专题01 二次函数的图象及性质（高效培优期中专项训练）数学新教材沪科版九年级上学期

专题01 二次函数的图象及性质 考点01 二次函数的图象及性质 考点02 求二次函数的最值 考点03 求二次函数的表达式 考点04 二次函数与方程、不等式的关系 考点01 二次函数的图象及性质 1.已知，点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）分别是抛物线y＝5（x﹣2）2+k的三个点，则 y1、y2、y3的大小关系为 ．（用“＜”按从小到大的顺序排列） 2.已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 ； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ． 3.已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4.若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（    ） A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 5.在平面直角坐标系中，点都在二次函数的图象上．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时，y有最大值 C．若点，都在抛物线上，则 D．经过第一、二、四象限 7.如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    8.如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 考点02 求二次函数的最值 1.已知二次函数，当时，此时函数的最小值是 ． 2.当时，二次函数的最小值为15，则的值为（   ） A．或8 B．8 C．6 D．或6 3.已知，则函数（    ） A．有最小值，但无最大值 B．有最小值，有最大值7 C．有最小值1，有最大值7 D．无最小值也无最大值 4.已知关于x的二次函数，该函数的最大值为 ． 5.已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值是 ． 6.已知二次函数的图象上有两点，若，则当时，函数（     ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 7.二次函数在上有最小值，则的值为 ． 8.在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.二次函数的图象上有两点、，满足且这两点在对称轴两侧，当时，的最大值和最小值的差为，则的取值范围是 . 考点03 求二次函数的表达式 1.若二次函数图像的顶点坐标为，且图像过点，则该二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 2.若抛物线的顶点坐标是且经过点，则该抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3.一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的一个交点是，则这个二次函数的解析式为 ． 4.已知某抛物线的顶点坐标为，且与y轴相交于点，这个抛物线所表示的二次函数的表达式是 5.有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（    ） A． B． C． D． 6.一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（    ） A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5 7.已知抛物线与x轴交于点和且过点，抛物线的解析式为 ． 8.已知一抛物线与轴交于点，，且经过点，则该抛物线的解析式为 ． 考点04 二次函数与方程、不等式的关系 1.已知二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根为 ． 2.若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是 ． 3.关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是 4.已知抛物线的图象与坐标轴有3个交点. (1)求k的取值范围 (2)若抛物线的图象经过点，求k值． 5.已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 6.阅读理解： 自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得，，则抛物线与x轴的交点坐标为和，画出二次函数的大致图像（如图所示），由图像可知：当或时函数图像位于x轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透的数学思想有______． (2)借助阅读材料直接写出一元二次不等式，的解集为______． (3)用类似的方法解一元二次不等式：． 7.二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的图象及性质 考点01 二次函数的图象及性质 考点02 求二次函数的最值 考点03 求二次函数的表达式 考点04 二次函数与方程、不等式的关系 考点01 二次函数的图象及性质 1.已知，点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）分别是抛物线y＝5（x﹣2）2+k的三个点，则 y1、y2、y3的大小关系为 ．（用“＜”按从小到大的顺序排列） 【答案】y3＜y1＜y2 【解答】解：∵抛物线y＝5（x﹣2）2+k， ∴该抛物线开口向上，有最小值，当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，对称轴是直线x＝2， ∵点A（﹣1，y1）、B（﹣2，y2）、C（3，y3）分别是抛物线y＝5（x﹣2）2+k的三个点， ∴y3＜y1＜y2， 故答案为y3＜y1＜y2． 2.已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （1）当时，函数的最大值是 ； （2）若函数的最大值为，则h的值是 ． 【答案】 0 ； 6或1/1或6 【解答】解：（1）当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0， 故答案为：0； （2）∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 3.已知，设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解答】解：如图所示， A．由图象可知，当时，，故选项错误，不符合题意； B．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； C．由图象可知，当时，不一定成立，故选项错误，不符合题意； D．由图象可知，当时，，故选项正确，符合题意； 故选：D 4.若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（    ） A．向左平移个单位，再向上平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向右平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】B 【解答】解：由抛物线 根据“上加下减，左加右减”规律要得到抛物线， 则即由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位， 故答案为：． 5.在平面直角坐标系中，点都在二次函数的图象上．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：二次函数的开口向上、对称轴为， 二次函数图象上的点到对称轴的距离越近值越小， 点都在二次函数的图像上， 当时，则，即，解得， 故选：D． 6.对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．当时，y有最大值 C．若点，都在抛物线上，则 D．经过第一、二、四象限 【答案】D 【解答】解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小，故A选项错误，不符合题意； 当时，y有最小值，故B选项错误，不符合题意； ∵点，都在抛物线上，， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，最低点为， ∵，且， ∴抛物线与y轴交于正半轴， ∴抛物线经过第一、二、四象限，故D选项正确，符合题意； 故选：D 7.如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    【答案】 【解答】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，    设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线经过、， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点M坐标为， 故答案为：． 8.如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 【答案】 【解答】解：在中，当时，，即， 点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，则， 解得：， 点的横坐标是， 故答案为：． 考点02 求二次函数的最值 1.已知二次函数，当时，此时函数的最小值是 ． 【答案】3 【解答】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴是直线，开口向上 ∴当时，y随x的增大而减小 ∴当时， ∴当时，y取得最小值，此时． 故答案为：3． 2.当时，二次函数的最小值为15，则的值为（   ） A．或8 B．8 C．6 D．或6 【答案】A 【解答】解：当时，有， 解得：，． 当时，函数有最小值15， 或， 或， 故选：A． 3.已知，则函数（    ） A．有最小值，但无最大值 B．有最小值，有最大值7 C．有最小值1，有最大值7 D．无最小值也无最大值 【答案】C 【解答】解：由题意得，抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴当时，当时，y有最小值1，当时，y有最大值， 故选：C． 4.已知关于x的二次函数，该函数的最大值为 ． 【答案】5 【解答】 ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，抛物线有最大值5． 故答案为：5． 5.已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的值是 ． 【答案】 【解答】解：， 故该抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线开口向下，且时，函数的最大值为， 即时，， 代入，求得， 的值为， 故答案为：． 6.已知二次函数的图象上有两点，若，则当时，函数（     ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】B 【解答】解： 令，则或 即二次函数与轴的交点为 当时， ，且在第一象限，越大越小 其图象大致如下： 该函数有最大值，无最小值． 故选：B． 7.二次函数在上有最小值，则的值为 ． 【答案】5或 【解答】解：分三种情况： 当，即时，二次函数在上为增函数， 所以当时，有最小值为，把代入中解得：； 当，即时，二次函数在上为减函数， 所以当时，有最小值为，把代入中解得：，舍去； 当，即时，此时抛物线的顶点为最低点， 所以顶点的纵坐标为，解得：或，舍去． 综上，的值为5或． 故答案为：5或 8.在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，且）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：当时，， 整理得， 根据题意得， ∵二次函数经过点， ∴， 整理得， 解方程组得， ∴函数的解析式为：， 整理得：， 函数的图像如下：    ∵时，时，解得或，当时，， ∴， 故选：B． 9.二次函数的图象上有两点、，满足且这两点在对称轴两侧，当时，的最大值和最小值的差为，则的取值范围是 . 【答案】 【解答】解：当，在对称轴的异侧，且时， ，，抛物线的对称轴为直线， ，，， ， ， 函数的最大值为，最小值为， ，即， ， ， ， ， ， ； 当，在对称轴的异侧，时， ，，， ， ， 函数的最大值为，最小值为， ，即， ， ， ， ， ， ； 综上所述，的取值范围是， 故答案为：． 考点03 求二次函数的表达式 1.若二次函数图像的顶点坐标为，且图像过点，则该二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数顶点式， 图像过点， ，解得， 该二次函数的解析式是， 故选：C． 2.若抛物线的顶点坐标是且经过点，则该抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设抛物线解析式为，将点代入，得 解得： ∴解析式为， 故选：A． 3.一个二次函数的图象的顶点坐标是，与轴的一个交点是，则这个二次函数的解析式为 ． 【答案】 【解答】解：∵二次函数的图象的顶点坐标是， ∴设二次函数的解析式为， ∵二次函数与轴的一个交点是， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为：， 故答案为： 4.已知某抛物线的顶点坐标为，且与y轴相交于点，这个抛物线所表示的二次函数的表达式是 【答案】 【解答】解：设抛物线解析式为， 把代入得：，即， 则抛物线解析式为：． 故答案为：． 5.有一二次函数a，已知其过，，其与的形状一致，那么该二次函数a的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由与的形状一致，设该二次函数的表达式为， 把，代入得： ， 解得， ； 故选：B． 6.一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（    ） A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5 【答案】A 【解答】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5， ∴c＝﹣5①， a﹣b+c＝﹣4②， 4a﹣2b+c＝5③， 解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5， 所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5． 故选：A． 7.已知抛物线与x轴交于点和且过点，抛物线的解析式为 ． 【答案】 【解答】解：依题意，设抛物线的解析式为 把代入， 得， 则 所以， 故答案为： 8.已知一抛物线与轴交于点，，且经过点，则该抛物线的解析式为 ． 【答案】 【解答】∵抛物线与轴交于点，， 设抛物线表达式为， ∴将代入得，， 解得， ∴． 故答案为：． 考点04 二次函数与方程、不等式的关系 1.已知二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根为 ． 【答案】 【解答】解：根据图象知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是直线． 设该抛物线与x轴的另一个交点是．则， 解得，， 即该抛物线与x轴的另一个交点是． 所以关于x的一元二次方程的根为． 故答案是：． 2.若二次函数的图象与坐标轴有两个公共点，则b满足的条件是 ． 【答案】或0 【解答】解：∵二次函数的图象与坐标轴有两个公共点， ∴分①二次函数的图象与轴有1个公共点；②二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点，两种情况求解； ①当二次函数的图象与轴有1个公共点时，， 解得； ②当二次函数的图象与轴有2个公共点，但其中一个点为原点时，， ∴，与轴有2个公共点，为或， 综上所述，b的值为或0， 故答案为：或0． 3.关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是 【答案】<a<-2 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根 ∴△=（-3）2-4×a×（-1）＞0， 解得：a＞− 设f（x）=ax2-3x-1，如图， ∵实数根都在-1和0之间， ∴-1＜−＜0， ∴a＜−， 且有f（-1）＜0，f（0）＜0， 即f（-1）=a×（-1）2-3×（-1）-1＜0，f（0）=-1＜0， 解得：a＜-2， ∴−＜a＜-2， 故答案为−＜a＜-2． 4.已知抛物线的图象与坐标轴有3个交点. (1)求k的取值范围 (2)若抛物线的图象经过点，求k值． 【答案】(1) (2) 【解答】（1）∵抛物线的图象与坐标轴有3个交点， ∴抛物线与轴一个交点，与轴两个交点， ∴方程有两不等实数根， ∴， 解得 （2）把代入得， 解得， 由（1）可得， ∴． 5.已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵a=1>0 ∴抛物线的开口向上，与x轴的两个交点的横坐标分别是、 又∵的两根是抛物线与直线y=2的交点横坐标，且 ∴抛物线的图象如图，    由图象可知： 故选：B． 6.阅读理解： 自主学习，请阅读下列解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得，，则抛物线与x轴的交点坐标为和，画出二次函数的大致图像（如图所示），由图像可知：当或时函数图像位于x轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，渗透的数学思想有______． (2)借助阅读材料直接写出一元二次不等式，的解集为______． (3)用类似的方法解一元二次不等式：． 【答案】(1)转化思想和数形结合 (2) (3) 【解答】（1）解：根据解题过程中，渗透了转化思想和数形结合思想． 故答案为：转化思想和数形结合． （2）解：由图像可知：当时函数图像位于x轴及其下方，此时，即， ∴一元二次不等式的解集为：． 故答案为：． （3）解：设，解得：， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和． 如图：画出二次函数的图像， 有图像可知：当时，函数图像位于x轴上方，此时，即， ∴一元二次不等式的解集为：． 7.二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：对称轴为直线x=-=1， 解得b=-2， 所以二次函数解析式为y=x2-2x， y=（x-1）2-1， x=1时，y=-1， x=-2时，y=4-2×（-2）=8， ∵x2+bx-t=0的解相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标， ∴当-1≤t＜8时，在-1＜x＜4的范围内有解． 故选：C． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $