2.2 基本不等式（第1课时 基本不等式的概念及其应用(一)）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式，以赵爽弦图情境导入，引导学生从几何图形中发现重要不等式，再通过变量替换推导基本不等式，搭建从具体到抽象、从几何到代数的学习支架。 其亮点在于融合逻辑推理与数学运算，通过作差法、分析法等证明培养推理能力，结合圆的几何解释深化理解，总结“一正二定三相等”规范运算。学生能提升探究与解题能力，教师可高效落实核心素养教学。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 课时1 基本不等式的概念及其应用（一） 1 学习目标 1.掌握基本不等式及其推导过程.（逻辑推理） 2.能熟练运用基本不等式比较两个实数的大小.（数学运算） 3.能初步运用基本不等式进行证明和求最值.（数学运算） 2 左图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 探究1：重要不等式 (1)正方形ABCD的面积S=________； 四个直角三角形的面积和S' =_____; (2) S与S’有什么样的不等关系，如何表示？ （3）S与S’会出现相等的情况吗，什么时候相等？ 若设直角三角形的两直角边分别为a,b，则 S大于S'，即 A B C D E(FGH) 当a=b时，S=S'，即 A B C D E F G H a b 当a=b时 综上，当且仅当时， 【问题】 ：如何证明重要不等式？ 证明： 重要不等式： 一般地，，我们有 当且仅当a=b 时，等号成立. 例1 已知，，，求证： . 观察不等式和与积的特征，利用重要不等式证明. [解析] 由重要不等式可得 ， 同理，， ， ， 从而，当且仅当 时，等号成立. 6 巩固训练 已知，求证： ． [解析] （法一）利用 ． ，,当且仅当 时，等号成立． （法二），当且仅当 时，等 号成立， . 方法总结 用重要不等式证明不等式时，应先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形， 使之具备重要不等式的结构和条件，然后合理地选择重要不等式进行证明. 8 探究2：基本不等式 如果a>0, b>0, 我们用分别代替a,b,可得到什么结论呢？ 由a2+b2≥2ab 可以得到 ②（基本不等式） 当且仅当时，等号成立 等号成立条件 几何平均数 算术平均数 前提 条件 即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 认识新知 基本不等式是在重要不等式基础上转化出来的， 是否对所有的a>0，b>0都能成立？ 请给出证明． 问题3 认识新知 活动一：同学们小组合作讨论，尝试运用已有知识推导 基本不等式 (a>0, b>0) . 方法一　(作差法) 方法二　(性质法) 认识新知 基本不等式的证明 方法一　(作差法) ≤ (a>0, b>0) 的证明： ∵ - = = ≥0 ∴ (当a=b时取等号) 探究新知 证明： （当且仅当a=b时，等号成立） 思考：我们是否还可以用其他方法证明基本不等式？ 证明： 要证 当且仅当a=b时，不等式中的等号成立． 只要证 只要证 只要证 显然成立. 所以原不等式成立． 分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使其成立的充分条件的证明方法叫分析法； 综合法：把这种从已知出发进行推证的方法叫综合法. 该证明方法称为分析法“执果索因” 当且仅当a=b时等号成立. 证明： 综合法“由因导果” 探究新知 问题4： 初中对乘法公式中的字母赋予几何意义，对乘法公式进行几何解释，从图形 角度理解乘法公式。能否类比以上过程，尝试对基本不等式中的字母赋予几何意义，对基本不等式进行几何解释？ AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC= a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. 1.何用a, b表示圆的半径OD? 2.如何用a, b表示圆的弦CD? 3.OD与CD的大小关系如何? 2.在直角三角形中： 斜边上的中线大于 等于斜边上的高 4.能从图中解释基本不等式等号成立的条件吗？ 1.圆中：半径大于等于半弦 2.在直角三角形中：斜边上 的中线大于等于斜边上的高 例2 判断下列推导过程是否正确. （1），， . （2），，， ． [解析] （1）因为，，当 时不符合基本不等式的使用条件，所以（1） 的推导是错误的． （2）由，知，均为负数，在推导过程中，将其转变为正数， 后，符合 基本不等式的使用条件，故（2）的推导正确． 16 方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件： （1）（，同号），当且仅当 时取等号； （2）（，异号），当且仅当 时取等号. 巩固训练1 在不等式 中，等号成立的条件是( ) . C A. B. C. D. [解析] ， 当且仅当，即 时，等 号成立. 17 巩固训练2 已知，，且 ，则下列结论恒成立的是( ) . D A. B. C. D. [解析] 对于A，当时，，A错误；对于B，C，只能说明 ， 同号，当，都小于0时，B，C错误；对于D，因为，所以， ，所 以，当且仅当时，等号成立，即 恒成立，D正确.故选D. 18 例3 已知，求的最小值. 解： 当且仅当，即1时，等号成立 的最小值为2. 一正 二定 三相等 探究3 基本不等式的简单应用 若x<0，结果如何？ 变式3-1 已知，求的最大值. 解：， 当且仅当，即时，等号成立 的最大值为. 一正 二定 三相等 方法总结 利用基本不等式求最值时，必须按照“一正，二定，三相等”的原则进行，即 ①一正：符合基本不等式 <m></m> 成立的前提条件 <m></m> . ②二定：化不等式的一边为定值. ③三相等：必须存在取“=”的条件，即“=”成立. 以上三点缺一不可. 思考：（1）把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 探究四：基本不等式求最值 总结归纳：已知x,y都是正数. 和定积最大，积定和最小 2.基本不等式的变形 （1） <m></m> ； （2） <m></m> （ <m></m> ， <m></m> 均为正实数）. 24 拓展：基本不等式链 调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数 新知运用 1、利用基本不等式求最值----配凑法 例1 （1）已知 <m>，求 <m></m> 的最小值； （2）已知 <m></m> ，求 <m></m> 的最大值； 26 27 新知运用 2、利用基本不等式求最值----裂项 28 29 练习2 （1）已知x>0，则函数 的最小值为_______. 30 方法总结 利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式求最值，关键是通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见 的变形方法有拆、并、配． （1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离—— 分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本 不等式凑定积创造条件； 31 （2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后 先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值； （3）配——配式、配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题 设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得 出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. 32 巩固训练 已知，，且，求 的最大值. [解析] ，且 ， 由基本不等式可得 ， 当且仅当时， 取得最大值64. 33 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 对于任意，， .( ) √ （2） 当时， .( ) √ （3） 当时， .( ) × （4） 若，则的最小值为 .( ) × 34 2.已知 ，则下列不等式正确的是( ) . C A. B. C. D. [解析] 当时，, ，故A，B错误. 当时，由基本不等式的性质可得, ,故C正确，D错误． 35 3.不等式 成立的前提条件为_______． [解析] 因为基本不等式成立的前提条件是各项均为正数， 所以，即 ． 4.已知，，都是正数，求证： ． [解析] ，， 都是正数， ，， ， ， ， 即，当且仅当 时，等号成立． 36 1.（多选题）下列说法正确的是( ) . BC A.成立的条件是， B.成立的条件是， C.成立的条件是， D.成立的条件是 37 2.若 ，则下列不等式一定成立的是( ) . C A. B. C. D. [解析] ，， ， , . 故 ． 38 3.对任意的正实数，，恒成立，则 的最小值为( ) . B A. B. C. D. [解析] 依题意得 恒成立， 因为， ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以，即的最小值为 ． 故选B． 39 4.已知，为正实数，且.求证： . [解析] ,为正实数，且 , , 当且仅当 时，等号成立. 40 重要不等式： ； 基本不等式： . Lavf57.62.100 (1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值S2. (2)若xy=P(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2. （2）若0＜x＜eq \f(1,2)，求函数y＝xeq \r(1－4x2)的最大值。 $