江苏苏州市某校2026-2027学年高三上学期数学第一次补差练习试题

周末练习01 姓名：________班级___________ 一、单项选择题 1.若等差数列{an}的前15项和S15=30，则a7+a8+a9等于(　　) A.-2 B.6 C.10 D.14 2.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S9+7S6=8S3，则{an}的公比为(　　) A.2 B. C.- D.-2 3.已知等差数列{an}共有(2n+1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an+1的值为(　　) A.30 B.29 C.28 D.27 4.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-2n(n-1)，则(　　) A.S6=a17+a1 B.S6=a17-a1 C.S6=a17+a2 D.S6=a17-a2 5.在等比数列{an}中，若a1·a5·a12为一确定的常数，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列各数为常数的是(　　) A.T6 B.T8 C.T10 D.T11 6.已知数列{an}满足a1=1，前n项和为Sn，an+1·an=2n(n∈N*)，则S2 026等于(　　) A.22 026-1 B.3×21 013-1 C.3×21 013-2 D.3×21 013-3 二、多项选择题(共6分) 7.设数列{an}的前n项和为Sn，-=-1，S1=32，则下列说法正确的是(　　) A.{an}是等差数列 B.S3，S6-S3，S9-S6成等差数列，公差为-9 C.当n=16或n=17时，Sn取得最大值 D.当Sn≥0时，n的最大值为32 8.记等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足a1>1，a2 024>1，a2 025<1，则(　　) A.a2 024a2 026-1<0 B.S2 024+1<S2 025 C.T2 024是数列{Tn}中的最大项 D.T4 049>1 9.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A-sin B)=csin C-bsin B，则下列说法正确的是(　　) A.C= B.若△ABC的面积为，则c的最小值为2 C.若c=2，则△ABC的周长的最大值为6 D.若b=3，c=2，则满足条件的△ABC有且仅有一个 三、填空题(共5分) 10.)已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=(n+1)2,n∈N*,则{an}的通项公式an=　　　　. 　　　.  11.已知数列{an}的通项an=,n∈N*,则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为　　　　. 　　.  12.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=　　　　　　；若的值为正整数，则n=　　　　　　. 四、解答题(共14分) 13.已知数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn=3n-λ,若数列{bn}为递增数列,求λ的取值范围. 14.记Sn为数列{an}的前n项和.已知+n=2an+1. (1)证明:{an}是等差数列; (2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值. 15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A为钝角,a=7,sin 2B=bcos B. (1)求A; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求△ABC的面积. 条件①:b=7; 条件②:cos B=; 条件③:csin A=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 周末练习01 姓名：________班级___________ 一、单项选择题 1.若等差数列{an}的前15项和S15=30，则a7+a8+a9等于(　　) A.-2 B.6 C.10 D.14 答案　B 解析　∵等差数列{an}的前15项和S15=30，∴S15=(a1+a15)=15a8=30，解得a8=2， ∴a7+a8+a9=3a8=6. 2.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S9+7S6=8S3，则{an}的公比为(　　) A.2 B. C.- D.-2 答案　D 解析　设等比数列{an}的公比为q，根据等比数列前n项和的性质，S3，S6-S3，S9-S6成等比数列，且公比为q3，又S9+7S6=8S3，即S9-S6=-8(S6-S3)，所以q3=-8，解得q=-2. 3.已知等差数列{an}共有(2n+1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an+1的值为(　　) A.30 B.29 C.28 D.27 答案　B 解析　∵奇数项共有(n+1)项，其和为·(n+1)=·(n+1)=290， ∴(n+1)an+1=290.∵偶数项共有n项，其和为·n=·n=nan+1=261， ∴an+1=290-261=29. 4.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-2n(n-1)，则(　　) A.S6=a17+a1 B.S6=a17-a1 C.S6=a17+a2 D.S6=a17-a2 答案　A 解析　当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-2n(n-1)-(n-1)an-1+2(n-1)(n-2) =nan-(n-1)an-1-4(n-1)，则(n-1)an-(n-1)an-1=4(n-1)，即an-an-1=4， 所以数列{an}是公差为4的等差数列.又a1=1，则an=1+4(n-1)=4n-3， Sn=×n=n(2n-1).所以a17=4×17-3=65，S6=6×11=66=a17+a1. 5.在等比数列{an}中，若a1·a5·a12为一确定的常数，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列各数为常数的是(　　) A.T6 B.T8 C.T10 D.T11 答案　D 解析　在等比数列{an}中，设公比为q，则a1·a5·a12=q15=(a1q5)3，若a1·a5·a12为一确定的常数，则a1q5为一确定的常数，又∵T6=q15=，T8=q28=，T10=q45=， T11=q55=(a1q5)11，∴T11为常数. 6.已知数列{an}满足a1=1，前n项和为Sn，an+1·an=2n(n∈N*)，则S2 026等于(　　) A.22 026-1 B.3×21 013-1 C.3×21 013-2 D.3×21 013-3 答案　D 解析　数列{an}中，a1=1，由an+1·an=2n，得a2=2，an+2·an+1=2n+1，则有=2， 因此数列{a2n-1}是以1为首项，2为公比的等比数列，数列{a2n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以S2 026=(a1+a3+…+a2 025)+(a2+a4+…+a2 026)=+=3×21 013-3. 二、多项选择题(共6分) 7.设数列{an}的前n项和为Sn，-=-1，S1=32，则下列说法正确的是(　　) A.{an}是等差数列 B.S3，S6-S3，S9-S6成等差数列，公差为-9 C.当n=16或n=17时，Sn取得最大值 D.当Sn≥0时，n的最大值为32 答案　AC 解析　由-=-1，S1=32可得，数列是以32为首项，-1为公差的等差数列， 则=32+(n-1)×(-1)=-n+33，∴Sn=-n2+33n.对于选项A，∵Sn=-n2+33n，∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(-n2+33n)-[-(n-1)2+33(n-1)]=-2n+34，∵当n=1时，a1=S1=32也符合上式， ∴an=-2n+34，n∈N*.∵an+1-an=[-2(n+1)+34]-(-2n+34)=-2，∴数列{an}是公差为-2的等差数列，故选项A正确； 对于选项B，∵Sn=-n2+33n，∴S3=-32+33×3=90，S6=-62+33×6=162，S9=-92+33×9=216， ∴S6-S3=72，S9-S6=54， 则2(S6-S3)=S3+(S9-S6)，(S6-S3)-S3=-18， ∴S3，S6-S3，S9-S6成等差数列，公差为-18，故选项B错误； 对于选项C，∵Sn=-n2+33n=-+，n∈N*， ∴当n=16或n=17时，Sn取得最大值，故选项C正确； 对于选项D，令Sn=-n2+33n≥0， 得0≤n≤33，n∈N*，即当Sn≥0时，n的最大值为33，故选项D错误. 8.记等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足a1>1，a2 024>1，a2 025<1，则(　　) A.a2 024a2 026-1<0 B.S2 024+1<S2 025 C.T2 024是数列{Tn}中的最大项 D.T4 049>1 答案　AC 解析　设数列{an}的公比为q.∵a1>1，a2 025<1，∴0<a2 025<1，又a2 024>1，∴0<q<1. ∵a2 024a2 026=<1，∴a2 024a2 026-1<0，故A正确； ∵a2 025<1，∴a2 025=S2 025-S2 024<1，即S2 024+1>S2 025，故B错误； ∵0<q<1，a1>1，∴数列{an}是递减数列，∵a2 024>1，a2 025<1， ∴T2 024是数列{Tn}中的最大项，故C正确； T4 049=a1a2a3·…·a4 049=a1(a1q)(a1q2)·…·(a1q4 048)=q1+2+3+…+4 048 =q2 024×4 049=(a1q2 024)4 049=，∵0<a2 025<1，∴<1， 即T4 049<1，故D错误. 9.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(sin A-sin B)=csin C-bsin B，则下列说法正确的是(　　) A.C= B.若△ABC的面积为，则c的最小值为2 C.若c=2，则△ABC的周长的最大值为6 D.若b=3，c=2，则满足条件的△ABC有且仅有一个 答案　BC 解析　∵a(sin A-sin B)=csin C-bsin B， ∴由正弦定理可得a(a-b)=c2-b2， 即a2+b2-c2=ab，对于A选项，由余弦定理的推论，可得 cos C==，∵0<C<π，∴C=，故A错误； 对于B选项，由题可知absin C=ab=，∴ab=4， 由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab=4，∴c≥2，当且仅当a=b=2时等号成立，故c的最小值为2，故B正确； 对于C选项，c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=4， ∵ab≤，-3ab≥-，则4=(a+b)2-3ab≥(a+b)2-=， ∴(a+b)2≤16，∴a+b≤4，当且仅当a=b=2时等号成立，∵c=2，∴a+b>2，∴4<a+b+c≤6， 则△ABC的周长的最大值为6，故C正确； 对于D选项，由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C，即8=a2+9-3a，即a2-3a+1=0， 解得a=，则满足条件的△ABC有2个，故D错误. 三、填空题(共5分) 10.已知数列{an}满足a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=(n+1)2,n∈N*,则{an}的通项公式an=____________　　　　.  答案　 解析　因为a1+3a2+5a3+…+(2n-1)an=(n+1)2,① 所以a1=22=4, 当n≥2时, a1+3a2+5a3+…+(2n-3)an-1=n2,② 由①-②,可得(2n-1)an=2n+1, 所以an=(n≥2,n∈N*), 当n=1时,不满足上式, 所以数列{an}的通项公式是an= 11.已知数列{an}的通项an=,n∈N*,则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为　　　　　　　　　　.  答案　3,-1　 解析　an===1+,当n≥11时,>0,且数列{an}单调递减; 当1≤n≤10时,<0,且数列{an}单调递减.因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项,第10项.a11=3,a10=-1. 12.等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则=　　　　　　；若的值为正整数，则n=　　　　　　. 答案　　1或3解析　由等差数列的性质可得a1+a21=a2+a20，b1+b21=b7+b15， ===，因为=，所以====； 因为====， 所以======3-， 要使的值为正整数，因为n∈N*，所以n+1为2或4，所以n=1或3. 四、解答题(共14分) 13.已知数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+1)an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn=3n-λ,若数列{bn}为递增数列,求λ的取值范围. 解　(1)∵2Sn=(n+1)an,∴2Sn+1=(n+2)an+1,∴2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an, 即nan+1=(n+1)an,∴=,∴==…==1,∴an=n(n∈N*). (2)bn=3n-λn2,bn+1-bn=3n+1-λ(n+1)2-(3n-λn2)=2·3n-λ(2n+1). ∵数列{bn}为递增数列, ∴2·3n-λ(2n+1)>0,即λ<.令cn=,即=·= =1+>1,∴{cn}为递增数列,∴λ<c1=2, 即λ的取值范围为(-∞,2). 14.记Sn为数列{an}的前n项和.已知+n=2an+1. (1)证明:{an}是等差数列; (2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值. (1)证明　由+n=2an+1,得2Sn+n2=2ann+n,① 所以2Sn+1+(n+1)2=2an+1(n+1)+(n+1),② ②-①,得2an+1+2n+1=2an+1(n+1)-2ann+1,化简得an+1-an=1, 所以数列{an}是公差为1的等差数列. (2)解　由(1)知数列{an}的公差为1.由a4,a7,a9成等比数列,得=a4a9, 即(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),解得a1=-12.所以Sn=-12n+= =-,所以当n=12或13时,Sn取得最小值,最小值为-78. 15.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A为钝角,a=7,sin 2B=bcos B.(1)求A; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求△ABC的面积.条件①:b=7;条件②:cos B=;条件③:csin A=. 注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分. 解　(1)由题意知,2sin B·cos B=bcos B.又A为钝角,所以B为锐角,故cos B≠0,所以2sin B=b,从而=,又===,所以sin A=.又A为钝角,所以A=. (2)若选①,结合 (1)得2sin B=×7,所以sin B=,B=,A+B=π,则△ABC不存在,所以条件①不符合要求,故不选择条件①. 若选②,由题知sin B==,又=,即=,所以b=3.又C=π-(A+B), 所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×-×=.所以S△ABC=absin C =×7×3×=.若选③,由题知c·=,所以c=5. 由a2=b2+c2-2bccos A得,49=b2+25+5b,即(b+8)(b-3)=0,解得b=3(负值舍去). 所以S△ABC=bcsin A =×3×5×=. 学科网（北京）股份有限公司 $