专题05 相似三角形的判定及性质（高效培优期中专项训练）数学新教材沪科版九年级上学期

专题05 相似三角形的判定及性质 考点01 成比例线段 考点02 相似三角形的判定 考点03 相似三角形的性质 考点01 成比例线段 1.已知，那么________． 2.如图，梯形中，，，，则________． 3.已知，且，则下列结论中：①；②；③，正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 4.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，AE=3，CE=6，那么BD的值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 5.已知点是线段的黄金分割点，且，，则为（ ） A． B． C． D． 6.已知点是线段的黄金分割点，且，则下列各式的值不等于的是（ ） A． B． C． D． 7.如图，，点在上，与交于点，，，则的长为______． 8.（1）已知，求的值； （2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB=2，求PA、PB的长． 9.如图，在中，，．求证：． 10.如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，点F在BC上，DE交AF于点G，AD=2BD，AE=5，求：（1）；（2）AC的长． 考点02 相似三角形的判定 1.如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2.直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件： ①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ． 3.如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 4.如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 6.如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当t为何值时，以B、E、D为顶点的三角形与△ABC相似？ 8.综合与实践-问题情境： 如图1，已知在中，分别是上的点，且． (1)操作发现：求证：． (2)深入探究：在图1的基础上，将绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由． 拓展探究： (3)如图3，当旋转到点在一条直线上时，与交于点，若，，求的值． 考点03 相似三角形的性质 1.如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 2.如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 3．一个三角形的各边长扩大为原来的倍，这个三角形的面积也扩大为原来的______倍． 4.如图，四边形，四边形，四边形是三个相连的正方形，连接，．若，则的度数为 ． 5.如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    6.如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 7.如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 8.如图，在正方形中，点关于直线的对称点为，为边上一动点，交于点，交于点． (1)当点为中点时，求证：； (2)当时，求证：． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似三角形的判定及性质 考点01 成比例线段 考点02 相似三角形的判定 考点03 相似三角形的性质 考点01 成比例线段 1.已知，那么________． 【答案】 【解答】解：∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案是：． 2.如图，梯形中，，，，则________． 【答案】4 【解答】解：∵ ，，， ∴ ， ∴ ． 故答案为：4． 3.已知，且，则下列结论中：①；②；③，正确的有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解答】由合分比定理，得，故①错误，故②正确； 由，合分比定理，得，故③正确； 故选；． 4.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，AE=3，CE=6，那么BD的值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【解答】∵DE∥BC， ∴， ∵AD=4，AE=3，CE=6， ∴， ∴BD=8， 故选C． 5.已知点是线段的黄金分割点，且，，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC， ∴ 而AB=2， ∴ 故选A. 6.已知点是线段的黄金分割点，且，则下列各式的值不等于的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题可知AP较长,BP较短,根据黄金分割点的定义可知, ==, 设AB=2,则AP=, BP=3-, ∴=, 故选C. 7.如图，，点在上，与交于点，，，则的长为______． 【答案】1.2 【解答】∵AB∥GH， ∴，即①， ∵GH∥CD， ∴，即②， ①+②，得， ∴， 解得． 故答案是：1.2. 8.（1）已知，求的值； （2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB=2，求PA、PB的长． 【答案】（1）；（2）PA=，PB=． 【解答】解：(1)∵=， ∴可设a=3k，则b=5k， ∴==； (2)∵点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2， ∴PA=AB=−1，PB=AB=3−. 故答案为（1）；（2）PA=，PB=． 9.如图，在中，，．求证：． 【答案】见解析 【解答】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10.如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，点F在BC上，DE交AF于点G，AD=2BD，AE=5，求：（1）；（2）AC的长． 【答案】（1）；（2） 【解答】解：（1）∵DE∥BC，且AD=2BD ∴ （2）∵DE∥BC，且AD=2BD ∴ ∵AE=5 ∴AC= 考点02 相似三角形的判定 1.如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解： ， ， ， A.由两边对应成比例及其夹角相等的两三角形相似得，故不符合题意； B.由两角对应成相等的两三角形相似得，故不符合题意； C.无法判断，故符合题意； D.由两角对应成相等的两三角形相似得，故不符合题意； 故选：C． 2.直线与的边相交于点，与边相交于点，下列各条件： ①，②，③，④，⑤，能够判断的是 ． 【答案】②⑤ 【解答】解：①∵， ∴，故此选项错误； ②，可以根据相似三角形的判定方法中的平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，判断出，故此选项正确； ③，缺少夹角相等，故不能判定，故此选项错误； ④，又∵， ∴，故此选项错误； ⑤可以变形为：， 又∵， ∴，故此选项正确； 故正确的有2个． 故答案为：②⑤． 3.如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 【答案】B 【解答】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD， 则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC， 又BA=2，AC=2， ∴BA：AC=1：， ∴BP：PD=1：或BP：PD=：1， 只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2． 故选B． 4.如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①三角形的三边之比是， ②中，， ③中， ④中， ⑤中， ⑥中， 故与①相似的三角形的序号是③④⑤． 故选C． 5.如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【解答】证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6.如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解答】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜4），连接DE，当t为何值时，以B、E、D为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5； 【解答】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=30°， ∴AB=2BC=4cm， 分两种情况： ①当∠EDB=∠ACB=90°时， DE∥AC，△EBD∽△ABC， ∵D为BC的中点， ∴BD=CD=BC=1cm，E为AB的中点，AE=BE=AB=2cm， ∴t=2s； ②当∠DEB=∠ACB=90°时， ∵∠B=∠B， ∴△DBE∽△ABC， ∴∠BDE=∠A=30°， ∴BE=BD=cm， ∴AE=3.5cm， ∴t=3.5s； 综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5； 8.综合与实践-问题情境： 如图1，已知在中，分别是上的点，且． (1)操作发现：求证：． (2)深入探究：在图1的基础上，将绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由． 拓展探究： (3)如图3，当旋转到点在一条直线上时，与交于点，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3) 【解答（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． （2）解：成立，理由如下： 由旋转的性质得， ∴，即， 由（1）得， ∴， ∴， ∴（1）中的结论仍成立． （3）解：由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 考点03 相似三角形的性质 1.如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A． 2.如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵△ABC∽△ADB， ∴， ∴AB2=AC•AD． 故选：A． 3．一个三角形的各边长扩大为原来的倍，这个三角形的面积也扩大为原来的______倍． 【答案】81 【解答】解：∵相似三角形的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积扩大为原来的81倍。 4.如图，四边形，四边形，四边形是三个相连的正方形，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【解答】解：设小正方形的边长为， 由勾股定理得： ， ， 而 同理可证：，， ， 即， ， ， ， ∴． 故答案为：． 5.如图，点、在线段上，且是等腰直角的底边．当时（与、与分别为对应顶点）， ．    【答案】 【解答】解：∵是等腰直角三角形，且为底边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6.如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时， ． 【答案】1或4或2.5 【解答】解：①当时， ， 即， 解得：，或； ②当时， ， 即， 解得：． 综上所述，的长度是1或4或2.5． 故答案为：1或4或2.5． 7.如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，交于点． (1)当点恰好为中点时，______． (2)若矩形的周长为，求出的长度． 【答案】(1)60 (2) 【解答】（1）解：∵为中点， ∴， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． （2）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． ∴四边形为矩形， ∴，， ∵矩形的周长为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8.如图，在正方形中，点关于直线的对称点为，为边上一动点，交于点，交于点． (1)当点为中点时，求证：； (2)当时，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【解答】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形为正方形， ∴ ，， 在和中， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $