山西晋城市2026-2027学年高二上学期10月过程性素质评价数学试题

高二年级过程性素质评价 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 密 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0,5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章一第二章第2节，复数，概率。 韵 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 包 合题目要求的。 齐 封 1.已知A(-2,1,3),B(1,一1,4)，则AB= ← A.(3,0,1) B.(-1,-2,1) C.(-1,0,7) D.(3,-2,1) 2.直线1：x一y一1=0的倾斜角是 A晋 B智 c妥 n 线 3.在四面体ABCD中，D成=号D心，B萨=号B克，则A萨= A.2AB+1AD+1AC B}A店+AD-}AG C2A店-日A+AC D.A亩-￥A+号AC 4下列四个结论：①方程及=号与方程y一2=(x十1)表示同一条直线：②直线1过点 P(x11),倾斜角为，则其方程为x=1;③直线1过点P(,n),斜率为0，则其方程为 y=y;④所有直线都有点斜式和斜截式方程.其中正确结论的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 【高二年级过程性素质评价·数学第1页（共4页）】 27-X-074B ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 5.已知空间向量AB=(1,0,一1)，平面a的一个法向量n=(0,1,1),则直线AB与平面a所成 的角为 A需 B号 c弩 D.晋 6.若{e1,e2,e3}是空间的一个基底，且向量{e1十e2,e2十eg,3e1十te3}不能构成空间的一个基 底，则t= A.-3 B.-2 C.-1 D.0 7.已知空间向量a,b,c满足a十b+c=0,a=1,b=2,|cl=√7，则a与b的夹角为 A.30° B.45 C.60° D.90° 8.已知点A(1,4),B(3,-1).若直线l:m.x十y十2m-1=0与线段AB相交，则m的取值范 围是 A[-1,] B[-号] c(-,-1U[号，+∞) n.(-,-号]U[1,+) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设z=1十2i,则下列说法错误的是 A.之的虚部为2i B.x=1-2i C.z=√5 D.z2=3+4i 10.已知La,且直线l的方向向量为a=(2,一1,0)，则平面α的法向量的坐标可以是 A.(0,0,0) B.(4,-2,0) C.(1,2,0) D.(-2,1,0) 11.已知空间向量a=(1,2,一2)，b=(x,1,0),c=(0,1,一1)，则下列说法中正确的是 A若a/6,则x=司 B.若a⊥b,则x=一2 C向量ac在a上的投影狗量的模为号 D.若|b=√5，则x=土2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线的方程为5十首=1，那么此直线在x轴上的截距为 13.若空间向量a,b,c不共面，且4a一5b+c=a十yb+c,其中x,y,x为实数，则x十y十x= 14.已知m∈R,若过定点A的动直线l1:x-my=0和过定点B的动直线l2:mx十y十m=0交 于点P(P与A,B不重合)，则IPA|+|PB的最大值为 【高二年级过程性素质评价·数学第2页（共4页）】 27-X-074B ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知△ABC的顶点A(4,2),顶，点C在x轴上，AB边上的高所在直线的方程为x+2y+m=0. (1)求直线AB的方程； (2)若AC边上的中线所在直线的方程为x一y一4=0，求m的值. 16.(本小题满分15分) 如图，在棱长为a的正方体OABC-O1A1BC中，E,F分别是棱AB,BC上的动点，且AE =BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. (1)写出点E,F的坐标； 01 (2)求证：A1F⊥CE. B o, 17.(本小题满分15分) 如图，在斜三棱柱ABC-A1BC中，D为AB的中点，E为CC1上靠近点C1的三等分点. 设Ai=a,AC-b,AA=c,∠A1AC=号，ABLAC.. (1)用a,b,c表示DE; (2)若a=2,lb=c=3,求DE.AC 【高一午邻+阳山本一…A,.以 97-X-074R ▣影▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效同学 18.(本小题满分17分) 某公司举办乒乓球比赛，比赛采取5局3胜制（先赢3局者获胜），已知在甲、乙两人的比赛 中，每局比赛甲获胜的概率都为号，每局比赛结果相互独立。 (1)求前2局中，甲、乙各获胜1局的概率； (2)求第1局甲获胜且第4局乙获胜的概率； (3)求甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,BC∥AD,BP⊥BC,∠BAC=45°，2BC= AD=√2BP. (1)求证：平面PBC⊥平面PAB; (2)若点N为棱PC的中点，求直线AN与平面PBC所成角的正 弦值； (3)若点N在棱PC上，且平面ABN与平面BNC夹角的余弦值为 请确定点N的位丘 【高二年级过程性素质评价·数学第4页（共4页）】 27-X-074B ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效可器 高二年级过程性素质评价·数学 参考答案、提示及评分细则 1.D由题意可得AB=(1,-1,4)-(-2,1,3)=(3,-2,1).故选D 2.C因为直线l的方程为x一y一1=0，故直线l的斜率为1，设1的倾斜角为a,则tana=1,又0≤a<π，所以 a=牙.故选C 3.A在△ABD中，B=AD-AB,在△ACD中，DC-AC-AD,故A市-AB+B萨=AB+号B范-AB+ 2(B亦+D)-A+2(A亦-AB+合D心)=2AB+2Ai+子(A心-AD)=2AB+AD+A花.故 选A. 4B对于①，方程=不过点（一1,2），故与方程)y一2=（十1）不可表示同一条直线：对于®，直线1过 点P(,y),斜率不存在，是垂直于x轴的直线x=x,结论是正确的；对于③，直线l过点P(x,y),斜率 为0，是垂直于y轴的直线y=y,结论是正确的；对于④，所有直线都有点斜式和斜截式方程是不对的，比如 斜率不存在的直线就没有点斜式方程和斜截式方程.故①④不正确，②③正确.故选B. 福02x万专又因为6 5.A设直线AB与平面。所成的角为0，则sin0=|cos(A弦，n>1=A店：L=一1二 [0,受]，所以9=晋故选A 6.A由题意，{e1,2,e}是空间的一个基底，设a=e1十e2,b=e2十e,c=3e1十te3,所以a,b不共线，因为a,b, c不能构成空间的一个基底，则a,b,c共面，所以存在x,y∈R,使得c=a十b,即3e1十te3=x(e1十e2)十 (3=x, y(e2十e3)=e1+(x十y)e2十e3,所以0=x十y,解得x=3,y=-3,t=-3.故选A. t=y .C由题意，a+b=-c,则a+2a·b叶=c,故5+2a·b=7,所以cos(a,b》=号又(a,b》∈[0,180门，所 以〈a,b〉=60°.故选C. &A直线1恒过定点P(-2D,又己2-1,6m一3{司一号直线1的斜率为一m要使 直线1与线段AB有公共点，一号<一m≤1，解得一1≤m≤号，故选A 9.AD对于A,之=1+2i的虚部为2，故A错误；对于B,因为之=1+2i,所以之=1一2i,故B正确；对于C,因为 之=1+2i,所以|x|=√12+22=√5，故C正确；对于D,z2=(1+2i)2=1十4i+42=一3+4i,故D错误；故 选AD. 【高二年级过程性素质评价·数学参考答案第1页（共4页）】 27-X-074B ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 l0.BD平面法向量为非零向量，故A错误；设平面a的法向量为非零向量n,由题意知n∥a,则n=a= (2λ，一入，0)，入∈R且A≠0.当λ=2时，n=(4,一2,0)，B正确；当λ=一1时，n=(一2,1,0)，D正确；不存 在实数入，使得a=(1,2,0),故C错误.故选BD, 11.BCD对于A,空间向量a=(1,2,-2),b=(x,1,0),由a∥b,可得b=a,即x=λ，1=2λ，0=-2λ，显然入 和x无实数解，故A错误；对于B,若a⊥b,则x十2十0=0→x=一2，故B正确；对于C,向量a一c= (1,1,-1D在a=1,2-2)上的投影向量的模长是1》：导-2少|-=号放C正确：对于D. (1,2,-2) 1b|=|(x,1,0)|=√x2+1=√5→x=士2，故D正确.故选BCD. 12.一5由直线的截距式方程可得直线在x轴上的截距为一5. 13.0因为空间向量a,b,c不共面，且4a-5b+c=x0十3b+c,所以4=x,-5=y,之=1，所以x十y十之=0. 14.√2因为动直线l:x-my=0过定点A(0,0),动直线l2:mx十y十m=0过定点B(-1,0),且1×m十 -m)X1=0,可知4L2,即PAPB,所以PA+PB=AB=.由基本不等式≤√2的 得|PA|+|PB|的最大值为2. 15.解：1)依题意，由AB边上的高所在直线的斜率为-弓，得直线AB的斜率为2.…3分 又A(4,2),所以直线AB的方程为y一2=2(x一4)，即2x一y-6=0.…6分 (2)点C在x轴上，设C,0),则线段AC的中点D(生4,1)， …8分 由点D在直线z一y4=0上，得生4-1-4=0，解得1=6，即C(6,0.…10分 又点C在直线x十2y十m=0上，所以6十m=0,解得m=一6.…13分 l6.（1)解：根据空间直角坐标系可得E(a,x,0),F(a一x,a,0).…6分 (2)证明：A1(a,0,a),C(0,a,a), AF=(-x,a,-a),Ci=(a,x-a,-a),… 10分 即A1F.CE=-a.x十a(.x-a)十a2=0,… …13分 A1F⊥CE, 14分 ∴.AF⊥CE. …15分 17.解：(1)在斜三棱柱ABC-A1B1C中，四边形AACC为平行四边形， 所以CC=AA=C.…2分 因为D为AB的中点，E为CC上靠近点C的三等分点， 所以i=合A=a.C成-号d=号c, …6分 所以D成-D济+A衣+G庄--之a+b+号c …8分 【高二年级过程性素质评价·数学参考答案第2页（共4页）】 27-X-074B ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 (2)因为AB⊥AC,所以a·b=0.… …10分 又cosb.e)=cos∠AAC=分， ........................... …12分 所以D庞.AC=(-2a+b+号c)·b=b1+号×号1b1c=9+号×3×3=12. …15分 18解：（①由题意知：每局比赛乙获胜的概率为1一号-号， 记事件A,=“第i局比赛甲获胜”，事件B,=“第i局比赛乙获胜”，事件C=“前2局中，甲、乙各获胜1局”， 则C=A1B2UB1A2,… …2分 PCO=PA品UBA)=PAA)+P(HA)=g×号+号×号-器 …4分 (2)记事件D=“第1局甲获胜且第4局乙获胜”，D=A1A2B3B,十A1B2A3B4十A1B2B3B4,…6分 P(D)=P(A1 A2 B3 B)+P(A B2 As B)+P(AiB2 Bs B) =号×是×号×号+号×号×号×号+是×号×号×号 5 5 51 5 5 5 ÷96 625 …9分 (3)记P,为甲、乙比赛结束时，只进行i(i=3,4)局比赛的概率， .只进行三局比赛的结果为A1A2A3,B1B2B3,… 10分 P=(得)》°+（号）》-27- 12525 …… …11分 ,只进行四局比赛且甲获胜的结果为：B1A2A3A4,A1B2AA4,A1A2B3A4, 只进行四局比赛且乙获胜的结果为：A1B2B3B4,B1A2B3B4,BB2A3B4,…13分 P,=号×号×号×号+号×号×g×+号×号×号×+×号×号×号+号××号×号 、51 5 54 +号×号×号×号-54+54+51陆24+24+24- 625 625衫…15分 ·甲，乙比赛结束时所用局数不大于4的概率为P+P,=2方+625一625： 7,234409 …17分 19.(1)证明：，'PA⊥底面ABCD,BCC底面ABCD, .PA⊥BC,… 1分 又BP⊥BC,且PA∩BP=P,PA,BPC平面PAB, BCL平面PAB,…3分 又BCC平面PBC, ∴.平面PBC⊥平面PAB.… 。。...... …4分 【高二年级过程性素质评价·数学参考答案第3页（共4页）】 27-X-074B ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 (2)解：由(1)知BC⊥平面PAB,故BC⊥AB,BC∥AD,.AB⊥AD,又PA⊥底面ABCD, 故以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为x轴，y轴，x轴建立空间直角坐标系， 设BC=1,则BP=√2，AD=2, .∠BAC=45°，BC⊥AB,.AB=BC=1,PA=1, 则B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1), N为PC中点，故N(分，，)， …6分 向量A衣=（分，号，号），设平面PBC的法向量n=(x,, n·BC=0,y=0, 由 即 令之=1得n=(们，0,1).…7分 nB=0,-x十=0， 设直线AN与平面PBC所成的角为0，则sin0= IA衣·n=6 IANI3 故直线AN与平面PBC所成角的正弦值为写。 …9分 (3)解：由(2)知B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1), 设Pi=P心(0≤<1)，P元=(1,1，-1)， 则Pi=(,入，-入)，B=B驴+Pd=(-1,0,1)+(,入，-X)=(X-1,X,1-λ)，…11分 设平面ABN的-个法向量为n1=(.,M,2),AB=(1,0,0), m·AB==0, 则 之1=入，则m1=(0,入一1，入)，…12分 m·B成=(a-1D+x+(1-λx1=0, 设平面BNC的-个法向量为n2=(x2,,2),BC=(0,1,0), 2·BC=2=0, 则 令2=1，则2=(1,0,1)，…13分 2·BN=(A-1)2十λy2+(1-λ)z2=0, :平面ABN与平面BNC夹角的余弦值为 5, cos<m,n2m n1·n2 λ 10 5 …15分 √（λ-1）2+λ2·√12+1 整理得：32一8λ十4=0， 解得入=号或X=2(舍去 因此，点N为PC上靠近点C的三等分点.… 17分 【高二年级过程性素质评价·数学参考答案第4页（共4页）】 27-X-074B ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效