专题6.6 等比数列及其前n项和（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 聚焦等比数列核心考点，通过8大题型系统覆盖概念、性质、应用及综合问题，分层训练实现从基础到实战的能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型专练|32题（8题型×4题）|涵盖基本量计算、判定证明、性质应用、通项公式、单调性与最值、前n项和性质、简单应用、等差综合|从定义概念（判定证明）到核心要素（基本量、通项），再到性质拓展（中项、前n项和性质），最终实现实际应用与跨知识综合，形成完整逻辑链| |分层突破|A/B/C三组+真题|基础题巩固概念，提升题深化推理，真题演练对接高考|遵循"理解-应用-迁移"认知规律，通过不同难度题目强化运算能力与模型观念|

专题6.6 等比数列及其前n项和（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 等比数列的基本量计算】 1 【题型2 等比数列的判定与证明】 3 【题型3 等比数列的性质及应用】 5 【题型4 等比数列的通项公式】 6 【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】 9 【题型6 等比数列前n项和的性质】 11 【题型7 等比数列的简单应用】 12 【题型8 等差数列与等比数列的综合】 14 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 等比数列的基本量计算】 1．（2026·湖南岳阳·三模）已知为正项等比数列的前项和，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解题思路】等比数列的性质可得，即，再结合题干条件，利用等比数列求和公式，得到关于的一元二次方程，解出公比即得的值. 【解答过程】由题意，设正项等比数列的公比为，其中， 由等比数列的性质可知，由题干可得，即， 若，则，不合题意，故， 所以， 解得或（舍去），故. 故选：C. 2．（2026·陕西宝鸡·一模）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于（   ） A． B．2或 C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，结合等比数列定义列式求出公比. 【解答过程】记此等比数列为，设其公比为，由，得， 依题意，，则，， 所以这个数列的公比等于2. 故选：C. 3．（2026·江苏南京·一模）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A． B．6 C．3 D．2 【答案】C 【解题思路】根据等比数列通项公式的性质，设出首项和公比，根据条件列出方程组，求出结果. 【解答过程】设数列的首项为，公比为， 则， ， ∴，即，则， ∴， ∴， 故选：C. 4．（2026·湖南邵阳·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】先判断公比，利用等比数列求和公式代入题设求得，即可求出. 【解答过程】设等比数列的公比为，若，则，故， 由可得， 化简得，解得， 则. 故选：D. 【题型2 等比数列的判定与证明】 5．（2026·上海黄浦·三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（   ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件． 【答案】B 【解题思路】设，令得，充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到结论. 【解答过程】设，中，令得， 即，所以是等比数列，充分性成立； 但必要性不成立，理由如下： 不妨设的首项为1，公比为2，取得， 但，不满足，从而必要性不成立， 综上，P是Q的充分非必要条件. 故选：B. 6．（2026·陕西西安·一模）已知为数列的前n项和，命题p：是等比数列；命题q：，，.成等比数列，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等比数列的定义判断即得. 【解答过程】令，数列是等比数列，，不成等比数列，则不能推出； 令，则，成等比数列，而不是等比数列，不能推出， 所以p是q的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7．（2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）由与的关系可得递推公式，根据等比数列的定义，可得答案； （2）由（1）可得的通项，利用错位相减法，可得答案. 【解答过程】（1）证明：因为， 所以当时，，解得； 当时，， 所以，即， 所以，又． 所以数列是以4为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）知，．所以， 则，① ，② —②有． 所以. 8．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知数列满足，且. (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据题意求出，代入计算为常数，所以数列为等比数列，根据等比数列通项公式求出通项公式，减去便可得到的通项公式. （2）将的通项公式代入，求出数列的通项公式，利用错位相减法求出. 【解答过程】（1）证明：因为， 所以， 又，所以， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列；； （2）由（1）知， 所以， 所以， 则， 两式相减得 ， 所以. 【题型3 等比数列的性质及应用】 9．（2026·安徽合肥·三模）已知数列是等比数列，若，，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用等比数列项的性质计算求解. 【解答过程】因为数列是等比数列，设公比为， 且，，则， 又因为，所以. 故选：C. 10．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知等比数列中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用等比数列性质列式计算得解. 【解答过程】由等比数列性质，得，所以. 故选：D. 11．（2026·广西桂林·一模）已知各项均为正数的等比数列，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解题思路】利用等比数列的性质和对数的运算性质得到所求的值． 【解答过程】， ， 故选：C. 12．（2026·湖北·二模）在正项等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解题思路】根据等比数列的性质求解. 【解答过程】因为是方程的两个根， 所以， 又因为在等比数列中，， 又因为是正项等比数列，所以， 所以， 故选:B. 【题型4 等比数列的通项公式】 13．（2026·湖北·一模）在数列中，，则数列的通项公式__________． 【答案】 【解题思路】由已知得出是以为首项，3为公比的等比数列，即可求解． 【解答过程】由， 可得， 又，所以是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以， 故答案为：． 14．（2026·江西九江·二模）已知数列的前项和为，且满足，则__________． 【答案】 【解题思路】根据与的关系求出，检验首项即得数列通项. 【解答过程】由①，取，可得， 当时，②， 由，可得，即， 则数列为首项是1，公比是的等比数列， ，经检验，满足此式， 故. 故答案为：. 15．（2026·重庆·一模）已知等比数列满足：，且． (1)求数列的通项公式； (2)记的前项和为，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用等比数列的通项公式求解； （2）利用等比数列的前项和公式结合二次函数的图像求解. 【解答过程】（1）是等比数列，，且， ，， ； （2），， ， ， 设， 转化为， 对称轴为，，开口向下， ， 当时，；当时，； ， 比较的所有取值中，离对称轴最近， 当，即时，取最大值， 且最大值. 16．（2026·湖南永州·一模）已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意列出方程组，求出首项和公比，即可得答案； （2）利用（1）的结论化简，利用裂项求和法即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意可得， 即得，则， 即，可得，由于，故得， 则，故； （2）由（1）结论可得 ， 故的前项和 . 【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】 17．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）若数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】由充分条件和必要条件的定义得到结论. 【解答过程】取，，则，满足， 此时，所以数列不为递增数列， 故充分性不成立； 当数列为递增数列时，则，故必要性成立. ∴“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 18．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据递增数列的定义结合特例即可求解. 【解答过程】若有数列为递增数列，则， 当时，如：，满足， 但数列不是递增数列， 所以是数列为递增数列的必要不充分条件， 故选：B. 19．（2026·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解题思路】利用等比数列的通项公式及函数的单调性，结合数列的单调性即可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为，有， 由函数单调递增，且，可得. 有，由数列单调递减， 所以取得最大值时的值为9， 故选：B. 20．（2026·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】由，分和两种情况讨论公比取值，即可判断. 【解答过程】若“数列为递减数列”，易得， 若“对任意的正整数，”， ， 当时，由，得， 解得：或， 若，则，此时，与已知矛盾； 若，则，由指数函数单调性可知单调递减； 当时，由，得， 解得：或， 若，则，此时，与已知矛盾； 若，则，由指数函数单调性可知单调递减； 综上可知：若，可判断数列为递减数列， 所以“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的充要条件， 故选：C. 【题型6 等比数列前n项和的性质】 21．（2026·河南·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【解题思路】根据等比数列前项和的性质求解. 【解答过程】因为为等比数列，所以，，（显然三个数均不为0）也是等比数列. 且，，所以. 所以. 故选：A. 22．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 【答案】A 【解题思路】根据等比数列的性质可知片段和成等比数列，求出片段和等比数列公比即可得解. 【解答过程】因为，且， 所以，，故， 所以，即，解得或（舍去）， 由等比数列性质可知，成等比数列，公比为 所以，解得， 故选：A. 23．（2026·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【解题思路】由等比数列片段和依然成等比数列，结合等比中项的性质即可列式求解. 【解答过程】设正项等比数列的公比为， 则是首项为，公比为的等比数列， 若，，则， 所以，即， 解得或（舍去）. 故选：C. 24．（2026·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（    ） A．6 B．3 C．1 D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用等比数列片段和性质列式计算即得. 【解答过程】依题意，成等比数列，首项为2，设其公比为， 则， 由，得，整理得， 由等比数列的公比小于1，得，解得， 所以. 故选：B. 【题型7 等比数列的简单应用】 25．（2026·贵州遵义·模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（     ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】A 【解题思路】根据等比数列的通项公式与前项和公式计算． 【解答过程】由题意记10人每人所得玉米时依次为，则时，，，即是等比数列， 由已知，， （斗）． 故选：A． 26．（2026·陕西西安·模拟预测）某人从银行贷款100万，贷款月利率为年还清，约定采用等额本息按月还款(即每个月还相同数额的款，240个月还清贷款的利息与本金)，则每月大约需还款（    ）(参考数据： A．7265元 B．7165元 C．7365元 D．7285元 【答案】B 【解题思路】设每月需还款万元，由题意，求出第期还款后，还欠银行的款项，再由，得到的递推关系，进而得到数列是等比数列，求出通项，由，解出. 【解答过程】设每月需还款万元， 第一期还款后，还欠银行万元， 第二期还款后，还欠银行万元， 设第期还款后，还欠银行万元，则，且， 所以是公比为1.005的等比数列，所以. 令，解得，即每月大约需还款7165元. 故选：B. 27．（2026·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意知对折后的等腰直角三角形的腰长成首项为，公比为的等比数列，进而求出对折6次后的腰长，即可求解. 【解答过程】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为， 故对折6次后，得到腰长为的等腰直角三角形， 所以斜边长为. 故选：A． 28．（2026·山东青岛·一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【解题思路】推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值． 【解答过程】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 则是以2为公比的等比数列， ，，解得， 所以， ． 故选：C． 【题型8 等差数列与等比数列的综合】 29．（2026·河南·二模）记等差数列的前n项和为，公差，，数列为等比数列，且，，，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【解题思路】由题意得，即，解得，进而得和，即可求解. 【解答过程】由题意得，即得， 解得（舍去）或，, 所以，， 则， 因为， 所以. 故选：C. 30．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（    ） A．10 B．15 C．30 D．31 【答案】D 【解题思路】由是与的等差中项可得，再利用等比数列的通项公式代入求出和，最后利用等比数列的前项和公式求解即可. 【解答过程】因为数列为正项等比数列，设公比为， 又是与的等差中项，所以，即， 解得或（舍去）， 所以由解得， 所以该数列的前5项和， 故选：D. 31．（2026·安徽合肥·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）设出公差和公比，根据条件得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2），利用错位相减法求和得到答案. 【解答过程】（1）设公差为，公比为， ，故，， ，故， 联立，解得或（舍去）， 故，； （2），设数列的前项和为， 则，① ，② 两式①-②得， 所以. 32．（2026·陕西西安·一模）已知是等差数列，是公比为正整数的等比数列，且，，. (1)求，的通项公式； (2)记（），求. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）用基本量表示，求出公差和公比，再求通项公式即可； （2）利用错位相减法求和，即得解. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为（）， 由，，，有，， 有， 解得（舍），， 故，. （2）由， 有， 两式相减，得， 故. 一、单选题 1．（2026·湖北武汉·三模）已知等比数列为递增数列，若，，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【解题思路】根据等比数列的性质求解的值，从而可得公比的值，再根据等比数列的通项求解即可. 【解答过程】已知等比数列，则， 因为，所以，则， 又，所以或， 因为等比数列为递增数列，则，且公比， 所以，则， 故. 故选：A. 2．（2026·四川泸州·一模）已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设公比，利用等比数列的性质及等比中项得到方程，求出. 【解答过程】设等比数列的公比为，则，且，解得. 故选：C. 3．（2026·安徽芜湖·模拟预测）若等比数列的第3项和第5项分别为48和12，则的首项（    ） A．－192 B．192 C． D．－193 【答案】B 【解题思路】由题意求得公比的平方即可得解. 【解答过程】由，，得，得，所以． 故选：B． 4．（2026·陕西·模拟预测）记数列的前项和为，若，，则（   ） A．64 B．81 C．256 D．1024 【答案】C 【解题思路】先根据递推数列判断是等比数列，进而根据等比数列的通项公式求出结果. 【解答过程】因为，所以当时，， 两式相减得，即， 当时，，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列， 所以． 故选：C. 5．（2026·河南·二模）已知首项为的等比数列的前项和为，若也为等比数列，则的公比为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】由等比数列性质分、两种情况讨论求解即可. 【解答过程】设的公比为，当时，，， 可得， 所以不是等比数列， 当时，， 可得， 因为是等比数列，所以，所以. 故选：B. 6．（2026·四川自贡·一模）等比数列中，，，则（   ） A．27 B．81 C．243 D．729 【答案】B 【解题思路】将已知等式转化成与的关系式，两式作比求出公比，再由等比数列基本量运算即得答案. 【解答过程】设等比数列的公比为， ，， 两式作比可得， 又 故选：B. 7．（2026·河北·模拟预测）等比数列的公比为2，且满足，则的前10项和为（    ） A．4 B．32 C．84 D．128 【答案】A 【解题思路】根据等比数列通项基本量的关系，结合前项和公式求解即可. 【解答过程】因为数列为等比数列，公比为2. 由得，则， 所以的前10项和为. 故选：A. 8．（2026·黑龙江佳木斯·三模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．16 D．9 【答案】C 【解题思路】设正项等比数列的公比为，根据等差中项的性质得到方程，求出，再根据等比数列通项公式计算可得. 【解答过程】设正项等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以，则， 即，解得（舍去）或， 所以. 故选：C. 二、填空题 9．（2025·吉林松原·模拟预测）已知数列是等比数列，若，则___________． 【答案】 【解题思路】设等比数列的公比为，由，求得，结合，即可求解. 【解答过程】设等比数列的公比为， 因为，可得，解得，所以． 故答案为：. 10．（2026·河北沧州·一模）记为等比数列的前项和，若，则__________. 【答案】 【解题思路】设出等比数列的首项和公比，结合等比数列的求和公式计算. 【解答过程】设等比数列的公比为，又，所以（否则）， 所以， ，则，结合得到， 所以. 故答案为：. 11．（2026·辽宁丹东·模拟预测）已知等比数列的前3项和为168，前6项和为189，则数列的公比__________. 【答案】/ 【解题思路】利用，结合已知列方程求解即可. 【解答过程】由题可得， 所以， 即，解得. 故答案为：. 12．（2026·浙江绍兴·二模）等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则__________. 【答案】15 【解题思路】先由等比数列的性质求出，再由等差中项的性质求出，然后计算公比和，再利用等比数列的公式法求和即可. 【解答过程】由题意可得，解得， 因为与的等差中项为，所以，则， 得到，解得，故， 由等比数列求和公式得. 故答案为：15. 一、单选题 1．（2026·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 【答案】C 【解题思路】根据行列式定义及等比数列的通项公式求出公比，再由求和公式得解. 【解答过程】根据题意可得：， 因为数列是等比数列，，则化简得， 因为，所以. 所以. 故选：C. 2．（2026·吉林·模拟预测）已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】先由题意求出，接着由指数函数性质研究分析的单调性和最值即可求解. 【解答过程】由题可设等比数列的公比为， 因为，，所以或， 所以，， 所以为单调递增数列，为单调递减数列， 所以单调递增，故， 故若恒成立，则的最小值为. 故选：D. 二、填空题 3．（2026·江苏·模拟预测）已知正项等比数列中，，，则数列的前20项和为____________． 【答案】 【解题思路】根据等比数列基本量的计算得公比为，进而得，再结合裂项求和法求解即可. 【解答过程】由题，设正项等比数列的公比为， 因为正项等比数列满足，， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 设， 所以的前20项和为 故答案为：. 4．（2026·河北廊坊·模拟预测）设是等差数列的前项和，成等比数列，等比数列的首项为，公比为正整数，均不是常数列，若是整数，则__________. 【答案】 【解题思路】根据题意成等比数列，由等差数列的通项公式可得：，解可得，即可得数列的通项公式，进而可得，又由等比数列的通项公式可得：，进而可得，结合为正整数，且均不是常数列，分析可得的值，即可得答案. 【解答过程】根据题意，等差数列中，成等比数列， 则有，即， 则，则， 等比数列中，首项为，公比为正整数， 则， 又是整数，则是整数，     又由为正整数，则的值为. 且不是常数列 则的值为. 故答案为：. 三、解答题 5．（2026·陕西·模拟预测）已知等比数列中，，．在与之间插入个数，使得这个数依次构成一个公差为的等差数列． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在三个不同的正整数，，，且，使得数列中的三项，，成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)不存在，理由见解析 【解题思路】（1）根据题意得到，进而得到，再由题意得即可求解； （2）假设在数列中存在三项，，成等比数列，则，结合，解得，与题设矛盾，从而得出结论． 【解答过程】（1）设等比数列的公比为，则， 又，所以，所以，所以． 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列， 则，即， 则． （2）不存在，理由如下： 假设在数列中存在三项，，成等比数列， 则，即，即． 因为，所以，即，即， 联立解得，与题设矛盾， 故在数列中不存在三项，，成等比数列． 6．（2026·云南玉溪·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，，且. (1)求与的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）设出公差和公比，由题意得到方程组，求出公差和公比，得到通项公式； （2）分组求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法求和，得到答案. 【解答过程】（1）是等差数列，设公差为，是等比数列，设公比为，则， 因为，， 所以，解得或（舍去） 所以，； （2）， . 7．（2026·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，，． (1)求，； (2)证明：为等比数列； (3)求． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)384 【解题思路】（1）代入即可求解，进而根据求和的定义求解， （2）根据等比数列的定义，结合所给等式即可化简求解公比， （3）根据（2）的结论求解，即可代入求解. 【解答过程】（1）由可得， 故， 进而， （2）证明：由可得， 为常数， 故为等比数列，且公比为，首项为. （3）由（2）知，即， ，故， 所以. 8．（2026·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据等比数列的通项公式和求和公式列式求值即可. （2）利用错位相减法求和. （3）分析数列的单调性，求的最大值，再解二次不等式即可. 【解答过程】（1）对数列，设公比为，由题意，因为，所以. 又 . 所以. （2）由 . 所以. 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以. （3）由 . 所以数列从第2项开始，单调递减. 所以. 由 或. 所以实数的取值范围是：. 一、单选题 1．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 【答案】C 【解题思路】设该数列为，由题可得，其中 为常数，据此推得，即得该数列为非零常数列，即可判断. 【解答过程】设该数列为，则该数列满足，其中. 则，因为常数，该式对任意正整数成立，则， 从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意. 故选：C. 2．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【解题思路】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【解答过程】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 二、多选题 3．（2026·全国二卷·高考真题）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】设等比数列的公比为，根据条件列出关于的方程，求解可得的值，判断A；利用特值法可判断B；根据等比数列的前n项和公式，求得，，化简可判断C；求出，由的取值情况，结合不等式的性质，判断D. 【解答过程】由等比数列的公比为，则，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以，即，所以A正确. 因为，则，所以B错误. ， ，所以C正确. ， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，因为；所以， 所以，即，所以D正确. 故选：ACD. 4．（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【解答过程】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 5．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 【答案】 【解题思路】根据题意，求出，即可得解. 【解答过程】设数列的公比为，则， 则. 故答案为：. 6．（2026·全国一卷·高考真题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列，则的最大值为__________． 【答案】 【解题思路】由前项和公式推出每连续三项的和. 将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三项块和等于得到关于公比的比例关系，通过相邻块和之比解得的上界，即可取得最大值. 【解答过程】令，由题意得， 因此每个三项块的和为. 设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正， 下面按除以3的余数讨论. 若，这9项正好包含三个完整三项块， 得，，， 于是且，矛盾，故这种起点不存在. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 综上，所以，即的最大值为. 故答案为：. 7．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【解题思路】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【解答过程】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 8．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________． 【答案】 【解题思路】写出通项公式，得到，从而根据前三项和得到方程，求出公比. 【解答过程】由题意得，， 则，所以前三项和为， 解得或-1（舍去）， 故答案为：. 四、解答题 9．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【解题思路】（1）通过基本量计算即可求得通项公式； （2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可. 【解答过程】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以. 10．（2026·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析； （ii） 【解题思路】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解； （2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明； （ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解； 法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解. 【解答过程】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）证明：由（1）或，， 当时， 设 ， 所以， 所以 ， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 11．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【解答过程】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.6 等比数列及其前n项和（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 等比数列的基本量计算】 1 【题型2 等比数列的判定与证明】 2 【题型3 等比数列的性质及应用】 2 【题型4 等比数列的通项公式】 3 【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】 3 【题型6 等比数列前n项和的性质】 4 【题型7 等比数列的简单应用】 4 【题型8 等差数列与等比数列的综合】 5 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 等比数列的基本量计算】 1．（2026·湖南岳阳·三模）已知为正项等比数列的前项和，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2026·陕西宝鸡·一模）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于（   ） A． B．2或 C．2 D．4 3．（2026·江苏南京·一模）已知等比数列的前3项和为168，，则（ ） A． B．6 C．3 D．2 4．（2026·湖南邵阳·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【题型2 等比数列的判定与证明】 5．（2026·上海黄浦·三模）已知数列各项为正，满足，m、n是正整数，是等比数列，则P是Q的（   ） A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件． 6．（2026·陕西西安·一模）已知为数列的前n项和，命题p：是等比数列；命题q：，，.成等比数列，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 8．（2026·甘肃武威·模拟预测）已知数列满足，且. (1)证明：数列为等比数列，并求出的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【题型3 等比数列的性质及应用】 9．（2026·安徽合肥·三模）已知数列是等比数列，若，，则（   ） A．4 B． C． D． 10．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）已知等比数列中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·广西桂林·一模）已知各项均为正数的等比数列，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 12．（2026·湖北·二模）在正项等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【题型4 等比数列的通项公式】 13．（2026·湖北·一模）在数列中，，则数列的通项公式__________． 14．（2026·江西九江·二模）已知数列的前项和为，且满足，则__________． 15．（2026·重庆·一模）已知等比数列满足：，且． (1)求数列的通项公式； (2)记的前项和为，求的最大值． 16．（2026·湖南永州·一模）已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前项和． 【题型5 等比数列中的单调性与最值问题】 17．（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）若数列是等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知等比数列，则“”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（2026·广西·模拟预测）已知正项等比数列满足，则取最大值时的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 20．（2026·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型6 等比数列前n项和的性质】 21．（2026·河南·模拟预测）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 22．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，且，则（    ） A．40 B．-30 C．30 D．-30或40 23．（2026·江苏扬州·模拟预测）在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则的值为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 24．（2026·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（    ） A．6 B．3 C．1 D． 【题型7 等比数列的简单应用】 25．（2026·贵州遵义·模拟预测）公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，前五人得到的玉米总量为（     ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 26．（2026·陕西西安·模拟预测）某人从银行贷款100万，贷款月利率为年还清，约定采用等额本息按月还款(即每个月还相同数额的款，240个月还清贷款的利息与本金)，则每月大约需还款（    ）(参考数据： A．7265元 B．7165元 C．7365元 D．7285元 27．（2026·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（    ） A． B． C． D． 28．（2026·山东青岛·一模）云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列，则的值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【题型8 等差数列与等比数列的综合】 29．（2026·河南·二模）记等差数列的前n项和为，公差，，数列为等比数列，且，，，则（    ） A．2 B． C． D．3 30．（2026·辽宁鞍山·模拟预测）已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为（    ） A．10 B．15 C．30 D．31 31．（2026·安徽合肥·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 32．（2026·陕西西安·一模）已知是等差数列，是公比为正整数的等比数列，且，，. (1)求，的通项公式； (2)记（），求. 一、单选题 1．（2026·湖北武汉·三模）已知等比数列为递增数列，若，，则（   ） A． B． C．4 D．8 2．（2026·四川泸州·一模）已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽芜湖·模拟预测）若等比数列的第3项和第5项分别为48和12，则的首项（    ） A．－192 B．192 C． D．－193 4．（2026·陕西·模拟预测）记数列的前项和为，若，，则（   ） A．64 B．81 C．256 D．1024 5．（2026·河南·二模）已知首项为的等比数列的前项和为，若也为等比数列，则的公比为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·四川自贡·一模）等比数列中，，，则（   ） A．27 B．81 C．243 D．729 7．（2026·河北·模拟预测）等比数列的公比为2，且满足，则的前10项和为（    ） A．4 B．32 C．84 D．128 8．（2026·黑龙江佳木斯·三模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．16 D．9 二、填空题 9．（2025·吉林松原·模拟预测）已知数列是等比数列，若，则___________． 10．（2026·河北沧州·一模）记为等比数列的前项和，若，则__________. 11．（2026·辽宁丹东·模拟预测）已知等比数列的前3项和为168，前6项和为189，则数列的公比__________. 12．（2026·浙江绍兴·二模）等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则__________. 一、单选题 1．（2026·广西·模拟预测）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A．31 B．63 C．127 D．255 2．（2026·吉林·模拟预测）已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 二、填空题 3．（2026·江苏·模拟预测）已知正项等比数列中，，，则数列的前20项和为____________． 4．（2026·河北廊坊·模拟预测）设是等差数列的前项和，成等比数列，等比数列的首项为，公比为正整数，均不是常数列，若是整数，则__________. 三、解答题 5．（2026·陕西·模拟预测）已知等比数列中，，．在与之间插入个数，使得这个数依次构成一个公差为的等差数列． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在三个不同的正整数，，，且，使得数列中的三项，，成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 6．（2026·云南玉溪·模拟预测）设是等差数列，是等比数列，，且. (1)求与的通项公式； (2)设，求的前项和． 7．（2026·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，，． (1)求，； (2)证明：为等比数列； (3)求． 8．（2026·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（2026·上海·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 2．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 二、多选题 3．（2026·全国二卷·高考真题）设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（     ） A． B． C． D． 4．（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2026·上海·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 6．（2026·全国一卷·高考真题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列，则的最大值为__________． 7．（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 8．（2025·上海·高考真题）已知是首项为1、公差为1的等差数列，是首项为1、公比为的等比数列．若数列的前三项和为2，则__________． 四、解答题 9．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 10．（2026·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 11．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $