考点培优练03 数列求和与数列综合培优归类9大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以9大考点系统构建数列求和方法体系，从基础公式到综合应用层层递进，通过典例与跟踪训练培养数学思维与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公式法求和|1典例+6训练|等差等比求和公式应用|基础公式推导与直接应用| |分组转化求和|1典例+5训练|通项拆分与分段求和|等差等比组合的分解转化| |裂项相消求和|1典例+6训练|通项拆项抵消技巧|分式型数列的裂项模型构建| |错位相减求和|1典例+7训练|等差×等比错位相减步骤|含参数等比数列求和运算| |倒序相加求和|1典例+7训练|首尾配对求和原理|函数性质与数列求和结合| |奇偶并项求和|1典例+6训练|(-1)^n型相邻项合并|分类讨论与并项化简| |求和与不等式证明|1典例+5训练|放缩法转化可求和数列|数列放缩与不等式逻辑推理| |求和恒成立/有解|1典例+8训练|最值分析与参数范围确定|数列单调性与不等式应用| |绝对值求和|1典例+8训练|正负项分界点讨论|等差数列绝对值分段求和|

考点培优练03 数列求和与数列综合培优归类9大考点 考点预览 目录 考点01 公式法求和 1 考点02 分组转化求和 4 考点03 裂项相消求和 6 考点04 错位相减求和 8 考点05 倒序相加法求和 11 考点06 形如an＝(－1)nf(n) 的奇偶并项求和 13 考点07 数列求和与不等式证明 15 考点08 数列求和中的恒成立或者有解问题 17 考点09 数列绝对值求和 20 考点通关 考点01 公式法求和 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝. 【典例1】（25-26高三下·四川广安·期末）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【跟踪训练】1．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，对任意的，都有. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数. 2．（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足求数列的前2n项和． 3．（2026·浙江·三模）已知数列满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前n项和. 4．（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 5．（2026高三·全国·专题练习）是无穷等比数列的前项和，且公比，已知1是和的等差中项，6是与的等比中项．求： (1)和； (2)数列的通项公式； (3)数列的前项和． 6．（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，且，． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 考点02 分组转化求和 1.适用条件：数列的通项可拆分成若干个等差、等比或常见求和公式形式的子项之和（或之差），即 ，其中 、 分别为可求和的数列。 2.常见分组类型： 等差 等比：，分别用等差、等比求和公式； 等比 常数：，分别求和后合并； 多段组合：，各项分别求和后相加。 3.分组求和与通项拆分的灵活运用：有些通项需先对原式进行变形（如展开、拆分分式）才能分组，如 ，直接分组为等差数列与等比数列之和。 【典例2】（2026·江苏南京·三模）已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 【跟踪训练】1．（2026·全国二卷·高考真题）(多选)设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽六安·模拟预测）(多选)已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 4．（2026·山东烟台·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 5．（2026·云南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 考点03 裂项相消求和 1.核心思想：将数列的通项拆分成两项之差（或两项之和的差），即 （或 ），在求和过程中相邻项相互抵消，简化计算。 2.常见裂项模型： ①；②；③；④（分母有理化）； ；⑥（需结合具体形式调整系数）。 3.裂项系数调整：若通项形如 ，先提出 ，再裂项。 【典例3】（2026·江苏徐州·模拟预测）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 【跟踪训练】1．（2025高三上·全国·竞赛）问下面和式的值是多少？（    ） A． B． C． D． E．1 2．（2026·湖南长沙·三模）符号表示不超过实数的最大整数，如，. 已知数列满足，，. 若，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 4．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前100项和． 5．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知数列的前项和为，且，， (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 6．（2026高三下·广西·竞赛）已知数列的前项之和为，且点位于直线上. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项之和，求正整数，使得对任意均有； (3)设是数列的前项之和，若对任意均有成立，求的最小值. 考点04 错位相减求和 1.适用条件：数列通项为等差数列 等比数列的形式，即 （或 ）。 2.标准形式：，其中 （）。 3.运算技巧： ①对齐时，将 和 中 的同次幂项写在竖直方向上，便于观察相消； ②相减后等比数列的项数为 或 ，需仔细判断； ③最终结果应化简为 或类似形式，可通过特殊值（如 ）验证。 4.常见易错点： 公比 的判断：若通项为 ，公比为 ；若为 ，公比仍为 （可提出 化为标准形式）； 【典例4】（2026·天津红桥·三模）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：； (3)表示不超过的最大整数，；求. 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和． 2．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 3．（2026·山东烟台·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 4．（2026·四川成都·三模）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 5．（2026·山东济南·模拟预测）已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设； （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式． 6．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 7．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知数列满足： (1)求； (2)猜想数列的通项公式并给出证明； (3)设，求数列的前项和． 考点05 倒序相加法求和 等差数列的求和公式,其过程正是利用倒序相加的原理.这类题之所以能够利用倒序相加来求和,是因为其自身具备明显的特征,那就是首项与末项相加为定值.一般题中出现(为常数),(为常数)时,可以采用倒序相加的方法进行求和. 形如的数列求和为， 其中，， 【典例5】（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 【跟踪训练】1．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 2．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 3．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 4．（25-26高三·全国·二轮复习）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 7．（专项练—函数2）已知函数． (1)求； (2)若，，，求； (3)令，记为数列的前项和，若对一切都成立，试求的取值范围． 考点06 形如an＝(－1)nf(n) 的奇偶并项求和 1.适用条件：数列的通项含有 或 因子，或需要按项的奇偶性分别讨论求和。 2.并项求和的基本思路：将相邻两项合并为一项（即 ），构成一个新的数列 ，对新数列求和，最后根据项数 的奇偶性确定是否需要加上剩余项。 3.常见并项模型： 通项为 ：相邻两项并项为 ； 通项为 ：利用平方差公式并项，化简后累加； 通项为 ：并项后转化为 的和。 【典例6】（2026·湖北荆州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和． 【跟踪训练】1．（26-27高三·全国·一轮复习）(多选)已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 2．（25-26高三上·山东泰安·模拟）(多选)已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前10项和为30 D．数列的前项和为 3．（25-26高三上·江苏南京·期末）(多选)已知数列满足，则下列说法正确的有（ ） A．数列的前9项和为295 B．数列为等比数列 C．数列的前12项和为288 D．数列的前项和为 4．（25-26高三上·山东·阶段检测）(多选)已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为 D．的前20项和为284 5．（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列的前n项和为，且对任意正整数n，成立. (1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，，求数列的前n项和. 6．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数，其中． (1)记，若为的极值点，求证：为偶数． (2)求 考点07 数列求和与不等式证明 放缩法证明：当通项无法直接求和时，先将通项适当放大或缩小，转化为可求和的数列，再证明放大（缩小）后的和满足目标不等式。 3.常见放缩技巧： （），用于放缩平方倒数型数列； ，用于下界放缩； ，用于根式型数列放缩； （），用于指数型数列放缩； ，用于阶乘型放缩。 【典例7】（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，． (1)求证：数列为等差数列，并求； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 【跟踪训练】1．（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 2．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知数列满足，，且数列是公差为4的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 3．（22-23高三上·广东深圳·阶段检测）记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列. (1)求的通项公式； (2)若的前项和为，求证：. 4．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数，． (1)当时，试证明函数存在唯一零点，并求出该零点． (2)当时，设，且数列的前n项和为，求证： （i）； （ii）． 5．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)证明：当时，恒成立； (2)求函数的单调区间； (3)设数列，的前项和为，证明：. 考点08 数列求和中的恒成立或者有解问题 数列求和 恒成立问题： 若 恒成立，先求 的最大值（或上确界），再令最大值 ，解参数范围； 若 恒成立，先求 的最小值（或下确界），再令最小值 ，解参数范围； 求 最值的方法：单调性法（判断 的增减）、配方法（ 为二次函数型）、极限法（ 有上界或下界）。 数列求和 有解问题： 方程 有解，则 应属于 的值域； 若 单调，则值域为区间，判断 是否在区间内即可。 【典例8】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，，，的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若前项和为，且存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围. 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求证：； (3)设，数列的前项和为.若对恒成立，求实数的取值范围. 2．（2026·吉林白山·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2. (1)若，求数列的前n项和； (2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围. 3．（2026·陕西·模拟预测）已知函数定义在区间内，时，恒有. (1)证明：为奇函数； (2)若数列满足，，. （i）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （ii）设，若对恒成立，求的取值范围. 4．（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 5．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上． (1)求的解析式； (2)求数列的通项公式； (3)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m． 7．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）已知数列和中，，，，其中． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)证明：存在，使得对任意均成立． 8．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数，数列满足，， (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 考点09 数列绝对值求和 (1)对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 (2)对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 。 【典例9】（25-26高三上·云南·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式 (2)若，求的前项和. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·青海西宁·期末）(多选)已知数列满足，则（     ） A． B． C．的前项和为 D．的前10项和为216 2．（2026高三·全国·专题练习）已知是等比数列的前项和，首项，公比，，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，问从第几项开始数列中的连续20项之和等于102？ 3．（25-26高三下·上海浦东新·期末）已知等比数列的公比，，且、、成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 4．已知各项都为正数的等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 5．（2025·湖北·模拟预测）已知等比数列前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 6．（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 7．（2026·浙江·模拟预测）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，并求使的最大正整数； (2)设，为数列的前项和. （i）求； （ii）若对任意正整数，恒成立，求实数的最小值. 8．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练03 数列求和与数列综合培优归类9大考点 考点预览 目录 考点01 公式法求和 1 考点02 分组转化求和 8 考点03 裂项相消求和 15 考点04 错位相减求和 22 考点05 倒序相加法求和 33 考点06 形如an＝(－1)nf(n) 的奇偶并项求和 40 考点07 数列求和与不等式证明 46 考点08 数列求和中的恒成立或者有解问题 53 考点09 数列绝对值求和 67 考点通关 考点01 公式法求和 (1)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 ①当q＝1时，Sn＝na1； ②当q≠1时，Sn＝＝. 【典例1】（25-26高三下·四川广安·期末）已知数列满足，，． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)∵， ∴， ，，∴， ∴， ∴， ∴数列是以12为首项，4为公比的等比数列 (2) (3) 【详解】（1）略 （2）由(1)得， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴是以2为首项，为公比的等比数列． ∴ ， 即. （3）, , , , , . 【跟踪训练】1．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，对任意的，都有. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数. 【答案】(1)， (2)8 【分析】（1）先求出，再得出，再利用条件得出数列的首项和公差即可； （2）利用错位相减法求出，再结合解不等式求出答案. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，，两项相除得， 当时，，所以，满足式， 综上所述，， 所以，， 设数列的公差为， 则，解得或， 因为，所以， 所以； （2）由（1）知，所以单调递增， 因为①， ②， ①－②得， 所以， 因为，，所以， 故满足的最大正整数为8. 2．（2026·山东泰安·三模）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系及等比数列的定义求解； （2）数列的奇数项及偶数项分别求和即可得解. 【详解】（1）当时 ∴当时， 又 是等比数列， （2）奇数项共n项，是首项为2，公比为9的等比数列 ， 偶数项共n项，是首项为5，公差为6的等差数列， ， . 3．（2026·浙江·三模）已知数列满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明：由题意：， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列. (2) 【分析】（1）根据递推关系及等差数列的定义证明即可； （2）求出等差数列的通项公式可得到，分类讨论求的前n项和即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知：，所以， 所以， ， 记数列的前n项和为， 当时，； 当时，； 综上所述：. 4．（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)（或） (2)设的前项和为，则（或）. 【分析】（1）利用与的关系作差推导公比，结合的条件求首项，进而得通项公式. （2）先求等比数列前项和，再对分组，利用等比数列求和公式计算前项和. 【详解】（1）当时，，由得； 当且时，有， 所以，整理得，即. 当时，联立，解得， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 因此其通项公式为. （2）由（1）得，，则. 设的前项和为，则. 5．（2026高三·全国·专题练习）是无穷等比数列的前项和，且公比，已知1是和的等差中项，6是与的等比中项．求： (1)和； (2)数列的通项公式； (3)数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差中项与等比中项定义，列方程求解即得； （2）利用（1）的结论，结合等比数列的求和公式求出，再求的通项公式； （3）利用分组求和与等比数列的求和公式计算即得. 【详解】（1）依题意得，解得； （2），则由，可得， 解得，． ； （3）由（2）得， 则 ． 6．（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，且，． (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为，， 所以， 又，故， 则，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，即. (2) 【分析】（1）递推公式可变形为，再根据等比数列的定义和通项公式求解即可； （2）利用等差数列和等比数列的前项和公式，分组求和即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，的前项和 . 考点02 分组转化求和 1.适用条件：数列的通项可拆分成若干个等差、等比或常见求和公式形式的子项之和（或之差），即 ，其中 、 分别为可求和的数列。 2.常见分组类型： 等差 等比：，分别用等差、等比求和公式； 等比 常数：，分别求和后合并； 多段组合：，各项分别求和后相加。 3.分组求和与通项拆分的灵活运用：有些通项需先对原式进行变形（如展开、拆分分式）才能分组，如 ，直接分组为等差数列与等比数列之和。 【典例2】（2026·江苏南京·三模）已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 【答案】(1)当时，，解得， 当时，，， 所以，化简得 ①， ，化简得   ②， ①-②得，化简得， 所以数列是以1为首项的等差数列. (2)600. 【分析】（1）由与，构造出条件所给出的模型，直接判断等差数列； （2）由数列所给出的形式判断数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，通过分组求和直接求出的前20项的和. 【详解】（1）略 （2） 由（1）可知，数列是以1为首项的等差数列，，公差为2， 所以， 因为， 所以， 所以 . 【跟踪训练】1．（2026·全国二卷·高考真题）(多选)设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】设等比数列的公比为，根据条件列出关于的方程，求解可得的值，判断A；利用特值法可判断B；根据等比数列的前n项和公式，求得，，化简可判断C；求出，由的取值情况，结合不等式的性质，判断D. 【详解】由等比数列的公比为，则，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以，即，所以A正确. 因为，则，所以B错误. ， ，所以C正确. ， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，因为；所以， 所以，即，所以D正确. 2．（2026·安徽六安·模拟预测）(多选)已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分析数列中项的规律：奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，通过等差、等比数列的通项公式及分组求和法、等差等比公式求和法可逐一判断. 【详解】因为， 所以当为奇数时，， 即数列的奇数项按先后顺序构成首项为，公差为1的等差数列， 记为数列，则； 当为偶数时，，且， 即数列的偶数项按先后顺序构成首项为，公比为2的等比数列， 记为数列，则. 对于A，因为，，所以是数列的第3项，是数列的第3项， 所以，，所以，故A正确. 对于C，当，时，，，所以； 当，时，，，所以； 综上，，故C正确. 对于B， ，故B错误. 对于D， ，，故D正确. 3．（25-26高三上·宁夏固原·开学考试）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)（或） (2)设的前项和为，则（或）. 【分析】（1）利用与的关系作差推导公比，结合的条件求首项，进而得通项公式. （2）先求等比数列前项和，再对分组，利用等比数列求和公式计算前项和. 【详解】（1）当时，，由得； 当且时，有， 所以，整理得，即. 当时，联立，解得， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 因此其通项公式为. （2）由（1）得，，则. 设的前项和为，则. 4．（2026·山东烟台·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)在数列中，，，则， 所以，即，解得， ，即，解得，， 以此类推可知，对任意的，，所以，即， 所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为. (2) 【分析】（1）将等式变形为，再结合等比数列的定义证明即可； （2）求出的表达式，利用错位相减法结合分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， ①， ②， ①②得 ，所以， 故. 5．（2026·云南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，结合等差数列的定义求得. （2）对进行分类讨论，利用裂项求和法、错位相减求和法求得. 【详解】（1）由，得，当时，，即， 又，所以．当时，， 所以， 即，整理得， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以． （2）由（1）得， ①当n为偶数时， ， 设，则， 令，所以， 两式相减得：， ， 所以，所以； ②当n为奇数时， ， 所以． 考点03 裂项相消求和 1.核心思想：将数列的通项拆分成两项之差（或两项之和的差），即 （或 ），在求和过程中相邻项相互抵消，简化计算。 2.常见裂项模型： ①；②；③；④（分母有理化）； ；⑥（需结合具体形式调整系数）。 3.裂项系数调整：若通项形如 ，先提出 ，再裂项。 【典例3】（2026·江苏徐州·模拟预测）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件列出等比数列基本量的方程，求解即得到数列的通项公式和前项和； （2）化简的表达式，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设的公比为，则，而，得， 已知，所以， 所以，则. （2）， ． 【跟踪训练】1．（2025高三上·全国·竞赛）问下面和式的值是多少？（    ） A． B． C． D． E．1 【答案】C 【分析】利用对数运算性质化简分子，再根据裂项相消求和. 【详解】由， 代入原通项得：， 所以 ， 代入，可得： . 2．（2026·湖南长沙·三模）符号表示不超过实数的最大整数，如，. 已知数列满足，，. 若，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件可得数列是首项为，公比为的等比数列，数列为常数列，进而可求出数列的通项公式，从而求出的通项公式，最后再利用裂项相消求和，结合符号的定义，即可求出. 【详解】因为，则，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，则①， 又由可得，且， 所以数列为常数列，则②， 由①②可得，因为， ，则， 所以，所以， 则， 所以， 化简可得， 因此. 3．（2026·陕西·三模）已知数列的前项和为，，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2)当为偶数时，；当为奇数时， 【分析】（1）由数列是等差数列，求得数列的通项公式，从而求得，再由与的关系求得，即数列的通项公式； （2）结合（1）的结论，对裂项，并讨论的奇偶，可得数列的前项和． 【详解】（1）由题意知，所以 当时，， 作差得 所以，即； 当时，，，符合上式. 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，则， 所以， . 当为偶数时，； 当为奇数时，. 综上，当为偶数时，；当为奇数时，. 4．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知等差数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求数列的前100项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列的基本量的计算可求得数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可求得数列的前项和； （3）利用并项求和法可求得数列的前100项和． 【详解】（1）设等差数列的公差为，由， 得，化简得，解得， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，得， 所以 ； （3）因为的最小正周期为， 所以计算一个周期内（）的的和， ，， ， ， 所以， 所以 . 5．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知数列的前项和为，且，， (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明：因为①，所以，解得， 对任意的，②， 得，即， 则,即，因为， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）利用与的关系推得数列递推式，即可证明是等比数列； （2）先利用对数运算求出，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）分析可得，即． 因为， 所以． 6．（2026高三下·广西·竞赛）已知数列的前项之和为，且点位于直线上. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项之和，求正整数，使得对任意均有； (3)设是数列的前项之和，若对任意均有成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）利用当时， ，得，然后利用等比数列定义及通项公式求解，注意时是否成立. （2）先判断数列中，，，，，，且时，，然后有，即可求解. （3）利用裂项相消法求和得，然后利用指数函数性质及有界性求解恒成立问题. 【详解】（1）因为点位于直线上，所以. 于是，，故. 当时，，故，由此可得， 从而为首项是2，公比是2的等比数列，则，且时也成立. 因此. （2）， 易知，， ， ， ， 事实上，当时，由可知， 当时，数列为一个递减数列，. 因此，当时，. 于是，，即对任意均有. 故. （3）因为， 所以 . 故单调递增且，所以. 因此，即的最小值为. 考点04 错位相减求和 1.适用条件：数列通项为等差数列 等比数列的形式，即 （或 ）。 2.标准形式：，其中 （）。 3.运算技巧： ①对齐时，将 和 中 的同次幂项写在竖直方向上，便于观察相消； ②相减后等比数列的项数为 或 ，需仔细判断； ③最终结果应化简为 或类似形式，可通过特殊值（如 ）验证。 4.常见易错点： 公比 的判断：若通项为 ，公比为 ；若为 ，公比仍为 （可提出 化为标准形式）； 【典例4】（2026·天津红桥·三模）已知数列是正项等比数列，是等差数列，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：； (3)表示不超过的最大整数，；求. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用等差数列和等比数列公式求解通项即可； （2）利用放缩思想，结合裂项相消法求和即可； （3）利用分类讨论，求解，然后利用分组求和、错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由， 得，解得或（舍去）； 故，； （2）由（1）知，，，则 所以 则； （3）因为， 所以， ， ， 所以. 则①， 则②， 由①②得： ， 所以. 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，． (1)求，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列等比数列公式列出方程组求解. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 则依题意有且 联立解得，， 所以，． （2）（2）， 则有， ． 则 ． 2．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式； （2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以 3．（2026·山东烟台·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)在数列中，，，则， 所以，即，解得， ，即，解得，， 以此类推可知，对任意的，，所以，即， 所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为. (2) 【分析】（1）将等式变形为，再结合等比数列的定义证明即可； （2）求出的表达式，利用错位相减法结合分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， ①， ②， ①②得 ，所以， 故. 4．（2026·四川成都·三模）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义及的关系求解即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）当时，， 相减可得当，即，． 因为是等比数列，． 当时，，可解得． 数列的通项公式为． （2）∵    ∴，① ①3得，② 由①②得， 即， 化简得． 5．（2026·山东济南·模拟预测）已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设； （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式． 【答案】(1)证明：由，， 则， 所以，故是首项、公差均为1的等差数列； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据已知递推关系得，结合等差数列的定义即可证； （2）（i）由（1）得，利用关系求得，根据已知及组合数性质、二项式定理得，若数列的前项和为，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求；（ii）根据已知得到，再由不等关系有，则，最后应用分组求和求解即可. 【详解】（1）略 （2）（i）由（1）得， 当时，， 显然满足，所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 若数列的前项和为， 则，， 所以 ， 所以； （ii）当时， ， 与矛盾，所以， 当时，， 与矛盾，所以， 综上，此时， 所以，可得，即， 所以，则 . 6．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可推出是公比为3的等比数列，进而求出的通项公式 （2）利用错位相减法即可求出的前项和. 【详解】（1）已知，即， 所以是以1为首项，公比为3的等比数列， 故， 因此，. （2），两边同乘3， 可得， 相减得： ， 故. 7．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知数列满足： (1)求； (2)猜想数列的通项公式并给出证明； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2)通项公式为 ， 由题设，当时，有​， ①－②得：， 将替换为，得， ④－③得：，即​， 结合，，则， 知数列是首项为，公比为的等比数列， 故通项公式为，得证； (3) 【分析】（1）将、依次代入列方程求对应项即可； （2）根据已知等量关系，应用作差法得，即，结合等比数列的定义证明即可； （3）由题意 ，应用错位相减法求即可. 【详解】（1）已知对任意正整数，有 当时，， 当时， ，代入，得 ， 所以，； （2）略 （3）已知 ，则 ， 令 ， 用错位相减法：， ， 两式相减得： 所以 所以 ，从而 考点05 倒序相加法求和 等差数列的求和公式,其过程正是利用倒序相加的原理.这类题之所以能够利用倒序相加来求和,是因为其自身具备明显的特征,那就是首项与末项相加为定值.一般题中出现(为常数),(为常数)时,可以采用倒序相加的方法进行求和. 形如的数列求和为， 其中，， 【典例5】（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数． (1)若为奇函数，求a； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可求的值，再验证此时为奇函数. （2）先根据函数的奇偶性探索得到，再利用倒序相加法求的值. 【详解】（1）显然的定义域为，又为奇函数， 所以，即， 解得.此时， 因， 即，为上的奇函数，故为所求． （2）由（1）知． 又，所以， 即． 设，则， 又， 两式左、右两边分别相加，得， 所以． 【跟踪训练】1．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 【答案】D 【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 2．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 3．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. 4．（25-26高三·全国·二轮复习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合函数解析式得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得， 令， 则， 两式相加得， ，解得. 故选：D 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)，bn (2) 【分析】（1）需先根据数列前项和公式求的通项公式，再利用函数性质及倒序相加法求的通项公式； （2）先得出的表达式，再用错位相减法求前项和. 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加， 可得 ，. （2）由（1），可得， 则 两式相减， 可得 ∴. 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求数列的通项公式，再根据公式，求解数列的递推关系式，通过构造求数列的通项公式； （2）首先利用倒序相加法求数列的通项公式，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）因为，且数列是公差为的等差数列，所以， 所以， 当时，，两式相减，得， 所以，所以， 所以数列是常数列，所以，即. （2）因为，所以. 又， 两式相加，得. 所以. 所以， ， 两式相减，得 . 所以. 7．（专项练—函数2）已知函数． (1)求； (2)若，，，求； (3)令，记为数列的前项和，若对一切都成立，试求的取值范围． 【答案】(1)1010； (2)； (3). 【分析】（1）由解析式可得，利用对称性求函数值的和； （2）首先有，，再应用倒序求和即可得； （3）由题设，再累加得，进而化为恒成立，即可求. 【详解】（1）根据题意， 所以； （2）由，， ， ， 相加得 ， 故； （3）． ， ， 因为，又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，得. 考点06 形如an＝(－1)nf(n) 的奇偶并项求和 1.适用条件：数列的通项含有 或 因子，或需要按项的奇偶性分别讨论求和。 2.并项求和的基本思路：将相邻两项合并为一项（即 ），构成一个新的数列 ，对新数列求和，最后根据项数 的奇偶性确定是否需要加上剩余项。 3.常见并项模型： 通项为 ：相邻两项并项为 ； 通项为 ：利用平方差公式并项，化简后累加； 通项为 ：并项后转化为 的和。 【典例6】（2026·湖北荆州·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以，即， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． （2）因为，则．所以 当n为偶数时， 当n为奇数时， 综上所述， 【跟踪训练】1．（26-27高三·全国·一轮复习）(多选)已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 【答案】ACD 【分析】利用与关系求出，结合等差数列前项和公式依次判断选项即可. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以，显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C正确； 令，所以的前30项和为：，故D正确. 2．（25-26高三上·山东泰安·模拟）(多选)已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前10项和为30 D．数列的前项和为 【答案】ABC 【分析】先构造数列 ，知其前 项和求通项 ，进而再求出 ，选项A，由定义证明为等差数列；选项 B，利用等差数列前 项和公式求解即可; 选项 C ，两项并一项，并项为常数列求和; 选项D，分段讨论去绝对值后，分组求和，再利用等差数列求和公式即可求出. 【详解】由题意， A项，， 设，则， 所以当 时， ， 两式相减得， ， 当 时， 也适合上式. 则 ， 解得：， 所以 ， 故数列 是以 9 为首项， 6 为公差的等差数列，， 故A正确； B项，，故B正确； 选项C，数列 的前10项和为： ，故C正确； 选项D, 则前20项和为： 故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查构造数列，等差数列的通项公式和前项和，考查并项求和，考查学生的分类讨论能力，具有很强的综合性. 3．（25-26高三上·江苏南京·期末）(多选)已知数列满足，则下列说法正确的有（ ） A．数列的前9项和为295 B．数列为等比数列 C．数列的前12项和为288 D．数列的前项和为 【答案】BD 【分析】A选项，利用得到，故为等差数列，利用求和公式求出答案；B选项，利用定义法证明出为等比数列；C选项，求出，当时，，当时，，结合等差数列求和公式得到答案；D选项，，分组求和得到答案. 【详解】A选项，①，令得， 当时，②， 式子①-②得，，化简得， 又满足要求， 综上，， 故，所以为等差数列， 数列的前9项和为，A错误； B选项，，，故数列为等比数列，B正确； C选项，，当时，， 当时，，其中，， 的前12项和为，C错误； D选项，， 设数列的前项和为， 则 ，D正确. 故选：BD 4．（25-26高三上·山东·阶段检测）(多选)已知数列满足，则（    ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为 D．的前20项和为284 【答案】ABD 【分析】当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以，当时，满足，故，故A正确； 的前项和为，故B正确； 令，的前100项和为： ，故C错误； 令， 所以的前20项和为： ，故D正确. 故选：ABD. 5．（25-26高三下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列的前n项和为，且对任意正整数n，成立. (1)求证：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)若，，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）利用数列与的关系，即可求证数列为等比数列，据此求出数列通项公式； （2）代入，可知，分为奇数和偶数，分别求和. 【详解】（1）在中令得． 因为对任意正整数，成立，所以， 两式相减得，所以，即，所以为等比数列， 所以. （2）由（1）可知，故. 当为偶数时，， 当为奇数时，． 所以． 6．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数，其中． (1)记，若为的极值点，求证：为偶数． (2)求 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导并根据的奇偶性对导函数符号进行判断，结合极值点可得为偶数； （2）根据表达式利用分组求和即可. 【详解】（1）因为， 则， 当时，,,故不是极值点. 当为奇数时且时，为偶数，， 当时，，在单调递减， 所以0不为的极值点； 当为偶数时，为奇数，， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以0为的极值点，因此为偶数． （2），所以， 所以． 考点07 数列求和与不等式证明 放缩法证明：当通项无法直接求和时，先将通项适当放大或缩小，转化为可求和的数列，再证明放大（缩小）后的和满足目标不等式。 3.常见放缩技巧： （），用于放缩平方倒数型数列； ，用于下界放缩； ，用于根式型数列放缩； （），用于指数型数列放缩； ，用于阶乘型放缩。 【典例7】（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，． (1)求证：数列为等差数列，并求； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）对条件式变形可得，根据等差数列的定义证明求解； （2）先证明，可得，所以，利用裂项相消法求和得证. 【详解】（1）由，，得， 所以数列是以1为首项1为公差的等差数列， 即，化简得. （2）因为，所以，所以， 可得，即， 所以， 因为， 所以, 所以. 【跟踪训练】1．（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义，求出，再利用累加法求通项即可； （2）对进行放缩，再利用裂项相消法求和，即可完成证明． 【详解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． （2）由（1）得，， 当时，， 当时，． 综上，． 2．（25-26高三下·河南·阶段检测）已知数列满足，，且数列是公差为4的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列得到数列的通项公式，再累加求出数列的通项公式即可. （2）根据（1）以及裂项相消法求解即可. 【详解】（1）， 所以 ， 当时满足以上通项公式， 综上所述：的通项公式为； （2）， 当时，， 当时，， 综上所述：. 3．（22-23高三上·广东深圳·阶段检测）记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列. (1)求的通项公式； (2)若的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，从而利用与的关系推得，再利用构造法证得是等比数列，由此可得； （2）利用裂项相消法求得，从而得证. 【详解】（1）因为，所以， 又因为是公差为2的等差数列， 所以，则， 当时，， 整理得，则， 又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，则. （2）由（1）得，， 所以， 因为，所以，故. 4．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知函数，． (1)当时，试证明函数存在唯一零点，并求出该零点． (2)当时，设，且数列的前n项和为，求证： （i）； （ii）． 【答案】(1)证明见解析，零点为1． (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，得到函数在上单调递增求解； （2）（i）易证，当时，，从而得到，即求解．（ii）当时，由放缩法得，从而，再结合（i）的结论得到，利用裂项相消法求解. 【详解】（1）因为，， 所以函数的定义域为，． 令，则． 因为，所以恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以函数在上单调递增． 又因为， 所以函数存在唯一零点，且零点为1． （2）证明：（i）先证明． 令，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即． 当时，． 因为，所以，所以． 又，所以． （ii）当时，由放缩法得，所以． 由（i）知， 所以当时， ， 即． 又当时，，满足， 所以成立． 5．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)证明：当时，恒成立； (2)求函数的单调区间； (3)设数列，的前项和为，证明：. 【答案】(1)由已知当时，， 可得， 令，解得，令，解得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； (2)当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； (3)由（1）得在上恒成立，且当时，不等式取等号， 所以当时，， 即， 所以. 【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性与最值，进而得证； （2）求导，根据导数分情况讨论函数单调性； （3）由（1）可知当时，，即，利用裂项相消法求和可得证. 【详解】（1）略 （2）由，， 可得， 当时，恒成立，函数在上单调递减； 当时，令，解得，令，解得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，函数的单调递减区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）略 考点08 数列求和中的恒成立或者有解问题 数列求和 恒成立问题： 若 恒成立，先求 的最大值（或上确界），再令最大值 ，解参数范围； 若 恒成立，先求 的最小值（或下确界），再令最小值 ，解参数范围； 求 最值的方法：单调性法（判断 的增减）、配方法（ 为二次函数型）、极限法（ 有上界或下界）。 数列求和 有解问题： 方程 有解，则 应属于 的值域； 若 单调，则值域为区间，判断 是否在区间内即可。 【典例8】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，，，的前项和为. (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)若前项和为，且存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由题意每一项都不为零，由得， 所以，等式两边取倒数得，得， 又，因此是首项为，公比为的等比数列， 所以，故. (2) 【分析】（1）由已知等式变形为，可得出，结合等比数列的定义可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式； （2）求出、的表达式，结合题意得出，令，，分析数列、的单调性，求出这两个数列的最大项的值，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，. 所以 . ， ， 两式作差可得， 所以， 进而，使得，， 即有， 令，则， 令得，可得，解得， 因为，故， 令得，可得，解得或， 因为，故， 即有当时，，即， 同理当时，，即，所以， 再令， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 所以数列为递减数列，即， 所以有，解得. 因此实数的取值范围是. 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求证：； (3)设，数列的前项和为.若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) ， 所以 ，即命题得证. (3). 【分析】（1）对递推关系变形，构造数列，得到通项公式； （2）对进行放缩，得利用裂项相消法证不等式； （3）用错位相减法求，将恒成立问题转化为求数列最大值，得到的取值范围. 【详解】（1）由， 两边同除以得， 即， 又，故，所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 解得，所以. （2）略 （3）由（1）知 ， 故数列的前项和为： ， 将代入不等式，得， 即， 因为，所以，两边同乘得 令，分析其单调性： ， 故在上单调递减，因此， 要使对恒成立，只需，即， 所以，实数的取值范围为. 2．（2026·吉林白山·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2. (1)若，求数列的前n项和； (2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系，求出的通项公式；利用等比数列通项公式求出的通项公式，再结合错位相减法求； （2）将、的通项代入不等式，整理得到关于的恒成立问题，所以构造新数列，通过研究新数列的单调性求出其最大值，进而确定的取值范围. 【详解】（1）已知：时，； 时，， 验证也满足，故. 是首项为1、公比为2的等比数列，故，. ，则：① 两边同乘得：②. ①-②得： 中间等比数列求和得， 代入整理得：. （2）不等式，对恒成立， 代入得：. 设，作差得： 时，； 时，； 时，， 故的最大值为，因此，即. 3．（2026·陕西·模拟预测）已知函数定义在区间内，时，恒有. (1)证明：为奇函数； (2)若数列满足，，. （i）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （ii）设，若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明：由题意知的定义域为，关于原点对称．且， 令 ，则，故． 再令，则， 所以，故为奇函数． (2)（i）由题意得， 又， 所以，即， 所以， 故是首项为，公比为2的等比数列， 所以； （ii） 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义即可证明； （2）（i）根据得到，进而得到是等比数列，从而得到数列的通项公式； （ii）再利用错位相减法得到．代入恒成立求解. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）因为， 所以， 所以， 两式相减得， 所以． 所以对恒成立， 即恒成立，即恒成立． 设，则， 所以数列单调递增． 当n为奇数时，，当 时，有最大值，故 ； 当n为偶数时，，当时，有最小值，故． 综上，的取值范围是． 4．（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式及等比数列的通项公式求解； （2）①求出，利用错位相减法求和.②将代入恒成立不等式：，从而得到对恒成立，设，问题转化为求,利用单调性求出的最小值，从而得到的最大值. 【详解】（1）因为数列是等差数列，，， 所以， 解得，则. 则，则 ，，， 因为，所以 ， 则 ，. （2）①由（1）得，代入数列通项：， 因此数列前项和为：， 将上式两边同乘公比：， 用错位相减法，作差： ， . ②将代入恒成立不等式：， 解得： ，即：对恒成立， 设，问题转化为求, , 当时， ， ，数列单调递减； 当时， ，，数列单调递增， 因此数列在处取得最小值，， 因此的最大值为. 5．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设求数列的前项和. (3)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用及求出，再结合，是和的等比中项可求出； （2）利用错位相减法即可求出； （3）由题可得对于恒成立，令，当时，， 当时，单调递减，又，从而可得. 【详解】（1）由，，解得， 所以；则， 由是和的等比中项，则，解得， 又由，所以，所以. （2）由（1）可得， 则①， ②， 将两式相减得：， 化简得. （3）若对于恒成立， 即对于恒成立， 化简得对于恒成立，令， 则，当时，； 所以当时，， 所以当时，单调递减，当时，， 所以，所以. 故实数的取值范围为. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上． (1)求的解析式； (2)求数列的通项公式； (3)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m． 【答案】(1) (2) (3)10 【详解】（1）（1）设二次函数，易得，则． 由于，得，，所以． （2）由点均在函数的图像上，又，所以． 当时，． 当时，，符合上式，所以． （3）由（2）得， 故． 是关于的单调递增的数列，当趋于正无穷时，， 要使成立，只需，即，所以满足要求的最小正整数m为10． 7．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）已知数列和中，，，，其中． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和； (3)证明：存在，使得对任意均成立． 【答案】(1)证明：由，， 可得， 则，即， 故为公差为1，首项为的等差数列； (2)当时，， 当时，. (3)证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明： ，③ 由知，要使③式成立，只要， 因为 【分析】（1）由题设数列递推式构造数列，由等差数列定义证明即可； （2）分和两种情况讨论，利用分组求和法和错位相减法计算即可得出答案； （3）通过分析，推测数列的第一项最大，只要即可，利用放缩法证明即可. 【详解】（1）略； （2）由（1）得， 解得， 设数列的前项和为， ① ② 当时，由，可得 ， 则， 这时数列的前项和， 当时，， ； 综上所述，当时，， 当时，，故. （3）略. 8．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数，数列满足，， (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求； (3)对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 【答案】(1)证明:因为函数， 所以， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. (2) (3) 【分析】（1）通过取倒数法，利用构造法，结合等比数列的定义进行求解即可； （2）结合（1）的结论，利用等比数列的前项和公式进行求解即可； （3）结合（2）的条件，结合作差法判断数列的单调性，利用单调性进行求解即可. 【详解】（1）略； （2）由（1）可知，                 所以. （3）由（2）可知：， 所以由，                              因为， 所以由，                         设， 由，      由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，， 于是有时，， 所以，，因此， 存在，使得成立，则有，     因此实数k的最大值. 考点09 数列绝对值求和 (1)对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 (2)对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为 的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 。 【典例9】（25-26高三上·云南·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式 (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，可得，再由，进而得到数列的通项公式； （2）由，得到，结合等差数列的求和公式，分别求得时，可得；时，可得，进而求得的前项和. 【详解】（1）由， 当时，可得， 当时，，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由，可得，则， 令，可得， 当时，可得， 当时，可得 ， 因为，所以， 所以. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·青海西宁·期末）(多选)已知数列满足，则（     ） A． B． C．的前项和为 D．的前10项和为216 【答案】ABC 【分析】先根据关系式求出通项公式，再根据等差数列求和公式求和即可判定. 【详解】已知， 当时，. 当时，. 得， 化简得，验证时，符合条件， 因此通项公式为. 选项A：，正确. 选项B：通项，正确. 选项C：是首项、公差的等差数列，前项和，正确. 选项D：，当时，时， 前10项和，错误. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知是等比数列的前项和，首项，公比，，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，问从第几项开始数列中的连续20项之和等于102？ 【答案】(1) (2)从第2项或第5项开始数列中的连续20项之和等于102． 【分析】（1）运用等差中项的性质及等比数列的前项和公式，可得关于的方程，解方程可得公比，进而得到所求通项公式； （2）先利用（1）中结果求得，记数列从第项开始的连续20项和为，得，分和两种情况，由利用等差数列的前项和公式列方程求解. 【详解】（1）依题意得， 因为，所以， ，或（舍去）. ，． （2）． 记数列从第项开始的连续20项和为，则 若，则，不合题意； 所以， ， ， ，解得或， 所以从第2项或第5项开始数列中的连续20项之和等于102． 3．（25-26高三下·上海浦东新·期末）已知等比数列的公比，，且、、成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由已知条件列方程求出公比，从而可求出通项公式； （2）由（1）可得，然后判断的正负，再分和利用等差数列的求和公式求解 【详解】解：（1）由题意可得， 因为、、成等差数列， 所以，所以， 因为，所以，解得或（舍去） 所以， （2）由（1）得， 所以是以为公差，5为首项的等差数列，设数列的前项和为，则 由，得， 所以当时，，当时，， ①当时，， 所以 ②当时，，则 ， 综上， 4．已知各项都为正数的等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求. 【答案】（1） ；（2）. 【分析】（1）设各项都为正数的等比数列的公比为，根据，列出方程组，求得，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）结合对数的运算，求得，分类讨论，利用等差数列的求和公式，即可求得. 【详解】（1）设各项都为正数的等比数列的公比为，则， 因为，所以 ，解得， 所以， （2）由（1）知，， 所以， 当时，； 当时，， 故. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等比中项的性质、等差数列的前项和公式、对数运算等知识点，等差数列的前项和公式及其应用，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题. 5．（2025·湖北·模拟预测）已知等比数列前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用可得数列的递推关系，由可得的关系，由等比数列可求得，从而得通项公式； （2）由（1）求出，前5项是负数，从第6项起各项非负，可对分类讨论：或，然后结合等差数列的前项和公式得结论． 【详解】解：（1）当时，， 当时，，与已知式作差得，即 欲使为等比数列，则，又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以 （2），， 若， 若，，． 【点睛】本题考查由与的关系求通项公式，考查含绝对值的等差数列的求和，解题时在利用时要注意．含绝对值的问题，一般要根据绝对值定义去掉绝对值符号，因此需要分类讨论． 6．（2026·海南·模拟预测）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由分和分析计算即可求解； （2）根据的正负情况分析计算. 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 显然满足式，所以； （2）由（1）可得时，时， 所以当时，所以， 当时，所以 ， 所以. 7．（2026·浙江·模拟预测）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，并求使的最大正整数； (2)设，为数列的前项和. （i）求； （ii）若对任意正整数，恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）27 【详解】【小题1】由得：当时，； 当时，.     验证也满足，故通项公式为，.     解不等式，即，得， 所以满足条件的正整数，2，3，4，其中最大的 【小题2】（i）由得：，，，，，则 .         （ii）由知递增， 当 时，，有. 求和：.     再加上前4项的和，可得当时，有， 因此对所有 ，有，且，     条件对任意正整数 恒成立，等价于， 故满足条件的最小值为27 8．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可； （2）分和两种情况求和计算结果． 【详解】（1）设公差为，公比为，， 故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2）令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，， 则， 当时，，则 ， 综上：. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $