江苏省南通市2026～2027学年九年级数学上册10月学情自测卷（范围：第26～27章）

江苏省南通市九年级数学上册 10月学情自测卷 （满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题：本题共10小题，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+5 2．已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 3．在某闭合电路中，经过电路的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的数据如表所示． I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … 已知I是R的反比例函数，则表格中a的值为（　　） A．24 B．25 C．26 D．28 4．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且x1＜0＜x2，则（　　） A．y1＝y2 B．y1＝﹣y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2 5．二次函数的部分图象如图所示，当x＞0时，y的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 （第5题） （第6题） （第7题） （第8题） 6．如图，点A在函数y（x＞0）的图象上，点B在函数y（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（5，0），下列说法正确的是（　　） A．c＞0 B．4a﹣2b+c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．图象的对称轴是直线x＝2 8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 9．一次函数y＝﹣x+b（b＞0）与反比例函数y（k＞0）的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作MA⊥x轴，MB⊥y轴，垂足分别为A，B；过点N作NC⊥x轴，ND⊥y轴，垂足分别为C，D．记矩形MAOB的面积为S1，周长为C1，记矩形NCOD的面积为S2，周长为C2，下列结论正确的是（　　） A．S1＜S2，C1＜C2 B．S1＜S2，C1＞C2 C．S1＞S2，C1＜C2 D．S1＞S2，C1＞C2 10．我们规定，例如，min{1，3}＝1，min{3，﹣4}＝﹣4，如果y＝min{﹣x2+2x+3，x+1}，那么y的最大值是（　　） A．0 B．1 C．3 D．4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．函数的图象在第一、三象限内，则k的取值范围是________ ． 12．如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数的图象相交于A、B两点，AC⊥y轴于点C，连接BC，若△ABC的面积为6，则k的值为_______ ． （第9题） （第12题） （第14题） （第15题） 13．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝3m3时，p＝8000Pa．当气球内的气体压强大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________ m3． 14．如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数交于点B，将点B绕点A按逆时针方向旋转90°，其对应点C恰好在y轴上，则k的值为_______ ． 15．某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是_____ （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx的对称轴为直线x＝_____ （用含b的式子表示）；若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，b的取值范围为__________________ ． 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．本小题分 反比例函数的图象经过点A（﹣5，2）， （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点B（1，10）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． （3）当1＜x＜5时，直接写出y的取值范围． 18．本小题2分 已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表． 根据题意完成下列问题： x … ﹣1 0 1 m 3 … y … ﹣3 0 1 0 ﹣3 … （1）m＝_____ ； （2）根据如表描点画出函数图象； （3）结合图象，请直接写出，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是___________ ； （4）结合图象，请直接写出，当y≥﹣3时，x的取值范围是___________ ． 19．本小题分 一辆货车上装有40吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）． （1）求v关于t的函数解析式； （2）若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5小时，则平均每小时至少要卸货多少吨？ 20．本小题分 如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2n﹣1，6）、点B（3，3n﹣1），与x轴交于点C． （1）求n的值以及反比例函数的表达式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积； （3）直接写出关于x的不等式的解集． 21．本小题分 如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 22．本小题分 如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，BC＝8m，AB＝2m．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，抛物线顶点E到坐标原点O的距离为6m． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）如果该隧道内设双行道，现有一辆高为4.3m、宽为2.4m的货运车，这辆车能否在一侧行车道内通过？ 23．本小题分 已知二次函数y＝kx2﹣2x+1（k为常数）的图象与x轴有两个交点． （1）求k的取值范围； （2）若此二次函数图象与x轴的两个交点之间的距离为1，求k的值． 24．本小题2分 我省某化工厂2025年1月的利润为200万元，若设2025年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2025年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． （1）分别求出在新技术改造阶段（1≤x≤5）及新技术改造后（x＞5），y与x之间的函数表达式； （2）若设第3个月时该厂的利润为y1，第4个月时该厂的利润为y2，第7个月时利润为y3，则y、y2和y3的大小关系为：_____________ （用“＞”连接）； （3）当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 25．本小题2分 已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点（4，5）． （1）求该抛物线的对称轴． （2）当a＝1时，若点（m﹣2，h）在抛物线上，求h的最小值． （3）若存在实数n，当n＞0，且2﹣n≤x≤2+2n时，y的取值范围是﹣1≤y≤23，求a，n的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与试题解析 1．在平面直角坐标系中，将函数y＝（x﹣1）2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+1）2+5 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣3）2+3 D．y＝（x﹣3）2+5 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将函数y＝（x﹣1）2+4的图象向左平移2个单位长度后，所得抛物线的函数表达式为y＝（x+2﹣1）2+4＝（x+1）2+4， 再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1）2+4﹣1＝（x+1）2+3． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 2．已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 【分析】先根据抛物线解析式确定二次函数的抛物线的开口方向和对称轴，然后再根据点与对称轴越近、对应的函数值越小解答即可． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+c， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2， ∵三点为（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）， ∴与对称轴的距离分别为|﹣2﹣2|＝4，|3﹣2|＝1，|7﹣2|＝5， ∴1＜4＜5， ∴y2＞y1＞y3． 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 3．在某闭合电路中，经过电路的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的数据如表所示． I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … 已知I是R的反比例函数，则表格中a的值为（　　） A．24 B．25 C．26 D．28 【分析】根据待定系数法求解函数解析式后求解． 【解答】解：∵I是R的反比例函数，设函数解析式为R， 把（4，30）代入，得30， 解得U＝120， 故R， 把I＝5，代入，得R24（Ω）， 即a＝24， 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是正确求解反比例函数解析式． 4．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在函数的图象上，且x1＜0＜x2，则（　　） A．y1＝y2 B．y1＝﹣y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2 【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题． 【解答】解：∵函数， ∴该函数图象在第一、三象限、在每个象限内y随x的增大而减小， ∵A（x1，y1）、B（x2，y2）都在函数的图象上，且x1＜0＜x2， ∴y1＜y2， 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 5．二次函数的部分图象如图所示，当x＞0时，y的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先观察二次函数的图象，抛物线开口向上，当x＞0时，函数在y轴右侧单调递增，x＝0时 y＝3，所以x＞0时y＞3． 【解答】解：二次函数yx2+2x+3，a0，开口向上， x2， 当x＞0时，y随x增大而增大， 当x＝0，y＝3，因此x＞0时，y＞3， 选项里只有4满足y＞3， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象与增减性．熟练掌握二次函数对称轴和增减性判断是解题的关键． 6．如图，点A在函数y（x＞0）的图象上，点B在函数y（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】延长BA交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，S矩形OCBD＝3，根据四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD﹣S△ADO，即可得解． 【解答】解：延长BA交y轴于点D， ∵AB∥x轴， ∴DA⊥y轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵BC⊥x轴于点C，DB⊥y轴，点B在函数的图象上， ∴S矩形OCBD＝3， ∴四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD﹣S△ADO＝3﹣1＝2； 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关键． 7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（5，0），下列说法正确的是（　　） A．c＞0 B．4a﹣2b+c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．图象的对称轴是直线x＝2 【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：由图象可得， 图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故选项A错误，不符合题意； 当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故选项B正确，符合题意； 图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故选项C错误，不符合题意； 图象的对称轴是直线x3，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与一次函数y＝mx+n的图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上，则不等式ax2+bx﹣mx≤0的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥0 B．x≤﹣1或x≥0 C．﹣3≤x≤0 D．﹣1≤x≤0 【分析】结合图象可得答案． 【解答】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．解：∵对于二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），令x＝0，则y＝c， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与y轴的交点为（0，c）， ∵对于一次函数y＝mx+n，令x＝0，则y＝n， ∴一次函数y＝mx+n的图象与y轴的交点为（0，n）， ∵两个图象交于A，B两点，已知点A（﹣3，﹣1），点B在y轴上， c＝n． 则不等式ax2+bx﹣mx≤0可变形为ax2+bx+c﹣mx≤c，即ax2+bx+c≤mx+n， ∴由图象可得，它的解集是﹣3≤x≤0． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．一次函数y＝﹣x+b（b＞0）与反比例函数y（k＞0）的部分图象如图所示，M是它们的一个交点，N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点．过点M作MA⊥x轴，MB⊥y轴，垂足分别为A，B；过点N作NC⊥x轴，ND⊥y轴，垂足分别为C，D．记矩形MAOB的面积为S1，周长为C1，记矩形NCOD的面积为S2，周长为C2，下列结论正确的是（　　） A．S1＜S2，C1＜C2 B．S1＜S2，C1＞C2 C．S1＞S2，C1＜C2 D．S1＞S2，C1＞C2 【分析】依据由题，设点M坐标为（x1，y1），点N坐标为（x2，y2），根据点M在反比例函数图象上可得S1的值，根据点N在反比例函数图象上方可得S2与S1的关系；根据点M在一次函数图象上可得C1的值，根据点N在一次函数图象下方可得C2与C1的关系． 【解答】解：由题意，设M（x1，y1），N（x2，y2）， ∵点M在反比例函数图象上， ∴x1y1＝k， ∴S1＝x1y1＝k， ∵点N在反比例函数图象的上方， ∴，即x2y2＞k， ∴S2＝x2y2＞k， ∴S1＜S2， ∵点M在一次函数y＝﹣x+b图象上， ∴．y1＝﹣x1+b，即x1+y1＝b， ∵矩形MAOB， ∴OB＝MA，BM＝OA， ∴C1＝2（x1+y1）＝2b， ∵点N在一次函数图象的下方， ∴y2＜﹣x2+b，即x2+y2＜b， ∵矩形NCOD， ∴DN＝OC，CN＝OD， ∴C2＝2（x2+y2）＜2b， ∴C1＞C2， 综上所述，S1＜S2，C1＞C2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． 10．我们规定，例如，min{1，3}＝1，min{3，﹣4}＝﹣4，如果y＝min{﹣x2+2x+3，x+1}，那么y的最大值是（　　） A．0 B．1 C．3 D．4 【分析】观察图象结合函数y＝min{﹣x2+2x+3，x+1}的意义可得函数在x＝2时取得最大值，据此解答． 【解答】解：在同一坐标系中画出函数y＝﹣x2+2x+3和y＝x+1的图象，如图， 结合图象，可得函数y＝min{﹣x2+2x+3，x+1}的最大值是3． 故选：C． 【点评】此题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形结合是解决此题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．函数的图象在第一、三象限内，则k的取值范围是k＞2　 ． 【分析】根据反比例函数的性质：反比例函数的图象在第一、三象限内，则可知k﹣2＞0，解得k的取值范围即可． 【解答】解：∵函数的图象在第一、三象限内， ∴k﹣2＞0， 解得k＞2； 故答案为：k＞2． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，双曲线的两个分支在一，三象限，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两个分支在二，四象限，y随x的增大而增大． 12．如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数的图象相交于A、B两点，AC⊥y轴于点C，连接BC，若△ABC的面积为6，则k的值为　﹣6　 ． 【分析】由正比例函数y＝﹣x与反比例函数的图象相交于A、B两点，则点A与点B关于原点对称，所以S△AOC＝S△BOC，根据反比例函数比例系数k的几何意义结合△ABC的面积为6，即可解答． 【解答】解：由条件可知点A与点B关于原点对称， ∴S△AOC＝S△BOC， ∵AC⊥y轴于点C， ∴△ABC的面积， 解得k＝±6， ∵反比例函数的图象位于二、四象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 13．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p（Pa）是气球体积V（m3）的反比例函数，且当V＝3m3时，p＝8000Pa．当气球内的气体压强大于40000Pa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于　0.6　 m3． 【分析】待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质进行求解即可． 【解答】解：设， ∵V＝3m3时，p＝8000Pa， ∴k＝pV＝24000， ∴， ∵k＝24000＞0， ∴V＞0时，P随着V的增大而减小， 当p＝40000Pa时，V＝0.6m3， ∴当V≥0.6m3时，p≤40000Pa， 即为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于0.6m3； 故答案为：0.6． 【点评】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质，进行求解，是解题的关键． 14．如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数交于点B，将点B绕点A按逆时针方向旋转90°，其对应点C恰好在y轴上，则k的值为　48　 ． 【分析】如图，作BF⊥x轴，垂足为F，直线AB交y轴于点E，易得OA＝4，OE＝2，求AC解析式y=-2x+8得C(0,8)，再证明△AOC≌△BFA（AAS），求出AF＝OC＝8，BF＝OA＝4，继而得到点B的坐标，计算出k值即可． 【解答】解：如图，作BF⊥x轴，垂足为F，直线AB交y轴于点E， 在直线中，当y＝0时，x＝4，当x＝0时，y＝﹣2， ∴A（4，0），E（0，﹣2）， ∴OA＝4，OE＝2 设AC为y=-2x+b，把A（4，0）代入，得b=8 ∴AC为y=-2x+8 ∴OC＝8， 在△AOC和△BFA中， ， ∴△AOC≌△BFA（AAS）， ∴AF＝OC＝8，BF＝OA＝4， ∴B（12，4）， ∴k＝48． 故答案为：48． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、三角形相似的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 15．某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是　丙　 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【解答】解：用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，则： 描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲（x1，y1）、乙（x2，y2）、丙（x3，y3）、丁（x4，y4）， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于（x1，y′1），过丙点作y轴平行线交反比例函数于（x3，y′3），如图所示： 由图可知y′1＞y1，y′3＜y3， ∴（x1，y′1）、乙（x2，y2）、（x3，y′3）、丁（x4，y4）在反比例函数图象上， 根据题意可知xy＝优秀人数， ①x2y2＝k＝x4y4，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ②x1y1＜x1y′1＝k，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ③x3y3＞x3y′3＝k，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数＜乙学校优秀人数＝丁学校优秀人数＜丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 【点评】本题考查了求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数，用反比例函数描述数量关系，比较反比例函数值或自变量的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx的对称轴为直线x＝b （用含b的式子表示）；若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，b的取值范围为　﹣2＜b＜﹣1或1＜b＜2　 ． 【分析】第一空利用二次函数对称轴公式计算即可；第二空将两点坐标代入抛物线解析式得到y1，y2，再根据y1•y2＜0解不等式得到b的取值范围． 【解答】解：∵二次函数的二次项系数a＝1，一次项系数为﹣2b， ∴对称轴为直线； 将A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2）代入y＝x2﹣2bx， 得，， 整理得： ，， ∵y1•y2＜0， ∴（1﹣b2）（4﹣b2）＜0， 变形得（b2﹣1）（b2﹣4）＜0， 即（b﹣1）（b+1）（b﹣2）（b+2）＜0． 将四个因式按大小排列为：（b﹣2）＜（b﹣1）＜（b+1）＜（b+2）， 分情况讨论： 当四个因式中只有一个负数时， ，解得1＜b＜2； 当四个因式中三个负数一个正数时， ，解得﹣2＜b＜﹣1； 因此b的取值范围是﹣2＜b＜﹣1或1＜b＜2． 故答案为：b；﹣2＜b＜﹣1或1＜b＜2． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 三．解答题（共9小题） 17．反比例函数的图象经过点A（﹣5，2）， （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点B（1，10）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． （3）当1＜x＜5时，直接写出y的取值范围． 【分析】（1）代入A（﹣5，2）到，求出k的值即可； （2）代入x＝1到反比例函数解析式，求出对应y的值即可判断； （3）根据反比例函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点A（﹣5，2）， ∴， 解得k＝﹣10， ∴这个函数的解析式为； （2）不在，理由如下： 当x＝1时，， ∴点B（1，10）不在这个反比例函数的图象上； （3）∵﹣10＜0， ∴在每一个象限内y随x的增大而增大， 当x＝1时，；当x＝5时，； ∴当1＜x＜5时，y的取值范围为﹣10＜y＜﹣2． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，熟知以上知识是解题的关键． 18．已知，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表． 根据题意完成下列问题： x … ﹣1 0 1 m 3 … y … ﹣3 0 1 0 ﹣3 … （1）m＝　2　 ； （2）根据如表描点画出函数图象； （3）结合图象，请直接写出，当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是　﹣3＜y≤1　 ； （4）结合图象，请直接写出，当y≥﹣3时，x的取值范围是　﹣1≤x≤3　 ． 【解答】解：（1）由题意得﹣1+3＝0+m， ∴m＝2， 故答案为：2； （2）如图所示， （3）当﹣1＜x＜2时，y的取值范围是﹣3＜y≤1； 故答案为：﹣3＜y≤1； （4）当y≥﹣3时，x的取值范围是﹣1≤x≤3， 故答案为：﹣1≤x≤3． 【点评】本题考查的是二次函数图象的作图，待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的图象与性质，解题的关键是数形结合的思想． 19．一辆货车上装有40吨货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）． （1）求v关于t的函数解析式； （2）若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5小时，则平均每小时至少要卸货多少吨？ 【分析】（1）根据平均卸货速度＝货物总量÷卸完这批货物所需的时间计算即可； （2）根据反比例函数的增减性计算即可． 【解答】解：（1）v， ∴v关于t的函数解析式为v． （2）∵40＞0， ∴v随t的增大而减小， 当t＝5时，v最小8． 答：平均每小时至少要卸货8吨． 【点评】本题考查反比例函数的应用，根据平均卸货速度＝货物总量÷卸完这批货物所需的时间写出v关于t的函数解析式、掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 20．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（2n﹣1，6）、点B（3，3n﹣1），与x轴交于点C． （1）求n的值以及反比例函数的表达式； （2）连接OA，OB，求△AOB的面积； （3）直接写出关于x的不等式的解集． 【分析】（1）将点A（2n﹣1，6）、点B（3，3n﹣1）代入，即可求出m、n的值，得出结果； （2）过点A作AE⊥y轴，过点B作BF⊥x轴，延长EA、FB交于点D，通过S△AOB＝SEOFD﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△ABD即可得出结果； （3）根据函数图象可得出结果． 【解答】解：（1）由条件可知， 解得， 故n的值为1，反比例函数的表达式为． （2）由条件可知2n﹣1＝1，3n﹣1＝2， ∴A（1，6）、点B（3，2）， 过点A作AE⊥y轴，过点B作BF⊥x轴，延长EA、FB交于点D，如下图所示： 由条件可知AE＝1，AD＝2，BC＝2，BD＝4， 且， ∴． （3）观察图象，在x＞0的范围内， 若， 即反比例函数的图象应在一次函数图象上方， 故0＜x＜1或3＜x． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 21．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【分析】（1）落地即h＝0，由题意得：0＝20t﹣5t2，即可解得t的取值； （2）将函数解析式配方成顶点式可得最值． 【解答】解：（1）由题意得：0＝20t﹣5t2， 解得：t1＝0（不合题意舍去），t2＝4， 答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s． （2）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20， ∴当t＝2时，h取得最大值20m； 答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的最值问题以及利用二次函数图象求不等式是解题的关键． 22．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，BC＝8m，AB＝2m．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，抛物线顶点E到坐标原点O的距离为6m． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）如果该隧道内设双行道，现有一辆高为4.3m、宽为2.4m的货运车，这辆车能否在一侧行车道内通过？ 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：点D（4，2），顶点E（0，6）， ∴此抛物线对应的函数表达式为：y＝ax2+6， 把D（4，2）代入y＝ax2+6中得：2＝16a+6， 解得：a， ∴此抛物线对应的函数表达式为：yx2+6； （2）这辆车能在一侧行车道内通过， 理由：当x＝2.4时，y2.42+6＝4.56＞4.3， ∴这辆车能在一侧行车道内通过． 【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 23．已知二次函数y＝kx2﹣2x+1（k为常数）的图象与x轴有两个交点． （1）求k的取值范围； （2）若此二次函数图象与x轴的两个交点之间的距离为1，求k的值． 【分析】（1）由y＝kx2﹣2x+1是二次函数解析式可得k≠0，再由二次函数的图象与x轴有两个交点可得Δ＞0，即可求出k的取值范围； （2）设二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），由x2﹣x1＝1和根与系数的关系即可求解． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝kx2﹣2x+1（k为常数）的图象与x轴有两个交点， ∴Δ＞0，且k≠0， ∴（﹣2）2﹣4k＞0，且k≠0， 解得：k＜1且k≠0． （2）设二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2）， ∴x1，x2为kx2﹣2x+1＝0（k≠0）的两个根， ∴，， ∵二次函数图象与x轴的两个交点之间的距离为1， ∴x2﹣x1＝1， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 【点评】本题主要考查二次函数与系数的关系，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 24．我省某化工厂2025年1月的利润为200万元，若设2025年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2025年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． （1）分别求出在新技术改造阶段（1≤x≤5）及新技术改造后（x＞5），y与x之间的函数表达式； （2）若设第3个月时该厂的利润为y1，第4个月时该厂的利润为y2，第7个月时利润为y3，则y、y2和y3的大小关系为：y3＞y1＞y2 （用“＞”连接）； （3）当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出x＝3、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用y＝200分别得出x的值，进而得出答案． 【解答】解：（1）当1≤x≤5时，可得：k＝200， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当x＞5时，将x＝5代入得：y＝40，则y＝40+20（x﹣5）＝20x﹣60， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：y＝20x﹣60． （2）当x＝3时，则， 当x＝4时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当x＝7时，该厂的利润在一次函数y＝20x﹣60上， ∴y3＝20x﹣60＝80， ∴y3＞y1＞y2， 故答案为：y3＞y1＞y2． （3）对于，当y＝100时，x＝2， 对于y＝20x﹣60，当y＝100时，x＝8， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． 25．已知抛物线y＝ax2+bx+5经过点（4，5）． （1）求该抛物线的对称轴． （2）当a＝1时，若点（m﹣2，h）在抛物线上，求h的最小值． （3）若存在实数n，当n＞0，且2﹣n≤x≤2+2n时，y的取值范围是﹣1≤y≤23，求a，n的值． 【分析】（1）把（4，5）代入一般式y＝ax2+bx+5得16a+4b＝0，从而b＝﹣4a，再用对称轴公式算得x＝2； （2）当a＝1时b＝﹣4，得具体抛物线；把点（m﹣2，h）代入，令t＝m﹣2后配方为h＝（t﹣2）2+1＝（m﹣4）2+1，由平方非负性得最小值1； （3）先化为顶点式y＝a（x﹣2）2+5﹣4a，顶点（2，5﹣4a）．2﹣n≤x≤2+2n包含对称轴x＝2，且右端点离x＝2更远，故最值只在顶点或右端点x＝2+2n处取到．须按a＞0（顶点最小、右端最大）与a＜0（顶点最大、右端最小）两类讨论，分别令最值等于题给的﹣1与23，解出两组（a，n）； 【解答】解：（1）把点（4，5）代入y＝ax2+bx+5， 可得5＝16a+4b+5⇒16a+4b＝0⇒b＝﹣4a， 对称轴为， ； （2）当a＝1时，b＝﹣4， 所以抛物线为y＝x2﹣4x+5， 点（m﹣2，h）在抛物线上， 则h＝（m﹣2）2﹣4（m﹣2）+5， 令t＝m﹣2， h＝t2﹣4t+5＝（t﹣2）2+1＝（m﹣4）2+1≥1， 当m＝4时等号成立， 故； （3）由b＝﹣4a， 把抛物线配方为顶点式：y＝ax2﹣4ax+5＝a（x﹣2）2+5﹣4a 对称轴x＝2，顶点纵坐标为5﹣4a， 2﹣n≤x≤2+2n包含x＝2，且两个端点到对称轴的距离分别为n与2n（右端点更远）， 情形一：a＞0， 顶点是最低点， 故最小值在x＝2处： ， 当x＝2+2n时，y＝a（2n）2+5﹣4a＝4an2+5﹣4a， 将，y＝23代入上式， 所以6n2﹣1＝23⇒n2＝4⇒n＝2， 情形二：a＜0， 顶点是最高点，故最大值在x＝2处：， 当x＝2+2n时，y＝4an2+5﹣4a， 将，y＝﹣1代入上式， ． 综上所述，或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $江苏省南通市九年级数学上册10月学情自测卷 (满分150分考试时间120分钟) 一、选择题：本题共10小题，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在平面直角坐标系中，将函数y=(x-1)2+4的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位 长度，所得抛物线对应的函数表达式为() A.y=(x+1)2+5 B.y=(x+1)2+3 C.y=(x-3)243 D.y=(x-3)2+5 2.已知点(-2，y1),（3,y2),(7,y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c的图象上，则y1,2,y的大 小关系是() A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>2>y1 3.在某闭合电路中，经过电路的电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的数据如表所示. IA 4 5 6 … R/O 30 a 20 ) 己知I是R的反比例函数，则表格中α的值为( A.24 B.25 C.26 D.28 4.若点A(x1,),B(2,归)都在函数=2025的图象上，且1<0<0，则() A.y1=2 B.y1=-y2 C.y1<y2 D.yi>y2 5.二次函数y=7x2+2x+3的部分图象如图所示，当x>0时，y的值可以是() A.1 B.2 C.3 D.4 B y=ax2+bx+c B y=mxn A (第5题) (第6题) (第7题) (第8题) 6.如图，点A在函数=是(x>0)的图象上，点B在函数=是(x>0)的图象上，且AB∥x轴，BCL 轴于点C,则四边形ABCO的面积为() 第1页（共6页） A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0)、B(5,0),下列说法正确的是() A.c>0 B.4a-2bc<0 C.b2-4ac<0 D.图象的对称轴是直线x=2 8.如图，二次函数y=ax+bx+c(a>0)与一次函数y=x+n的图象交于A,B两点，己知点A(-3,- 1),点B在y轴上，则不等式ax+br-mx≤0的解集是() A.x≤-3或x≥0B.x≤-1或x≥0C.-3≤x≤0 D.-1≤x≤0 9.一次函数y=x+b(b>0)与反比例函数=货(k>0)的部分图象如图所示，M是它们的一个交点， N是它们所围成的区域（不含边界）内的一点，过点M作MA⊥x轴，MB⊥y轴，垂足分别为A,B: 过点N作NCLx轴，ND⊥y轴，垂足分别为C,D.记矩形MAOB的面积为S1,周长为C1,记矩形 NCOD的面积为S,周长为C2,下列结论正确的是() A.S1<S2,C1<C2 B.S1<S,C1>C2 C.S1>S2,C1<C2 D.S1>,C1>C2 a(a≤b) 10.我们规定minfa,)=ba>0,例，如mi1,3)=1.mi3.-4=4,如果y=mi(-+2+3, x+1},那么y的最大值是() A.0 B.1 C.3 D.4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.函数y=-的图象在第一、三象限内，则k的取值范围是 12.如图，正比例函数y=-x与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，ACLy轴于点C,连接BC, 若△ABC的面积为6，则k的值为 M 丙 D OA C (第9题) (第12题) (第14题) (第15题) 13.某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3) 的反比例函数，且当V=3m3时，p=8000Pa.当气球内的气体压强大于40000Pa时，气球将爆炸，为 第2页（共6页） 确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 m23 14.如图，直线y=x-2与x轴交于点A,与反比例函数y=(k>0,x>0)交于点B,将点B绕点A 按逆时针方向旋转90°，其对应点C恰好在y轴上，则k的值为 15.某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率 (该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学 校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是 (填“甲”“乙”“丙”或“丁”)， 16.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2bx的对称轴为直线x= (用含b的式子表示)；若 抛物线上存在两点A(b-1,y1)和B(b+2,y2),当y12<0时，b的取值范围为 三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题10分) 反比例函数y=的图象经过点A(-5,2), (1)求这个函数的解析式： (2)请判断点B(1,10)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由. (3)当1<x<5时，直接写出y的取值范围 18.(本小题12分) 已知，二次函数y=+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如表 根据题意完成下列问题： -1 0 1 它 2 -3 0 1 0 -3 (1)= (2)根据如表描点画出函数图象： (3)结合图象，请直接写出，当-1<x<2时，y的取值范围是 (4)结合图象，请直接写出，当y≥-3时，x的取值范围是 第3页（共6页） 19.(本小题10分) 一辆货车上装有40吨货物，货车到达目的地后开始卸货.设平均卸货速度为v(单位：吨/小时)，卸完这 批货物所需的时间为t(单位：小时). (1)求v关于t的函数解析式： (2)若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5小时，则平均每小时至少要卸货多少吨？ 20.(本小题10分) 如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=受(x>0)的图象交于点A(21-1,6)、点B(3,3n -1),与x轴交于点C. (1)求n的值以及反比例函数的表达式； (2)连接OA,OB,求△AOB的面积； (3)直接写出关于x的不等式”>kx+b的解集」 光 21.(本小题10分) 如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h=20t-5tP, 请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 第4页（共6页） 22.(本小题10分) 如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，BC=8L,AB=2L.以BC所在的直线为x轴，线 段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，抛物线顶点E到坐标原点 O的距离为6. (1)求此抛物线对应的函数表达式： (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆高为4.3、宽为2.4的货运车，这辆车能否在一侧行车道内 通过？ 本y/m 6E 4 D B C -4-20 24x/m 23.(本小题10分) 已知二次函数y=2-2x+1(k为常数)的图象与x轴有两个交点. (1)求k的取值范围； (2)若此二次函数图象与x轴的两个交点之间的距离为1，求k的值. 24.(本小题12分) 我省某化工厂2025年1月的利润为200万元，若设2025年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元： 由于污染问题，该厂决定从2025年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造.从1月底到5月， y与x成反比例关系.到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加 20万元（如图). 第5页（共6页） (1)分别求出在新技术改造阶段(1≤x≤5)及新技术改造后(x>5),y与x之间的函数表达式： (2)若设第3个月时该厂的利润为y1,第4个月时该厂的利润为y2,第7个月时利润为3，则y、y2 和y3的大小关系为： (用“>”连接)： (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ y/万元 200 立月 25.(本小题12分) 己知抛物线y=m+bx+5经过点(4,5). (1)求该抛物线的对称轴. (2)当a=1时，若点（-2，h)在抛物线上，求h的最小值. (3)若存在实数，当n>0,且2-n≤x≤2+2m时，y的取值范围是-1≤y≤23，求a,n的值. 第6页（共6页）