2.2.1 基本不等式课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

基本不等式 第二章 2.2　基本不等式 索引 1.了解基本不等式的证明过程. 2.掌握基本不等式≤(a>0,b>0). 3.能利用基本不等式求简单的最值问题. 学习目标 有个金店的天平坏了,天平的两臂长短不相等,店主不想购置新的天平,又怕别人说他缺斤少两,于是他想出一个办法:先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中,右边托盘中加砝码得到一个读数,再把黄金放入右边的托盘中,在左边托盘加砝码得到第二个读数,然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗?要解决这个问题,我们一起探究一下吧! 引入 课时精练 一、对基本不等式的证明与理解 二、利用基本不等式求简单式子的最值 三、配凑、裂项、常数代换法求最值 课堂达标 内容索引 对基本不等式的证明与理解 一 探究1 重要不等式:∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.当a>0,b>0时,用,分别代替重要不等式中的a,b可以得到什么样的结论?该结论中等号成立的条件是什么? 提示　a+b≥2,当且仅当a=b时,“=”成立. 6 探究2 你能证明上述探究1中得到的结论吗? 提示　法一(作差法) = ==≥0,即≥,当且仅当a=b时,等号成立. 法二(性质法) 要证≤, 只需证2≤a+b, 只需证2-a-b≤0, 只需证-()2≤0, 显然()2≥0成立,当且仅当a=b时,等号成立. 7 探究3 结合教材P45中的探究,你能否给出≥的一种几何解释? 提示　如图AB是圆的直径,点C是AB上一点,AC=a,BC=b,过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD,故有△ACD∽△DCB,故CD=.由于CD小于或等于圆的半径,故用不等式表示为≤. 因此,基本不等式≤的几何意义是“圆的半径不小于半弦”. 8 1.基本不等式:如果a>0,b>0,则,当且仅当时,等号成立. 2.叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.两个正数的算术平均数_________它们的几何平均数. 知识梳理 a=b 不小于 ≤ 9 (1)“当且仅当”的含义:①当a=b时取等号,即a=b⇒=;②仅当a=b时取等号,即=⇒a=b. (2)基本不等式的常见变形:①a+b≥2;②ab≤≤. 温馨提示 10 (多选)下列说法正确的是 A.对∀a,b∈R,≥成立 B.若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2 C.对∀a,b∈R,a2+b2≥2ab D.若x>2,则x+≥2中可以取等号 例1 √ √ A项,当a=-1,b=-1时,不等式不成立; D项,x+≥2=2时取等号的条件为无解,不等式中不可取等号. 11 利用基本不等式时,一定要注意是否满足a>0,b>0和取等号的条件. 思维升华 12 (1)(多选)若a>b>0,则下列不等式成立的是 A.> B.< C.> D.> 训练1 √ √ √ 由a>b>0,得<, 即>,所以<1,即<, 故选项ABD均成立. 13 (2)不等式a2+≥4中,等号成立的条件是a=____________.  ± 该不等式等号成立的条件为a2=, 即a=±. 利用基本不等式求简单式子的最值 二 15 已知x,y都为正数,则: (1)如果积xy等于定值P,那么当且仅当x=y时,和x+y有最小值_____; (2)如果和x+y等于定值S,那么当且仅当x=y时,积xy有最大值_____,简记为:积定和最小,和定积最大. 知识梳理 2 S2 16 (1)(链接教材P45例1)当x>0时,求+4x的最小值; 例2 ∵x>0,∴>0,4x>0, ∴+4x≥2=8. 当且仅当=4x,即x=时取等号, ∴当x>0时,+4x的最小值为8. 17 (2)当x<0时,求+4x的最大值; ∵x<0,∴-x>0, 则+(-4x)≥2=8, 当且仅当=-4x时,即x=-时取等号. ∴+4x≤-8. ∴当x<0时,+4x的最大值为-8. 18 (3)已知4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,求a的值. ∵x>0,a>0,∴4x>0,>0, 4x+≥2=4, 当且仅当4x=,即a=4x2=36时取等号, ∴a=36. 19 思维升华 利用基本不等式求最值时要注意三点 (1)各项均为正. (2)寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧). (3)考虑等号成立的条件是否具备. 20 (1)(链接教材P45例2)设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为 A.80 B.77 C.81 D.82 √ 训练2 因为x>0,y>0, 所以≥, 即xy≤=81, 当且仅当x=y=9时等号成立,(xy)max=81. 21 (2)已知0<x<,则y=x(1-2x)的最大值为____________.  由题意知1-2x>0,则y=x(1-2x)=×2x×(1-2x)≤=, 当且仅当2x=1-2x,即x=时,等号成立. 所以y的最大值为. 22 配凑、裂项、常数代换法求最值 三 23 角度1　配凑求最值 [链接教材P48习题2.2T1(1)]已知x>3,求y=2x+的最小值. 例3 因为x>3,所以2x-6>0, 所以y=2x+=(2x-6)++6≥2+6=2×2+6=10, 当且仅当2x-6=,即x=4时取等号. 所以y=2x+的最小值是10. 24 角度2　裂项求最值 若x>1,求函数y=的最小值. 例4 由x>1,知x-1>0. ∴y===x+1+=x-1++2≥2+2=4, 当且仅当=x-1,即x=2时,取“=”. 所以当x=2时,y取得最小值4. 25 角度3　常数代换法、分离消元法求最值 已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值. 例5 法一(巧用“1”的代换求最值) 因为+=1,所以x+y=(x+y)=10++. 因为x>0,y>0,所以+≥2=6, 当且仅当=,即y=3x时,取等号. 因为+=1,所以当x=4,y=12时等号成立,x+y的最小值为16. 26 法二(分离消元法求最值) ∵+=1,∴y==9+, ∵x>0,y>0,∴x>1, ∴x+y=x+9+=(x-1)++10≥2+10=16, 当且仅当x-1=,即x=4时,等号成立,此时,y=12,x+y的最小值为16. 思维升华 1.为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件,常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使得“和”或“积”为定值. 2.裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式求最值创造条件,进而求出最值. 3.常数代换法解题的关键是通过代数式的变形,构造和式或积式为定值的式子,然后利用基本不等式求解最值. 4.对含有多个变量的条件最值问题,若无法直接利用基本不等式求解,可尝试减少变量的个数,即用其中一个变量表示另一个,再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. (1)已知x>0,y>0,2x+3y=6,则xy的最大值为____________.  训练3 因为x>0,y>0,2x+3y=6, 所以xy=(2x·3y)≤·=·=. 当且仅当2x=3y, 即x=,y=1时等号成立,xy的最大值. 29 (2)若x>0,则的最小值是____________.  2-3 因为 x>0 , 所以 =2x+-3≥2-3=2-3 , 当且仅当2x=,即 x= 时取等号, 所以所求的最小值为2-3. 30 (3)已知x>0,y>0且x+y=1,若p=x++y+,则p的最小值是____________.  5 由x>0,y>0且x+y=1, 得p=x++y+=x++y+=3++≥3+2=5, 当且仅当x=y=时,等号成立, 所以p的最小值为5. 31 【课堂达标】 1.不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为 A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y √ 基本不等式成立的前提条件是各项均为正数,所以x-2y>0,则x>2y. 2 3 4 1 2.已知x<0,则x+-2有 A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为-4 D.最小值为-4 √ ∵x<0,∴-x>0, ∴x+-2=--2≤-2-2=-4. 当且仅当-x=-,即x=-1时“=”成立. 2 3 4 1 3.当a,b∈R时,下列不等关系成立的是_________.  ①≥;②a-b≥2;③a2+b2≥2ab;④a2-b2≥2ab. 根据≥ab,≥成立的条件判断,知①②④错,只有③正确. ③ 2 3 4 1 4.已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为____________,此时x=____________.  因为0<x<1,所以1-x>0, 所以x(1-x)≤==, 当且仅当x=1-x,即x=时“=”成立. 故当x=时,x(1-x)取得最大值. 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.设x,y满足x+y=40,且x,y都是正数,则xy的最大值是 A.400 B.100 C.40 D.20 ∵≤(x>0,y>0), ∴xy≤==400. 当且仅当x=y=20时,等号成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.下列结论正确的是 A.当x>0且x≠1时,x+≥2 B.当x>0时,+≥2 C.当x≠0,x+的最小值为2 D.当x>0时,x+的最小值为2 选项A不满足“取等号时的条件”,故不正确; 选项C不满足“各项必须为正”,故不正确; 选项D不满足“积为定值”,故不正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.设0<a<b,则下列不等式正确的是 A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b 法一　∵0<a<b,∴a<<b,排除A,C两项. 又-a=()>0,即>a,排除D项. 法二　取a=2,b=8,则=4,=5,所以a<<<b. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.若a∈R,则的最小值是 A.1 B.2 C.2 D.3 =+≥2=2, 当且仅当=, 即a=0时,等号成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.若实数a,b满足0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是 A. B.a2+b2 C.2ab D.a 由题设知0<a<b,且a+b=1,所以0<a<,<b<1,排除D. 又>=, 故a2+b2>,知排除A. 由a2+b2>2ab,所以a2+b2最大. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.(多选)下列说法正确的有 A.因为a,b为正实数,所以+≥2=2 B.因为x∈R,所以>1 C.因为a<0,所以+a≥2=4 D.因为x,y∈R,xy<0,所以+=-≤-2=-2 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 对于A,因为a,b为正实数,所以>0,>0,故+≥2=2, 当且仅当=,即a=b时取等号,故选项A正确. 对于B,因为x∈R,x2≥0,所以x2+1≥1, 则0<≤1,故选项B错误. 对于C,当a<0时,+a<0,故选项C错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 对于D,因为xy<0, 所以->0,->0, 所以+=-≤-2=-2, 当且仅当-=-,即x=-y时取等号, 故选项D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则(1+x)·(1+2y)的最大值为 A.16 B.9 C.4 D.36 √ (1+x)(1+2y)≤==9, 当且仅当1+x=1+2y, 即x=2,y=1时,等号成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.若4x+(x>0,a>0)当且仅当x=2时取得最小值,则实数a的值为____________.  16 ∵x>0,a>0,∴4x+≥2=4, 当且仅当4x=, 即x=时取等号, 依题意=2,∴a=16. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.若0<x<1,则的最大值为____________.  由0<x<1知3-2x>0, 故=·≤·=, 当且仅当x=时,等号成立. 所以. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.已知x>0,y>0,满足xy=x+y+3,则xy的最小值为____________.  由题意可知y=, 所以xy=x·===x-1++5≥2+5=9, 当且仅当x-1=,即x=3时等号成立. 所以xy的最小值为9. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.已知x,y都是正数. (1)若3x+2y=12,求xy的最大值; 因为3x+2y=12, 所以xy=·3x·2y≤×=6. 当且仅当3x=2y, 即x=2,y=3时,等号成立. 所以xy的最大值为6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)若x+2y=3,求+的最小值. 因为x+2y=3,所以1=+, 所以+==+++≥1+2=1+. 当且仅当=, 即x=3-3,y=3-时取等号, 所以+的最小值为1+. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.(多选)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式恒成立的有 A.ab≤1 B.+≤ C.a2+b2≥2 D.+≥2 √ √ √ 因为ab≤=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以A正确. 因为(+)2=a+b+2=2+2≤2+a+b=4,所以B不正确. a2+b2≥=2,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以C正确. +==≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以D正确. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.设x∈(0,1),则当+取得最小值时,x的值是____________.  　 ∵x∈(0,1),则1-x>0, 则+=[(1-x)+x]·=++5≥2+5=9. 当且仅当=, 即x=时,等号成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.已知a>b>c,你能比较出4与·(a-c)的大小吗? (a-c)≥4,理由如下: 因为a-c=(a-b)+(b-c), 所以[(a-b)+(b-c)]=2++, 又a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,所以+≥2, 则2++≥4.故(a-c)≥4, 当且仅当=时,取“=”. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.设自变量x对应的因变量为y, 在满足对任意的x,不等式y≤M都成立的所有常数M中,将M的最小值叫做y的上确界.若a,b为正实数,且a+b=1,则-的上确界为 A.- B. C. D.-4 √ 因为a,b为正实数,且a+b=1, 所以+=×(a+b)=+≥+2=, 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 当且仅当b=2a,即a=,b=时,等号成立, 因此有-≤-, 故-的上确界为-. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.已知实数a>b>0, (1)比较b(a-b)与的大小; ∵a>b>0,∴a-b>0, ∴b(a-b)≤=, 当且仅当b=a-b,即2b=a时,等号成立.∴b(a-b)≤. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)求a2+的最小值及取最小值时a,b的值. 由(1)知0<b(a-b)≤,当且仅当2b=a时等号成立, ∴≥,∴≥,∴a2+≥a2+≥2=20, 当且仅当a2=且2b=a,即时取等号. 综上可知,当a=,b=时,a2+取得最小值20. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $