专题06 相似三角形的应用（高效培优期中专项训练）数学新教材沪科版九年级上学期

专题06 相似三角形的应用 考点01 利用相似三角形测高度 考点02 利用相似三角形测距离 考点03 图形的位似 考点01 利用相似三角形测高度 1.《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 2.如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？ 3.在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为米的标杆的影长为米，甲树的影长为米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得台阶上的影子长为米，一级台阶的高为米，落在地面上的影长为米． 根据以上测量结果，解答以下问题： (1)甲树的高度为_______米； (2)求乙树的高度； (3)求丙树的高度． 4.小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小鑫在小雁塔的影子顶端处竖直立一根木棒，并测得此时木棒的影长，然后，小鑫在的延长线上找出一点，使得、、三点在同一直线上，并测得，已知图中所有点均在同一平面内，木棒，，，请根据以上测量数据，求小雁塔的高度． 5.在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为，求路灯离地面的高度． 6.龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神异动物，是中华民族最具代表性的传统文化之一．恰逢龙年，政府部门在某广场上做了一个龙形雕像．某数学兴趣小组想要利用所学知识测量该雕像的高度．如图雕像的高度为，在地面上取两点，分别竖立两根高均为的标杆和，两标杆间隔为，并且雕像，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，三点也在一条直线上．已知在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该龙形雕像的高度． 考点02 利用相似三角形测距离 1.幼儿园购买了一个板长AB=4m，支架OC高0.8m的翘翘板，支点O在板AB的中点．因支架过高不宜小朋友玩，故把它暂时存放在高2.4m的车库里，准备改装．现有几个小朋友把板的一端A按到地面上． （1）板的另一端B会不会碰到车库的顶部； （2）能否通过移动支架，使B点恰好碰到车库的顶部？若能，求出此时支点O的位置；若不能，请说明理由． 2.如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 3.某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽．    4.学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度． 5.“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为（    ） A． B． C． D． 6.如图1是某物体的支架实物图，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中是支杆上一可转动点，，是中间竖杆上的一动点，当点沿滑动时，点随之在地面上滑动，点是动点能到达的最顶端位置，当运动到点时，与重合于竖杆，经测量，设，竖杆的最下端到地面的距离． （1）求的长． （2）当点运动时，试求出与的函数关系式． 7.汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 8.张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．    (1)当点P恰好为中点时，______； (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？ 考点03 图形的位似 1.下列相似图形不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 2.把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3.如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    4.如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ． ​ 5.如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（    ） A． B． C． D． 6.如图，与位似，点为位似中心，与的面积之比为，若，则的长为 ． 7.如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ． 8.在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、，位置如图所示． (1)将绕点O顺时针旋转 得到，作出，并写出点的坐标 ． (2)将的三个顶点坐标分别乘以，得到对应的点、、，请画出，并判断与具有怎样的位置关系？并请直接写出与的位似中心的坐标以及相似比． 9.在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标； (2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的； (3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似三角形的应用 考点01 利用相似三角形测高度 考点02 利用相似三角形测距离 考点03 图形的位似 考点01 利用相似三角形测高度 1.《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【解答】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 2.如图所示，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，长的竹竿垂直地面，影长为，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为，那么这棵树高约有多少米？ 【答案】这棵树高． 【解答】过点作交于点 则， ，即 答：这棵树高． 3.在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的名同学选择了测量学校里的三棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为米的标杆的影长为米，甲树的影长为米（如图1）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得台阶上的影子长为米，一级台阶的高为米，落在地面上的影长为米． 根据以上测量结果，解答以下问题： (1)甲树的高度为_______米； (2)求乙树的高度； (3)求丙树的高度． 【答案】(1) (2)乙树的高度为米 (3)丙树的高度为米 【解答】（1）解：∵设甲树的高度为米，根据题意得， ， 解得：， ∴甲树的高度为米， 故答案为米； （2）解：如图，设为乙树的高度， ∵米，米， ∴米 ， ∴， 解得：， ∴米， ∴（米）， ∴乙树的高度为米． （3）解：设影长所对应的树高为米，根据题意得， ∴， 解得：， ∴影长所对应的树高为米； 设影长所对应的树高为米，根据题意得， ∴， 解得：， ∴影长所对应的树高为米， 设影长所对应的树高为米，根据题意得， ∴， 解得：， ∴影长所对应的树高为米， ∴丙树的高度为（米）． 4.小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图，小鑫在小雁塔的影子顶端处竖直立一根木棒，并测得此时木棒的影长，然后，小鑫在的延长线上找出一点，使得、、三点在同一直线上，并测得，已知图中所有点均在同一平面内，木棒，，，请根据以上测量数据，求小雁塔的高度． 【答案】 【解答】解： ，， ， 又 ， ， ； 由平行投影可知， ， 又 ， ， ， ，即， 解得， 代入，得， 解得， 即小雁塔的高度为． 5.在一个周末晚上，甲和乙两位同学借鉴课本中《海岛算经》所学的测量方法，利用灯光下的影子长来测量一路灯高度．如图，在一水平的人行道路上，当甲走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是，然后甲从出发沿方向继续向前走到点处时，乙测得甲直立时身高的影子长是．已知甲同学直立时的身高为，求路灯离地面的高度． 【答案】路灯离地面的高度为 【解答】解：设，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， 6.龙是中国等东亚区域古代神话传说中的神异动物，是中华民族最具代表性的传统文化之一．恰逢龙年，政府部门在某广场上做了一个龙形雕像．某数学兴趣小组想要利用所学知识测量该雕像的高度．如图雕像的高度为，在地面上取两点，分别竖立两根高均为的标杆和，两标杆间隔为，并且雕像，标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察点，三点也在一条直线上．已知在同一直线上，，，，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出该龙形雕像的高度． 【答案】该龙形雕像的高度为 【解答】解：由题意得，，，，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，且，， ∴， 解得，则， 则，即， 解得：， 答：该龙形雕像的高度为． 考点02 利用相似三角形测距离 1.幼儿园购买了一个板长AB=4m，支架OC高0.8m的翘翘板，支点O在板AB的中点．因支架过高不宜小朋友玩，故把它暂时存放在高2.4m的车库里，准备改装．现有几个小朋友把板的一端A按到地面上． （1）板的另一端B会不会碰到车库的顶部； （2）能否通过移动支架，使B点恰好碰到车库的顶部？若能，求出此时支点O的位置；若不能，请说明理由． 【答案】（1） 板的另一端B不会碰到车库顶部；（2） 能．此时支点O距离A点米． 【解答】试题分析：（1）过点B作BD⊥AC，由相似三角形的判定定理可得出△AOC∽△ABD，再根据相似三角形的对应边成比例求出BD的长即可； （2）由已知得BD=2.4m，再根据求出AO的长，进而可得出结论． 试题解析：（1）过点B作BD⊥AC， ∵OC⊥AC， ∴OC∥BD， ∴△AOC∽△ABD ∴， ∵AO=OB=2，OC=0.8， ∴BD=1.6（m）＜2.4（m） ∴板的另一端B不会碰到车库顶部； （2）能． ∵由已知得BD=2.4m， ∴，即， ∴AO=（m） 答：此时支点O距离A点米． 2.如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】河宽是米 【解答】解：如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴河宽是米． 3.某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽．    【答案】宽为120米 【解答】解：如图所示，过F作于G，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴河宽为120米.    4.学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处懒北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即三点共线，三点共线）．已知电线杆之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，求这条河的宽度． 【答案】这条河的宽度为30米 【解答】解：延长交于点，如解图所示． 依题意，米，米． 设这条河的宽度为米． ， ． ， 即， 解得． 答：这条河的宽度为30米． 5.“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离，动力臂与阻力臂满足（与相交于点O），则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：解：由题意得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 6.如图1是某物体的支架实物图，图2是其右侧部分抽象后的几何图形，其中是支杆上一可转动点，，是中间竖杆上的一动点，当点沿滑动时，点随之在地面上滑动，点是动点能到达的最顶端位置，当运动到点时，与重合于竖杆，经测量，设，竖杆的最下端到地面的距离． （1）求的长． （2）当点运动时，试求出与的函数关系式． 【答案】（1）80cm；（2） 【解答】（1）∵当运动到点时，与重合于竖杆， ∴由题意可得； （2） 如图，过点作于点， ，， ， ， ， ， 整理可得：． 7.汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时(如图1)，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 【答案】 【解答】解：如图，过点作于点，交于点． ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 8.张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．    (1)当点P恰好为中点时，______； (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？ 【答案】(1)60 (2)这个零件的边长为； (3)矩形的长为，宽为． 【解答】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ， ∴； 故答案为：60； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， 设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 答：这个零件的边长为； （3）解：设矩形宽为，则长为， 同理， ∴， ∴， 解得，， 故矩形的长为，宽为． 考点03 图形的位似 1.下列相似图形不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：D中两个图形，对应边不互相平行，不是位似图形， A、B、C中的图形符合位似变换的定义，是位似图形， 故选：D． 2.把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【解答】解：如图，连接，交于点， 由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点， 故选： 3.如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．    【答案】 【解答】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 4.如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ． ​ 【答案】 / 【解答】解：以点为位似中心，的位似图形是，与的位似比为． 故答案为：，． 5.如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比， 与的相似比，即， ， 故选：B． 6.如图，与位似，点为位似中心，与的面积之比为，若，则的长为 ． 【答案】 【解答】解：与位似， ，， ， ， 与的面积之比为， ， ， ， 故答案为：． 7.如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的周长比是 ． 【答案】 【解答】解： 和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， ， 根据与的周长比等于相似比可得， 故答案为：． 8.在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、，位置如图所示． (1)将绕点O顺时针旋转 得到，作出，并写出点的坐标 ． (2)将的三个顶点坐标分别乘以，得到对应的点、、，请画出，并判断与具有怎样的位置关系？并请直接写出与的位似中心的坐标以及相似比． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析，与位似，位似中心为原点，相似比为 【解答】（1）解：如图，即为所求做的三角形； ∴ （2）解：由题意得：， 如图，即为所要求做的三角形． 与位似，位似中心为原点，相似比为． 9.在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标； (2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的； (3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点． 【答案】(1)画图见解析，，，； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【解答】（1）如图，，，关于原点对称，，，连接， ∴即为所求； （2）如图，延长，，然后连接， ∴即为所求； （3）如图，连接，相交于点， ∴点即为所求． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $