精品解析：山东德州市第九中学2026-2027学年上学期八年级数学第一次学情自测

2026-2027学年八年级第一学期数学单元评估检测题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列各组中的两个图形是全等图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．利用全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意； B、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意； C、两个图形是全等图形，故此选项符合题意； D、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 三角形的任意两边之和大于第三边 D. 三角形的内角和等于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的稳定性是实际应用，学校门口设置的移动拒马护栏做成三角形的形状，利用三角形不变形即三角形的稳定性，从而可得答案，掌握“三角形具有稳定性”是解题的关键． 【详解】解：因为学校门口设置的移动拒马都用钢管焊接成三角形， 所以这样做的数学原理是利用了三角形的稳定性， 故选：B． 3. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题突破口为三角形高的定义，即从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 【详解】∵ 线段  是  的高 ， ∴ ． A选项中 ，不符合题意． B选项中 ，不符合题意． C选项中 ，不符合题意． D选项中 ，符合题意． 4. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定条件和三角形三边关系，逐一分析各选项是否满足唯一性即可． 【详解】解：A．∵，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，故不符合题意． B．∵，，，为两边及其中一边的对角，不能唯一确定三角形，故不符合题意． C．∵，，，为两边及其夹角，满足SAS全等判定条件，可唯一确定，故符合题意． D．∵仅已知三个内角度数，无边长条件，只能确定三角形形状，不能确定大小，无法唯一确定三角形，故不符合题意． 5. 下列四个条件：不能确定是直角三角形的是（ ） A. 三个外角的度数之比是 B. 的三个内角的度数之比是 C. ； D. 【答案】B 【解析】 【分析】验证各选项条件下三角形是否存在内角，即可判断能否确定为直角三角形． 【详解】解：A． 三角形外角和为，最小外角为，对应最大内角为，可确定是直角三角形，故本选项不符合题意； B． 三角形内角和为，最大内角为，为锐角三角形，不能确定是直角三角形，故本选项符合题意； C． ∵， ∴， ∵， ∴，即，可确定是直角三角形，故本选项不符合题意； D． 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴，可确定是直角三角形，故本选项不符合题意． 6. 如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知：，， ， ． 故选：A． 7. 如图，点，分别在的边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上处，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可以求出，根据折叠的性质可以求出，利用三角形的内角和定理即可求出． 【详解】解：， ， 由折叠可知，， ， 在中， ． 8. 如图，中，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理． 先证明，得到，再根据三角形内角和定理即可判断． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， ， ， 且， ， ， ， ， ， ， 即：， 故选：B． 9. 如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，交于点D，交于点E；分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线，交于点G；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点H，连接，则的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出，即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，， ， 由作图方法可得：平分， ， 在和中 ， ， ， 的周长为：． 10. 如图，在中，平分，于点P，已知阴影部分的面积为3，，则点A到所在直线的最短距离为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，过点作于点E，证明，利用三角形中线的性质可得，再利用三角形的面积公式求得的长即可求解． 【详解】解：延长交于点，过点作于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积， 解得， 又， ∴， 点A到所在直线的最短距离为． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 如下图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】在和中，使用三角形内角和定理得到，代入数值即可求出结果． 【详解】解：由三角形内角和定理知，在中，， 在中，， ，（对顶角相等） ， ． 12. 如图，在中，是的平分线，是延长线上一点，且于点，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∵是的平分线， ∴． 13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是的高，则．当，，时，的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据代入数值计算出，然后再根据求解即可． 【详解】解：把，，代入得： ， ∴． 14. 如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当_______时，以点为顶点的三角形和全等． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是分情况讨论，根据全等三角形对应边相等求出的长度，进而得出的值． 因为，所以分两种情况讨论：和，根据全等三角形对应边相等求出的长，再结合点的运动速度求出． 【详解】解： 情况一：， 此时， 已知，点的速度是，的长度就是点运动的路程，则， 把代入，可得（秒）； 情况二： 此时． 已知，， 把代入，可得（秒）． 综上，当或4时，以点为顶点的三角形和全等． 故答案为：2或4． 15. 如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交延长线于，根据角的和差关系得出，利用证明，得出，，可得，利用证明，得出，，利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 用一条长厘米的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是厘米的等腰三角形吗？为什么？ 【答案】（1）厘米，厘米，9厘米 （2） 解：能，理由如下： 当5厘米的边为底边时，其腰长为（厘米）， ， 能围成等腰三角形； 当厘米的边为腰长时， 其底边长为：（厘米）， ，不能构成三角形； 综上所述，能围成有一边的长是5厘米的等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）设底边长为厘米，得到，解方程即可得到答案； （2）当厘米的边为底边时，腰长为厘米，能围成等腰三角形； 当厘米的边为腰长时，不能构成三角形；综上所述，能围成有一边的长是厘米的等腰三角形． 【小问1详解】 解：设底边长为厘米，则腰长为厘米， 依题意得， 解得， 则等腰三角形的腰长为（厘米）， 等腰三角形的各边长分别为厘米，厘米，9厘米； 【小问2详解】 略 17. 如图，中，是边上的高，是的平分线，交边于点，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的性质得出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 18. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】略 19. 如图，在中，，点为外一点，，，过点作于点，延长交于点． （1）求证：； （2）连接，若，平分，求的度数． 【答案】（1）证明：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明，即可得证； （2）由全等的性质得到，再由直角三角形的两锐角互余可得，最后根据角平分线的定义即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 20. 如图，，是的两条高． （1）若，，求的度数； （2），，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理求得 ，，再根据平角定义即可求解； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：是的高线， ． ， ． 同理， ． 【小问2详解】 解：，是的两条高， ，， ， ． 21. 如图，，垂足分别为，连接． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）10 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由同角的余角相等可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合四边形的面积计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积为10． 22. 如图，中，平分，且，于E． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，过点D作交延长线于F， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴ （2） 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）过点D作交延长线于F， 首先根据角平分线的性质得到，，然后证明出，进而求解即可； （2）首先根据角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 23. 【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93页第4、5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧． （1）如图①，在中，平分，平分．若，则____________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是____________； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长、交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 【答案】（1）； （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可； （3）由题意知，，，，当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解即可． 【小问1详解】 解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴， 整理得，； 【小问2详解】 解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意知，，，， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，分①，②，③，④，四种情况求解： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，； 综上所述，的度数为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级第一学期数学单元评估检测题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列各组中的两个图形是全等图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的稳定性 C. 三角形的任意两边之和大于第三边 D. 三角形的内角和等于 3. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列条件，能画出唯一的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 下列四个条件：不能确定是直角三角形的是（ ） A. 三个外角的度数之比是 B. 的三个内角的度数之比是 C. ； D. 6. 如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点，分别在的边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上处，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，交于点D，交于点E；分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线，交于点G；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点H，连接，则的周长为（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 14 10. 如图，在中，平分，于点P，已知阴影部分的面积为3，，则点A到所在直线的最短距离为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 如下图，，相交于点，连接，．若，，，则的度数为________． 12. 如图，在中，是的平分线，是延长线上一点，且于点，，，则______． 13. 清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是的高，则．当，，时，的长为______． 14. 如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当_______时，以点为顶点的三角形和全等． 15. 如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点，若，，则的长为________． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 用一条长厘米的细绳围成一个等腰三角形． （1）如果腰长是底边长的倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是厘米的等腰三角形吗？为什么？ 17. 如图，中，是边上的高，是的平分线，交边于点，，求的度数． 18. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 19. 如图，在中，，点为外一点，，，过点作于点，延长交于点． （1）求证：； （2）连接，若，平分，求的度数． 20. 如图，，是的两条高． （1）若，，求的度数； （2），，，求的长． 21. 如图，，垂足分别为，连接． （1）求证：； （2）若，求四边形的面积． 22. 如图，中，平分，且，于E． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 23. 【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93页第4、5、6题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧． （1）如图①，在中，平分，平分．若，则____________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是____________； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长、交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $