2.2.1 基本不等式课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式的证明与应用，通过回顾上节课重要不等式\(a^2 + b^2 \geq 2ab\)，引导学生用\(\sqrt{a}\)、\(\sqrt{b}\)替换变量，自然过渡到基本不等式\(\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}\)，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于采用作差法、性质法及几何意义（圆中半弦与半径关系）多维度证明，结合数学思维（逻辑推理）和数学眼光（几何直观），例题涵盖条件辨析、最值求解等，小结强调“一正二定三相等”，助力学生掌握方法，教师可提升教学针对性与效率。

第1课时 基本不等式 1.了解基本不等式的证明过程. 2.掌握基本不等式(a>0，b>0).(重点) 3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(难点) 学习目标 基本不等式的证明与理解 ，，有（【常用变形】不等式可以变形为 ， ，等），当且仅当 时，等号成立. 知识剖析（1）重要不等式的实质是实数平方的非负性，不等式中， 的取值既可以 是某个具体的数，也可以是一个代数式. （2）当且仅当的含义： ①当时等号成立，即 ； ②仅当时等号成立，即 . 请写出我们上节课学习的重要不等式. 问题1 4 如果a>0，b>0，我们用分别替换重要不等式中的a，b，能得到什么样的结论？ 问题2 提示　用分别替换重要不等式中的a，b可得到a+b≥当且仅当a=b时，等号成立.我们习惯表示成，当且仅当a=b时，等号成立. 上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 问题3 提示　方法一　(作差法) ，当且仅当a=b时，等号成立. 上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 问题3 提示　方法一　(作差法) ，当且仅当a=b时，等号成立. 方法二　(性质法) 要证， 只需证2≤a+b， 只需证a+b-2≥0， 即证()2≥0， 显然()2≥0成立，当且仅当a=b时，等号成立. 方法二　(性质法) 要证， 只需证2≤a+b， 方法三　(利用几何意义证明) 如图,是圆的直径,点是上一点，, .过 点作垂直于的弦,连接,, . 在和中,因为 , ,所以 . 又,所以 . 所以,即 . 因为,所以（当且仅当点与点重合，即 时,等号成 立）. 基本不等式的几何解释是圆中任意一条半弦长（弦长的一半）不大于半径长. 9 1.基本不等式：如果a>0，b>0，则 ，当且仅当 时，等号成立. 2. 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数，从平均数的角度看，基本不等式反映了两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. （基本不等式与重要不等式是不同的，尤其是重要不等式的应用条件是任意实数，而基本不等式的应用条件是两个正实数） a=b 不小于 特别提醒 基本不等式的常见变形及常用结论 1.基本不等式的常见变形：, . 2.基本不等式的常用结论 （1），当且仅当 时取等号； ，当且仅当 时取等号. （2）（,同号），当且仅当 时取等号； （,异号）,当且仅当 时取等号. 11 (1)基本不等式也称为均值不等式，其条件要求为a>0，b>0. (2)等号成立的条件也是基本不等式的一部分，不要遗漏. 注 意 点 <<< 12 例1给出条件,,,,, ,其中能使 成立的条件有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】 由基本不等式可知，要使成立，则 ，所以 ， 同号，所以①③④均可以. 13 例2 ［教材改编P39探究］(2026·四川省德阳市月考)图2.2-3是在北京召开的第24届 国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.该图可作为一个数学结论的一个 几何解释，这个数学结论可能是( ) C 图2.2-3 A.如果，那么 B.如果，那么 C.对任意正实数和，有，当且仅当 时等号 成立 D.对任意正实数和，有，当且仅当 时等号成立 14 【解析】图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的两条直角边分别为, ，则 大正方形的边长为 ， 易知，整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和，即 ,当且仅当 时等号成立，此时中间空白的正方形消失， 即整个正方形被分成四个全等的等腰直角三角形.故选C. 该题从几何意义角度解释了重要不等式. 15 例3下列结论正确的是( ) B A.若且，则 B.当时， C.若，则的最小值为2 D.当时， 16 【解析】 对于A，当时， 显然不成立，A错误；对于B， 当时，，，当且仅当 ,即 时取等号，B正确；对于C，当时， ，当且 仅当,即时取等号，但,故C错误；对于D，取 ，则 ，D错误. 17 例4[2026山东枣庄期中]已知，，则，，， 中 最大的是( ) A A. B. C. D. 【解析】 因为,，所以， ， ，当且仅当 时，以上等号成立， 则 .故选A. 18 利用基本不等式时要注意a>0，b>0和取等号的条件是否满足. 反 思 感 悟 利用基本不等式求简单式子的最值 已知x，y都为正数，则 (1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值 , ； (2)如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 ,即 . 简记为：积定和最 ，和定积最 . 2 S2 小 大 知识剖析（1）利用基本不等式求最值时要牢记三个关键词：一正、二定、三相等. ①一正：各项必须为正. 当,时，, ,（要把各项变为正项）则 ,得，当且仅当 时，等号成立. ②二定：各项之和或各项之积为定值. 例如，当时，求的最小值，需变形为 ，这时 为定值，且,，则当且仅当，即 时， 取得最小值，最小值为4. ③三相等：必须验证取等号时条件是否具备. （2）应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最值，探求的过程中常需根据具 体的问题进行合理的拆、凑、配等变换. 22 例5 (2026·山东省邹城市实验中学月考)已知，，且，则 的 最大值为( ) C A.16 B.25 C.36 D.49 【解析】因为，（一正），（二定），即 ， 当且仅当（三相等）时取等号，所以 的最大值为36． 23 例6 (2026·浙江省温州市期中)已知两个正数，满足，则 的最小值 为( ) B A.3 B.6 C. D. 【解析】因为， 为正数， 所以，当且仅当 时，等号成立， 所以 的最小值为6. 24 例7[多选题][2026河北保定一中月考]下列选项正确的是     ( ) A.当x>1时,x+ 的最小值是3 B.已知x<0,则x+ 的最大值是-2 C.当0<x<10时, 的最大值是5 D.设x∈R,则x2+2+ 的最小值为2     ABC     解析　对于A,由x>1,得x-1>0,则x+ =x-1+ +1≥2 +1=3,当且仅当x-1= ,即x=2时等 号成立,所以A正确. 对于B,当x<0时,-x>0,所以x+ =- ≤-2 =-2, 当且仅当-x= ,即x=-1时等号成立,所以B正确. 对于C, ≤ =5,当且仅当x=10-x,即x=5时等号成立,所以C正确. 对于D,x2+2+  ≥2 =2, 但x2+2= 无解,所以等号不成立,所以D错误. (1)利用基本不等式求最值的注意点 ①一正：各项必须为正. ②二定：各项之和或各项之积为定值. ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. 反 思 感 悟 (2)通过配凑法利用基本不等式求最值的策略 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提. 反 思 感 悟 1.知识清单： (1)基本不等式的证明与理解. (2)利用基本不等式求简单代数式的最值. (3)配凑法求最值. 2.方法归纳：配凑法. 3.常见误区：利用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”缺一不可，尤其是“当且仅当，等号成立”. 课堂小结 随堂演练 1.（2025河南省实验中学月考）已知,都是正数,则“”是“ ”的( ) B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【解析】 由题意可知当时，可取,，显然不能推出 ； 当时，因为,，所以 （基本不等式的应用），即 ，解得 ， 所以“”是“ ”的必要不充分条件. 31 2.[2026海南海口第一中学月考]设a,b∈R,且a<b<0,则 ( ) A. < 　    B. >  C. ≥ 　    D. + >2     D     解析　对于A,因为a<b<0,所以 > ,故A错误; 对于B,因为a<b<0,所以 < <0,所以- >- >0, 又-a>-b>0,所以 ·(-a)> ·(-b)>0,即 > ,故B错误; 对于C,因为a<b<0,所以 <0, >0,所以 < ,故C错误; 对于D,因为a<b<0,所以 >0, >0,所以 + ≥2 =2, 当且仅当 = ,即a=b时,等号成立, 又a<b,所以 + >2,故D正确. 易错警示　利用基本不等式解题要注意验证“一正、二定、三相等”,只有三个条件同时满足才能得 出结论. 3.（2026吉林长春市九台区第一中学期初考试）已知，，则， ， 的大小关系是( ) A A. B. C. D.无法确定 【解析】 因为，，所以，解得，同理可得 ， 由（基本不等式的应用）可得，又，可得 ， 所以 ， 因为,，所以 ， 所以，所以 . 34 4.[2026河北月考]已知，关于式子 有以下三条分析： （1） ； （2）（1）中式子当且仅当，即 时，等号成立； （3）当时， 取得最小值2. 则下列判断正确的是( ) D A.（1）（2）（3）全正确 B.（1）错误 C.（2）错误 D.（3）错误 35 【解析】 根据条件，由基本不等式可知， 均正确.对于（3），由基 本不等式知，求最小值需满足“一正二定三相等”的原则，所以求和的最小 值时，需要乘积为定值，而 不为定值，所以（3）错误，故选D. 36 5.已知且，设，，则与 的大小关系是 ( ) A A. B. C. D.不确定 【解析】 由题意得, ， ，当且仅当，即 时，等号成立，故 . 37 6.（2025陕西西安期末）已知正数,满足,则 的最小值为( ) D A.2 B. C. D. 【解析】 为定值，所以为定值，积定求和 的最小值，直接应用基本不等式即 可.因为正数，满足，所以，当且仅当 时，等号 成立，所以的最小值为 . 38 7.[2026福建福州期末]若,且，则 的最小值为 ( ) C A. B. C. D.6 【解析】 因为,且 ，所以 ，当且仅 当 ，即，时取等号,所以 的最小值为 . 39 8.（2025重庆期末联考）已知,都是正实数,若,则 的最大值为_ _. 【解析】 满足和为定值，可直接利用基本不等式求解. ，可得，当且仅当，即, 时，取等号，所 以的最大值为 . 因为，当且仅当，即 , 时，取等号，所以的最大值为 . 40 9.已知正实数,满足,则 的最大值是____. 【解析】 ,即,当且仅当 时等号成立,所以 的最大值为 . （平方升幂） ,当 且仅当时等号成立,即的最大值为2,所以的最大值为 . 由柯西不等式得 ,当且仅当 时等号成立,即的最大值为2,所以的最大值为 . 41 $