椭圆上，且椭圆过焦点的通径半长为，因此. 由代入得. 两边同除以并设离心率，得. 解得（负根已舍去）. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）记坐标原点为，椭圆的左、右焦点分别为，线段的垂直平分线与E在第一象限内相交于点，交y轴于点N．若，则E的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合对称性可得，代入椭圆方程化简得到，进而求解即可. 【详解】由对称性可知，设的半焦距为，易知，故， 将代入椭圆方程得，即， 设的离心率为，则，即， 所以，又，则． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义和题设等式求出焦半径，再结合椭圆中焦半径的范围，求解不等式即得离心率范围.． 【详解】由椭圆的定义，得， 又，联立解得， 因， 即 ,解得, 则离心率， 又，所以． 3．（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆的定义可得，，利用比例关系求得，，由，在，中，利用余弦定理建立方程求出，得解. 【详解】由椭圆的定义，，，且，， 所以设，，则，， 所以，，所以，， 设椭圆的半焦距为， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， ，即， 化简得，即， 所以椭圆的离心率. 4．（26-27高三上·江西·开学考试）若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆心坐标和双曲线渐近线方程，可以得到圆与相切，然后利用圆心到渐近线的距离等于半径列出的一个方程，求解间的关系，最后求离心率. 【详解】双曲线的两条渐近线方程为. 圆的圆心坐标为，半径. 由题意双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，所以圆与其中一条渐近线相切. 圆心坐标位于第一象限，圆与相交，与相切. 圆心到渐近线的距离等于半径，即，整理得， ，， ， . 5．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知双曲线，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段比例关系，双曲线定义，余弦定理可得方程，得到，求出离心率 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 由双曲线定义可知，，故，， 由题意得， 在中，由余弦定理得， 即， 整理可得，两边同除以得， 解得或（舍去）. 6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆：（）的左右顶点为A，B，P为椭圆上一点，过点作轴于点，若，则椭圆的离心率为______. 【答案】/ 【分析】设点的坐标，将线段长度关系转化为坐标等式，结合椭圆方程推导与的关系，进而计算离心率. 【详解】由题意得椭圆的左右顶点坐标为，， 设点，则有， 因轴，故，则， 又，，因此， 由，即，即， 故，整理得， 故. 7．（2026高三上·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【分析】计算出，利用角平分线定理可求得，在中利用勾股定理可得出的值，再利用离心率公式可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】 渐近线的方程为，双曲线的右焦点为， 则，故， 易知轴为的角平分线，则点到直线、的距离相等， 故，故，， 由勾股定理，即，可得， 所以离心率. 考点03 利用自变量范围求离心率范围 离心率范围与最值：建立含参的不等关系（如点在曲线内外、判别式、基本不等式、函数单调性），解关于的不等式求范围 1. 焦点三角形中的不等式：椭圆中，，且 均在 之间，可用来建立不等式。2. 利用顶角范围：焦点三角形顶角 满足 （当 在短轴端点时取最大？）实际上椭圆中当 在短轴端点时 最大，此时 与 有确定关系。3. 函数法：如将 表示为斜率 的函数，利用 的范围求 的范围。4. 数形结合：画出图形，观察临界位置（如相切、极限位置）得到边界值。 【典例3】（2026·湖南永州·一模）(多选)设，为椭圆：（）的两个焦点，为的上顶点，点在上，以下选项正确的有（ ） A．若，则 B．若，则的最大值为2 C．若存在点满足，则的离心率的取值范围是 D．若任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 【答案】ABD 【详解】选项A，当时，，可知，所以A正确； 选项B，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，即在上下两个顶点时，取得最大值为2，所以B正确； 选项C，因为，所以即，椭圆上点对焦点的最大张角在短轴顶点处，故需， 可知，所以， 即，得，所以，离心率， 由可知，所以C错误， 选项D，设，则，，是开口向下的二次函数，对称轴， 若，对称轴，函数在单调递减，在处取得最大值，，满足； 若，对称轴，最大值在对称轴处取得，， 令，则，不满足条件， 所以，，即，所以D正确. 【跟踪训练】1．（2025年普通高中学业水平选择性考试模拟试题数学试卷（原创7））设椭圆C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一个交点为P，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别表示出，然后结合椭圆的定义，以及离心率公式代入计算，再由三角函数的值域，即可得到范围. 【详解】因为以为直径的圆与C的一个交点为P，所以． 又，所以，， 所以， 所以离心率， 因为，所以， ，， 故． 故选：D 2．（25-26高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由切线长定理可知，根据得，设点，由根据的范围可得答案. 【详解】连接、、，则，， 由切线长定理可知，，又因为， 所以，，所以，， 则， 设点，则，且，所以， ， 所以，，故. 故选：B. 3．（2026高三上·全国·专题练习）在等腰梯形中，且，，，（）（如图）以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点，且过点的椭圆的离心率为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线和椭圆的定义分别表示出离心率和，再利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】如图，双曲线以，为焦点，且过点，则， ，，，则 所以；椭圆以，为焦点，且过点， 则，，，， 所以，，令，又， 则，所以， 令，则是对勾函数， 由对勾函数单调性可知，当时，函数单调递减， 即时，，时，， 所以的取值范围为. 4．（2026·河北邯郸·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义与垂直平分线性质，确定核心线段关系，联立方程求点横坐标，利用直线与双曲线右支交于两点，建立离心率不等式，确定最终范围. 【详解】设，不妨设，, 设，则， 得，解得, 的垂直平分线与右支交于点且直线过点，等价于直线与双曲线右支交于另一点， 则，即， 进一步推导：，得， 代入，解得，又，所以. 5．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知双曲线，O为坐标原点，直线l与双曲线交于A，B两点，且，若点O到直线l的距离不小于b，则离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线l的方程为，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系可得，，结合已知可得，，进而计算可求离心率的范围. 【详解】当直线斜率存在时，设直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，得， 设，， 则，， ，， ， ， ， 化简，得， 点O到直线l的距离不小于b， ，， ，，所以， 当直线斜率不存在时，设，，所以， 因为在双曲线上，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 综上所述：，，， ，，， 双曲线离心率的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用向量的数量积得到进而求解离心率的范围. 6．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）(多选)已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，，为上两点，且关于原点对称，，分别为线段，的中点，下列结论正确的是（     ） A．的取值范围为 B．若，则直线的斜率为0 C．若，则的离心率的取值范围为 D．若，则，，，四点共圆 【答案】ACD 【分析】利用椭圆的性质、中点坐标公式以及相关的几何关系进行推理和计算. 【详解】在A选项中，短轴端点到原点距离为，长轴端点到原点距离为， 故，设，因为关于原点对称，则， 已知，,分别为线段，的中点， 根据中点坐标公式可得：，， 则， 因为在椭圆上，所以，即， 则，其中， 因为，则当时，取得最小值， 当时，取得最大值，所以的取值范围为，A正确， 在B选项中，若，则，即， 因为，所以，此时直线的斜率不存在，B错误， 在C选项中，若，则，即， 又因为，所以，可得， 因为，所以，即， 由得，得，又因为， 所以离心率，C正确， 在D选项中，若，则， 若以为直径圆，则，，圆心，半径， 圆方程为，化简可得：， 将代入可得：， 即在圆上，同理，将代入可得： ， 即在圆上，而，也在圆上，所以，，，四点共圆，D正确. 7．（25-26高三·全国·三轮复习）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于点与椭圆的另一个交点为.若，且，则椭圆的离心率的取值范围是______. 【答案】 【分析】运用坐标进行运算，把坐标代入进已知条件中，化简后得到离心率的范围. 【详解】因为，，所以，令， 因为，所以 由点都在椭圆上，得解得 因为，所以，解得.所以. 所以椭圆的离心率的取值范围为. 考点04 构造不等式求离心率的取值范围 离心率是圆锥曲线核心几何性质，集中体现几何条件代数化的思想。试题通过设计焦点三角形、斜率关系、定比分点等几何情境，考查学生建立关于a,b,c的等量关系或不等关系的核心能力。关键在于将几何条件转化为关于a,b,c的齐次方程或不等式。 【典例4】（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的右焦点为，因为点在的内部，所以． 由椭圆的定义知，所以， 则， 则的最大值为，所以， 又，所以，此时满足， 所以的离心率． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·山西临汾·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则椭圆离心率的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，结合已知可得，进而得，解不等式可得-离心率的范围. 【详解】由过的直线与交于，两点，得， 所以，即， 又，所以， 又，所以，所以， 所以，所以， 由，得，所以， 所以，即，所以或； 由，得，即，所以， 所以-离心率的范围为. 2．（2026·山西临汾·二模）椭圆：，若上存在两点，关于直线对称，则实数的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式求出AB中点坐标M，将其代入直线方程即可求解. 【详解】设，线段AB的中点为， 若此椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，则可设， 联立， 则即， 且，即， 中点在直线上， 所以. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，依题意即得，借助于的关系求解不等式即得离心率的范围. 【详解】由可得，要使点M总在椭圆内部， 即需使以为直径的圆上的点总在椭圆的内部， 如图可得，即，得，则， 又，则得. 4．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】 不存在以点为中点的弦，必须同时满足以下两个条件： 点在双曲线外部或其上（若点在双曲线内部，则过该点的弦必然存在）， 因此，解得； 设过点的弦的斜率为， 设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 直线与双曲线有两个不同交点的充要条件是， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 5．（25-26高三上·天津河东·期末）已知双曲线：的右顶点为，抛物线：的焦点，若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合圆的定义和方程，双曲线渐近线与圆的位置关系进行求解即可. 【详解】由双曲线和抛物线的方程可得， 因为，所以点在以线段为直径的圆上， 显然该圆的圆心坐标为，半径为， 根据双曲线和圆的对称性， 不妨设点在双曲线的渐近线上，， 点在渐近线和圆上， 所以有到直线的距离不大于， 即， 即，而，所以. 故选：D 6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合椭圆的对称性可得，则，设为直线的倾斜角，可得，进而求得的范围，得解. 【详解】由题意知，由知为平行四边形，则、关于轴对称， 设，（不妨设），将点坐标代入椭圆方程可得， 因为，设为直线的倾斜角，则， 所以，所以， . 所以椭圆离心率的取值范围为.    故选：B. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点为椭圆的长轴端点，为椭圆上一点，若直线的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是_______． 【答案】 【分析】设点坐标为，根据斜率关系可得，即可得离心率的取值范围. 【详解】设点坐标为，则，， 由可得， 则， 所以． 故答案为：. 考点05 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 已知棚圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 【典例5】（2026·河南·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，在中，由正弦定理得， 又因为，所以，整理得， 因为为三角形内角，，所以，则， 故，即是以为直角顶点的直角三角形， 在中， ，由勾股定理得，代入，得，解得，所以， 根据椭圆的定义，有，所以， 因此，椭圆的离心率. 【跟踪训练】1．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和椭圆定义可得，求出答案 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 2．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，，结合椭圆定义求离心率即可. 【详解】因为，，则， 则，， 所以椭圆的离心率为. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的性质，利用已知面积关系推出，从而得出即为通径，结合已知条件求出的关系，进而利用求出的关系，从而求解离心率． 【详解】 椭圆的左、右焦点分别为， ， ， ，， ， ，故轴，是椭圆的通径，即， ， ，故， ，解得，即， ． 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设等边的边长为，根据椭圆的定义，求得和，在中，利用余弦定理，列出方程，求得，结合椭圆离心率的定义，即可求解. 【详解】设等边的边长为，可得的周长为， 由椭圆的定义，可得，所以，解得， 则， 在中，由余弦定理得， 即，整理得，即， 所以椭圆的离心率为. 5．（2026·江苏·模拟预测）点在以为焦点的椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同角三角函数关系式及两角差的正弦公式，求得各角的正弦值，根据正弦定理及比例的性质即可求得，即椭圆的离心率. 【详解】如图， 中，若 则， 所以. 因为 ，所以； 因为所以， 因为，所以. 由，得. 所以. 由正弦定理，得， 设椭圆的焦距为，则椭圆的离心率. 6．（2026·安徽合肥·二模）设椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面积关系可得，从而得到，利用结合余弦定理化简即可求解. 【详解】因为，所以 则，由于 所以， 根据椭圆的定义可得， 在中，， 在中，， 因为， 所以， 即， 化简得：，即，所以椭圆的离心率为 7．（2026·广东湛江·二模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由椭圆定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的离心率. 8．（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积之间的关系，结合椭圆的定义、椭圆离心率的公式进行求解即可. 【详解】如图，，垂足为， 因为，所以，为的中点， ，， ， ，整理得， 所以，即， ， ， 在中，， 在中，， ， 化简整理得， ，解得或，又，. 考点06 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 【典例6】（25-26高三上·河北邢台·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，表达出其他各边长，并得到，由勾股定理得到方程，求出，进而得到，求出答案. 【详解】由题可知，．由，得， 由椭圆的定义可得，， 设，则，， 所以，． 因为，所以，又，所以， 又，故， 即为直角三角形，， 在Rt中，由勾股定理得， ，解得或（舍去），    在Rt中，由勾股定理得， 又，代入，整理得，所以离心率． 故选：B 【跟踪训练】1．（2026·河北·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是和，过的直线交椭圆于两点，的内切圆分别与相切于两点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆定义和切线长定理求各边长，再根据勾股定理求解即可. 【详解】根据椭圆定义得​的周长为. 根据三角形内切圆切线长性质，得， ，（为内切圆与的切点）. 设，由得，周长满足 ， 代入，得. 因此，进一步得各边长， ，，， . 观察三边：， 故​是直角三角形，，即， 对​用勾股定理，代入， 化简得​，故离心率. 2．（25-26高三上·安徽滁州·期末）椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，为左焦点，为椭圆上的一点，为轴正半轴上一点.若，，，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角度关系分析得到，然后在与中用正弦定理，化简得到等式，最后在解一元二次方程即可. 【详解】解：∵，∴. 又，，∴. 记，在中，由正弦定理得， 在中，，得， ∴，∴. 又，故，得， ∴. ∴， 可得，∴.    故选：C 3．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的两个焦点为，，若A，B为C上的两个点，且满足，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的等量关系，设出线段长，利用勾股定理以及余弦定理，表示出，利用离心率的计算公式，可得答案. 【详解】由，则，可设，，其中， 由椭圆的定义可得，， 由，则，可得， 即，解得， 则，，在中，， 易知共线，则， 由余弦定理可得， 即，解得， 所以离心率. 故选：C. 4．（2026·四川广安·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算半通径，再利用椭圆定义即可得到齐次方程求解离心率. 【详解】    令，代入椭圆 则可知：，又因为，所以， 根据椭圆定义可知：， 所以椭圆的离心率为， 故选： B 5．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与椭圆另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理即可求解. 【详解】设椭圆的焦距为，右焦点为，连接，则，，，由椭圆的定义可知， 在和由余弦定理可得，整理得，所以， 即. 故选：B 6．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设，由椭圆的定义分别表示出，，，再在和中，由勾股定理得到关系可得. 【详解】    连接，设，则，，， 因为，所以在中，由勾股定理得， 即，① 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 将代入①式得，整理得， 所以离心率.      故选：D 考点07 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 已知棚圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 【典例7】（2026·河北·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. 【答案】/ 【分析】根据椭圆定义和余弦定理可构造方程，利用表示出的长度，再利用余弦定理构造关于的齐次式即可求得离心率. 【详解】 设，则， 由椭圆定义可知：，， 由余弦定理得：， 整理可得：，（舍）或， ，，， ，，即， 的离心率. 【跟踪训练】1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 2．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆的定义求出，由勾股定理求出焦距，进而求得椭圆的离心率. 【详解】由椭圆的定义知，则. 设焦距为， 由题可知，，即，解得. 所以椭圆的离心率为. 3．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）如图，将椭圆的长轴分成5等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于四点，是椭圆的一个焦点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义及图形的对称性可得. 【详解】如图，取椭圆的另一个焦点为.由椭圆的对称性可知，与关于轴对称， 所以，则； 同理可得. 则，即，. 所以椭圆的离心率为. 故选：C. 4．（25-26高三上·河北·期末）已知椭圆的两个焦点为，若在上，且三点不共线，的周长为，则的短轴长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】由条件结合椭圆的定义可得，利用函数的性质求即可. 【详解】因为，所以，所以的周长为， 因为函数为增函数，且，所以， 故的短轴长为. 故选：C. 5．（25-26高三上·重庆·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且.过作，满足，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】先设，再结合椭圆定义及射影定理计算得出齐次式计算离心率. 【详解】设椭圆 的左右焦点为，其中， 点在椭圆上，且.过作，满足， 设，则，故，得 ，即， 在 中， PQ 为斜边上的高，由射影定理得： ， ，根据椭圆定义，， 即： ， 因此，椭圆的离心率为. 故选：B. 6．（2026·四川达州·二模）(多选)椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程得出基本参数，，，进而得到焦点及相关线段长，判断周长，分析最大值情况判断B选项，分析取值及相关距离情况判断C、D选项. 【详解】因为椭圆，得，，， 所以焦点，，满足， 所以， 在A选项中，的周长为，A正确， 在B选项中，在短轴端点时最大， 此时，为等边三角形， 最大角为，不存在满足条件的，B错误， 在C选项中，设，， 代入椭圆，得， 又，最大值为，代入得最大值为，C正确， 在D选项中，过作直线的垂线，垂足记为， 当与不重合时，为直角三角形，， 当与重合时，到距离等于，D正确. 7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）(多选)已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（   ） A．的周长是 B．时，的面积是 C．的最大值是2 D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，先得到，再根据椭圆的定义求解判断即可；对于B，根据余弦定理可得，再求解判断即可；对于C，由基本不等式求解判断即可；对于D，设，易得切线方程为，进而得到，由结合基本不等式可得，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由椭圆知椭圆焦点在轴上，且， 则的周长是，故A正确； 对于B，由椭圆的定义得，， 由余弦定理得，， 则，即，则， 所以的面积为，故B错误； 对于C，由，则， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，先证明：椭圆上的一点处的切线方程为. 联立，得， 点在椭圆上，， ，即， ， 得，故直线和椭圆仅有一个公共点， 则椭圆上的一点处的切线方程为. 设，由题意知的切线斜率存在，则切线方程为， 令，得，令，得，即， 又，则， 即，当且仅当时等号成立， 则面积为， 即的面积的最小值为，故D正确. 8．（25-26高三上·天津武清·阶段检测）已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则内切圆的半径为___________． 【答案】 【分析】首先由可得，设，再由椭圆的定义及余弦定理求得的值，最后结合三角形的面积与内切圆半径之间的关系列方程求解即可. 【详解】因为，即， 所以. 由椭圆方程可知所以 所以， 如图，不妨取点在第一象限内，设， 则，由余弦定理知， 即， 解得. 所以. 设内切圆的半径为， 则由等面积法可知， 解得. 故答案为：. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练03圆锥曲线的离心率解法归类7大考点 考点预览 目录 考点01 利用定义公式求离心率 1 考点02 构造齐次式方程法求离心率的值或范围 3 考点03 利用自变量范围求离心率范围 4 考点04 构造不等式求离心率的取值范围 6 考点05 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 8 考点06 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 9 考点07 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 11 考点通关 考点01 利用定义公式求离心率 解题时要把所给的几何特征转化为的方程，或根据条件解方程求得，或得到a与c间的关系， 公式1: 公式2: 椭圆：变形 证明: 公式3：双曲线：变形 证明: 【典例1】（2026·广东深圳·模拟预测）已知双曲线：（，）的左右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2026·河北沧州·一模）已知椭圆的离心率为，则椭圆的一个焦点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）椭圆的左焦点为，点，均在上，且关于坐标原点对称．若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·安徽·开学考试）(多选)双曲线：的上、下焦点分别为，，下列结论正确的是（    ） A．的虚轴长为 B．的离心率为 C．若为上一点，则 D．C的渐近线方程为 6．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）、为椭圆（，）的4个顶点、两个焦点中的两点，，椭圆的离心率为______． 考点02 构造齐次式方程法求离心率的值或范围 （1）直接法只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式两边分别除以或转化为关于e的方程，解方程即可得e的值． 齐次式求离心率 ①根据几何条件列出齐次等式； ②利用关系式 （椭圆）、（双曲线）消去，得到只含的齐次式； ③等式两侧同除以，借助，即，转化为关于的方程，解出。 【典例2】（26-27高三上·湖北·阶段检测）已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（     ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）记坐标原点为，椭圆的左、右焦点分别为，线段的垂直平分线与E在第一象限内相交于点，交y轴于点N．若，则E的离心率的平方为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知椭圆的两个焦点是，若在椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏南京·三模）如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·江西·开学考试）若双曲线的两条渐近线与圆共有3个公共点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知双曲线，分别为其左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，线段上一点满足，且，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知椭圆：（）的左右顶点为A，B，P为椭圆上一点，过点作轴于点，若，则椭圆的离心率为______. 7．（2026高三上·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的离心率为______. 考点03 利用自变量范围求离心率范围 离心率范围与最值：建立含参的不等关系（如点在曲线内外、判别式、基本不等式、函数单调性），解关于的不等式求范围 1. 焦点三角形中的不等式：椭圆中，，且 均在 之间，可用来建立不等式。2. 利用顶角范围：焦点三角形顶角 满足 （当 在短轴端点时取最大？）实际上椭圆中当 在短轴端点时 最大，此时 与 有确定关系。3. 函数法：如将 表示为斜率 的函数，利用 的范围求 的范围。4. 数形结合：画出图形，观察临界位置（如相切、极限位置）得到边界值。 【典例3】（2026·湖南永州·一模）(多选)设，为椭圆：（）的两个焦点，为的上顶点，点在上，以下选项正确的有（ ） A．若，则 B．若，则的最大值为2 C．若存在点满足，则的离心率的取值范围是 D．若任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 【跟踪训练】1．（2025年普通高中学业水平选择性考试模拟试题数学试卷（原创7））设椭圆C：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与C的一个交点为P，若，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖南衡阳·开学考试）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A，B，且，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三上·全国·专题练习）在等腰梯形中，且，，，（）（如图）以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点，且过点的椭圆的离心率为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邯郸·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上有一点，满足的垂直平分线与右支交于点，且直线过右焦点，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知双曲线，O为坐标原点，直线l与双曲线交于A，B两点，且，若点O到直线l的距离不小于b，则离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）(多选)已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，，为上两点，且关于原点对称，，分别为线段，的中点，下列结论正确的是（     ） A．的取值范围为 B．若，则直线的斜率为0 C．若，则的离心率的取值范围为 D．若，则，，，四点共圆 7．（25-26高三·全国·三轮复习）在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于点与椭圆的另一个交点为.若，且，则椭圆的离心率的取值范围是______. 考点04 构造不等式求离心率的取值范围 离心率是圆锥曲线核心几何性质，集中体现几何条件代数化的思想。试题通过设计焦点三角形、斜率关系、定比分点等几何情境，考查学生建立关于a,b,c的等量关系或不等关系的核心能力。关键在于将几何条件转化为关于a,b,c的齐次方程或不等式。 【典例4】（2026·山西运城·二模）已知点在椭圆的内部，为的左焦点，为上的动点，若的最大值大于，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·山西临汾·期末）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与交于，两点，若，则椭圆离心率的范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西临汾·二模）椭圆：，若上存在两点，关于直线对称，则实数的范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·天津河东·期末）已知双曲线：的右顶点为，抛物线：的焦点，若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知为椭圆的左顶点，、是椭圆上的点.若四边形满足，，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点为椭圆的长轴端点，为椭圆上一点，若直线的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是_______． 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 已知棚圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 【典例5】（2026·河南·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且满足，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）设椭圆的左、右焦点分别为、，为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏·模拟预测）点在以为焦点的椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽合肥·二模）设椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·广东湛江·二模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽安庆·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M、N两点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 考点06 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时, 注:或者而不是或 【典例6】（25-26高三上·河北邢台·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点．直线与交于另一点，若，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2026·河北·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是和，过的直线交椭圆于两点，的内切圆分别与相切于两点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·安徽滁州·期末）椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，为左焦点，为椭圆上的一点，为轴正半轴上一点.若，，，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的两个焦点为，，若A，B为C上的两个点，且满足，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川广安·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与椭圆另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（   ）    A． B． C． D． 考点07 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 已知棚圆方程为,两焦点分别为, 设焦点三角形,,则椭圆的离心率 公式3:已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则 【典例7】（2026·河北·二模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上位于轴上方的一点，直线交于另一点，且，则的离心率为_______. 【跟踪训练】1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 2．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）如图，将椭圆的长轴分成5等份，过每个分点作轴的垂线，交椭圆的上半部分于四点，是椭圆的一个焦点．若，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·河北·期末）已知椭圆的两个焦点为，若在上，且三点不共线，的周长为，则的短轴长为（   ） A． B． C． D．4 5．（25-26高三上·重庆·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且.过作，满足，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D．3 6．（2026·四川达州·二模）(多选)椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 7．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）(多选)已知椭圆，，分别是椭圆C的左右焦点，O是原点，P是椭圆C上任意一点，下列说法正确的有（   ） A．的周长是 B．时，的面积是 C．的最大值是2 D．过P作椭圆C的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，则面积的最小值为 8．（25-26高三上·天津武清·阶段检测）已知是椭圆上的点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则内切圆的半径为___________． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $