第4章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案系统梳理了任意角、弧度制及三角函数核心考点，按角的概念、弧度制公式、三角函数定义及符号构建知识网络，通过诊断自测和问题链设计，引导学生自主梳理终边相同角、象限角等关系，形成层次分明的知识体系。 亮点在于自主诊断与针对性学习设计，开篇设置5道诊断题检测基础，考点模块配套方法指导（如终边位置确定法）和训练题，培养数学抽象与逻辑推理素养。学生可通过错题归因自主提升，教师能依据学情精准指导，有效支持个性化复习与因材施教。

第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 1.了解任意角的概念和弧度制. 2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3.借助单位圆理解三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义. 知识梳理 1.角的概念 （1）定义：角可以看成一条射线绕着它的　　　　旋转所成的图形； （2）分类： （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}. 提醒：相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍. 2.弧度制的定义和公式 （1）定义：长度等于　　　　　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示； （2）公式 角α的弧度数公式 ｜α｜＝（弧长用l表示） 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝　　 弧长公式 l＝　　　　　 扇形面积公式 S＝　　　　＝　　　　　 提醒：（1）角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用；（2）利用上表中的扇形弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. 3.任意角的三角函数 （1）定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），那么sin α＝　　　　，cos α＝　　　　，tan α＝　　　　　　； （2）定义的推广：设P（x，y）是角α终边上异于顶点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝（x≠0）； （3）三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 1.象限角与轴线角 （1）象限角 （2）轴线角 2.α所在象限与所在象限的关系 α所在象限 一 二 三 四 所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四 3.若角α∈（ 0，），则sin α＜α＜tan α. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）锐角是第一象限角，第一象限的角也都是锐角.（　　） （2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.（　　） （3）终边相同的角的同一三角函数值相等.（　　） （4）若sin α＞0，则α是第一或第二象限角.（　　） 2.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是（　　） A.2kπ＋45°（k∈Z） B.k·360°＋（k∈Z） C.k·360°－315°（k∈Z） D.kπ＋（k∈Z） 3.一条弦的长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为（　　） A. B. C. D.π 4.－135°＝　　　　rad，它是第　　　　象限角. 5.（2026·广东六校第一次联考）已知角θ的终边经过点P（－12，5），则sin θ＋cos θ＝　　　　. 象限角与终边相同的角 （基础自学过关） 1.〔多选〕（2026·重庆江津模拟）下列命题正确的是（　　） A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α｜α＝2kπ，k∈Z} B.终边落在y轴上的角的集合为{α｜α＝90°＋kπ，k∈Z} C.第三象限角的集合为{α｜π＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z} D.在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315° 2.〔多选〕下列四个命题中正确的是（　　） A.－是第二象限角 B.是第三象限角 C.－400°是第四象限角 D.－315°是第一象限角 3.已知α为第一象限角，则是第　　　　象限角，2α是　　　　的角. 4.（2026·安徽合肥调研）若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈（－3π，4π），则α＝　　　　. 1.利用终边相同的角的集合可以求符合某些条件的角，方法是先写出与这个角终边相同的所有角的集合，然后对集合中的参数k（k∈Z）赋值，进而可得要求的角. 2.确定kα，（k∈N*）的终边位置的方法 先用终边相同的角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置. 扇形的弧长及面积公式 （师生共研过关） （1）已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长为（　　） A. B. C. D. （2）扇子最早称“”，其功能并不是纳凉，而是礼仪用具，后用于纳凉、娱乐、欣赏等.扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融入建筑等艺术审美之中.图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图2）AO＝80 cm，圆心角为45°，且C为AO的中点，则该扇形窗子的面积为（　　） A.108 000 cm2 B.108 000π cm2 C.600π cm2 D.600 cm2 听课记录 有关弧长及扇形面积问题的注意点 （1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度； （2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题； （3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 训练1 （1）已知扇形的弧长为，圆心角为2，则该扇形的面积为（　　） A. B. C. D.1 （2）若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为　　　　rad时，这个扇形的面积最大. 三角函数的定义及应用 （定向精析突破） 考向1　三角函数的定义 （1）已知角α的终边过点P（－8m，－6sin 30°），且cos α＝－，则m的值为（　　） A.－ B.－ C. D. （2）已知角α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝　　　　. 听课记录 利用三角函数的定义解题的策略 （1）已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值.先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解； （2）已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值； （3）已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标. 考向2　三角函数值符号的判定 （1）若sin α·tan α＜0，且＜0，则角α是（　　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 （2）（2026·山东枣庄调研）sin 2·cos 3·tan 4的值（　　） A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 听课记录 三角函数值符号的判断方法 　　要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号.如果角不能确定所在象限，就要分类讨论求解. 训练2 （1）（2026·河北沧州名校联考质量监测）已知在平面直角坐标系中，角α（0≤α＜2π）的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点P（ sin，cos）为角α终边上的一点，则α＝（　　） A. B. C. D. （2）（2026·广东深圳外国语学校月考）＋＋的值组成的集合为（　　） A.{3} B.{3，1} C.{－1，1} D.{3，－1} 三角函数线的应用 　　通过人A必修一P210探究，我们知道在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，过点A（1，0）作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T（如图），有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线. 若α∈（ 0，），有PM＜＜AT，即sin α＜α＜tan α. （1）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2＋y2＝1上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边.若tan α＜cos α＜sin α，则点P所在的圆弧是（　　） A. B. C. D. （2）设0≤α＜2π，若sin α＞cos α，则角α的取值范围是　　　　. 听课记录 提示：完成课后作业　第四章　第1节 答案 第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数 【夯实必备知识】 知识梳理 1.（1）端点　（2）正角　负角　零角　象限　轴线 2.（1）半径长　（2）°　αR（0＜α＜2π）　lR　αR2（0＜α＜2π） 3.（1）y　x　（x≠0） 诊断自测 1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）× 2.C　3.B　4.－　三　5.－ 【研透核心考点】 考点1 1.AD　2.BCD　3.一、三　第一、第二象限或y轴的非负半轴上　4.－，，　 考点2 【例1】　（1）C　（2）C　解析：（1）设扇形的半径为r，则××r2＝，解得r＝2.所以扇形的弧长为2×＝. （2）由题意得45°化为弧度为，又AO＝80 cm，C为AO的中点，则该扇形窗子的面积为×（OA2－OC2）＝××（802－402）＝600π（cm2）.故选C. 训练1　（1）B　（2）2　解析：（1）设扇形的半径为r，因为扇形的弧长为，圆心角为2，所以2r＝，可得r＝，由扇形的面积公式，可得扇形的面积S＝××＝.故选B. （2）由题意，得l＋2R＝20，∴l＝20－2R.∴S扇＝lR＝（20－2R）R＝－R2＋10R＝－（R－5）2＋25.∴当R＝5 cm时，S扇有最大值25 cm2.此时l＝20－2×5＝10（cm），α＝＝＝2 rad.∴当α＝2 rad时，扇形的面积最大. 考点3 【例2】　（1）C　（2）±　解析：（1）由题意得点P（－8m，－3），r＝，所以cos α＝＝－，所以m＞0，解得m＝. （2）由题意知，角α的终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α的终边上任取一点（1，2），∴sin α＝＝，若在第三象限，可在α的终边上任取一点（－1，－2），∴sin α＝＝－. 【例3】　（1）C　（2）A　解析：（1）由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角.由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角.综上可知，α为第三象限角，故选C. （2）因为＜2＜3＜π＜4＜，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，所以sin 2·cos 3·tan 4＜0. 训练2　（1）D　（2）D　解析：（1）由题意可知点P的坐标为（ ，），tan α＝＝，角α是第一象限角，所以0＜α＜，所以α＝.故选D. （2）当θ是第一象限角时，原式＝＋＋＝3；当θ是第二象限角时，原式＝＋＋＝－1；当θ是第三象限角时，原式＝＋＋＝－1；当θ是第四象限角时，原式＝＋＋＝－1.故选D. 衔接教材 【例】　（1）C　（2）（ ，）　解析：（1）由三角函数线可知，在上，tan α＞sin α，不满足；在上，tan α＞sin α，不满足；在上，sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，且cos α＞tan α，满足；在上，tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0，不满足. （2）因为sin α＞cos α，且0≤α＜2π.所以当cos α＞0时，可得tan α＞，在单位圆中画出满足tan α＞的三角函数线，可知此时＜α＜，图中的浅色阴影区域（不包括边界）为此时角α的范围；当cos α＜0时，可得tan α＜，此时借助单位圆中的三角函数线， 可知此时＜α＜，图中的深色阴影区域（不包括边界）为此时角α的范围；当cos α＝0时，sin α＝±1，只有sin α＝1满足条件sin α＞cos α，此时α＝.综上可得，＜α＜. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $