2.3二次函数与一元二次方程、不等式课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、 不等式 问题导入 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种关系可以更好地解决相关问题. 一次函数：y＝kx＋b(k≠0) 一元一次方程：kx＋b＝0 一元一次不等式：kx＋b≥0或kx＋b≤0. 内在联系： 一次函数与x轴交点的横坐标 就是一元一次方程的解， 也就是对应一元一次不等式的解集. －1 －1 －3 －2 O 1 2 3 4 －4 －5 －2 －3 －4 1 2 3 4 y x y＝－2x＋4 x＞2，y＜0 x＝2，y＝0 x＜2，y＜0 问题导入 那么对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题. 问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24m，围成的矩形区域的面积要大于20m2，则这个矩形的边长为多少米？ 设这个矩形的一条边长为xm，则另一条边长为(12－x)m． 由题意，得：(12－x)x＞20，其中x∈{x|0＜x＜12}． 整理得x2－12x＋20＜0，x∈{x|0＜x＜12}． ① 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案． xm (12－x)m S＝x·(12－x) 新知探索 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 思考1：在初中，我们从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 一次函数与x轴交点的横坐标 ⇔一元一次方程的解 ⇔一元一次不等式的解集 能否推出？ 一元二次函数与x轴交点的横坐标 ⇔一元二次方程的解 ⇔一元二次不等式的解集 新知探索 下面，我们先来考察一元二次不等式x2－12x＋20＜0与二次函数y＝x2－12x＋20之间的关系. 如图，在平面直角坐标系中画出二次函数y＝x2－12x＋20的图象，发现图象与x轴有两个交点. 我们知道，这两个交点的横坐标就是方程x2－12x＋20＝0的两个实数根x1＝2，x2＝10，因此二次函数y＝x2－12x＋20与x轴的两个交点是(2，0)和(10，0). 一元二次函数与x轴交点的横坐标 ⇔一元二次方程的解 新知探索 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点. 于是，二次函数y＝x2－12x＋20的两个零点是x1＝2，x2＝10. 注：零点是一个实数，不是一个点. 新知探索 从图中可以看出，二次函数y＝x2－12x＋20的两个零点x1＝2，x2＝10将x轴分成三段. 相应地，当x＜2或x＞10时，函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2－12x＋20＞0；当2＜x＜10时，函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2－12x＋20＜0. 所以，一元二次不等式的解集是{x|2＜x＜10}. 因为{x|2＜x＜10}⊆{x|0＜x＜12}，因此当围成的矩形的一条边长x满足2＜x＜10时，围成的矩形区域的面积大于20m2. 新知探索 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)和ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集.因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集. y＝ax2＋bx＋c的零点是x1，x2. ax2＋bx＋c＝0的根是x1，x2. ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|x＜x1或x＞x2}， ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}. y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 新知探索 我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)，设∆＝b2－4ac，它的根按照∆＞0，∆＝0，∆＜0可分为三种情况.相应地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的位置关系也分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)和ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集. y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 归纳总结 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 ∆＞0 ∆＝0 ∆＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个不相等的实数根 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}   当堂达标 现在，我们就能解决第2.1节的“问题2”了.  解：∵ ∴8x－2(x－2.5)x－20≥0. 即－2x2＋13x－20≥0，即2x2－13x＋20≤0. 对于方程2x2－13x＋20＝0，∵△＞0， ∴它有两个实数根.解得x1＝ ，或x2＝4. 结合图象得不等式－2x2＋13x－20≥0的解集为 . 11 归纳总结 利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式的过程.这里，我们以求解可化成形式的不等式为例，用框图表示其求解过程. 当堂达标 例1、解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3≤0；(2)－2x2＋3x－2＜0. 解：(1)∵∆＝72－4×2×3＝25＞0， ∴方程有两个不等实根. 又二次函数的图象开口向上， ∴原不等式的解集为{x|－3≤x≤ }. (2)原不等式可化为：2x2－3x＋2＞0， ∵∆＝9－4×2×2＝－7＜0， ∴方程2x2－3x＋2＝0无实根. 又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上， ∴原不等式的解集为. 题型一：不含参一元二次不等式的解法 ①求出一元二次方程的根 ②根据二次函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集 13 归纳总结 方法技巧：解不含参一元二次不等式的步骤： 变形 求根 画图 求解 通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正且不等式的右边为0) 求出相应的一元二次方程的根，有三种情况：△＝0(两根相同，x1＝x2)，△＞0(两根不同，x1，x2)，△＜0(无实数根). 画出对应二次函数的草图，方程有根的将根标在图中 观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集. 当堂达标 1、(P53T1)求下列不等式的解集： (1)(x＋2)(x－3)＞0； (4) ； (6)x2－3x＋4>0 答案：(1){x|x＜－2或x＞3}； (6)R (4)； 15 当堂达标 例2、解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0. 解：情形一：若a＝0时，原不等式可化为－x＋1＜0，即x＞1. 情形二：若a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)＜0. 若a＜0，原不等式可化为 若a＞0，原不等式可化为 题型二：含参一元二次不等式的解法 综上所述，当a＜0时，原不等式的解集为 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＞1}； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为 当a＝1时，原不等式的解集为； 当a＞1时，原不等式的解集为 16 当堂达标 2、解下列不等式的解集： (1)当 时，求关于x的不等式 的解集； (2)若a＞0，求关于x的不等式 的解集. 解：(1)当 时，原不等式可化为 即 . ∴原不等式的解集为 (2) 即0＜a＜1时，不等式的解集为 即a＞1时，不等式的解集为 即a＝1时，不等式的解集为{1} 综上所述，当0＜a＜1时，…… 当a＝1时，…… 当a＞1时，…… 17 归纳总结 方法技巧：解含参一元二次不等式的步骤： 讨论二次项系数 判断方程根的系数 写出解集 二次项若含有参数应讨论它是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式 讨论判别式△与0的关系，判断方程的根的个数 确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，需讨论两根的大小关系，从而确定解集形式 当堂达标 例3、已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集. 题型三：三个“二次”之间对应关系的应用 解：∵关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜3}， ∴a＜0，且－2，3是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根， ∴ a＜0. 即b＝－a，c＝－6a ∴不等式cx2＋bx＋a＜0化为－6x2－x＋1＞0， 即6x2＋x－1＜0，解得 因此不等式的解集为 19 当堂达标 3、不等式x2＋mx＋n＜0的解集为{x|4＜x＜6}，则m－n＝( ). A.34 B.－34 C.14 D.－14 解：∵x2＋mx＋n＜0，开口向上， 而解集为{x|4＜x＜6}，∴x1＝4，x1＝6. 由韦达定理可得，4＋6＝－m，4×6＝n. 解得m＝－10，n＝24. ∴m－n＝－34. B 20 解析：由题意，不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)， 可得－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，且a＜0，A正确. ∴有 ， .解得，b＝－a，c＝－2a.∴，b＞0，c＞0.B正确. 当x＝－1时，a＋b＋c＝0，C不正确； 把b＝－a，c＝－2a代入ax2－cx＋b＜0，可得ax2＋2ax－a＜0， 因为a＜0，所以x2＋2x－1＞0，D不正确. 当堂达标 4、(多选)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是( 　). A.a＜0 B.b＞0且c＞0 C.a＋b＋c＞0 D.不等式ax2－cx＋b＜0的解集是R AB 21 归纳总结 方法技巧： 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究. (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(a≠0)的解集观点 方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点 $