山东省泰安第一中学2026-2027学年高一上学期10月阶段检测数学试题

泰安一中青年路校区2026级10月份阶段检测数学卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．命题“，”的否定是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，，，则（   ） A． B． C． D． 4．若x是实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．集合，，之间的关系是（    ） A. B． C． D． 6．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（    ） 7．下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（   ） A． B． C． D． 8．用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，，若，设实数的所有可能取值构成集合.则（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列关系中，正确的有（　　） A．  B． C． D． 10.下列四个结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为 D．“”的一个必要不充分条件是”m<1” 11.已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设集合，，若，则________. 13．已知，，，则的最小值是_______. 14．若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设全集，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 16．已知集合A={x|6≤x≤20}，集合B={x|x≤2a}，命题p：∃x∈A，x∈B，命题q：∀x∈R，x2+2x-a>0. (1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围； (2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围. 17．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 18．已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围. 19.设是由若干个正整数组成的集合，且存在个不同的元素、、，使得，则称为“等差集”. (1)若集合，，且是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的； (2)若集合是“等差集”，求的值； (3)已知正整数，证明：不是“等差集”. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $泰安一中青年路校区2026级10月份阶段检测数学卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第工卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的 1.命题x>1,x2+2x-2>0”的否定是() A.x>1,x2+2x-2<0 B.3x>1,x2+2x-2<0 C.x≤1，x2+2x-2≤0 D.3x>1,x2+2x-2≤0 3,不等式兰2的解集足《) A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} C.{x-2≤x<1 D.{xx>1} 3.已知a,b,c∈R,且a>b,c>1,ab≠0，则() A.a-c>b-1 B.ac>b D.ab 4.若x是实数，则“风>1是x>2的（） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5.集合M={xx=3k-2,k∈Z},P={yy=3n+1,n∈eZ},S={zz=6m+1,m∈Z}之间的关系是（) A.SCP=M B.S=PCM C.P=MCS D.MCS=P 6.若不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0对一切xeR恒成立，则实数a的取值范围为() A.{aa<-2或a>2} B.{aa<-2或a22} c.{ad-2<a<2} D.{a-2<a≤2} 试卷第1页，共4页 7.下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集A,B,C,则阴影部分能表示集合(CA)∩BU(A∩C) 的是() A A. U C D 8.用Card(A)表示非空集合A中的元素的个数，定义A*B=Card(A)Card(B),若A={-l,l}, B={x(a2+3x)(x+ar+2)=0},若A*B=1,设实数a的所有可能取值构成集合s.则Card(S)=() A.6 B.5 C.4 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列关系中，正确的有() A. B.0 C.Z∈N D.o∈0} 10.下列四个结论正确的是( A.若-4≤x-y≤-1，-1≤4x-y≤5，则-9≤6.x-3y≤3 B.若关于x的不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤-4或x≥3}，则不等式cx2-bx+a<0的解集为 C.若“x∈A是x∈B的充分条件”，则BSA D.“<0”的一个必要不充分条件是”m<1” 11.已知正实数a,b满足a+b=2,则下列结论正确的是() A.b的最大值为1 B.a2+b2的最小值为4 c.+2的最小值为3+25 D. 2a+30-2的最小值为3+2 a b ab 2 第I工卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设集合A={0,-a,B={1,a-2,3a-3},若A三B,则a= 13.已知x>0,y>0,y+2x+y=4,则x+y的最小值是 试卷第2页，共4页 14.若关于x的不等式x2-(2a+1)x+2a<0恰有两个正整数解，则a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.设全集U=R,集合A={x1≤x<5},B={x2a≤x<3-a. (1)若a=-1,求A∩B,AUB,(CA)∩B; (2)若AOB=B,求实数a的取值范围. 16.己知集合A={6≤x≤20}，集合B={xr≤2}，命题p:x∈A,x∈B,命题q:x∈R,x2+2x-P0. (1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围： (2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数α的取值范围， 17.某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量经测算，企业拟安 装一种使用寿命为4年的污水净化设备，这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x(单位： 平方米)成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积 x之间的函数关系为C=20（:>0),将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为》（单 x+5 位：万元) (1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围： (2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？ 试卷第3页，共4页 18.已知关于x不等式2+(a-1)x-1>0. (1)若a=-2时，求不等式的解集； (2)若a∈R,解这个关于x的不等式： 3)N5≤x≤3，(ac-l1)(cr+l)>(2a+l)x-a恒成立，求实数a的取值范围. 19.设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素x、y、z∈A,使得x-y=y-z,则称A为 “等差集”。 (1)若集合A={3,4,5,7},BA,且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B; (2)若集合A={5-m2,1+,2m2-3}是“等差集”，求m的值： (3)已知正整数n≥3，证明：{x,x2,x3,,x“}不是“等差集” 试卷第4页，共4页 泰安一中青年路校区2026级10月份阶段检测数学卷 答案 1.D2.C3.D4.C5.A6.D7.B8.B9.AB10.ABD11.AD 5.【详解】M={xx=3k-2,keZ={x=3(k-)+1,k∈3 因为k∈Z,所以k-1∈Z,所以集合M中的元素是3的整数倍加1这样的数， P={yy=3n+l,n∈Z},所以集合P中的元素是3的整数倍加1这样的数， S={zz=6m+1,meZ}={z2=3.2m+1,m∈Z}因为m∈z,所以2是偶数，所以集合s中的元素是3的偶 数倍加1这样的数，所以S≤P=M,故选：D. 8.【答案】B【详解】Card(A)=2,要使A*B=Card(A)-Card(B)=2-Card(B)=l, 则Card(B)=l或Card(B)=3. 当a=0时，B={x3x(x2+2)=0}={0,满足Card(B)=1. 当a≠0时，首先ar+3x=r(ax+3)=0有两个不同的解x=0或x=-3, a 其次，对于x2+ax+2=0,△=2-8， 当△=0时，a=2√2或a=-2W2, 当a=2W2时，x2+m+2=x2+22x+2=6+2)=0,x=-V2, t制s=0-a2 满足Card(B)=3 当a=-22时，x2+am+2=x2-22x+2=6-2=0,x=√2， 时人a0动}-.a9 满足Card(B)=3」 当△<0，即-2√2<a<2√2时，x2++2=0无解，Card(B)=2不符合题意. 当△>0，即a<-2W2或a>2W2时， x+公+2=0的解为x=a-v匠-8或=a+V匠-8，x=0不是x2++2=0的解， 2 当a=3时，B={0,-1,-2},满足Crd(B)=3,当a=-3时，B=0,1,2},满足Card(B)=3, 试卷第1页，共4页 当a∈(-∞，-3)U(-3,-2W2(2√2,3(3，+叫时，Card(B)=4,不符合题意. 综上所述，={0,2W2,3,-2V2,-3}Card上5.故选：B 11.AD对于A,因为2025=506×4+1， 所以2025∈[1]，故A正确； 对于B,因为-2=(-1)×4+2，所以-2∈[2]，故B错误， 对于C,因为Z[0]U[1]U[2]U[3], 所以Cz[1]H[0]U[2]U[3],故C错误； 对于D,a∈[2]，b∈[3]，则c-4+2,n∈Z,b-4+3,∈Z,a+b=4t2+4+3=4(+)+5=4(t+1十1，L∈Z,n∈Z, 所以什t1∈Z,所以tb∈[1]，故D正确 12.1因为A={0,-a,B=1,a-2,3a-3},且A≤B,所以a-2=0或3a-3=0, 当a-2=0时，a=2,则A={0,-2},B=1,0,3},此时不满足A二B，所以a=2舍去， 当3a-3=0时，a=1,则A={0,-1},B=1,-1,0},符合题意，综上a=1, 13.解法一：由xy+2x+y=4得(x+1)(y+2)=6,x>0,y>0,.x+1>1,y+2>2. x+1+y+222√x+1(y+2)=2W6,当且仅当x+1=y+2=√6， 即x=√6-1，y=√6-2时等号成立..x+y的最小值为26-3： 解法二：由w+2x+y=4得yx+1=4-2x,得y=42x-6-2x+1)-6,2, x+1x+1x+1 :x+1>0,x+y=x+6-2=x+1+6-3≥2W6-3, x+1 x+1 肾且仅当x+1=V6,即x=6-1时等号成立，此时y2=V6-2,放+y的最小值为263 14.【详解】关于x的不等式x2-(2a+1)x+2a<0可化为-1)(x-2<0, 当2a>1时，解得1<x<2a,要使解集中恰有两个正整数解，则3<2a≤4，得。<a≤2 当2a=1时，不等式化为(x-1)2<0,此时无解： 当2a<1时，解得2a<x<1,要使解集中恰有两个正整数，则2a<x<1,此时解集中无正整数解： 综上，实数a的取值范围为<a≤2. 15.【详解】【解】(1)由a=-1,得B={d-2≤x<4},又A={x1≤x<5},U=R,所以A∩B={xl≤x<4}, 试卷第2页，共4页 AUB={x-2≤x<5}.CuA={xx<1或x≥5}，则(CA)OB={x-2≤x<1 (2)因为AOB=B,所以B三A, 当B=☑时，2a≥3-a,解得a≥1，此时满足题意： 2a<3-a 1 当B≠O时，可得2a21。，解得2≤a<1,综上所述，实数a的取值范围是a 3-a≤5 16.(1)若命题p为真命题，则A∩B≠o, 所以2a≥6，所以a≥3， 所以当命题p为假命题时，a的取值范围为{dK3} (2)当命题q为假命题时，即“x∈R,x2+2x-≤0”为真命题， 所以-4+4a≥0，解得a≥-1， 所以a的取值范围为{da≥-l}, 所以当命题p,q均为假命题时，a的取值范围为 {dK3}∩{da≥-1}={d-1≤aK3}, 所以当命题p和命题q至少有一个为真命题时，a的取值范围为{dK-l或a≥3}. 17【1由原意得y=02x+80,>0,令y≤72即0.2x+80 x+5 x+5 ≤7.2，整理得x2-31x+220≤0即 (x-11)(x-20)≤0，所以解得11≤x≤20，所以设备占地面积x的取值范围为[11,20] 【21y=0.2x+80=x+5+80 -1≥2 x+5.80 -1=216-1=7, x+55x+5 5x+5 当且仅当+5.80 即x=15时等号成立，所以设备占地面积为15m2时，y的值最小 5x+5 18.(1)当a=-2时，则-2x2-3x-1>0,即2x2+3x+1<0,因式分解可得：(2x+1)+1)<0, 所以-1<x<分则不等式的解集为-1<x<-》 (2)当a=0时，则m2+(a-1)x-1>0为-x-1>0,即x<-1, 当a≠0时，则r+a-x-1>0,因式分解可得：(c-1Xx+D=ax-合(+0>0， 当a>0时，有三>-l,则此时不等式解集为xx<-1U{xx>寻， 当a<0时，ax-(x+1>0等价于(x-(+1<0, 若<-1，即-1<a<0时，不等式解集为日<x<-1}: a 试卷第3页，共4页 若后>-山，即a<-1时，不等式解集为4-1<x<引，若着-1，即a=-1时，不等式解集为空集， 综上所述，当a=0时，解集为xx<-1,当a=-1时，解集为o,当a>0时，解集为xx<-1U{xx>引， 当-1<a<0时，解集为x<x<-1小，当a<1时，解集为x-1<x<} (3)因为(ax-1)(x+1)>(2a+1)x-a,所以ax2-x+1)>2x+1, 国%-1-+0.则a 2x+1） ,则题目等价于a> 2x+1 t 4t 。4 令2x+1=1,因为≤x≤3，所以2≤t≤7，则x-x+1马-+1-+7474 2 2 由基本不等式+}≥2W厅，当且仅当1=V万时取等号，因此2x+1的最大值为，4-4+25 x2-x+1 27-4-3 ，即 a4+2万，所以实数a的取值范围为(aa>≥9 31 19.(1)因为A={3,4,57},B三A,且B是“等差集”，所以B至少含有三个元素，因为3-4=4-5,3-5=5-7， 根据等差集的定义可知B=3,4,5}或3,5,7}或{3,4,5,7} （3)若25-m)=1+m+2m-3,则m=1±13，又因为各元素为正整数，显然此时m+1eN,不符 8 题意，舍去： 若2(1+m)=5-m+22-3,则=0或m=2, 显然m=0时，2m2-3=-3EN*,舍去，而m=2时，A={1,3,5},符合题意： 若2(2-3)=5-m+1+,则m-1±2④，同上，显然此时m+1EN,不符题意，舍去： 10 综上所述：=2. (3)假设{x,x2,x,,x}是“等差集”，显然xeN*, 则存在a、b、c∈N(a<b<c),使得2x=xa+x成立，整理得2=xa-b+x-b, 易知c-b≥1，所以2>x-b≥x,则x=1,此时x=x2=…=x”=1, 与集合元素的互异性矛盾，所以假设不成立，证毕 试卷第4页，共4页