2.2 基本不等式的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

基本不等式的应用 第二章 2.2　基本不等式 索引 1.进一步熟练掌握基本不等式. 2.能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小、求参等问题. 3.能够利用基本不等式解决实际问题. 学习目标 课时精练 一、利用基本不等式证明不等式 二、利用基本不等式求参数的值(范围) 课堂达标 内容索引 三、基本不等式在实际生活中的应用 利用基本不等式证明不等式 一 (链接教材P49习题2.2T4)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1, 求证:≥8. 例1 因为a,b,c均为正实数,a+b+c=1, 所以-1==≥, 同理-1≥,-1≥. 上述三个不等式两边均为正,分别相乘, 5 得≥··=8, 当且仅当a=b=c=时,等号成立. 故≥8. 若本例的题设条件不变,试证明:++≥9. 迁移 ++=++=3+++≥3+2+2+2=9, 当且仅当a=b=c=时,等号成立. 7 1.借助基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必有“和式”或“积式”,然后利用不等式的性质与基本不等式进行转化,达到放缩的效果. 2.注意事项:(1)多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立; (2)巧用“1”的代换证明不等式;(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,创造使用基本不等式的条件再使用. 思维升华 8 已知a,b,c为不全相等的正实数, 求证:a+b+c>++. 训练1 因为a>0,b>0,c>0, 所以a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2. 所以2(a+b+c)≥2(++), 即a+b+c≥++. 由于a,b,c为不全相等的正实数, 故等号不成立,所以a+b+c>++. 9 利用基本不等式求参数的值(范围) 二 10 例2 已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值等于 A.10 B.9 C.8 D.7 √ 因为a>0,b>0,所以2a+b>0,所以要使+≥恒成立, 只需m≤(2a+b)恒成立,又(2a+b)=4+++1≥5+4=9, 当且仅当a=b时,等号成立,所以m≤9. 故实数m的最大值为9. 11 思维升华 求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数,转化为求代数式的最值问题. (2)观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而求得参数的值或取值范围. (3)注意等号的取舍,防止失误. 12 若两个正实数x,y满足+=1,并且x+2y>4+2m恒成立,则实数m的取值范围是____________.  训练2 {m|m<2} ∵x>0,y>0,且+=1, ∴x+2y=(x+2y)=2+++2≥4+2=8, 当且仅当=,即x=4,y=2时等号成立. 由x+2y>4+2m恒成立,可知4+2m<8,解得m<2. 13 基本不等式在实际生活中的应用 三 14 (链接教材P46例3)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米,如图所示. 例3 设休闲区的宽为a米,则长为ax米, 由a2x=4 000,得a=. 则y=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4 000+(8x+20)·+160 =80+4 160(x>1). (1)若设休闲区的长和宽的比=x(x>1),求公园ABCD所占的面积y关于x的函数的解析式; (2)要使公园所占面积最小,则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计? 80+4 160≥80×2+4 160 =1 600+4 160=5 760. 当且仅当2=,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,ax=100. 所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米. 16 思维升华 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意,设变量,并理解变量的实际意义; (2)构造定值,利用基本不等式求最值; (3)检验,检验等号成立的条件是否满足题意; (4)给出结论,回答实际问题. 4 如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=4米,AD=3米,当BM=____________米时,矩形花坛AMPN的面积最小.  训练3 设BM=x(x>0),则由DC∥AM得=,解得ND=, ∴矩形AMPN的面积为S=(4+x)=24+3x+≥24+2=48, 当且仅当3x=,即x=4时等号成立. 18 【课堂达标】 1.用一段长为8的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的最大面积为 A.9 B.16 C.4 D.5 √ 设矩形模型的长和宽分别为x,y, 则x>0,y>0, 由题意可得2(x+y)=8,所以x+y=4. 所以矩形模型的面积S=xy≤==4,当且仅当x=y=2时取等号, 所以当矩形模型的长和宽都为2时,面积最大,为4. 2 3 4 1 2.某工厂生产某种产品,第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则 A.x= B.x≤ C.x> D.x≥ √ 由题意得,A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,则(1+a)(1+b)=(1+x)2, 因为(1+a)(1+b)≤,所以1+x≤=1+, 所以x≤,当且仅当a=b时取等号. 2 3 4 1 3.已知a>0,b>0,+=,若不等式2a+b≥9m恒成立,则m的最大值为 A.8 B.7 C.6 D.5 √ 由已知,可得6=1, ∴2a+b=6×(2a+b)=6≥6×(5+4)=54, 当且仅当=,即a=b=18时等号成立, ∴9m≤54,即m≤6. 2 3 4 1 4.已知a>b>c,证明:≤. ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0. ∴=≥, 当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时取等号. 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.若直角三角形的面积为18,则两条直角边的和的最小值是 A.3 B.6 C.6 D.12 设直角三角形的两直角边分别为a,b, 因为直角三角形的面积为18,即ab=36, 所以两条直角边的和a+b≥2=12, 当且仅当a=b=6时取等号, 所以两条直角边的和的最小值是12. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.汽车上坡时的速度为a,原路返回时的速度为b,且0<a<b,则汽车全程的平均速度比a,b的平均值 A.大 B.小 C.相等 D.不能确定 令单程为s,则上坡时间为t1=,下坡时间为t2=,平均速度为==<<. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.制作一个面积为2 m2,形状为直角三角形的铁支架框,有下列四种长度的铁管供选择,较经济(够用,又耗材最少)的是 A.6.2 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m 设两直角边的长度分别为a,b,a>0,b>0,则ab=4, 铁支架框的周长l=a+b+≥2+=4+2≈6.828, 当且仅当a=b=2时取等号.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为900元,若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品 A.30件 B.60件 C.80件 D.100件 设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元, 则y==+≥2=30, 当且仅当=,即x=60时等号成立, 故每批应生产产品60件.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.已知a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是 A.a+b+≥2 B.(a+b)≥4 C.≥2 D.> a+b+≥2+≥2,A成立.(a+b)=2++≥2+2=4,B成立. 由a>0,b>0,则a2+b2≥2ab>0, ∴≥=2,则C成立. 当a=b=1时,=1=,知D不成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.(多选)已知某出租车司机为升级服务水平,购入了一辆豪华轿车投入运营,据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(单位:万元)与运营年数x的关系为y=-x2+12x-25,则下列判断正确的是 A.车辆运营年数越多,收入越高 B.车辆在第6年时,总收入最高 C.车辆在前5年的平均收入最高 D.车辆每年都能盈利 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 由题意,y=-x2+12x-25的图象是开口向下的抛物线,故A错误; 对称轴x=6,故B正确; =-x+12-=-+12≤-2+12=2,当且仅当x=5时,等号成立,故C正确; 当x=1时,y=-14,故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.已知a>0,b>0,且ab=1,不等式++≥4恒成立,则正实数m的取值范围是 A.{m|m≥2} B.{m|m≥4} C.{m|m≥6} D.{m|m≥8} √ 由题设得m≥4(a+b)-(a+b)=4(a+b)-(a+b)2恒成立, 而4(a+b)-(a+b)2=4-(a+b-2)2,又a+b≥2=2, 当且仅当a=b=1时等号成立,所以4(a+b)-(a+b)2≤4, 当且仅当a=b=1时等号成立, 故m≥4.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:mg/L)随时间t(单位:h)的变化关系为C=,则经过____________h后,池水中该药品的浓度达到最大.  2 C==. 因为t>0,所以t+≥2=4, 当且仅当t=,即t=2时等号成立. 所以C=≤=5, 故当t=2时,C取得最大值. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.若对∀x>-1,不等式x+-1≥a恒成立,则实数a的取值范围是____________.  {a|a≤0} 因为x>-1,所以x+1>0, 则x+-1=x+1+-2≥2-2=2-2=0, 当且仅当x+1=,即x=0时等号成立, 由题意可得a≤=0,即a≤0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.从等腰直角三角形纸片ABC上,剪下如图所示的两个正方形,其中BC=2,∠A=90°,则这两个正方形的面积之和的最小值为____________.  设两个正方形边长分别为a,b, 则由∠B=∠C=45°可得a+b=BC=1, 且<a<,<b<.S=a2+b2≥2×=, 当且仅当a=b=时取等号. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.已知a,b,c>0,求证:++≥a+b+c. ∵a,b,c>0,∴由基本不等式得+b≥2a, 同理+c≥2b,+a≥2c, ∴+++a+b+c≥2(a+b+c), 故++≥a+b+c, 当且仅当a=b=c时,等号成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.中国南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”,即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a=6,b+c=8,则此三角形面积的最大值为 A.3 B.8 C.4 D.9 √ 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 由题意p=7,S==≤·=3, 当且仅当7-b=7-c,即b=c=4时,等号成立, 此三角形面积的最大值为3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.某公司租地建仓库,每月土地费用与仓库到车站距离成反比,而每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库,则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在离车站____________km处.  5 设仓库到车站的距离为x,每月土地费用为y1,每月货物的运输费用为y2, 由题意可设y1=,y2=k2x, 把x=10,y1=2与x=10,y2=8分别代入上式得k1=20,k2=,∴y1=,y2=x, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 则两项费用之和为y=y1+y2=+≥2×4=8, 当且仅当x=,即x=5时等号成立. 故当仓库建在离车站5 km处时两项费用之和最小. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.已知正实数a,b满足a+2b+5=ab,且不等式≥恒成立,求实数m的取值范围. 因为正实数a,b满足a+2b+5=ab,≥, 所以m≥=-=-(2a+b), 而(2a+b)=++10≥2+10=18, 当且仅当=,即a=b=时取等号,所以-(2a+b)≤-18, 所以实数m的取值范围为{m|m≥-18}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.(多选)如图,4个长为a,宽为b的长方形,拼成一个正方形ABCD,中间围成一个小正方形A1B1C1D1,则以下说法正确的是 √ A.(a+b)2≥4ab B.当a=b时,A1,B1,C1,D1四点重合 C.(a-b)2≤4ab D.(a+b)2>(a-b)2 √ √ 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和,即有(a+b)2≥4ab; 正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2, 结合图形可知(a+b)2>(a-b)2,且当a=b时A1,B1,C1,D1四点重合, 但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定.因此C选项错误.故选ABD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.一家黄金专卖店使用一架两臂不等长的天平称黄金,其中左臂长和右臂长之比为λ(λ≠1),一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g砝码放在天 平右盘中,然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡,最后将两次称得的黄金交给顾客. (1)试分析顾客购得的黄金是小于10 g,等于10 g,还是大于10 g?为什么? 设天平左臂长为m,右臂长为n,第一次放的黄金为x g,第二次为y g. 则5m=xn,my=5n,得x=,y=,所以x+y=+≥2=10, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 当且仅当=, 即m=n时取等号, 又m≠n,所以x+y>10, 因此顾客购得的黄金大于10 g. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)如果售货员又将10 g的砝码放在天平左盘中,然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡,请问要使得三次黄金质量总和最小,商家应该将左臂长和右臂长之比λ设置为多少?请说明理由. 设第三次放的黄金为z g,则10m=zn(杠杆原理),代入=, 可得2x=z,故三次黄金质量总和为x+y+z=3x+y≥2=10, 当且仅当3x=y,即x=,y=5时取等号, 此时λ===,因此当λ=时,三次黄金质量总和最小. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $