九年级数学上学期期中模拟卷（新教材沪科版第1～2章：二次函数与反比例函数+相似形，高效培优·提升卷）

2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪科版九年级上册第一章~第二章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，直线 l1 ∥l2 ∥l3 ，直线 AC 分别交 l1，l2，l3 于点 A，B，C；直线 DF 分别交 l1，l2，l3 于点 D，E，F，AC 与 DF 相交于点 G，且 AG=2，GB=1，BC=5，则 的值是（　　） A． B．2 C． D． 2．将抛物线y＝x2－2x－1向右平移1个单位长，再向上平移3个单位长，平移后的解析式为y＝x2＋bx＋c，则b、c 的值分别为（　　） A．b＝－2，c＝2 B．b＝－4，c＝－4 C．b＝－4，c＝5 D．b＝0，c＝2 3．如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（　　）. A． B． C． D． 5．抛物线上有两点，．嘉嘉说：“若，则”；琪琪说：“若，则”．对于他们的说法，正确的是（　　） A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．琪琪正确，嘉嘉错误 C．他们说的都正确 D．他们说的都不正确 6．在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，为半径画弧交射线于点，连接，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于、两点，最后，以为圆心“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，y是关于x的二次函数，抛物线经过点A，B，C，抛物线经过点B，C，D，抛物线经过点A，B，D，抛物线经过点A，C，D．下列判断其中正确的是（　　） ①四条抛物线的开口方向均向下； ②当时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大； ③抛物线的顶点在抛物线顶点的上方； ④抛物线与y轴交点在点B的上方． A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 8．如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y=上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S△ACD=3.则k=（　　） A．3 B．3 C．6 D．9 9．已知点（m-3，y1），（m，y2）都在二次函数y＝（x-2）2+n的图象上.若y1＞y2，则m的取值范围为（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞ D．m＜ 10． 如图，在▱中，，，的平分线分别交于点，，与交于点若，，，则(　　) A． B． C． D． 11．如图， ▱ ABCD的顶点A 在x轴上，点 D在反比例函数的图象上，且 AD ⊥x轴.若 CA 的延长线交 y 轴于点 E，S△ABE=， 则 k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 12．已知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④方程的两个根是，；⑤．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13.如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高 　 　米． 14．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为　 　． 15．已知，抛物线y=−x2+(b+6)x+c，其中b，c为实数． （1）若抛物线经过点P(1，b)，则c=　 　． （2）过点P作PA垂直y轴于点A，交抛物线y=−x2+(b+6)x+c于另一点B，点B在点A的右侧，若AB=3PA，则抛物线上的点到x轴的最小距离是　 　． 16.已知反比例函数的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点（m，﹣2），则满足y1＞y2的自变量x的取值范围是　 　. 17． 如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A(一1，p)，B(2，q)两点，则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解为　 　 18．已知直线 交双曲线 于 ， 两点，交 轴于点 .若 ，则 的值是　 　. 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）（1）已知，求分式的值； （2）小丽在课下自主学习时，通过查阅资料发现，请你根据这一规律，化简． 20．（8分）已知，足球球门高2.44米，宽7.32米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即AB＝0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高点D，即CD＝4.4米．以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系（如图2）． （1）求该抛物线的表达式； （2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离； （3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为A'（如图3），请直接写出m的取值范围． 21.（8分）如图，正△ABC中，∠ADE=60°. （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD=2，CD=4，求AE的长． 22.（8分）已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），点C（0，5），抛物线经过点（1，8），M为它的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求△MCB的面积． 23．（8分）网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售盐皮蛋，成本价为每箱40元．经市场调研发现，盐皮蛋的日销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间满足一次函数关系．当售价为50元时，日销售量为350箱；售价为60元时，日销售量为300箱．设销售盐皮蛋每日获得的利润为（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）当盐皮蛋售价为多少元时，每日可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）要求盐皮蛋日销售量不少于250箱，且售价不低于40元，当售价为多少元时，每日可获得最大利润是多少元？ 24．（10分）“有一块三角形余料ABC，它的边，边BC上的高(如图甲所示).要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在边BC上，其余两个顶点分别在边AB，AC上.加工成的正方形零件的边长是多少毫米?”小颖解得此题的答案为.善于反思的小颖又提出了如下的问题： （1）如果原题中要加工成的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成的(如图乙所示)，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米? （2）如果原题中要加工成的零件是一个矩形(如图丙所示)，且这个矩形的面积最大，求这个面积最大的矩形零件的两条边长. 25．（10分）把边长为的正方形硬纸板（如图1），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图2），折纸厚度忽略不计. 图1图2 （1）要使折成的盒子的底面积为，剪掉的正方形边长应是多少厘米？ （2）折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由：如果有，求出这个最大值，并求出此时剪掉的正方形边长. 26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且经过和两点． （1）求和的值用含的代数式表示； （2）若该抛物线开口向下，且经过，两点，当时，随的增大而减小，求的取值范围； （3）已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C B D C A C C D C C A 二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。 13．1 14．20 15．（1）-5（2）1 16．x＜﹣2或0＜x＜1 17．x<-1或x>2 18．-3 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分） 【解答】解：（1）设（），则，，， 把，，代入， 原式． （2）原式． 20．（8分） 【解答】（1）解：抛物线的顶点坐标是（6，4.4）， 设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣6）2+4.4， 把（0，0.4）代入得36a+4.4＝0.4， 解得a＝﹣， 则抛物线是y＝﹣（x﹣6）2+4.4； （2）解：∵球门高为2.44米，即y＝2.44， 则有2.44＝﹣（x﹣6）2+4.4， 解得：x1＝10.2，x2＝1.8， 从题干图2中，发现球门在CD右边， ∴x＝10.2， 即足球运动的水平距离是10.2米； （3）解：不后退时，刚好击中横梁， ∴往后退，则球可以进入球门， 而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值， 当y＝0时， 有0＝﹣（x﹣6）2+4.4， 解得：x1＝6+，x2＝6﹣， 取正值，x＝6+， ∴后退的距离需小于6+﹣10.2＝（﹣4.2）米 故0＜m＜﹣4.2． 21.（8分） 【解答】（1）解：在正ABC中，∠B=∠C=60° ∵∠BAD+∠ADB=120°，∠EDC+∠ADB=180°-∠ADE=120° ∴∠BAD=∠EDC ∵∠B=∠C ∴△ABD∽△DCE. （2）解：∵△ABD∽△DCE， ∴ ∴ ∴AE=AC-CE=6-= 22.（8分） 【解答】（1）解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，5），（1，8），（-1，0）， ∴c＝5， 把（1，8），（-1，0）分别代入二次函数，得 ， 解得a＝-1，b＝4， ∴抛物线的解析式：y＝-x2+4x+5； （2）解：过点M作ME⊥x轴，交BC于D，如图所示： ∵y＝-x2+4x+5 ＝-（x-2）2+9； ∴M（2，9），B（5，0）， 设直线BC：y＝kx+b， 把B（5，0），C（0，5），分别代入一次函数，得 ， 解得k＝-1， ∴直线BC：y＝-x+5， ∵ME⊥x轴， ∴MD∥y轴， ∴把x＝2代入y＝-x+5， 得y＝3， ∴D（2，3）， ∴MD＝6， ∴△MCB的面积＝ ＝×5 ＝15． 23．（8分） 【解答】 （1）解：设与之间的函数关系式为， 代入和得，， 解得：， 与之间的函数关系式为． （2）解：由题意得，， 当时，有最大值，最大值为8000， 答：当盐皮蛋售价为80元时，每日可获得最大利润，最大利润是8000元． （3）解：令，则， 解得：， 由题意得，， ， 由（2）得，， 函数的图象开口向下，对称轴为， 在时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， 答：当售价为70元时，每日可获得最大利润是7500元． 24．（10分） 【解答】（1）解：设矩形的边长PN=2ymm，则PQ=ymm， ∵四边形PNMQ是矩形， ∴PN∥BC，∠NMD=∠MNE=90°， ∵AD⊥BC， ∴AD⊥PN，∠ADM=90°， ∴四边形MNED是矩形， ∴ED=PQ=ymm， ∵PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， ∴， 即， ∴y=mm， ∴ 这个矩形零件的两条边长分别为 ； （2）解：设矩形的边长PN=xmm，矩形MNPQ的面积为smm2， 同（1）可得△APN∽△ABC， ∴， 即， ∴， ∴， ∵a=＜0， ∴当x=60时，S最大为2400，此时矩形零件的边长为PN=60mm，PQ=40mm. 25．（10分） 【解答】（1）解：设剪掉的正方形的边长为. 则， 即， 解得（不合题意，舍去）， ∴剪掉的正方形的边长为； （2）解：侧面积有最大值. 设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为， 则与的函数关系为：，即， 即， ∵二次项系数为，自变量的取值范围为： ∴当时，有最大值， 即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为 26．（12分） 【解答】（1）解：把和代入， 得：， 解得： （2）解：抛物线经过，两点， 抛物线的对称轴为：直线， 抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， ，即 （3）解：∵， ∴抛物线为：. 当时，如图， 抛物线与线段只有一个交点，根据抛物线的图象可知，抛物线不经过点N. 故时，，即， 解得：. 当时，若抛物线的顶点在线段上时，则， 解得：，， 当时，， 此时，顶点横坐标满足，符合题意； ∴当时，如图，抛物线与线段只有一个交点， 如图， 当时，. 此时顶点横坐标不满足，不符合题意，舍去； 若抛物线与线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点 时，如图④： 把代入，得： ， 解得：， 故当x=2时，y>5，则抛物线不经过点N，和线段有1个交点， 解， 得. 综上所述：的取值范围为：或或时． 抛物线与线段恰有一个公共点. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪科版九年级上册第一章~第二章。 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，直线 l1 ∥l2 ∥l3 ，直线 AC 分别交 l1，l2，l3 于点 A，B，C；直线 DF 分别交 l1，l2，l3 于点 D，E，F，AC 与 DF 相交于点 G，且 AG=2，GB=1，BC=5，则 的值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解答】依题意，根据平行线分线段成比例定理得： 又 则 故答案为：D. 2．将抛物线y＝x2－2x－1向右平移1个单位长，再向上平移3个单位长，平移后的解析式为y＝x2＋bx＋c，则b、c 的值分别为（　　） A．b＝－2，c＝2 B．b＝－4，c＝－4 C．b＝－4，c＝5 D．b＝0，c＝2 【答案】C 【解答】解： 图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为， 则，. 故答案为：C. 3．如图，函数和（是常数，且）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故答案为：错误； B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故答案为：正确； C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故答案为：错误； D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故答案为：错误. 故答案为：B. 4．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意，反比例函数的图象在二、四象限，所以k<0， ∴2k<0，∴抛物线的开口向下， 对称轴为：直线，所以抛物线的对称轴在y轴的左侧， 抛物线与y轴的交点为（0，），在y轴的正半轴上； 观察各选项，只有D符合. 故答案为：D 5．抛物线上有两点，．嘉嘉说：“若，则”；琪琪说：“若，则”．对于他们的说法，正确的是（　　） A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．琪琪正确，嘉嘉错误 C．他们说的都正确 D．他们说的都不正确 【答案】C 【解答】解：在y=2x2+1中， ∴对称轴为：x=0， ∵a=2＞0， ∴在对称轴左侧，当x＜0时，y随x的增大而减小。当x＞0时，y随x的增大而增大， ∴当时， ；当时，则 。 故答案为：C。 6．在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，为半径画弧交射线于点，连接，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于、两点，最后，以为圆心“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据作图可知，，， 设，则， ， ， ， 以为圆心，“”的长度为半径画弧交于点，点H即为AB的其中一个黄金分割点， 故答案为：A． 7．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，y是关于x的二次函数，抛物线经过点A，B，C，抛物线经过点B，C，D，抛物线经过点A，B，D，抛物线经过点A，C，D．下列判断其中正确的是（　　） ①四条抛物线的开口方向均向下； ②当时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大； ③抛物线的顶点在抛物线顶点的上方； ④抛物线与y轴交点在点B的上方． A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【解答】解：由抛物线经过点，，可得， 同理可得， ∵，，，， ∴四条抛物线的开口方向均向下，故①正确； ∵四条抛物线表达式中二次项系数与一次项系数都异号， ∴四条抛物线的对称轴都在y轴右侧， ∴当时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大，故②正确； ∵， ∴抛物线的顶点在抛物线顶点的上方，故③正确； 在中，令得， ∴抛物线与y轴交点在点的下方，故④错误； 故选C． 8．如图，放置含30°的直角三角板，使点B在y轴上，点C在双曲线y=上，且AB⊥y轴，BC的延长线交x轴于点D，若S△ACD=3.则k=（　　） A．3 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【解答】解：设点坐标为. 轴，，， ，， ， ，. ， ， ， ， ， . 故答案为：C. 9．已知点（m-3，y1），（m，y2）都在二次函数y＝（x-2）2+n的图象上.若y1＞y2，则m的取值范围为（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞ D．m＜ 【答案】D 【解答】解：∵点（m-3，y1），（m，y2）都在二次函数y＝（x-2）2+n的图象上. ∴y1＝（m-3-2）2+n，y2＝（m-2）2+n， ∵y1＞y2， ∴（m-3-2）2+n＞（m-2）2+n， 解得m＜， 故答案为：D. 10． 如图，在▱中，，，的平分线分别交于点，，与交于点若，，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD， ∴∠DEA=∠EAB，∠CFB=∠FBA， ∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC， ∴∠DAE=∠EAB，∠CBF=∠FBA， ∴∠DAE=∠DEA，∠CBF=∠CFB， ∴DE=AD，BC=CF， ∴DE=AD=CF=DF+EF=3+2=5， ∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8， ∵AB∥CD， ∴△ABG∽△EFG ∴=4， ∴AG=4GE， ∴k=4. 故答案为：C. 11．如图， ▱ ABCD的顶点A 在x轴上，点 D在反比例函数的图象上，且 AD ⊥x轴.若 CA 的延长线交 y 轴于点 E，S△ABE=， 则 k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：如图，设BC交x轴于点F，连接DF、OD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵AD∥y轴， ∴BC∥y轴， ∴S△ODF=S△EBC，S△ADF=S△ABC， ∴S△OAD=S△ABE==|k|， ∴k=±3， 又∵k＞0， ∴k=3. 故答案为：C. 12．已知：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④方程的两个根是，；⑤．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解答】解：∵抛物线开口向下与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧， 能得到： ∴abc＜0，故①不符合题意； 抛物线与轴有两个交点， 故②符合题意； 抛物线与x轴的一个交点坐标为， 故③符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 所以方程的两个根是，；故④符合题意； ∵抛物线的对称轴为，即， 而时，，即， ∴3a+c=0， ∵抛物线的开口向下， ∴a＜0， ∴5a＜0， ∴；故⑤符合题意； 综上：②③④⑤符合题意； 故答案为：A 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13.如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB，当支点O在距离A端2米时，A端的人可以将B端的人跷高1.5米，那么当支点O在AB的中点时，A端的人下降同样的高度可以将B端的人跷高 　 　米． 【答案】1 【解答】解：如图，DF表示A下降的高度，GE表示B端上升的高度， ∵∠DFO=∠EGO=90°，∠FOD=∠EOG， ∴△DFO∽△EGO， ∴DF：EG=OD：OE， ∴DF=1， 当O为AB的中点时， ∴△DFO≌△EGO， ∴EG=DF=1， 故答案为：1. 14．如图，在中，点E为的中点，点F为上一点，与相交于点H．若，，，则的长为　 　． 【答案】20 【解答】解：如图，延长交的延长线于点G． 四边形为平行四边形， ． ，． 点E为边的中点， ． 在和中，， ， ． ，， ． ， ． ， ，即， 解得． 故答案为：20. 15．已知，抛物线y=−x2+(b+6)x+c，其中b，c为实数． （1）若抛物线经过点P(1，b)，则c=　 　． （2）过点P作PA垂直y轴于点A，交抛物线y=−x2+(b+6)x+c于另一点B，点B在点A的右侧，若AB=3PA，则抛物线上的点到x轴的最小距离是　 　． 【答案】（1）-5 （2）1 【解答】解：（1）将P（1，b）代入y=−x2+(b+6)x+c中， b=-1+（b+6）+c， ∴c=1+b-b-6=-5； 故答案为：-5； （2）抛物线y=−x2+(b+6)x+c的对称轴x=- ， 由题意知，点P、B关于对称轴对称， 设PA与对称轴交于点C，则PC=CB， ∵AB=3PA， ∴PA=PC， ∴1= -1， 解得b=-2， ∴P（1，-2）， ∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x-5． ∴抛物线的顶点为（2，-1）， ∴抛物线上的点到x轴的最小距离是1． 故答案为：1． 16.已知反比例函数的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点（m，﹣2），则满足y1＞y2的自变量x的取值范围是　 　. 【答案】x＜﹣2或0＜x＜1 【解答】解：∵函数的图象过点A（1，4），即 ∴k=4， ∴反比例函数的关系式为； 又∵点B（m，﹣2）在上， ∴m=﹣2， ∴B（﹣2，﹣2）， 根据图象y1＞y2成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1. 故答案为：x＜﹣2或0＜x＜1. 17． 如图，在平面直角坐标系中，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A(一1，p)，B(2，q)两点，则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解为　 　 【答案】x<-1或x>2 【解答】解：由题意得直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A(一1，p)，B(2，q)两点，则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解为x<-1或x>2， 故答案为：x<-1或x>2 18．已知直线 交双曲线 于 ， 两点，交 轴于点 .若 ，则 的值是　 　. 【答案】-3 【解答】解：∵直线 交双曲线 于A， 两点， ∴联立 ，可得 ， ∴ ， . 如图，分别过点A， 作 ， 轴于点 ， ， ∴ . ∵直线 交 轴于点 ， ∴点 的坐标为 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， . ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ， 故答案为：-3. 三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）（1）已知，求分式的值； （2）小丽在课下自主学习时，通过查阅资料发现，请你根据这一规律，化简． 【答案】（1）；（2） 【解答】解：（1）设（），则，，， 把，，代入， 原式． （2）原式． 20．（8分）已知，足球球门高2.44米，宽7.32米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即AB＝0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高点D，即CD＝4.4米．以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系（如图2）． （1）求该抛物线的表达式； （2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离； （3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为A'（如图3），请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣6）2+4.4；（2）10.2米；（3）0＜m＜﹣4.2 【解答】（1）解：抛物线的顶点坐标是（6，4.4）， 设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣6）2+4.4， 把（0，0.4）代入得36a+4.4＝0.4， 解得a＝﹣， 则抛物线是y＝﹣（x﹣6）2+4.4； （2）解：∵球门高为2.44米，即y＝2.44， 则有2.44＝﹣（x﹣6）2+4.4， 解得：x1＝10.2，x2＝1.8， 从题干图2中，发现球门在CD右边， ∴x＝10.2， 即足球运动的水平距离是10.2米； （3）解：不后退时，刚好击中横梁， ∴往后退，则球可以进入球门， 而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值， 当y＝0时， 有0＝﹣（x﹣6）2+4.4， 解得：x1＝6+，x2＝6﹣， 取正值，x＝6+， ∴后退的距离需小于6+﹣10.2＝（﹣4.2）米 故0＜m＜﹣4.2． 21.（8分）如图，正△ABC中，∠ADE=60°. （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD=2，CD=4，求AE的长． 【答案】（1）见解答；（2） 【解答】（1）解：在正ABC中，∠B=∠C=60° ∵∠BAD+∠ADB=120°，∠EDC+∠ADB=180°-∠ADE=120° ∴∠BAD=∠EDC ∵∠B=∠C ∴△ABD∽△DCE. （2）解：∵△ABD∽△DCE， ∴ ∴ ∴AE=AC-CE=6-= 22.（8分）已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0），点C（0，5），抛物线经过点（1，8），M为它的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求△MCB的面积． 【答案】（1）y＝-x2+4x+5；（2）15 【解答】（1）解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，5），（1，8），（-1，0）， ∴c＝5， 把（1，8），（-1，0）分别代入二次函数，得 ， 解得a＝-1，b＝4， ∴抛物线的解析式：y＝-x2+4x+5； （2）解：过点M作ME⊥x轴，交BC于D，如图所示： ∵y＝-x2+4x+5 ＝-（x-2）2+9； ∴M（2，9），B（5，0）， 设直线BC：y＝kx+b， 把B（5，0），C（0，5），分别代入一次函数，得 ， 解得k＝-1， ∴直线BC：y＝-x+5， ∵ME⊥x轴， ∴MD∥y轴， ∴把x＝2代入y＝-x+5， 得y＝3， ∴D（2，3）， ∴MD＝6， ∴△MCB的面积＝ ＝×5 ＝15． 23．（8分）网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售盐皮蛋，成本价为每箱40元．经市场调研发现，盐皮蛋的日销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间满足一次函数关系．当售价为50元时，日销售量为350箱；售价为60元时，日销售量为300箱．设销售盐皮蛋每日获得的利润为（元）． （1）求与之间的函数关系式； （2）当盐皮蛋售价为多少元时，每日可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）要求盐皮蛋日销售量不少于250箱，且售价不低于40元，当售价为多少元时，每日可获得最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）当盐皮蛋售价为80元时，每日可获得最大利润，最大利润是8000元； （3）当售价为70元时，每日可获得最大利润是7500元． 【解答】 （1）解：设与之间的函数关系式为， 代入和得，， 解得：， 与之间的函数关系式为． （2）解：由题意得，， 当时，有最大值，最大值为8000， 答：当盐皮蛋售价为80元时，每日可获得最大利润，最大利润是8000元． （3）解：令，则， 解得：， 由题意得，， ， 由（2）得，， 函数的图象开口向下，对称轴为， 在时，随的增大而增大， 当时，有最大值，最大值为， 答：当售价为70元时，每日可获得最大利润是7500元． 24．（10分）“有一块三角形余料ABC，它的边，边BC上的高(如图甲所示).要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在边BC上，其余两个顶点分别在边AB，AC上.加工成的正方形零件的边长是多少毫米?”小颖解得此题的答案为.善于反思的小颖又提出了如下的问题： （1）如果原题中要加工成的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成的(如图乙所示)，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米? （2）如果原题中要加工成的零件是一个矩形(如图丙所示)，且这个矩形的面积最大，求这个面积最大的矩形零件的两条边长. 【答案】（1）；（2）PN=60mm，PQ=40mm. 【解答】（1）解：设矩形的边长PN=2ymm，则PQ=ymm， ∵四边形PNMQ是矩形， ∴PN∥BC，∠NMD=∠MNE=90°， ∵AD⊥BC， ∴AD⊥PN，∠ADM=90°， ∴四边形MNED是矩形， ∴ED=PQ=ymm， ∵PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， ∴， 即， ∴y=mm， ∴ 这个矩形零件的两条边长分别为 ； （2）解：设矩形的边长PN=xmm，矩形MNPQ的面积为smm2， 同（1）可得△APN∽△ABC， ∴， 即， ∴， ∴， ∵a=＜0， ∴当x=60时，S最大为2400，此时矩形零件的边长为PN=60mm，PQ=40mm. 25．（10分）把边长为的正方形硬纸板（如图1），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图2），折纸厚度忽略不计. 图1图2 （1）要使折成的盒子的底面积为，剪掉的正方形边长应是多少厘米？ （2）折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由：如果有，求出这个最大值，并求出此时剪掉的正方形边长. 【答案】（1）；（2）剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为 【解答】（1）解：设剪掉的正方形的边长为. 则， 即， 解得（不合题意，舍去）， ∴剪掉的正方形的边长为； （2）解：侧面积有最大值. 设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为， 则与的函数关系为：，即， 即， ∵二次项系数为，自变量的取值范围为： ∴当时，有最大值， 即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为 26．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线为常数，且经过和两点． （1）求和的值用含的代数式表示； （2）若该抛物线开口向下，且经过，两点，当时，随的增大而减小，求的取值范围； （3）已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或或 【解答】（1）解：把和代入， 得：， 解得： （2）解：抛物线经过，两点， 抛物线的对称轴为：直线， 抛物线开口向下，当时，随的增大而减小， ，即 （3）解：∵， ∴抛物线为：. 当时，如图， 抛物线与线段只有一个交点，根据抛物线的图象可知，抛物线不经过点N. 故时，，即， 解得：. 当时，若抛物线的顶点在线段上时，则， 解得：，， 当时，， 此时，顶点横坐标满足，符合题意； ∴当时，如图，抛物线与线段只有一个交点， 如图， 当时，. 此时顶点横坐标不满足，不符合题意，舍去； 若抛物线与线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点 时，如图④： 把代入，得： ， 解得：， 故当x=2时，y>5，则抛物线不经过点N，和线段有1个交点， 解， 得. 综上所述：的取值范围为：或或时． 抛物线与线段恰有一个公共点. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $