精品解析：山西省晋城市2024-2025学年高二上学期12月大联考数学试题

2024-2025学年山西省高二12月大联考 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知点在双曲线(，)的一条渐近线上，则该双曲线的离心率为( ) A. B. 2 C. D. 2. 已知数列的前项积，则的值为（ ） A. 9 B. 5 C. D. 3. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 4. 已知圆柱的底面半径为，高为，如图，矩形是圆柱的轴截面，点是圆柱下底面圆上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线经过椭圆的左焦点，且与轴的正半轴交于点，若满足的点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为（ ） A. B. C. D. 6. 定义行列式，若各项均为正数的等比数列，其前项和为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，且，是坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式对恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，圆：的半径为2，点在圆上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与圆相离 C. 过圆心且与直线垂直的直线方程为 D. 到直线的距离等于的点只有1个 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在区间内单调递增 D. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度，得到的图象 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点为棱AB的中点，点在平面内及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ） A. 若点是的中点，则 B. 满足的点的轨迹长度为 C. 若动点满足，则PM的最小值为 D. 若点到点的距离等于点到直线的距离，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为______. 13. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的渐近线方程为______. 14. 已知在平面内，点到直线（，）的距离.此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法.现在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，），则点到平面的距离.如图，底面边长与高都为2的正四棱锥中，点到侧面的距离等于______. （备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，点在上. （1）求抛物线的方程； （2）若是抛物线上第一象限内的一点，过线段AF的中点向轴引垂线，垂足为点，且，求四边形的面积. 16. 如图，三棱柱中，，，，，. （1）求证：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，如图，椭圆的四个顶点与左右焦点围成的阴影部分的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，以AB为直径的圆经过坐标原点，求面积的最大值. 18. 已知数列与数列的通项公式分别是点的横、纵坐标，即点，且满足. （1）若数列是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项，求数列的前10项和； （2）若，设过两点，的直线在轴上的截距为，求数列的前项和. 19. 几何学伴随着人类文明而产生，对人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.在现代数学里，几何学与代数、分析、数论等多个方向关系极为密切，几何的思想成为了数学最重要的思想之一，几何对物理、化学、生物、工程等各个领域也有着极其重要的作用.目前，几何学大致包含了欧式几何、射影几何、解析几何等几类不同思路的研究方法.其中，射影几何学中的极点与极线理论对于研究圆锥曲线提供了新的思考方式.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为：.已知椭圆：的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线MQ，NQ，PQ的斜率分别为，，（，，均存在）. （1）求极线的方程； （2）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山西省高二12月大联考 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知点在双曲线(，)的一条渐近线上，则该双曲线的离心率为( ) A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将点带入双曲线的渐近线方程中，可得到，即可求出离心率. 【详解】由题意得，双曲线的渐近线方程为， 因为点在一条渐近线上，所以，所以， 所以该双曲线的离心率. 故选：D. 2. 已知数列的前项积，则的值为（ ） A. 9 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件写出数列的前项积，两式做商求出通项即可. 【详解】数列前项积，即， 则当时，， 两式相除，得， 所以. 故选：C. 3. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，再由正弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得， 所以. 由正弦定理可得，则，又，故. 故选：B. 4. 已知圆柱的底面半径为，高为，如图，矩形是圆柱的轴截面，点是圆柱下底面圆上一点，且满足，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明点为中点，建立空间直角坐标系，写出点坐标和线的方向向量坐标，由空间向量求出线线角的余弦值. 【详解】连接，∵为底面圆的直径，∴，∵，∴， ∴点为中点，即 如图： 在圆柱中可得，， ∴以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ∴，，，， ∴，， 设直线与的夹角为，则. 故选：A. 5. 已知直线经过椭圆的左焦点，且与轴的正半轴交于点，若满足的点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的坐标后代入椭圆的标准方程，求出后可求长轴长. 【详解】因为，故为的中点，故， 故，而，故，其中 整理得到：，故，故， 故长轴长为， 故选：D. 6. 定义行列式，若各项均为正数的等比数列，其前项和为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据行列式的定义化简则，结合等比数列性质求结论. 【详解】由题意可得，. 由等比数列的性质，可得，所以原式. 故选：A. 7. 设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，且，是坐标原点，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意设直线的方程为，联立抛物线并应用韦达定理，结合已知求得，再应用三角形面积公式求面积. 【详解】由题意得，直线的斜率一定存在，所以设直线的方程为， 联立，得，显然， 设，，则，， 由，可得，所以，， 所以，所以. 所以的面积为. 故选：A. 8. 已知函数，若不等式对恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过整理得到函数，构造新的函数，验证函数的奇偶性和单调性，从而化简不等式得，再由函数单调性得到不等式，通过基本不等式求得的取值范围. 【详解】， 令， ∵，∴是奇函数， ，∵，∴单调递减 ∴是上的增函数. 由题可得对恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立. 令， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，，所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，圆：的半径为2，点在圆上，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与圆相离 C. 过圆心且与直线垂直的直线方程为 D. 到直线的距离等于的点只有1个 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由圆的半径为2，求出，即可判断；对于B，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断；对于C，由点斜式求出过圆心且与直线垂直的直线方，即可判断；对于D，由圆心C到直线的距离结合半径，可得圆上到直线的距离等于的点的个数，即可判断. 【详解】对于A，圆：的标准方程为， 所以圆心，半径， 由圆的半径为2，则，解得，故A错误； 对于B，因为直线方程为， 则圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，故B正确； 对于C，因为直线垂直的直线斜率为， 则过圆心且与直线垂直的直线方程为， 即，故C错误； 对于D，因为圆心到直线的距离， 由，所以到直线的距离等于的点只有1个，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最大值为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在区间内单调递增 D. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度，得到的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】将的表达式化为正弦型函数形式，根据正弦型函数的性质，逐一分析四个选项即可. 【详解】A，因为， 所以函数的最大值为，故A正确； B，因为， 所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； C，当时，， 所以函数在区间内是先减后增，故C错误； D，将函数图象横坐标伸长到原来的2倍，得到的图象， 再向左平移个单位长度，得到的图象，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，已知正方体的棱长为2，点为棱AB的中点，点在平面内及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ） A. 若点是的中点，则 B. 满足的点的轨迹长度为 C. 若动点满足，则PM的最小值为 D. 若点到点的距离等于点到直线的距离，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】在中，由余弦定理求出可判断A；利用得点的轨迹是以AB为直径的半圆，求出轨迹长度可判断B；点的轨迹是以，分别为左、右焦点，求出可判断C；过点作于点，过点作于点，利用求出可判断D. 【详解】对于A，由题意得，，，四边形是矩形， 则，在中，， 若点是的中点，则， 在中，，， 由余弦定理可得 ，故A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹是以AB为直径的半圆， 半径长为1，则轨迹长度为，故B错误； 对于C，若点满足，则点的轨迹是以，分别为左、右焦点， 长轴长为，焦距为的椭圆，是椭圆的中心， 则椭圆上的点到椭圆中心的距离的最小值为短半轴长， 由，，得短半轴长为， 则PM的最小值为，故C正确； 对于D，因为点到点的距离等于点到直线的距离， 过点作于点，过点作于点，则， 又，则，则， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：利用圆、椭圆的定义求轨迹是解题的关键点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知首项为2的数列，其前项和为，且数列是公差为1的等差数列，则数列的前5项和为______. 【答案】70 【解析】 【分析】根据题意得到，再求前5项和即可. 【详解】因为，所以数列的首项为， 故， 所以， 故数列的前5项和为. 故答案为：70 13. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若双曲线的左支上一点满足，以为圆心的圆与的延长线相切于点，且，则双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件及正弦定理可求出，的关系，结合双曲线的定义即可表示出，，再利用相切找到垂直关系，结合勾股定理即可求解. 【详解】由正弦定理，可知，又， 由双曲线定义，可知，解得，， 又，所以为的靠近的一个三等分点， 所以，， 因为以为圆心的圆与的延长线相切于点，所以， 所以. 又在中，，所以， 所以，得，则， 故双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 14. 已知在平面内，点到直线（，）的距离.此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法.现在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，），则点到平面的距离.如图，底面边长与高都为2的正四棱锥中，点到侧面的距离等于______. （备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面） 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由待定系数法求得面的方程，由定义求得点到面的距离. 【详解】如图，以底面的中心为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面PAB的一般方程为（，）， 因为不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面， 所以将坐标代入，得 解得，，， 由题知不全为0，所以， 所以，即， 所以点到侧面PAB的距离. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线：的焦点为，准线交轴于点，点在上. （1）求抛物线的方程； （2）若是抛物线上第一象限内的一点，过线段AF的中点向轴引垂线，垂足为点，且，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线过点代入求参得出抛物线方程即可； （2）先设点的坐标，再结合两点间距离公式计算得出，再根据四边形图形特征计算面积即可. 【小问1详解】 因为抛物线：过点， 所以，，则抛物线方程为. 【小问2详解】 由题可得，设，则，，， 所以，. 因为，所以，解得或（舍）， 故，，，. 又点，，所以，又， 所以四边形是平行四边形， 设为坐标原点，所以四边形的面积为. 16. 如图，三棱柱中，，，，，. （1）求证：平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：在中，由余弦定理，可得， 则，化简得，解得， 则有，所以， 又，平面ABC，所以平面ABC， 又平面ABC，所以， 又，，平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）根据空间向量的数量积，即可求出线面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）易知，AC，BC两两相互垂直， 以为坐标原点，分别以CA，CB，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，可得， 所以，令，则，， 设平面的法向量为， 则,可得, 令，则，，故， 设平面与平面的夹角为， 则，解得， 则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，如图，椭圆的四个顶点与左右焦点围成的阴影部分的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于，两点，以AB为直径的圆经过坐标原点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和面积公式，转化为关于得到关系式，即可求解； （2）首先讨论直线的斜率不存在时，利用特殊的位置关系，结合，求出的面积，当斜率存在时，设直线的方程为与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，以及面积，再结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，得，则，. 又阴影部分的面积为， 得，即，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，，则，. ①当直线AB的斜率不存在时，即，， 因为以AB为直径的圆过坐标原点，所以，则， 即，得， 又在椭圆上，所以，解得，， 所以. ②当直线AB的斜率存在时，设其方程为. 由，消得， 则，，， 因为以AB为直径的圆过坐标原点，所以，则， 即， 故，即， 整理得. 又， 故. 又到直线AB的距离， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立，即. 又，所以面积的最大值为. 18. 已知数列与数列的通项公式分别是点的横、纵坐标，即点，且满足. （1）若数列是公差不为0的等差数列，，且是和的等比中项，求数列的前10项和； （2）若，设过两点，的直线在轴上的截距为，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式及等比中项性质列方程即可求出，代入等差数列通项公式即可求出，进而得到，由等比数列求和公式即可求； （2）由题意得到，的坐标，进而得到直线的方程，令，即可得到，利用错位相减法即可求出. 【小问1详解】 设数列的公差为，， 则，① 又因为是和的等比中项， 所以，即， 整理得，② 由①②解得， 所以， 又因为， 所以，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故数列的前10项和为. 【小问2详解】 由，得，则点，点. 所以， 所以直线的方程为， 令，可得， 所以， 所以 ， 所以， 故， 两式相减得 ， 所以. 19. 几何学伴随着人类文明而产生，对人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.在现代数学里，几何学与代数、分析、数论等多个方向关系极为密切，几何的思想成为了数学最重要的思想之一，几何对物理、化学、生物、工程等各个领域也有着极其重要的作用.目前，几何学大致包含了欧式几何、射影几何、解析几何等几类不同思路的研究方法.其中，射影几何学中的极点与极线理论对于研究圆锥曲线提供了新的思考方式.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为：.已知椭圆：的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线MQ，NQ，PQ的斜率分别为，，（，，均存在）. （1）求极线的方程； （2）求证：. 【答案】（1）. （2） 证明：如图： AI    显然不存在时，不存在交点，∴一定存在， 设， 联立方程组，整理得， ，即， 设交点，则，， 设，则，，， ， ， ， ， 即. 【解析】 【分析】（1）由长轴长和焦点坐标求出椭圆的的值，得到椭圆方程，按定义得到极线的方程； （2）作出图像，设出直线的方程后联立方程组，整理得到二元一次方程，由韦达定理得到的代数式，设点坐标，表示出，然后化简即可得证. 【小问1详解】 由椭圆：的长轴长为， 则，解得， 又椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合， 所以，解得. 所以椭圆的方程为. 由题意可知，对于椭圆， 极点对应的极线的方程为，即. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $