山西省忻州市河曲县中学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

河曲中学2026—2027学年第一学期第一次月考 高二数学试题 考试时间：120分钟 考试分值：150分 一、单选题（每小题5分，8小题，共40分） 1．某中学高中部有高一、高二、高三三个年级，其中高一与高二年级学生共有2800人，从所有高中学生中按照年级人数比例用分层随机抽样法抽取45人，其中高三年级抽取10人，则该中学高三年级学生人数为（    ） A．1600 B．1400 C．1200 D．800 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，为三条不同直线，，，为三个不同平面，则下列判断正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知平面向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则（    ） A．1 B． C． D． 6．已知点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知圆锥的体积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．在三棱锥中，，，若平面平面，则三棱锥外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，3小题，共18分，错选不得分，如正确答案2个选项:漏选1个扣3分；如果正确答案3个选项:漏选1个扣2分） 9．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（    ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 10．设复数（为虚数单位），记为的共轭复数，则（    ） A． B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 11．若直线l1：与直线l2：互相垂直，则实数的值是（    ） A．-3 B．1 C．-1 D．3 三、填空题（每小题5分，3小题，共15分） 12．在空间直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则__________． 13．已知向量，满足，，则与的夹角为___________. 14．已知直线与满足.则____________. 四、解答题（共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题15分，18、19题17分） 15．设直线的方程为. (1) 求证：不论为何值，直线必过定点； (2) 若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16． 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每 人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1) 求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2) 求甲获胜的概率. 17．在直三棱柱中，，，如图，建立空间直角坐标系． (1) 求点B到平面的距离； (2) 求直线与平面所成角的正弦值． 18．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，    ，，得到如图所示的频率分布直方图. 求频率分布直方图中的值； (1) 估计样本成绩的中位数； (2) 已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是， 求两组成绩的总平均数和总方差. 19．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. (1) 证明：平面； (2) 求三棱锥的体积； (3) 求二面角的余弦值. 高二数学试题 第页 共4页 高二数学试题 第页 共4页 高二数学试题 第页 共4页 高二数学试题 第页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高二第一次月考数学试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D B C C B BC AD 题号 11 答案 AB 1．D 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的定义列式计算得解. 【详解】从所有高中学生中抽取45人，其中高三年级抽取10人，则高一、高二年级共抽取35人， 设高三年级学生人数为x，则，解得. 故选：D. 2．C 【详解】试题分析：，故选C． 考点：直线的倾斜角 3．C 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可. 【详解】对于A，若，，则，A错误. 对于B，若，，则或与相交，B错误. 对于C，若，，则，C正确. 对于D，若，，则，D错误. 4．D 【分析】根据向量的投影向量公式可求答案. 【详解】因为，所以，， 所以向量在上的投影向量为，故选：D. 5．B 【分析】根据空间向量的基本定理，进而得出方程，解之即可. 【详解】因为， 所以，即． 因为M是平面ABC上一点，所以，所以．故选：B. 6．C 【分析】求得直线恒过点，再求出，的值，结合图象求解即可. 【详解】直线恒过点，且斜率为， 因为，，如图所示： 由图知，当时，直线与线段没有交点，所以. 故选：C. 7．C 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 因为圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，即圆心角为的扇形， 则，即， 又，即， 由，得，解得， 则. 8．B 【分析】先取中点，利用面面垂直性质推出平面，结合的形状确定，得出外接球球心是等边的外心，求出外接球半径后计算外接球表面积. 【详解】取中点，连接，因为，所以， 由于平面平面，且平面平面，平面， 故平面， 又，，故为等腰直角三角形，故， 因此外接球的球心即为的外心， 设球的半径为，则， 故外接球的表面积为. 9．BC 【分析】根据题意，得到向量，，，结合空间向量的坐标运算法则，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为，，所以，可得，所以A错误； 对于B，因为，，所以，所以B正确； 对于C，若，且，则，解得，所以C正确， 对于D，若且，因为，可得，解得，所以D错误. 故选：BC. 10．AD 【分析】由复数的四则运算得，再依次判断选项即可． 【详解】， 对于A项，，则，故A项正确； 对于B项，在复平面内对应的点，则点在第四象限，故B项错误； 对于C项，，故C项错误； 对于D项，，故D项正确． 11．AB 【分析】由两直线垂直可得，然后解得即可. 【详解】由两直线垂直，可得，即 解得或.故选:AB. 12． 【分析】由条件，结合对称性质列方程求，由此可得结论. 【详解】因为点与点关于原点对称， 所以，，， 解得，，，故． 故答案为：. 13．. 【分析】设与的夹角为，由，利用数量积的运算法则 可得答案. 【详解】设与的夹角为， 由得， 即，解得，因为，所以， 所以与的夹角为. 故答案为：. 14．2 【分析】根据直线平行求出，再代入直线方程检验即可. 【详解】由，可得， 解得或， 当时，与重合，不符合题意， 当时，与平行，满足题意， 故答案为：2 15．(1)由直线的方程为，可化为， 由，解得，即， 所以不论为何值，直线比过定点. (2)或 【分析】（1）化简直线方程为，列出方程组，求得定点坐标，即可可证； （2）根据题意，分直线过坐标原点和不过坐标原点，两种情况讨论，结合直线的点斜式和截距式方程，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，直线恒过定点， 当直线过坐标原点时，此时直线方程为，符合题意； 当直线不过坐标原点时，设直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，解得，即， 综上可得，直线的方程为或. 16．(1) (2) 【分析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可得解； （2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和独立事件的概率公式即可得解. 【详解】（1）设事件“甲在第次投篮投中”， 事件“乙在第次投篮投中”，， 则，，，， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则， 可得， 所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为 （2）记“甲获胜”为事件，则， 可得， 所以甲获胜的概率为． 17．(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，由点到平面的距离公式即可求解； （2）由空间向量的线面夹角公式即可求解. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系， ， 取平面内两个向量：，， 设平面的法向量为， 则 令，得， 即，又， 则点B到平面的距离； （2）设直线与平面所成角为，， 则， 且，， 则， 即直线与平面所成角的正弦值是. 18．(1) (2)中位数为75 (3)平均数是，总方差是 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为，即可求解； （2）中位数即第50百分位数，根据成绩落在内的频率为，落在内的频率为，可知中位数落在内.设中位数为，则，解方程即可求解； （3）由图可知，成绩在的市民人数为，成绩在的市民人数为，根据分层随机抽样的均值公式和方差公式即可求解. 【详解】（1）∵每组小矩形的面积之和为， ∴，解得. ∴频率分布直方图中的值为. （2）中位数即第50百分位数，成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 故中位数落在内. 设中位数为，则，解得， 故中位数为75. （3）由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故， . 所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是. 19．(1) 取中点，连接， 为的中点，为中点，所以，且，    又，，，， 所以有，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以//平面． (2) (3) 【分析】（1）取中点，通过证明四边形为平行四边形，从而得到，再由线面平行的判定即可证明； （2）由题知，根据面面垂直的性质可证平面，然后利用体积计算公式求解； （3）取的中点，连接，过作于，则为二面角的平面角，在中，可求，再得到即可. 【详解】（1）略 （2）底面是直角梯形，，平面，平面， 所以//平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积，     又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 所以， 又，，， 所以，故， 又，，所以， 平面平面，且平面平面， 又平面，所以平面， 故. （3）因为平面平面，且其交线为， 又平面，，    所以平面， 取的中点，连接， 在中，，分别为，的中点， 所以， 则平面， 过作于，连接，则有， 所以为二面角的平面角，     在直角梯形中，，，所以， 所以， 又，所以， 在中，， 所以，又， 解得：， 即二面角的余弦值为． 答案第8页（共8页） 答案第1页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $