奥数思维培优 第5讲 最短路线·将军饮马（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

人教版 · 六年级奥数思维培优★ ★ ★ ★ ★ 第5讲 最短路线 · 将军饮马 一、课程信息 项目 内容 讲次 第5讲 专题 最短路线——将军饮马模型 适用年级 小学六年级 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 轴对称；两点之间线段最短；勾股定理 核心方法 作对称点→连线段→找交点；平移法；展开图法 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握将军饮马模型；会作对称点求最短路径；理解造桥选址和表面最短路径。 过程与方法 经历“对称—转化—线段最短”的建模过程；学会画展开图。 思维品质 培养转化思想和空间想象能力。 情感应用 感受最短路径在导航、工程中的实际应用。 三、情境导入 传说古罗马时期，一位将军每天从营地A出发，先到河边饮马，再回营地B。 动脑筋：在河岸边哪个位置饮马，走的总路程最短？ 图1 将军饮马问题 悬念：直接连AB不就行了吗？为什么不行？ 因为AB不经过河边！这就是著名的“将军饮马”问题，本讲用对称法解决。 四、知识导航 核心原理：两点之间线段最短。利用轴对称把折线段转化为直线段。 图2 将军饮马三步法 模型 已知 作法 最短依据 将军饮马 直线l同侧两点A、B 作A关于l的对称点A′，连A′B交l于P AP+PB=A′B最短 周长最短 角内一点P 作P关于两边的对称点P₁P₂，连P₁P₂ 三角形周长=P₁P₂最短 造桥选址 两平行线间两点 平移A点河宽距离，连线与河岸交点建桥 桥长固定，其余线段最短 表面最短 长方体上两点 展开表面成平面，连直线 勾股定理算距离 五、易错辨析 常见错误 正确做法 不找对称点直接连 必须作对称点，把折线拉直 对称点作错侧 作关于直线l的镜像对称，不是随意画 造桥忘了平移 河宽固定，先平移再连线 表面问题不展开 立体表面要展开成平面再算 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从基本模型到综合应用，循序渐进；每例后附一道变式练习。 例1【基本将军饮马】 题目：直线l同侧有两点A、B，在l上找一点P，使AP+PB最短。画图说明作法。 分析：作A关于l的对称点A′，连接A′B交l于P，则P即为所求。 详解： 第一步：作点A关于直线l的对称点A′。 第二步：连接A′B，与直线l交于点P。 第三步：点P即为饮马点。此时AP=A′P，所以AP+PB=A′P+PB=A′B。 由两点之间线段最短，A′B是最短路径。 图3 基本将军饮马 方法点睛：对称后AP=A′P，折线变直线段A′B。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：直线l同侧有A、B两点，A到l距离3，B到l距离5，A、B在l上投影相距8。求AP+PB最短长度。 解答： A′到l距离3，A′B的竖直差=3+5=8，水平距离=8。 A′B==≈11.3。答：最短约11.3。 点拨：对称后用勾股定理算A′B长度。 例2【三角形周长最短】 题目：角AOB内部有一点P，在OA、OB上分别找M、N，使△PMN周长最短。画图说明。 分析：作P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂交OA、OB于M、N。 详解： 第一步：作P关于OA的对称点P₁。 第二步：作P关于OB的对称点P₂。 第三步：连接P₁P₂，分别交OA、OB于M、N。 此时PM=P₁M，PN=P₂N，周长=PM+MN+PN=P₁M+MN+P₂N=P₁P₂，由两点之间线段最短，P₁P₂最短。 图4 周长最短模型 方法点睛：两次对称：把三条边拉成一条直线段P₁P₂。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：角内一点P，作两次对称得P₁P₂=12cm。△PMN周长最短是多少？ 解答： 周长=P₁P₂=12cm。答：最短周长12厘米。 点拨：与例2同法：周长=两对称点连线长度。 例3【造桥选址】 题目：一条河两侧有A、B两村，河宽固定为d。如何选址建桥，使A到B路程最短？ 分析：桥必须垂直河岸，长度=河宽d固定。关键是使A到桥的一端+桥+B的一端最短。 详解： 第一步：将A点沿垂直河岸方向平移河宽d，到A′。 第二步：连接A′B，交对岸河岸于N。 第三步：在N处建桥MN（MN垂直河岸，MN=d）。 此时AM+MN+NB=A′N+d+NB=A′B+d，A′B最短。 图5 造桥选址 方法点睛：平移法：把固定的桥长减掉，剩余部分连线最短。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：河宽100米，A平移后A′到B的直线距离500米。最短路程是多少？ 解答： 最短路程=A′B+河宽=500+100=600米。 点拨：与例3同法：最短路程=连线长+河宽。 例4【长方体表面最短路径】 题目：长方体长4、宽3、高2，一只蚂蚁从左下角A沿表面爬到对角顶点B。最短路径是多少？ 分析：把长方体表面展开成平面，有三种展开方式，取最短的一条。 详解： 展开方式一：前面+上面，直角边为 4 和 5，距离==≈6.4。 展开方式二：前面+侧面，直角边为 3 和 6，距离==≈6.7。 展开方式三：上面+侧面，直角边为 2 和 7，距离==≈7.3。 比较：<<，最短≈6.4。 图6 表面展开 方法点睛：三种展开都算一遍，取最小值。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：长方体长5、宽4、高3，蚂蚁从一角到对角，最短路径多少？ 解答： 三边和组合：=≈9.5；=≈8.9；=≈8.6。 最短≈8.6。 点拨：与例4同法：三种展开取最小。 例5【两直线间往返】 题目：A、B在两条相交直线l₁、l₂之间，从A出发先到l₁上一点，再到l₂上一点，最后到B，如何使总路程最短？ 分析：两次对称：作A关于l₁的对称点A′，作B关于l₂的对称点B′，连接A′B′交l₁、l₂于P、Q。 详解： 第一步：作A关于l₁的对称点A′。 第二步：作B关于l₂的对称点B′。 第三步：连接A′B′，交l₁于P，交l₂于Q。 总路程=AP+PQ+QB=A′P+PQ+QB′=A′B′，由两点之间线段最短，A′B′最短。 图7 两次对称往返 方法点睛：往返问题：两端各作一次对称，拉成一条直线。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：A′B′=20cm，往返总路程最短是多少？ 解答： 总路程=A′B′=20cm。 点拨：与例5同法：总路程=两对称点连线。 例6【光线反射】 题目：光线从A出发，经平面镜l反射到B，证明：入射角等于反射角时路径最短。 分析：作A关于l的对称点A′，当反射点P使A′、P、B共线时，AP+PB=A′B最短。 详解： 作A关于l的对称点A′，连A′B交l于P。 此时AP=A′P，AP+PB=A′B最短。 由于A′和A关于l对称，∠APl=∠A′Pl，又因A′、P、B共线，∠A′Pl=∠BPl。 所以∠APl=∠BPl，即入射角等于反射角。 图8 光线反射 方法点睛：反射定律的几何本质：对称后两点一线最短。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：A到镜面距离4，B到镜面距离6，A、B投影相距12。最短光程多少？ 解答： 竖直差=4+6=10，水平=12；A′B==≈15.6。 点拨：与例6同法：对称后勾股定理。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【牧马饮水】（某名校小升初真题） 题目：牧马人从帐篷A出发，先牵马到草地吃草，再到河边饮水，最后回帐篷A。草地和河边是两条相交直线，如何安排路线使总路程最短？ 分析：作A关于草地的对称点A₁，关于河边的对称点A₂，连接A₁A₂交两线于两点。 详解： 作A关于草地直线的对称点A₁。 作A关于河边直线的对称点A₂。 连接A₁A₂，分别交草地、河边于M、N。 路线A→M→N→A最短，总路程=A₁A₂。 方法点睛：往返型：起点和终点都是A，作两次对称。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：A₁A₂=180米，最短路线总长多少？ 解答： 总长=A₁A₂=180米。 点拨：与真题1同法：总长=两对称点连线。 真题2【台阶最短】（某重点中学分班考试真题） 题目：一个三级台阶，每级长20dm、宽3dm、高2dm。A到B的最短表面距离是多少？ 分析：把台阶展开成平面，形成一个大长方形，A、B是对角。 详解： 展开后水平方向=长=20dm。 竖直方向=3×(宽+高)=3×(3+2)=15dm。 AB===25dm。 答：最短距离25分米。 方法点睛：台阶展开：把各级宽高展开成一个大直角边。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：二级台阶，每级长12、宽3、高3。最短距离多少？ 解答： 水平=12，竖直=12；AB==≈17。 点拨：与真题2同法：展开成直角三角形。 八、方法总结表 模型 关键 作法 结果 将军饮马 同侧两点 作一点对称，连线交点 和=对称点连线 周长最短 角内一点 作两边对称，连两对称点 周长=两对称点距离 造桥选址 河宽固定 平移一点河宽，连线建桥 总=连线+河宽 表面最短 立体表面 展开成平面，连直线 勾股定理取最小 往返问题 两线间 两端各对称一次 总路程=两对称点连线 九、解题口诀 最短路线并不难，对称思想是关键； 同侧两点作镜像，连线段找交点； 造桥先把河宽减，表面展开勾股算； 两点之间线段短，折线路径拉直看。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 直线l同侧有A、B两点，如何在l上找P使AP+PB最短？ A2. 角内一点P，在两边上取点使三角形周长最短，周长等于什么？ A3. 河宽50米，平移后连线400米，最短路程多少？ A4. 长方体长5宽4高3，表面最短路径怎么求？ A5. 两直线间往返，总路程等于什么？ B组 能力提升（5题） B6. A到l距离3，B到l距离4，投影相距6，求AP+PB最短。 B7. 角内一点两次对称后P1P2=18cm，最短周长多少？ B8. 长方体长6宽4高3，表面最短路径多少？ B9. 河宽80米，平移后连线300米，最短路程多少？ B10. A到镜面8，B到镜面6，投影相距6，最短光程多少？ C组 思维挑战（5题） C11. 三级台阶每级长20宽3高2，A到B最短距离多少？ C12. 牧马往返草地和河边，两次对称后A1A2=200米，最短路线多长？ C13. 长方体长7宽5高3，一只蚂蚁从顶点A沿表面爬到对顶点B，最短路径是多少？ C14. 两直线间往返，A1B1=24cm，最短总路程多少？ C15. 二级台阶每级长12宽3高3，最短距离多少？ 十一、参考答案与详细解析 A组 基础过关（5题） A1 作A关于l的对称点A′，连A′B交l于P。 A2 周长最短=两次对称点之间的距离。 A3 最短路程=连线+河宽=400+50=450米。 A4 展开后=≈8.6。 A5 总路程=两端对称点之间的连线长度。 B组 能力提升（5题） B6 A′B==≈9.2。 B7 周长=P₁P₂=18cm。 B8 三种展开：=；=；=≈9.2最短。 B9 平移后连线=300米，最短路程=300+80=380米。 B10 竖直差=8+6=14，水平=6；A′B==≈15.2。 C组 思维挑战（5题） C11 水平20，竖直15；AB===25dm。 C12 A₁A₂=200米。 C13 三种展开：=≈10.6 最短。 C14 两次对称，总路程=A′B′=24cm。 C15 水平12，竖直12；AB==≈17。 十二、本讲小结 本讲核心是将军饮马模型：利用轴对称把折线段转化为直线段。 基本模型作一次对称，往返问题作两次对称，造桥用平移，表面问题展开成平面。 万变不离其宗：两点之间线段最短。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 不作对称直接连 必须作对称点把折线拉直 对称点作错 关于直线作镜像，距离相等 造桥忘平移 河宽固定，先平移再连线 表面不展开 立体表面要展开成平面算 【学习建议】本讲建议课后多画对称图，重点练表面展开和往返两次对称；下讲学习“巧求面积”，让我们在图形与几何领域继续探索。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $