第16课时 任意角、弧度制和三角函数的概念导学案-2027届高考数学一轮复习

三江中学2027届高三数学第一轮复习导学案 高三（ ）姓名 第16课时 任意角、弧度制和三角函数的概念 一、知识梳理 1、 (1)正角：射线绕端点按 逆时针方向旋转形成的角；负角：按 顺时针方向旋转形成的角；零角： (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}， 2、象限角：若角的终边在第几象限，则称是第几象限角 3、三角函数值在各象限的符号：（ 一全正，二正弦，三正切，四余弦）． ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － 4、弧度制定义：与半径等长的圆弧所对的 圆心角 称为1弧度的角 5、角度与弧度互化：1）；2）1°＝AA rad；1 rad＝AA 6、弧长、扇形面积公式：弧长公式：l＝αR 面积公式：S＝AAlR＝AAαR2 7、任意角的三角函数的： 在角的终边与单位圆交于P（x，y），（即r=1）， 则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝AA(x≠0)． 拓展：在角的终边上任取一点P（x，y），设它与原点O的距离|OP|= r ， 则sin α＝AA，cos α＝AA，tan α＝AA(x≠0)． （2）特殊角的三角函数值 角度 弧度 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 -1 0 0 （4）终边相同的同一三角函数值相等：1） 2） 结论1．象限角 2．轴线角 二、典例分析 考点一：终边相同的角及其象限角 例1．(多选)下列四个命题中，正确的是(　　) A．－AA是第二象限角 B．AA是第三象限角C．－400°是第四象限角D．－315°是第一象限角 2．集合AA中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　　D 变式：1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________. 2．若角α是第二象限角，则AA是第________象限角． 考点二　扇形的弧长及面积公式 例2：已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 变式2：1、若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　) A．AA B．AA　　　　C．3　　 D．A 2、（2022全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ） A. B. C. D. 考点三 三角函数的概念及应用 　求三角函数的值 例3:　(1) 已知点PAA是角α的终边与单位圆的交点，则sin 2α＝(　　) A．AA B．－AA C．－AA D．A (2)已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则5sin α＋5cos α＋4tan α＝________. 　由三角函数值求参数 例4:已知角α的终边上一点P(－AA，m)(m≠0)，且sin α＝AA，则cos α＝____，tan α＝___. 　判定三角函数值的符号 例5: (1)(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　) A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0 (2)(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x正半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　) A．AA B．cos α－sin α C．sin αcos α D．sin α＋cos α 【变式3】 1、若点A（x，y）是300°角的终边上异于原点的一点，则的值为（ ） A、 B、 C、 D、 2、已知角α的终边上一点P（－4a，3a），（a≠0），则2sinα+cosα的值是（ ） A、 B、 C、 D、1 3、已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－AA，则x的值为________． 4、设θ是第二象限角，则点P(sinθ，cosθ)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 三、课后作业 1．下列角中终边与330°相同的角是(　　) A．30° B．－30° C．630° D．－630° 2．sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．大于等于0 3．若角α＝2 rad(rad为弧度制单位)，则下列说法错误的是(　　) A．角α为第二象限角 B．α＝AA° C．sinα>0 D．sinα<cosα 4．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数是(　　) A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 5．集合AA中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 6．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α为________象限角． 7．若点AA在角α的终边上，则sinα的值为________． 8、在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆的交点A在第二象限．若cosα＝－AA，则点A的坐标为________. 9．已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动AA弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tanα＝________. 10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角； (2)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB. 四、课后反思 第16课时 任意角、弧度制和三角函数的概念参考答案 一、知识梳理 1、 (1)正角：按 方向旋转形成的角；负角：按 方向旋转形成的角；零角 (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}， 2、象限角：若角的终边在第几象限，则称是第几象限角 3、三角函数值在各象限的符号：（ 一全正，二正弦，三正切，四余弦）． ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － 4、弧度制定义：与半径等长的圆弧所对的 圆心角 称为1弧度的角 5、角度与弧度互化：1）；2）1°＝AA rad；1 rad＝AA 6、弧长、扇形面积公式：弧长公式：l＝αR 面积公式：S＝AAlR＝AAαR2 7、任意角的三角函数的： 在角的终边与单位圆交于P（x，y），（即r=1）， 则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝AA(x≠0)． 拓展：在角的终边上任取一点P（x，y），设它与原点O的距离|OP|= r ， 则sin α＝AA，cos α＝AA，tan α＝AA(x≠0)． （2）特殊角的三角函数值 角度 弧度 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 -1 0 0 （4）终边相同的同一三角函数值相等：1） 2） 结论1．象限角 2．轴线角 二、典例分析 考点一：终边相同的角及其象限角 1．(多选)下列四个命题中，正确的是(　　) A．－AA是第二象限角 B．AA是第三象限角C．－400°是第四象限角D．－315°是第一象限角 BCD　[－AA是第三象限角，故A错误；AA＝π＋AA，从而AA是第三象限角，故B正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，故C正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，故D正确．] 2．集合AA中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　　D C　[当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋AA≤α≤2nπ＋AA(n∈Z)，此时α的终边在AA～AA内；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋AA≤α≤2nπ＋π＋AA(n∈Z)，此时α的终边在π＋AA～π＋AA内，结合选项知选C．] 变式：1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________. －675°或－315°　[所有与45°终边相同的角表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)． 法一：由β＝45°＋k×360°知，当k＝－1时，β＝－315°满足题意． k＝－2时，β＝－675°满足题意．所以β＝－675°或β＝－315°.] 2．若角α是第二象限角，则AA是第________象限角． 一或三　[因为α是第二象限角，所以AA＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，所以AA＋kπ<AA<AA＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，不妨设k＝2n(n∈Z)，则AA＋2nπ＜AA＜AA＋2nπ，AA是第一象限角；当k为奇数时，不妨设k＝2n＋1(n∈Z)，则AA＋π＋2nπ＜AA＜AA＋π＋2nπ，即AA＋2nπ＜AA＜AAπ＋2nπ，AA是第三象限角．所以AA是第一或三象限角．] 考点二　扇形的弧长及面积公式 例2：已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形的圆心角； (3)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ [解]　(1)因为α＝60°＝AA，所以l＝αR＝AA×10＝AA(cm)． (2)由题意得AA解得AA(舍去)或AA故扇形的圆心角为AA. (3)由已知得l＋2R＝20(cm)． 法一：S＝AAlR＝AA(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25. 所以，当R＝5 cm时，S取得最大值，且最大值为25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2. 变式2：1、若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　) A．AA B．AA　　　　C．3　　 D．A 1、D　(2)如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝AA，作OM⊥AB，垂足为M， 在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝AA， ∴AM＝AAr，AB＝AAr，∴l＝AAr，由弧长公式得α＝AA＝AA＝AA.] 2、（2022全国甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B【详解】解：如图，连接，因为是的中点，所以， 又，所以三点共线，即， 又，所以，则，故， 所以.故选：B. 考点三 三角函数的概念及应用 　求三角函数的值 例3:　(1) 已知点PAA是角α的终边与单位圆的交点，则sin 2α＝(　　) A．AA B．－AA C．－AA D．A (2)已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，则5sin α＋5cos α＋4tan α＝________. (1)C　(2)－4或－2　[(1)依题意，由任意角三角函数的定义可得sin α＝AA，cos α＝－AA，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×AA×AA＝－AA.故选C． (2)设α终边上任意一点为P(－4a,3a)，r＝|5a|.当a>0时，r＝5a，sin α＝AA，cos α＝－AA，tan α＝－AA，∴5sin α＋5cos α＋4tan α＝3－4－3＝－4； 当a<0时，r＝－5a，sin α＝－AA，cos α＝AA，tan α＝－AA， ∴5sin α＋5cos α＋4tan α＝－3＋4－3＝－2. 综上可知，5sin α＋5cos α＋4tan α＝－4或5sin α＋5cos α＋4tan α＝－2.] 　由三角函数值求参数 例4:已知角α的终边上一点P(－AA，m)(m≠0)，且sin α＝AA，则cos α＝____，tan α＝___. －AA　AA或－AA　[设P(x，y)，由题设知x＝－AA，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－AA)2＋m2(O为原点)，即r＝AA，所以sin α＝AA＝AA＝AA，所以r＝AA＝2AA，即3＋m2＝8，解得m＝±.当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，所以cos α＝＝－，tan α＝－；当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，所以cos α＝＝－，tan α＝.] 　判定三角函数值的符号 例5: (1)(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　) A．cos 2α＞0 B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0 (2)(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原点O，以x正半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是(　　) A． B．cos α－sin α C．sin αcos α D．sin α＋cos α (1)D　(2)AB　[(1)法一：由题意，知－＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，所以－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D． 法二：当α＝－时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A，B，C，故选D． (2)由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0.选项A，>0；选项B，cos α－sin α>0； 选项C，sin αcos α<0；选项D，sin α＋cos α符号不确定．故选AB．] 【变式3】 1、若点A（x，y）是300°角的终边上异于原点的一点，则的值为（ ） A、 B、 C、 D、 2、已知角α的终边上一点P（－4a，3a），（a≠0），则2sinα+cosα的值是（ ） A、 B、 C、 D、1 3、已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则x的值为________． 4、设θ是第二象限角，则点P(sinθ，cosθ)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 三、课后作业 一、选择题 1．下列角中终边与330°相同的角是(　　) A．30° B．－30° C．630° D．－630° 1．[答案]B　[解析]　因为330°的角的终边与－30°的角的终边相同，所以选项B满足题意．故选B. 2．sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．大于等于0 [答案]A因为＜2＜3＜π＜4＜，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0. 所以sin 2·cos 3·tan 4＜0.故选A． 3．若角α＝2 rad(rad为弧度制单位)，则下列说法错误的是(　　) A．角α为第二象限角 B．α＝° C．sinα>0 D．sinα<cosα 3．[答案]　D[解析]　对于A，∵<α<π，∴角α为第二象限角，故A正确；对于B，α＝°＝2 rad，故B正确；对于C，sinα>0，故C正确；对于D，sinα>0，cosα<0，故D错误．故选D. 4．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角α的弧度数是(　　) A．1 B．4 C．1或4 D．2或4 4．[答案]　C[解析]　设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则l＋2r＝6，S＝lr＝2，解得r＝2，l＝2或r＝1，l＝4，故α＝＝1或4，故选C. 5．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 5．[答案]　C[解析]　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．故选C. 6．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α为________象限角． 6．[答案]　第一或第三[解析]　α＝k·180°＋45°＝·360°＋45°.当k为偶数时，α为第一象限角；当k为奇数时，α为第三象限角．综上，α为第一或第三象限角． 7．若点在角α的终边上，则sinα的值为________． 7．[答案]　－[解析]　∵角α的终边上一点的坐标为，即，∴由任意角的三角函数的定义，可得sinα＝－. 8、在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆的交点A在第二象限．若cosα＝－，则点A的坐标为________. 8．[答案]　[解析]　∵cosα＝－，∴sinα＝＝，∴A. 9．已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tanα＝________. 9．[答案]　1[解析]　圆的半径为2，的弧长对应的圆心角为，故以ON为终边的角为，故tanα＝1. 10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角； (2)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB. 10．[解]　(1)设圆心角是θ，半径是r，则 解得或(舍去)． ∴扇形的圆心角为. (2)设圆的半径为r cm，弧长为l cm， 则解得∴圆心角α＝＝2. 如图，过O作OH⊥AB于H， 则∠AOH＝1 rad.∴AH＝1·sin1＝sin1(cm)，∴AB＝2sin1(cm)． 2 学科网（北京）股份有限公司 $