7.2 等比数列专项训练-2027届高三数学一轮复习

等比数列 01 等比数列的概念与通项公式 1.(2026·重庆市市辖区·模拟题)已知等比数列满足，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【知识点】等比数列的通项公式 【解析】：，，设公比为， ， ， ， ． 2.(2026·新疆维吾尔自治区·联考题)在等比数列中，，则公比(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【知识点】等比数列通项公式中的基本量计算 【解析】等比数列中，，得：， 由得：，解得或． 3.(2026·浙江省温州市·单元测试)与两数的等比中项是． A. B. C. D. 【答案】C  【知识点】等比中项 【解析】设两数的等比中项为，根据题意可知：，即， 解得． 4.(2026·湖北省黄冈市·月考试卷)若，，成等比数列，则公比为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【知识点】等比中项 【解析】，，成等比数列， ，即， ， 公比为 5.(2026·江西省·期末考试)设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【知识点】由基本不等式求最值或取值范围、等比数列的通项公式 【解析】设公比为， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时． 02 等比数列的前n项和 1.(2026·浙江省·单元测试)已知正项等比数列中，，若，则数列的前项和(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【知识点】等比数列通项公式中的基本量计算、等比数列的前n项和公式 【解析】设等比数列的公比为， 由得，所以， 又因为，得，所以， . 2.(2026·江西省·期末考试)正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前个正方形的面积和为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【知识点】等比数列的判定或证明、等比数列的前n项和公式 【解析】第一个正方形的边长为，面积，  取各边中点作第二个正方形时，原正方形各边中点连线形成的新正方形边长为原正方形边长的由勾股定理计算可得， 因此第二个正方形的面积， 同理，第三个正方形的面积， 以此类推，各正方形面积构成首项，公比的等比数列，  前个正方形的面积和为等比数列前项和，根据等比数列求和公式 ． 3.(2026·浙江省温州市·月考试卷)数列中，已知对任意，，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【知识点】根据数列的递推公式求通项公式、等比数列的前n项和公式 【解析】，， ，， 得：，． 当时，，符合上式， ，，， 是以为首项，为公比的等比数列， ． 4.(2026·湖北省孝感市·期中考试)作边长为的正三角形的内切圆，再作这个圆的内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆，如此下去，则前个内切圆的面积之和为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【知识点】根据数列的递推公式求通项公式、等比数列的前n项和公式 【解析】设第个正三角形的内切圆半径为，第个正三角形的边长为， 可知正三角形内切圆半径是正三角形边长的， 又半径为的圆内接三角形的边长满足， 即， 所以，， 即从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的， 每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 设前个内切圆的面积和为，则 5.(2026·河南省·月考试卷)已知函数，给出三个条件：；；从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前项和          ． 【答案】  【知识点】等比数列的判定或证明、等比数列的前n项和公式 【解析】若选，则，，不为常数，故不满足题意． 若选，则，，则数列为等比数列，故满足题意； 则． 若选，则，，不为常数，故不满足题意． 6.(2026·河北省·月考试卷)已知数列满足，． 求证是等比数列，并求数列的通项公式； 求数列的前项的和． 【知识点】等比数列的判定或证明、等比数列的前n项和公式、等比数列的通项公式 【答案】Ⅰ证明：，变形为， 又，， 数列为以为首项，为公比的等比数列， ． Ⅱ由Ⅰ可知，， ．  03 等比数列的性质 1.(2026·广东省·月考试卷)已知等比数列中，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【知识点】等比数列的性质 【解析】，， ，即， 则 2.(2026·黑龙江省哈尔滨市·期中考试)记为等比数列的前项和，若，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【知识点】等比数列前n项和的性质 【解析】，，，成等比数列， 从而计算可得 3.(2026·浙江省温州市·单元测试)记方程：，方程：，方程：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是(    ) A. 方程有实根，且有实根 B. 方程有实根，且无实根 C. 方程无实根，且有实根 D. 方程无实根，且无实根 【答案】B  【知识点】二次方程根的分布、等比数列的性质、利用不等式的性质求取值范围 【解析】当方程有实根，且无实根时，，， 即，， ，，成等比数列， ，即， 则， 则：方程的判别式，此时方程无实根， 同理可得其他三个选项不符合 4.(2026·浙江省宁波市·月考试卷)【多选】已知等比数列，满足，则下面说法正确的是(    ) A. 若，则数列是递减数列 B. 若，则数列是递减数列 C. 若，则数列是递增数列 D. 若，则数列是递增数列 【答案】AD  【知识点】等比数列的性质、等比数列的通项公式、数列的单调性 【解析】等比数列中，，由得，故， 选项A：若，则，故， 等比数列通项为，因且，每一项均为前一项乘小于的正数，故数列递减，选项A正确； 选项B：若，则，故， 因且，每一项均为前一项乘大于的正数，故数列递增，选项B错误； 选项C：若，则，故， 通项，因且， ，，，故，数列递减，选项C错误； 选项D：若，则，故，， ，，，故，数列递增，选项D正确． 5.(2026·广西壮族自治区·单元测试)【多选】设是各项均为正数的等比数列，其公比为，正整数，，，满足，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】ACD  【知识点】等比数列的性质、数列的单调性、简单的幂函数的图象与性质 【解析】由题意知且，再由，得， 当时，为递增数列， 所以，从而， 所以，两边平方，得， 即， 所以，即 当时，为递减数列， 所以，从而， 所以， 两边平方，，即， 由，可得A正确，B错误； 根据幂函数的性质和等比数列的单调性， 得是单调数列，或为递增数列，或为递减数列， 根据上面的讨论均可得，， 故C，均正确． 6.(2026·浙江省温州市·期末考试)已知各项都为正数的等比数列，若，则          ； 【答案】  【知识点】对数式的化简求值与证明、等比数列的性质 【解析】各项都为正数的等比数列，， ，解得， ． 04 等差数列与等比数列的综合应用 1.(2026·云南省昆明市·月考试卷)为等比数列，若，，成等差数列，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【知识点】等差、等比数列的综合应用 【解析】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以，即， 即，解得， 所以． 2.(2026·辽宁省沈阳市·模拟题)是各项均为正数的等差数列，其公差，是等比数列，若，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】AD  【知识点】利用导数判断或证明已知函数的单调性、等差、等比数列的综合应用、数列的单调性 【解析】 解法一： 设的公比为，则，因为，所以等差数列为单调递增数列，，又，所以，． 图象法：数列的图象上的点在函数图象上，数列的图象上的点在函数的图象上，作出函数图象的示意图如图所示．                  观察图象，可以得出：，，选项正确，选项不正确． 解法二： 设，则，当时，在上为增函数，当时，，在为减函数，当时，，即，，则，当时，有，当时，等号成立，则． 因为，所以，解得：． 构造函数，则，，因为，所以在上为减函数． ，，，存在，使；当时，，在上为增函数，当，，当时，，在上为减函数，时，所以，当时，；当时，． 于是，，即，选项A正确，选项B不正确；，即，选项C不正确，选项D正确． 3.(2026·北京市市辖区·期末考试)设等比数列的前项和为若、、成等差数列，则数列的公比为          ． 【答案】或  【知识点】等比数列通项公式中的基本量计算、等差中项 【解析】，，成等差数列， ，又数列为等比数列， ， 整理得：， 又，， 解得：或． 4.(2026·山东省东营市·月考试卷)小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有层，设第层的“环境满意度”为，且第层比第层的“环境满意度”多出又已知小王有“恐高症”，设第层的“高层恐惧度”为，且第层比第层的“高层恐惧度”高出倍在上述条件下，若第层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为，，记小王对第层“购买满意度”为，且，则小王最想买第          层住宅参考公式及数据：，，， 【答案】  【知识点】等差、等比数列的综合应用、等比数列的判定或证明、分组(并项)法求和 【解析】由题意可得， ，即． 故时， ， 又满足，所以． 又是首项为，公比为的等比数列，所以， 所以． 所以． 令，则， 当时，， 当时，， 又单调递减， 所以当时，，当时，， 又，所以，， 所以数列的最大值为， 所以小王最想买第层住宅． 5.(2026·湖北省·模拟题)在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为． 求，，， 求数列的通项公式 是否存在，使得，，，成等比数列若存在，求出的值若不存在，说明理由． 【知识点】根据数列的递推公式求通项公式、等差、等比数列的综合应用、等比数列的判定或证明、等差数列的性质、根据数列的递推公式求数列的项 【答案】由题意，，，成等差数列，公差为； ，，成等差数列，公差为， 则，， ，； 由题意，， 当，时， ， 且满足上式， 所以当为奇数时，， 当时，， 所以； 存在时，使得，，，成等比数列， 证明如下：由可得，，， 假设，，成等比数列， 则， 化简得，所以，即，此时， 所以当时，，，，成等比数列．  6.(2026·湖北省武汉市·月考试卷)已知数列的前项和为，且满足数列是首项为，公差不为零的等差数列，且，，成等比数列． 求数列与的通项公式． 若，数列的前项和为，恒成立，求的范围． 【知识点】等差、等比数列的综合应用、等比数列的通项公式、等差数列的通项公式、数列与不等式、错位相减法求和 【答案】，可得，解得， 时，，即为， 可得数列为首项和公比均为的等比数列，即有，； 数列是首项为，公差不为零的等差数列，且，，成等比数列． 可得，即为，解得， 又，可得，； ， ， ， 两式相减可得 ， 化简可得， 即有，恒成立，可得． 即的范围是．  进阶训练 1.(2026·江苏省·模拟题)已知数列，中，，，，，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【知识点】根据数列的递推公式求通项公式、等比数列的通项公式、等差数列的通项公式 【解析】数列，满足，， 故常数， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 由于， 所以， 整理得：， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列 所以， 整理得：， 由于， 所以， 解得． 2.(2026·天津市市辖区·月考试卷)已知函数，数列是公差为的等差数列，且，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【知识点】指对互化、等比数列的性质、等差数列的性质、对数型函数的解析式 【解析】函数，数列是公差为的等差数列，且， ，， 所以数列是公比为的等比数列． 若， 则 3.(2026·湖北省黄冈市·模拟题)【多选】已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列是首项为的等比数列，且，，则(    ) A. B. ，使得 C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和为 【答案】ACD  【知识点】等比数列通项公式中的基本量计算、等比数列的前n项和公式、等差数列通项公式中的基本量计算、分组(并项)法求和、等差数列的前n项和公式、错位相减法求和 【解析】对于，设的公比为，由于，，则，解得，所以A正确； 对于，由的分析可知，令，即，解得，不是整数，故不存在，使得，所以B错误； 对于，，则，故，两式相减得：，故，则，所以C正确； 对于，，设数列的前项和为则，所以D正确。 4.(2026·陕西省西安市·期末考试)【多选】数列前项的和为，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则数列前项的和最大 B. 若为等比数列，，，则 C. 若， ，则 D. 若为等差数列，且，，则当时，的最大值为 【答案】AC  【知识点】等比数列前n项和的性质、根据数列的递推公式求通项公式、等差数列的性质、数列的单调性、等差数列前n项和的最值问题、等差数列的前n项和公式、数列的前n项和及Sn与an的关系 【解析】选项，因为，则数列为单调递减数列， 又， 所以数列的前项和在时取得最大值，故A正确； 选项，因为为等比数列，，， 所以成等比数列， 即成等比数列， 所以， 所以，故B错误； 选项，，， ， 两式相减得： ，即， ， ， ． 当时，上式也成立． 故，则，故C正确； 选项，因为数列为等差数列，且，， 根据等差数列的性质，有， ， 所以， ， 所以当时，的最大值为，故D错误． 5.(2026·广东省·单元测试)已知为等比数列，且，从，，，这个数中任取两个数，则这两个数之和能被整除的概率为          ． 【答案】  【知识点】等比数列的通项公式、与二项式定理有关的问题、古典概型及其计算 【解析】易得，记取到的两个数为，，则， 其中为整数，所以当为奇数时，，为的倍数 当为偶数时，，不为的倍数即为奇数时满足条件，此时与的奇偶性不同， 从到包含个偶数和个奇数，所以与的组合有种，故所求概率． 6.(2026·广东省·同步练习)如图，在中，是边上一点，且，为直线上一点列，满足：，且，则          ，设数列，则的通项公式为          ． 【答案】   【知识点】根据数列的递推公式求通项公式、平面向量基本定理的应用、等比数列的判定或证明、等比数列的通项公式 【解析】由于是边上一点，且， 则 ， 由于为直线上一点列， 则， 因为， 则故， 整理， 即， 若，则，解得：， 此时，解得：， 故为常数为的数列，但，不符合题意． 故． 故，令得：， 因为，所以，解得：． 令则， 即， 因此， 所以为等比数列，公比为， 首项为， 则， 故． 7.(2026·湖北省武汉市·月考试卷)已知等比数列的前项和为，． 求数列的通项公式 在数列的相邻项与之间插入个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前项和，求． 【知识点】等比数列的前n项和公式、求数列的通项公式、分组(并项)法求和 【答案】解：由，得， 两式相减得， 即，， 得等比数列的公比， 又当时，，所以，所以 数列为，，，，，，，，，， 以如下划分：，，，，，，，，，，得项数， 当时共有项数， 当时共有项数， 所以．  2 学科网（北京）股份有限公司 $ 等比数列 01 等比数列的概念与通项公式 1.(2026·重庆市市辖区·模拟题)已知等比数列满足，，则(    ) A. B. C. D. 2.(2026·新疆维吾尔自治区·联考题)在等比数列中，，则公比(    ) A. B. C. 或 D. 或 3.(2026·浙江省温州市·单元测试)与两数的等比中项是． A. B. C. D. 4.(2026·湖北省黄冈市·月考试卷)若，，成等比数列，则公比为(    ) A. B. C. D. 5.(2026·江西省·期末考试)设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于(    ) A. B. C. D. 02 等比数列的前n项和 1.(2026·浙江省·单元测试)已知正项等比数列中，，若，则数列的前项和(    ) A. B. C. D. 2.(2026·江西省·期末考试)正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，作第二个正方形，然后再取正方形各边中点，，，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前个正方形的面积和为(    ) A. B. C. D. 3.(2026·浙江省温州市·月考试卷)数列中，已知对任意，，则等于(    ) A. B. C. D. 4.(2026·湖北省孝感市·期中考试)作边长为的正三角形的内切圆，再作这个圆的内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆，如此下去，则前个内切圆的面积之和为(    ) A. B. C. D. 5.(2026·河南省·月考试卷)已知函数，给出三个条件：；；从中选出一个能使数列成等比数列的条件，在这个条件下，数列的前项和          ． 6. (2026·河北省·月考试卷)已知数列满足，． 求证是等比数列，并求数列的通项公式； 求数列的前项的和． 03 等比数列的性质 1.(2026·广东省·月考试卷)已知等比数列中，，，则(    ) A. B. C. D. 2.(2026·黑龙江省哈尔滨市·期中考试)记为等比数列的前项和，若，，则(    ) A. B. C. D. 3.(2026·浙江省温州市·单元测试)记方程：，方程：，方程：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是(    ) A. 方程有实根，且有实根 B. 方程有实根，且无实根 C. 方程无实根，且有实根 D. 方程无实根，且无实根 4.(2026·浙江省宁波市·月考试卷)【多选】已知等比数列，满足，则下面说法正确的是(    ) A. 若，则数列是递减数列 B. 若，则数列是递减数列 C. 若，则数列是递增数列 D. 若，则数列是递增数列 5.(2026·广西壮族自治区·单元测试)【多选】设是各项均为正数的等比数列，其公比为，正整数，，，满足，且，则(    ) A. B. C. D. 6.(2026·浙江省温州市·期末考试)已知各项都为正数的等比数列，若，则          ； 04 等差数列与等比数列的综合应用 1.(2026·云南省昆明市·月考试卷)为等比数列，若，，成等差数列，则(    ) A. B. C. D. 2.(2026·辽宁省沈阳市·模拟题)是各项均为正数的等差数列，其公差，是等比数列，若，，则(    ) A. B. C. D. 3.(2026·北京市市辖区·期末考试)设等比数列的前项和为若、、成等差数列，则数列的公比为          ． 4.(2026·山东省东营市·月考试卷)小王准备在单位附近的某小区买房，若小王看中的高层住宅总共有层，设第层的“环境满意度”为，且第层比第层的“环境满意度”多出又已知小王有“恐高症”，设第层的“高层恐惧度”为，且第层比第层的“高层恐惧度”高出倍在上述条件下，若第层“环境满意度”与“高层恐惧度”分别为，，记小王对第层“购买满意度”为，且，则小王最想买第          层住宅参考公式及数据：，，， 5.(2026·湖北省·模拟题)在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为． 求，，， 求数列的通项公式 是否存在，使得，，，成等比数列若存在，求出的值若不存在，说明理由． 6.(2026·湖北省武汉市·月考试卷)已知数列的前项和为，且满足数列是首项为，公差不为零的等差数列，且，，成等比数列． 求数列与的通项公式． 若，数列的前项和为，恒成立，求的范围． 进阶训练 1.(2026·江苏省·模拟题)已知数列，中，，，，，若，则(    ) A. B. C. D. 2.(2026·天津市市辖区·月考试卷)已知函数，数列是公差为的等差数列，且，若，则(    ) A. B. C. D. 3.(2026·湖北省黄冈市·模拟题)【多选】已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列是首项为的等比数列，且，，则(    ) A. B. ，使得 C. 数列的前项和为 D. 数列的前项和为 4.(2026·陕西省西安市·期末考试)【多选】数列前项的和为，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则数列前项的和最大 B. 若为等比数列，，，则 C. 若， ，则 D. 若为等差数列，且，，则当时，的最大值为 5.(2026·广东省·单元测试)已知为等比数列，且，从，，，这个数中任取两个数，则这两个数之和能被整除的概率为          ． 6.(2026·广东省·同步练习)如图，在中，是边上一点，且，为直线上一点列，满足：，且，则          ，设数列，则的通项公式为          ． 7.(2026·湖北省武汉市·月考试卷)已知等比数列的前项和为，． 求数列的通项公式 在数列的相邻项与之间插入个相同的数，使其与原数列构成新数列，设为数列的前项和，求． 2 学科网（北京）股份有限公司 $