第4章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了任意角、弧度制及任意角三角函数核心考点，以角的概念、弧度制应用、三角函数定义及三角函数线为脉络，通过题组练透和方法指导，引导学生从定义到应用自主构建知识网络，体现考点梳理的系统性与层次性。 亮点在于诊断性题组与方法指导结合，如开篇设置多选、填空题组帮助学生自主诊断薄弱点，方法指导中终边位置确定等策略培养数学思维，三角函数线应用环节发展数学眼光，助力学生自主提升，教师可通过学情精准指导，实现因材施教。

第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3.借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 　　 角的概念 1.定义：角可以看成一条射线绕着它的　　　旋转所成的图形. 2.分类： 3.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝　　　　　　. 结论：象限角与轴线角 （1）象限角 （2）轴线角 题组练透 1.〔多选〕下列命题正确的是（　　） A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α｜α＝k·360°，k∈Z} B.终边落在y轴上的角的集合为{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z} C.第三象限角的集合为{α｜180°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z} D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315° 2.〔多选〕若α是第二象限角，则（　　） A.－α是第三象限角 B.是第三象限角 C.＋α是第二象限角 D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上 3.终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π）内的角α的集合为　　　　　　. 1.确定nα，（n∈N*）的终边位置的方法：先用终边相同的角的形式表示出角α的范围，再写出nα或的范围，然后根据n的可能取值讨论确定nα或的终边所在位置. 2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角. 提醒　相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍. 弧度制及应用 1.定义：长度等于　　　　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示. 2.公式 角α的弧度数公式 ｜α｜＝（弧长用l表示） 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝　　 弧长公式 l＝　　 扇形面积公式 S＝　　　＝　　　 提醒：应用公式l＝｜α｜r，S＝lr＝｜α｜r2时，α的度量制度必须是弧度制. 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. （1）若α＝60°，R＝6，求扇形的周长； （2）若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角α为多少弧度. 应用弧度制解决问题的注意点 （1）求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个.要注意角的单位必须是弧度； （2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数（或基本不等式）的最值问题； （3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 练1 （1）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是　　　　； （2）已知扇形AOB的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB＝　　　　. 任意角的三角函数 1.定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），那么sin α＝　　　，cos α＝　　　，tan α＝　　　　. 2.定义的推广：设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝（x≠0）. 3.三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦. （1）以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y＝x上，则有（　　） A.sin α＝－ B.cos α＝ C.sin α＋cos α＝± D.tan α＝±1 （2）已知sin θcos θ＜0，且｜cos θ｜＝cos θ，则角θ是（　　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.三角函数定义的应用 （1）直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值； （2）已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值. 2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解. 练2 （1）sin 2·cos 3·tan 4的值（　　） A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 （2）若角θ的终边经过点P（－，m）（m≠0），且sin θ＝m，则cos θ＝　　　　. 三角函数线的应用 　　通过人A必修一 P210探究，我们知道在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，过点A（1，0）作x轴的垂线，交角α的终边或其反向延长线于点T（如图），有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线. 若α∈（ 0，），有PM＜＜AT，即sin α＜α＜tan α. （1）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α＜cos α＜sin α，则点P所在的圆弧是（　　） A.　 　B. C.　 　D. （2）设0≤α＜2π，若sin α＞cos α，则角α的取值范围是　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 提示：完成课后作业　第四章　第1节 答案 第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 考点一 1.端点 2.正角　负角　零角　象限 3.{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z} 题组练透 1.AD　A项显然正确；B中，终边落在y轴上的角的集合为（或{α｜α＝＋kπ，k∈Z}），角度与弧度不能混用，故错误；C中，第三象限角的集合为{α｜180°＋k·360°＜α＜270°＋k·360°，k∈Z}，故错误；D中，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°＜0°（k∈Z），解得－≤k＜－（k∈Z），从而当k＝－2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－315°，故正确. 2.AD　因为α是第二象限角，可得＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，对于A，可得－π－2kπ＜－α＜－－2kπ，k∈Z，此时－α位于第三象限，所以A正确；对于B，可得＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，位于第一象限；当k为奇数时，位于第三象限，所以B错误；对于C，可得2π＋2kπ＜＋α＜＋2kπ，k∈Z，即2（k＋1）π＜＋α＜＋2（k＋1）π，k∈Z，所以＋α位于第一象限，所以C错误；对于D，可得π＋4kπ＜2α＜2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，所以D正确. 3.{－，－，，}　解析：在坐标系中画出直线y＝x（图略），可以发现它与x轴的夹角为，在[0，2π）内，终边在直线y＝x上的角有和；在[－2π，0）内满足条件的角有－和－，故满足条件的角α构成的集合为{－，－，，}. 考点二 1.半径长 2.（ ）°　｜α｜r　lr　｜α｜r2 【例1】　解：（1）因为α＝60°＝，所以扇形的周长为l＋2R＝×6＋2×6＝2π＋12. （2）由扇形的周长为20，得αR＋2R＝20， 所以R＝，则扇形的面积S＝αR2＝α·＝≤＝25， 当且仅当α＝，即α＝2时取等号. 所以扇形面积的最大值为25，此时扇形的圆心角α为2弧度. 练1　（1）2π－2　（2）2sin 1 解析：（1）由条件可知，＝＝＝，等边三角形的边长AB＝BC＝AC＝＝2，则以点A，B，C为圆心，圆弧AB，BC，AC所对的扇形面积为××2＝，中间等边△ABC的面积S＝×2×＝.所以莱洛三角形的面积是3×－2＝2π－2. （2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l＋2r＝4，l＝4－2r，＜r＜2，则扇形的面积S＝lr＝（4－2r）r＝（2－r）r＝－r2＋2r＝－（r－1）2＋1，所以当r＝1时，S取得最大值1，此时l＝2，则扇形的圆心角α＝＝2，则AB＝2rsin＝2sin 1. 考点三 1.y　x　（x≠0） 【例2】　（1）C　（2）D　解析：（1）当角α的终边在第一象限时，在其终边上任取一点P（a，a），a＞0，则r＝a，故sin α＝，cos α＝，tan α＝1，sin α＋cos α＝；当角α的终边在第三象限时，在其终边上任取一点P（－a，－a），a＞0，则r＝a，故sin α＝－，cos α＝－，tan α＝1，sin α＋cos α＝－，故选C. （2）由｜cos θ｜＝cos θ，可知cos θ≥0，结合sin θcos θ＜0，得sin θ＜0，cos θ＞0，故选D. 练2　（1）A　（2）－　解析：（1）因为＜2＜3＜π＜4＜，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，所以sin 2·cos 3·tan 4＜0. （2）r＝，由sin θ＝＝m，整理得m2＝5，则r＝＝＝2.所以cos θ＝＝－. 衔接教材 【例】　（1）C　（2）（ ，）　解析：（1）由三角函数线可知，在上，tan α＞sin α，不满足；在上，tan α＞sin α，不满足；在上，sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，且cos α＞tan α，满足；在上，tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0，不满足. （2）因为sin α＞cos α，且0≤α＜2π.所以当cos α＞0时，可得tan α＞，在单位圆中画出满足tan α＞的三角函数线，可知此时＜α＜，图中的浅色阴影区域（不包括边界）为此时角α的范围； 当cos α＜0时，可得tan α＜，此时借助单位圆中的三角函数线，可知此时＜α＜，图中的深色阴影区域（不包括边界）为此时角α的范围；当cos α＝0时，sin α＝±1，只有sin α＝1满足条件sin α＞cos α，此时α＝.综上可得，＜α＜. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $