专题02 二次函数的应用（高效培优期中专项训练）数学新教材沪科版九年级上学期

专题02 二次函数的应用 考点01 二次函数与最大利润问题 考点02 二次函数与抛物线形的实际问题 考点03 二次函数与面积的最大值 考点04 二次函数与几何综合 考点01 二次函数与最大利润问题 1.为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， (1)当时，写出与的关系式； (2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？ (3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 2.榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为元，设售价为x元，图中线段是总进价（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额（元）与x关系的图象，经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为元时，销售量为． （总利润=总销售额﹣总进价） (1)直接写出t、p、q的值； (2)分别求出与x的关系式； (3)当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？ 3.教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本） 销售单价x（元、件） … 60 70 75 … 每天销售量y（件） … 240 180 150 … (1)求y与x的函数关系式； (2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ． 4.某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．    (1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润； (2)每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ (3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围． 5.习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系：当时，；当时，． (1)若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式； (2)若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？ 6.某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示． 信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题； (1)求二次函数的表达式； (2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 7.“一结千年意蕴丰，相看时对吉祥红”，“中国结”是深受国人喜爱的节庆装饰物。某款“中国结”成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果规定每天该款“中国结”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润w最大，最大利润是多少？ 考点02 二次函数与抛物线形的实际问题 1.如图1为某公园的圆形喷水池，小玲学习了二次函数后，受到该图启发设计了一种新的喷水池，它的截面示意图如图2所示，为水池中心，喷头、之间的距离为米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其高为米． (1)在图2中，以点为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，并求右边这条抛物线的函数解析式． (2)如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点向四周喷射抛物线形水柱且满足以下四个条件：不能碰到图2中的水柱；落水点，的间距为；水柱的最高点与点的高度差为；从点向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱． ①在建立的坐标系中，求落水点的坐标； ②求出喷水装置的高度． 2.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即 ），小孔顶点距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出大孔抛物线的解析式； (2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； (3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ． 3.某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架． 为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的函数解析式． ②当米，求的长度． (2)只考虑经费情况下，求出的最大值． 4.学科实践 问题情境： 某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在校园科技节主题活动当天进行投石试验展示． 试验步骤： 第一步：如图，在操场上放置一块截面为的木板，该木板的水平宽度（米，竖直高度米，将投石机固定在点O处，紧贴木板的矩形厚木板表示城墙； 第二步：利用投石机将石块(石块大小忽略不计）从点A处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落地，其中点A到地面的高度米，测得米． 试验数据： 科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点P时离地面的高度为1.5米，飞行的水平距离为4米． 问题解决： 已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； （2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度的取值范围； 拓展应用： （3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？ 5.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 6.电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米），以过点的水平线为轴，水平线与电缆的另一个交点为原建立平面直角坐标系，如图所示经测量，米，斜坡高度米（即 、 两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题：    (1)若以米为一个单位长度，则点坐标为 (2)求出下垂电缆的抛物线表达式 (3)若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于 米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线 轴分别交直线 和抛物线于点 、．点距离坡面的铅直高度为的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 7.高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为10米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为8米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 8.如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 考点03 二次函数与面积的最大值 1.如图，学校准备在长为米，宽为米的矩形草地上规划甲、乙、丙三个区域栽种花卉，正方形和正方形面积相等，且各有两边与长方形边重合，矩形是这两个正方形的重叠部分，设为米，为米．    (1)求关于的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设甲、乙、丙的总面积为（），求关于的函数表达式及其最大值． 2.如图，用长为的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长是(单位：)，面积是(单位：)．      (1)求与的函数关系式及的取值范围； (2)如何设计矩形花圃的长与宽，才能得到一个面积最大的花圃？ 3.问题情境:有一堵长为的墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？ 题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）． 特例分析: （1）当时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 ；若按图②的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 ． （2）当时，解决“问题情境”中的问题． 解决问题:（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案． 4.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）．已知计划中的材料可建墙体总长米，设两间饲养室合计长（米），总占地面积为（米2）． （1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围． （2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽米，门不采用计划中的材料． ①求总占地面积最大为多少米2？ ②如图3所示，离墙米外饲养室一侧准备修一条平行于墙的小路，若拟建的饲养室面积尽量大，饲养室的门口与小路的间隔为多少米？ 5.如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． (1)设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，所围矩形苗圃的面积为． 6.用长为米的铝合金条制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米． (1)则 ； (2)若不计铝合金条的厚度，窗框透光面积为平方米，求的值； (3)窗框透光面积的最大值为 ． 7.如图，在一边长为的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪去的小正方形的边长；如果没有，请说明理由． 8.根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，，且与的距离为10米，与的距离为8米．    素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 任务2 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．      若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．    项目反思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．    考点04 二次函数与几何综合 1.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 2.综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，交直线于点Q．    (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； (2)在点P运动的过程中，若，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3.在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示，并求抛物线的对称轴． (2)是直线下方抛物线上的一点． ①当时，求面积的最大值； ②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围． 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段下方抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴于点． ①求的最大值； ②连接，.若线段把的面积分成上下两部分的面积比为，求点的坐标． 5.如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 (1)求此二次函数的解析式； (2)点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 (3)若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 7.如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线的解析式、直接写出直线解析式． (2)如图1，设M的横坐标为m（），连接，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． (3)当时，求点M的坐标 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的应用 考点01 二次函数与最大利润问题 考点02 二次函数与抛物线形的实际问题 考点03 二次函数与面积的最大值 考点04 二次函数与几何综合 考点01 二次函数与最大利润问题 1.为助推乡村经济发展，解决茶农卖茶难问题，某地政府在新茶上市天内，帮助“幸福村”茶农合作社集中销售茶叶，设第天（为整数）的售价为（元/斤），日销售额为（元）．据销售记录知： ①第天销量为斤，以后每天比前一天多卖斤； ②前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， (1)当时，写出与的关系式； (2)当为何值时日销售额最大，最大为多少？ (3)若日销售额不低于元时可以获得较大利润，当天合作社将向希望小学捐款元，用于捐资助学，若“幸福村”茶农合作社计划帮助希望小学购买元的图书，求的最小整数值． 【答案】(1) (2)当为第天时日销售额最大，最大为元 (3)元 【解答】（1）解：∵前天的价格一直为元/斤，后天价格每天比前一天跌元， ∴当时，， ∴当时，写出与的关系式为：； （2）由题意得，销售量为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为：， 当时， ， ∵， ∴当时，取最大值为， 综上所述，当时，取最大值为， 答：当为第天时日销售额最大，最大为元； （3）当时， ， 当时，取最大值为：， ∵， ∴时不可能获得较大利润． 当时，， 当时，取最大值为，得：， 当时， 解得：或， ∴当时，， ∴获得较大利润天数为天， ∴， 解得：， ∵为整数， ∴的最小值为元． 2.榴莲靠着独特风味和口感深受广大消费者喜爱，多数品质较好的榴莲都需要进口，所以价格居高不下，国产高品质榴莲在三亚成功挂果上市，某水果店购进一批三亚榴莲，进价为元，设售价为x元，图中线段是总进价（元）与x关系的图象，抛物线是总销售额（元）与x关系的图象，经过原点．假定购买和销售数量相同，当售价为元时，销售量为． （总利润=总销售额﹣总进价） (1)直接写出t、p、q的值； (2)分别求出与x的关系式； (3)当售价定为多少，该水果店出售这批榴莲所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)与x的关系式为；与x的关系式为 (3)当售价定为元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是 【解答】（1）解：∵当售价为元时，销售量为， ∴， ∴此时进价为（元）， ∴； 当总进价为元时，，即利润为0，此时进价=售价， ∴； （2）解：设，把，代入得，， 解得，， ∴； 设，把，代入得，， 解得，， ∴； ∴与x的关系式为；与x的关系式为； （3）解：设该水果店出售这批榴莲所获利润为w元， 依题意得，， ∵， ∴当时，w有最大值， ∴当售价定为元时，该水果店出售这批榴莲所获利润最大，最大利润是． 3.教师节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为50元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于52%．分析教师节同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）（x为整数）近似的满足一次函数关系，数据如表：（注：利润率=利润/成本） 销售单价x（元、件） … 60 70 75 … 每天销售量y（件） … 240 180 150 … (1)求y与x的函数关系式； (2)试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； (3)花店承诺：每销售一件鲜花礼盒就捐赠n元（）给“希望工程”．若扣除捐赠后的日利润随着销售单价x的增大而增大，请直接写出n的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元 (3) 【解答】（1）解：设， 由题意得：当时，，当时，， ∴， 解之得， ∴； （2）解：设每天利润为w元，由题意得 ， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴当时，， 答：当销售单价为75元/件时，利润最大为3750元； （3）解：设表示扣除捐款后的日利润， ， ∵在（x为整数）范围内，随x的增大而增大，开口向下，对称轴是直线， ∴， 解得， ∵， ∴． 4.某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．    (1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润； (2)每天的销售量不低于个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ (3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1)当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元 (2)要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元 (3) 【解答】（1）解：设， 由题意知，图象过，两点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得， 利润为：（元）， ∴当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元； （2）解：由题意得，， 解得， 设每天的销售利润为W（元）， 依题意得， ， ∵， ∴当时，W取最大值，最大值为， ∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元； （3）解：设捐款后每天所获得的利润为Q（元）， 依题意得，， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴当时，Q随x的增大而增大． ∵物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于元， ∴， 解得， 又∵， ∴． 5.习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系：当时，；当时，． (1)若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式； (2)若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元 【解答】（1）解：设销售量y（个）与销售单价x（元）一次函数关系为， 当时，；当时，． ，解得 ， ∴ ， （2）解：， ，抛物线开口向下，在的左侧，随的增大而增大， 时，有最大值，最大值为元． 答：当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元． 6.某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，确定两条信息： 信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，如图所示． 信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与销售产品x（吨）之间存在正比例函数关系．根据以上信息，解答下列问题； (1)求二次函数的表达式； (2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)购进A产品6吨，B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润为6.6万元 【解答】（1）解：（1）由图象可知：抛物线过原点，设函数解析式为， 将代入，得 ，解得 ∴二次函数解析式为． （2）设购进A产品m吨，购进B产品吨，销售A，B两种产品获得的利润之和为W万元．则 ∵， ∴当时，W有最大值6.6． ∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元． 7.“一结千年意蕴丰，相看时对吉祥红”，“中国结”是深受国人喜爱的节庆装饰物。某款“中国结”成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)如果规定每天该款“中国结”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润w最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元 【解答】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得， ； （2）每天“中国结”的销售量不低于240件， ， 解得， 设每天获取的利润为元， 根据题意得：， ，抛物线对称轴是直线， 时，取最大值，最大值是（元， 答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． 考点02 二次函数与抛物线形的实际问题 1.如图1为某公园的圆形喷水池，小玲学习了二次函数后，受到该图启发设计了一种新的喷水池，它的截面示意图如图2所示，为水池中心，喷头、之间的距离为米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其高为米． (1)在图2中，以点为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，并求右边这条抛物线的函数解析式． (2)如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点向四周喷射抛物线形水柱且满足以下四个条件：不能碰到图2中的水柱；落水点，的间距为；水柱的最高点与点的高度差为；从点向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱． ①在建立的坐标系中，求落水点的坐标； ②求出喷水装置的高度． 【答案】(1)； (2)①点的坐标为：，②． 【解答】（1）解：建立如图所示坐标系， 由题意得，右侧抛物线的顶点的坐标为，点， 设抛物线的表达式为： 则将点的坐标代入上式得： 解得： 则右侧抛物线的表达式为：． （2）解：①建立如图所示坐标系，设轴交于点， 由（1）知，右侧抛物线的表达式为：， 当时，即， 解得： (不合题意，舍去)， ， 又 ， ， ∴的坐标为： ②由（1）知，右侧抛物线的表达式为： 则中间抛物线的表达式为： ∵水柱的最高点与点的高度差为， 即：该抛物线的最高点 解得： ∴抛物线的表达式为： 由①知，点 ， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得： 即． 2.如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是全等的，正常水位时，大孔水面宽为，顶点距水面（即 ），小孔顶点距水面（即），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求出大孔抛物线的解析式； (2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面，顶部宽的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由； (3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ． 【答案】(1)； (2)该巡逻船能安全通过大孔，理由见解析； (3)． 【解答】（1）解：由题意可得，，， 设大孔抛物线的解析式为， 把点代入解析式得，， 解得, ∴大孔抛物线的解析式为； （2）解：该巡逻船能安全通过大孔，理由如下： 把代入得，， ∴该巡逻船能安全通过大孔； （3）解：∵， ∴点的纵坐标为， ∴当时，， 解得，， ∴由抛物线对称性可得，， ∴， 答：大孔的水面宽度为． 3.某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架． 为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元． (1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系． ①求出改造前的函数解析式． ②当米，求的长度． (2)只考虑经费情况下，求出的最大值． 【答案】(1)①；②米 (2)米 【解答】（1）解：①如图，以为原点，分别以和所在的直线为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可知：，，， 设改造前的抛物线解析式为， ∴， 解得：， ∴改造前的抛物线的函数表达式为； ②如图，建立与（1）相同的平面直角坐标系， 由①知改造前抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 设改造后抛物线解析式为：， ∵调整后与上升相同的高度，且， ∴对称轴为直线，则有， 当时，， ∴， ∴，， ∴改造后抛物线解析式为：， 当时， 改造前：， 改造后：， ∴（米）， ∴的长度为米； （2）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为， ∵当时，， 当时，， ∴，， ∴， 由题意可列不等式：， 解得：， ∵， 要使最大，需最小， ∴当时，的值最大，最大值为米． 4.学科实践 问题情境： 某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在校园科技节主题活动当天进行投石试验展示． 试验步骤： 第一步：如图，在操场上放置一块截面为的木板，该木板的水平宽度（米，竖直高度米，将投石机固定在点O处，紧贴木板的矩形厚木板表示城墙； 第二步：利用投石机将石块(石块大小忽略不计）从点A处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落地，其中点A到地面的高度米，测得米． 试验数据： 科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点P时离地面的高度为1.5米，飞行的水平距离为4米． 问题解决： 已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； （2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度的取值范围； 拓展应用： （3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？ 【答案】（1）（2）（3）1米 【解答】解：（1）依题意，∵石块飞到最高点P时离地面的高度为1.5米，飞行的水平距离为4米．且 ∴设该抛物线的函数表达式， 把代入， ∴， 解得， ∴； （2）∵测得米，，米，且紧贴木板的矩形厚木板表示城墙， ∴轴，（米）， ∴， 把代入， 得出， 设， ∵石块越过了城墙后落地，且紧贴木板的矩形厚木板表示城墙， ∴米，则， ∴把代入， 得， ∴， 解得或者（舍去）， ∴在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度的取值范围为； （3）∵该木板的水平宽度（米，竖直高度米）， ∴， 设线段的解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴线段的解析式为， ∵在上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准， 设这支木杆的长度为， 如图：设木杆的顶端为W， ∴，其中， 设抛物线到点W的距离为， 则， ∵，开口向下， ∴取大值， ∵， ∴把代入， 得出，此时这支木杆有最大长度，即有最大值， 即． 5.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 【答案】（1）yx2+2x（0≤x≤16）；（2）能，理由见解析；（3）AB、AD、DC的长度之和的最大值是20． 【解答】解：（1）根据题意知：抛物线的顶点坐标为（8，8）， 则其表达式为：y=a(x﹣8)2+8， 将点O（0，0）代入上式得：0=64a+8，解得：a， 故函数的表达式为：y(x﹣8)2+8，即yx2+2x（0≤x≤16）； （2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米， 车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x=7.5﹣3.5=4， 当x=4时，y=6，即允许的最大高度为6米， 5.8＜6，故该车辆能通行； （3）设点B（m，0），则点A（m，m2+2m）， 由抛物线的表达式知，其对称轴为x=8，则BC=2（8﹣m）=16﹣2m=AD， 则ABm2+2m， 则设：w=AB+AD+DC=2m+2ABm2+2m+16， ∵0，故w有最大值， 当m=4时，w的最大值为20， 故AB、AD、DC的长度之和的最大值是20． 6.电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似的看成抛物线的形状．如图，在个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米），以过点的水平线为轴，水平线与电缆的另一个交点为原建立平面直角坐标系，如图所示经测量，米，斜坡高度米（即 、 两点的铅直高度差）．结合上面信息，回答问题：    (1)若以米为一个单位长度，则点坐标为 (2)求出下垂电缆的抛物线表达式 (3)若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于 米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．（说明：直线 轴分别交直线 和抛物线于点 、．点距离坡面的铅直高度为的长），请判断上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这种电缆的架设符合安全要求，理由见解析 【解答】（1）由题意得：米，米，米，米，轴，轴， ∴米，米， ∴． 故答案为 （2）∵米， ∴ ∵， ∴设下垂电缆的抛物线表达式为：， ∴， 解得：， ∴下垂电缆的抛物线表达式为：． （3）这种电缆的架设符合安全要求，理由如下： 由（1）可知：，，， 设斜坡解析式为， ∴，解得： ∴斜坡解析式为， 则电缆与坡面的铅直高度． ∵， ∴当时，有最小值为18，即， ∴这种电缆的架设符合安全要求． 7.高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为10米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为8米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 【答案】(1) (2)点E与隧道左壁之间的距离为米． 【解答】（1）解：由题意可得：， 设抛物线的解析式为：， 则有：，解得：， ∴． （2）解：∵平行线段与之间的距离为8米，矩形且， ∴点E到x轴的距离为9且在第一象限， ∴点E的纵坐标为， ∴，解得：或（舍去）． ∴点E与隧道左壁之间的距离为米． 8.如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点，在x轴上，MN与矩形的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段，，，MN长度之和．请解决以下问题： （ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点，在抛物线AED上．设点的横坐标为，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； （ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形面积的最大值，及取最大值时点的横坐标的取值范围（在右侧）． 【答案】(1)y＝x2＋8 (2)（ⅰ）l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：最大面积27，＋9≤P1横坐标≤；方案二：最大面积 ＋≤P1横坐标≤ 【解答】（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2）， 又∵E（0，8）是抛物线的顶点， 设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入， （－6）2a＋8＝2， 解得：a＝， ∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋8； （2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上， ∴P2的坐标为（m，m2＋8）， ∴P1P2＝P3P4＝MN＝m2＋8，P2P3＝2m， ∴l＝3（m2＋8）＋2m＝m2＋2m＋24＝（m－2）2＋26， ∵＜0， ∴当m＝2时，l有最大值为26， 即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝m2＋2m＋24，l的最大值为26； （ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n， ∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27， ∵－3＜0， ∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27， 此时P2P1＝3，P2P3＝9， 令x2＋8＝3， 解得：x＝， ∴此时P1的横坐标的取值范围为＋9≤P1横坐标≤， 方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n， ∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－）2＋， ∵－1＜0， ∴当n＝时，矩形面积有最大值为， 此时P2P1＝，P2P3＝， 令x2＋8＝， 解得：x＝， ∴此时P1的横坐标的取值范围为＋≤P1横坐标≤． 考点03 二次函数与面积的最大值 1.如图，学校准备在长为米，宽为米的矩形草地上规划甲、乙、丙三个区域栽种花卉，正方形和正方形面积相等，且各有两边与长方形边重合，矩形是这两个正方形的重叠部分，设为米，为米．    (1)求关于的函数表达式；（不用写出自变量的取值范围） (2)设甲、乙、丙的总面积为（），求关于的函数表达式及其最大值． 【答案】(1) (2)关于的函数表达式为；最大值为56 【解答】（1）解：由题可知， ，， ∴，即， ∴． （2）解：∵正方形和正方形的面积相等， ∴， ∴， ∴， 又， ∴ 整理得关于的函数表达式为； 由， ∵， 故：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 又， ∴当时，取最大值，， 即最大值为56． 2.如图，用长为的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长是(单位：)，面积是(单位：)．      (1)求与的函数关系式及的取值范围； (2)如何设计矩形花圃的长与宽，才能得到一个面积最大的花圃？ 【答案】(1)； (2)当为时，面积最大为． 【解答】（1）根据题目数量关系得， 根据题意，解得：， ∴； （2）由（）得：， ∴， ， ∵当时，随的增大而减小，， ∴当时，有最大值为． 3.问题情境:有一堵长为的墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？ 题意理解:根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）． 特例分析: （1）当时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 ；若按图②的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是 ． （2）当时，解决“问题情境”中的问题． 解决问题:（3）直接写出“问题情境”中的问题的答案． 【答案】（1）288，324；（2）当时，该养鸡场围成一个边长为的正方形时面积最大，最大面积是；（3）当时，当矩形的长为，宽为时，养鸡场最大面积为 【解答】解：（1）如图①,设矩形的长为x米,则矩形的宽为（30-）米,面积为S,依题意得： S=x·（30-）=-=-,(x12) ∴当x=12时,矩形有最大值为288 如图②, 设矩形的长为x米, 则矩形的宽为（36-x）米,依题意得： S=x·（36-x）=-, ∴当x=18时,矩形有最大值为324 综上,矩形的面积为288，324． （2）如图①，设，则． 所以． 根据题意，得． 因为， 所以当时，随的增大而减小． 即当时，有最大值，最大值是400（m2）. 如图②，设，则． 所以． 根据题意，得． 因为， 所以当时， 有最大值，最大值是. 综上，当时，该养鸡场围成一个边长为的正方形时面积最大，最大面积是． （3）当时，围成边长为的正方形面积最大，最大面积是． 当时，围成两邻边长分别为，的养鸡场面积最大，最大面积为． 当时，当矩形的长为，宽为时，养鸡场最大面积为． 4.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）．已知计划中的材料可建墙体总长米，设两间饲养室合计长（米），总占地面积为（米2）． （1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围． （2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽米，门不采用计划中的材料． ①求总占地面积最大为多少米2？ ②如图3所示，离墙米外饲养室一侧准备修一条平行于墙的小路，若拟建的饲养室面积尽量大，饲养室的门口与小路的间隔为多少米？ 【答案】（1），；（2）①当米时，有最大值，最大值为米2，②饲养室的门口与小路的间隔为米． 【解答】（1）由题意可知． ， 自变量的取值范围为． （2）①由题意可知 当米时，有最大值，最大值为． ②由题意可知，解得， 由①可知米时，饲养室面积最大，且满足， 当时，， 饲养室的门口与小路的间隔为米． 5.如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠的墙足够长，中间用平行的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米． (1)设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求关于的函数关系式，直接写出自变量的取值范围； (2)当为何值时，所围矩形苗圃的面积为． 【答案】(1) (2)4或5 【解答】（1）解：在矩形中，， ， ， ； （2）， 解得：，． 答：当为4或5时，所围矩形花圃的面积为． 6.用长为米的铝合金条制成如图窗框，已知矩形，矩形，矩形的面积均相等，设的长为米． (1)则 ； (2)若不计铝合金条的厚度，窗框透光面积为平方米，求的值； (3)窗框透光面积的最大值为 ． 【答案】(1)3 (2)或 (3)2 【解答】（1）解：由题意可得， 设，由题意可得， ∵矩形，矩形，矩形的面积均相等， ∴，， ∴， 故答案为：3； （2）解：由题意可得， ∵铝合金长为米， ∴，即：， ∵窗框透光面积为平方米， ∴， 解得：或； （3）解：由题意可得， ， 且有， 解得：， ∵，， ∴当时，最大， ． 7.如图，在一边长为的正方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使折成的长方体盒子的底面积为，那么剪掉的正方形的边长为多少？ (2)折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪去的小正方形的边长；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)剪掉的正方形边长为 (2)折成的长方体盒子的侧面积有最大值；长方形盒子的侧面积最大值为，剪掉的正方形边长为 【解答】（1）解：设剪掉的正方形边长为，根据题意，得： ． 解得：，（舍）， 答：剪掉的正方形边长为； （2）解：设剪掉的正方形边长为， 则长方形盒子的侧面积为： ， 当时，S有最大值． 即长方形盒子的侧面积最大值为，剪掉的正方形边长为． 8.根据素材回答问题： 素材1 如图1，空地上有两条互相垂直的小路，，中间有一正方形水池，已知水池的边长为4米，，，且与的距离为10米，与的距离为8米．    素材2 现利用两条小路，再购置30米长的栅栏（图中的细实线）在空地上围出一个花圃，要求围起来的栅栏与小路相互平行（或垂直），靠小路和水池的都不需要栅栏，接口损耗忽略不计． 任务1 任务2 小明同学按如图2的设计，若米，求出花圃的面积（不包含水池的面积）．      若按如图3、如图4设计方案，通过计算说明哪种方案的最大面积更大．    项目反思 如果栅栏不一定与墙面垂直（或平行），你还能设计出比以上方案面积更大的花圃吗？某学习小组在探究的过程中，设计了方案如图5，你认为图5的最大面积与以上方案比较，哪个更大，请通过计算说明．    【答案】任务1：花圃的面积为208；任务2：图4方案的最大面积更大，为273；项目反思：图5方案最大面积更大 【解答】解：任务1：如图2， 由题意可知，则， 矩形面积为 ， ()， 答：花圃的面积为208； 任务2：由图3，设，花圃面积为，则， 由题意得：， 因为， ∴当时，有最大值，最大值为()； 由图4，设，花圃面积为， 则， 由题意得：， ∴当时，y有最大值为273， 所以，图4方案的最大面积更大，为273； 项目反思：如下图，    延长交于点，过点作于点， 易得为矩形， ∴， ∵， ， 设，花圃面积为 ， 则，，， 由题意得：， ∴当时，花圃面积有最大值， ∵， ∴图5方案最大面积更大． 考点04 二次函数与几何综合 1.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，垂足为，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值是， 【解答】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得， ∴； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当时，的最大值为，此时最大，为， ∴； 2.综合与探究：如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，连接，交直线于点Q．    (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式； (2)在点P运动的过程中，若，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、、， (2) (3)（，）或 【解答】（1）解：令，得， 解得：， ∴， 令，得：， ∴， 设直线的解析式为，则 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如图，过点P作轴交直线于D，过点A作轴交直线于E， ∵，直线的函数表达式为， ∴， 设，且，则， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形， 设， ∵，， ∴，，， 当时，， 解得（舍去）， ∴Q点坐标为（，）； 当时，， 解得（舍去）， ∴Q点坐标为； 当时，， 解得（舍去）， 综上所述，存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，Q点坐标为（，）或． 3.在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示，并求抛物线的对称轴． (2)是直线下方抛物线上的一点． ①当时，求面积的最大值； ②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①最大值为，② 【解答】（1）解：将点代入抛物线， 可得，解得；则，对称轴为直线． （2）解：①若，则该抛物线的表达式为，， 设直线的表达式为，则，解得， ∴直线的表达式为， 设，如图，过点作轴的垂线交于点，则， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，为． ②设， 同①可得， 故当时，取得最大值，为， ， 令， ∵， ∴解得． 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段下方抛物线上一动点（不与点、重合），过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴于点． ①求的最大值； ②连接，.若线段把的面积分成上下两部分的面积比为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①的最大值为；②点的坐标为． 【解答】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）①设点的横坐标为，则点坐标为， ∵是线段下方， ∴， ∵设直线表达式为， 把，代入得，解得， 直线表达式为， ∵过点作轴的平行线交直线于点， ∴， ∵将代入，解得， ∴点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为； ②延长交轴于点，设点横坐标为，则点坐标为， ∴点坐标为，由①得， ∵， ∴， ∵ ∴， 整理得：，即：， 解得，（舍去） 当时，， ∴点的坐标为 5.如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点P的坐标为或 【解答】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点的纵坐标为， ∴当时，， ∴， ， ∴， 将点，代入解析式，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：存在，，理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，， 解得：，． ，， 如图，连接，交直线于点，连接， ∵点关于直线的对称点是点， ． ∴，，三点共线时，最小，最小值为的长， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴． （3）解：存在点，使得，理由如下： ∵点，， ， 设点， ． ， ，即， 当时，整理得， ，方程无实数根． 当时，整理得， 解得：或， ∴点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 6.如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接 (1)求此二次函数的解析式； (2)点在二次函数图象上，且位于直线上方，求面积的最大值 (3)若点在二次函数图象上，且满足，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【解答】（1）解：把和代入， 得， 解得， ∴； （2）解：如图，连接，设， 当，则， 解得，， ∴， ∴． ∵， ∴． ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，的面积取得最大值； （3）解：∵， ∴对称轴为直线 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P， ∵A、C关于直线对称， ∴，即， 同理可求出直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于， 则，，即， 同理可求直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 综上，当时，点P的坐标为或． 7.如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线的解析式、直接写出直线解析式． (2)如图1，设M的横坐标为m（），连接，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值． (3)当时，求点M的坐标 【答案】(1)抛物线的解析式为：；直线的解析式为： (2)见解析 (3)M的坐标为或 【解答】（1）解：设抛物线的表达式为， 则， 则，解得， ∴抛物线的解析式为：， 直线的解析式为：； （2） ∵， ∴当时取得最大值2； （3）①当M在直线下方时， 作点A关于y轴的对称点D， 由对称可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点M在直线上， ∵， ∴， 设直线的解析式为：， 将、代入得：解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程得：， 解得： (舍去），， 将代入，得， ∴； ②当M在直线上方时， 作点D关于直线的对称点， ∴， ∴， ，(由①得)，， ∴， ∴点M在直线上， 设直线的解析式为：， 将、代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立方程得：， 解得： (舍去），， 将代入，解得， ∴， 综上所述M的坐标为或． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $