专题03 反比例函数的图象及性质（高效培优期中专项训练）数学新教材沪科版九年级上学期

专题03 反比例函数的图象及性质 考点01 反比例函数的图象及性质 考点02 反比例函数中k的几何意义 考点03 反比例函数与几何综合 考点01 反比例函数的图象及性质 1.反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 2.已知反比例函数的图象经过点，则a的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 3.在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为 ． 4.如图，点，分别在双曲线和上，轴，作轴于点，交于点．若，则的值是 ． 5.在下列函数中，函数值y随自变量x的增大而减小的是（  ） A． B． C． D． 6.若直线经过第二、四象限，则函数的图象在（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 7.如果反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小，那么满足的条件是 ． 8.在反比例函数的图象上有，，三点，若，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）． 9.若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是，则另一个交点的坐标是（　　） A． B． C． D． 10.反比例函数y＝的图象如图所示，以下结论：①常数m＞0；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P'（﹣x，﹣y）也一定在图象上．其中正确的是（　　） A．①④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 11.在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 12.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的横坐标分别为，，则 ． 考点02 反比例函数中k的几何意义 1.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为(  ) A．1 B．2 C．4 D．无法计算 2.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      4.已知反比例函数与的图象如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于，两点．若点是轴上的任意一点，连接，，则等于 ．    5.如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是2和4，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、交于点E，若，四边形的面积为3，则k的值为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 7.如图，点A在反比例函数的图象上，过点作轴于点，延长至点，使，过点作轴于点，连接．若的面积为6，则的值为 ．    8.如图，垂直于x轴的直线l分别交反比例函数的图象、的图象于点A、B，若的面积为5，则 ．    考点03 反比例函数与几何综合 1.如图，为等边三角形，点A为．若双曲线（，k为常数）经过的中点D，交于E． (1)求k的值； (2)若第一象限的双曲线（）与没有交点，求m的取值范围； (3)将向左平移几个单位，使点B恰好落在（1）中的双曲线上，求n的值． 2.在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于横坐标为3的点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如图，已知点在这个一次函数图像上，点在反比例函数的图像上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点．如果，求点坐标； (3)在（2）的条件下，过作交轴于点，求点的坐标． 3.如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 4.如图，在平面直角坐标系中，点 和都在反比例函数的图像上． (1)在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)现有条件下，你还能提出一个新的问题吗？（不必计算，只提出问题即可．） 5.直线与反比例函数的图象分别交于点 和点，与坐标轴分别交于点和点． （1）求直线的解析式； （2）若点在轴上移动，当与相似时，求点的坐标． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数的图象及性质 考点01 反比例函数的图象及性质 考点02 反比例函数中k的几何意义 考点03 反比例函数与几何综合 考点01 反比例函数的图象及性质 1.反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵反比例函数的解析式为，则， 、当时，，图象一定经过点，符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 、当时，，图象不经过点，不符合题意； 故选：． 2.已知反比例函数的图象经过点，则a的值为（    ） A．3 B． C．12 D． 【答案】B 【解答】解：把点代入得： ． 故选：B． 3.在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为 ． 【答案】 【解答】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴，， 又∵， ∴， 即； 即的值为． 故答案为：． 4.如图，点，分别在双曲线和上，轴，作轴于点，交于点．若，则的值是 ． 【答案】9 【解答】解： 点，分别在双曲线和上，轴， 轴， 轴， 而， 解得： 故答案为：9 5.在下列函数中，函数值y随自变量x的增大而减小的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、随的增大而增大，不符合题意； B、    ，随的增大而增大，不符合题意； C、，在每个象限内，随的增大而减小，不符合题意； D、随的增大而减小，符合题意； 故选：D． 6.若直线经过第二、四象限，则函数的图象在（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 【答案】B 【解答】解：∵一次函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限． 故选：B． 7.如果反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小，那么满足的条件是 ． 【答案】 【解答】解：∵反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小， ∴， 解得． 故答案为：． 8.在反比例函数的图象上有，，三点，若，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】 【解答】解：由反比例函数的可知，，当时，随的增大而增大， 当时，则， 又在第二象限，， ， 故答案为：． 9.若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是，则另一个交点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点关于原点成中心对称，且一个交点为（a，b）， ∴另一个交点的坐标（-a，-b）， 故选：D． 10.反比例函数y＝的图象如图所示，以下结论：①常数m＞0；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P'（﹣x，﹣y）也一定在图象上．其中正确的是（　　） A．①④ B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【解答】解：∵反比例函数的图象可知，m＞0，故①正确； 当反比例函数的图象位于一、三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误； 将A（-1，h），B（2，k）代入y＝得到h=-m，2k=m， ∵m＞0， ∴h＜k，故③正确； 将P（x，y）代入y＝得到m=xy，将P′（-x，-y）代入y＝得到m=xy， 若P（x，y）在图象上，则P′（-x，-y）也在图象上 故④正确， 故选：D． 11.在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【解答】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 12.如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的横坐标分别为，，则 ． 【答案】0 【解答】解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形， ∴x1＝−x2， ∴x1＋x2＝0， 故答案为：0． 考点02 反比例函数中k的几何意义 1.如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点在上，轴于点，交于点，则的面积为(  ) A．1 B．2 C．4 D．无法计算 【答案】A 【解答】解：点在反比例函数的图象上， ， 点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：A． 2.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴、轴上，轴，与双曲线交于点，与双曲线交于点，若四边形为平行四边形，则平行四边形的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：设， ∵轴，点在双曲线上，点在双曲线上， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形的面积， 故选：D． 3.如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      【答案】 【解答】解：∵A，B两点在反比例函数的图像上， ∴， 设， ∴，， ∴． 故答案为：． 4.已知反比例函数与的图象如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于，两点．若点是轴上的任意一点，连接，，则等于 ．    【答案】 【解答】解：如图所示，连接，    ∵轴 ∴ 故答案为：． 5.如图，点A，B在双曲线第一象限的分支上，若A，B的纵坐标分别是2和4，连接OA，OB，的面积是6，则k的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【解答】解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，设与的交点为F， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵A，B的纵坐标分别是2和4， ∴，， ∵的面积是6，则k的值是 ∴， 解得， 故选B． 6.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、交于点E，若，四边形的面积为3，则k的值为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【解答】解：∵点在反比例函数图象上，轴，轴， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 7.如图，点A在反比例函数的图象上，过点作轴于点，延长至点，使，过点作轴于点，连接．若的面积为6，则的值为 ．    【答案】4 【解答】解：连接，如图，   ， ， ， 轴于点，轴，两坐标轴互相垂直， 四边形为矩形， ， ． 故答案为：4． 8.如图，垂直于x轴的直线l分别交反比例函数的图象、的图象于点A、B，若的面积为5，则 ．    【答案】10 【解答】解：由题意，得：， ∵的面积， ∴； 故答案为：10． 考点03 反比例函数与几何综合 1.如图，为等边三角形，点A为．若双曲线（，k为常数）经过的中点D，交于E． (1)求k的值； (2)若第一象限的双曲线（）与没有交点，求m的取值范围； (3)将向左平移几个单位，使点B恰好落在（1）中的双曲线上，求n的值． 【答案】(1) (2)或； (3) 【解答】（1）解：如图，过点B、点D分别作x轴的垂线，垂足为C、F， ∵点A为． ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵点D是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （2）解：由（1）可得点， 当双曲线过点时，， 由（1）可得：过时， 此时； ∴第一象限的双曲线与没有交点，则m的取值范围为 或； （3）解：∵（1）的反比例函数为：， 当时，即， 解得， ∴向左平移的距离为， 即． 2.在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于横坐标为3的点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如图，已知点在这个一次函数图像上，点在反比例函数的图像上，直线轴，且在点上方，并与轴相交于点．如果，求点坐标； (3)在（2）的条件下，过作交轴于点，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为 (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【解答】（1）解：∵横坐标为3的点在反比例函数的图像上， ， ∴点的坐标为， 将代入， 得， ， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设点， ∵， 则点， ∵点在反比例函数的图像上， ∴，即， 解得：， ∵根据题意点在第一象限内， ∴点的坐标为． （3）解：由（1）（2）知点的坐标为，点的坐标为，点， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 则，解得：， 故直线的解析式为， 令，则， 故点的坐标为． 3.如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，双曲线的图象经过上的点D与交于点E，连接，若E是的中点． (1)求点D的坐标； (2)点F是边上一点，若和相似，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【解答】（1）解：四边形是矩形 为的中点，点B的坐标为 点E的坐标为 点E在反比例函数上 ∴反比例函数的解析式为：， ∴当时，则 ∴点D的坐标为 （2）由（1）可得 为的中点 ①若时， 则 即： 点F的坐标为 ②若时， 则 即： 点F与点O重合 点F的坐标为 综上所述，点F的坐标为或 4.如图，在平面直角坐标系中，点 和都在反比例函数的图像上． (1)在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)现有条件下，你还能提出一个新的问题吗？（不必计算，只提出问题即可．） 【答案】(1)存在，点的坐标为； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（答案不唯一） 【解答】（1）解：存在； 如图，作点关于y轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为； （2）解：在轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的周长最小， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为． 5.直线与反比例函数的图象分别交于点 和点，与坐标轴分别交于点和点． （1）求直线的解析式； （2）若点在轴上移动，当与相似时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）点坐标为或． 【解析】（1）利用反比例函数经过点 和点，确定、两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）分两种情形①当时，②当时，讨论求解即可． 【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点， ， ∴反比例函数为 又∵反比例函数的图象经过点， ， 点的坐标为， 的图象经过点和， 则有 解得 直线的解析式为. （2）如图所示， ①当时，∵ ， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． ②当时，易知， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 的图象经过点， 解得， ， 令，解得， ∴， 综上所述，满足条件的点坐标为或． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $