奥数思维培优 第2讲 分数应用题·量率对应（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

人教课标版 · 六年级上册奥数思维培优★ ★ ★ ★ ★ 第2讲 分数应用题 · 量率对应 一、课程信息 项目 内容 讲次 第2讲 专题 分数应用题——量率对应 适用年级 小学六年级 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 分数乘除法；单位“1”的认识（五年级下册） 核心方法 找准单位“1”；具体量÷对应分率=单位“1”；单位“1”×分率=具体量 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 能找准分数应用题中的单位“1”；掌握量率对应基本公式；能解稍复杂的多几分之几、剩余分率、倒推还原等问题。 过程与方法 学会画线段图分析量率关系；经历“找单位1→定分率→列式→检验”的解题过程。 思维品质 养成“先找单位1再列式”的习惯；能区分“多几分之几”和“是几分之几”。 情感应用 感受分数在购物、产量、路程等生活中的应用，增强数学应用意识。 三、情境导入 学校图书馆新进一批图书。其中科技书占总数的，故事书占总数的 ，其余是连环画。已知科技书比故事书多20本。 动脑筋：这批图书一共多少本？ 图1 图书馆图书分类线段图 悬念：20本这个“具体量”，对应着哪个“分率”呢？ 这就是本讲要学的核心思想——量率对应：找到具体数量和它对应分率，单位“1”就求出来了。 四、知识导航 解分数应用题，第一步永远是找单位“1”。单位“1”通常在“是、占、比、相当于”这些字的后面。 两个基本公式：① 单位“1” × 分率 = 具体量；② 具体量 ÷ 对应分率 = 单位“1”。 图2 量率对应关系图 类型 已知 求 公式 求具体量 单位“1”、分率 对应量 具体量 = 单位“1” × 分率 求单位“1” 具体量、对应分率 总量 单位“1” = 具体量 ÷ 分率 多/少几分之几 单位“1”、多（少）的分率 比较量 比较量 = 单位“1” × (1 ± 分率) 五、易错辨析 常见错误 正确做法 找错单位“1”，如“甲比乙多”把甲当单位1 “比”字后面是单位1，乙是单位1 “多”列成 × 多是比单位1多，要乘 (1+) “剩余量”直接除以已知分率 剩余量要除以剩余分率：1 − 用掉的分率 倒推问题从前往后硬算 倒推问题要从结果出发，乘除互逆往前推 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从基础量率对应到倒推还原，循序渐进；每例后附一道变式练习。 例1【已知分率求单位“1”】 题目：小明看一本书，已经看了全书的，正好看了60页。这本书共有多少页？ 分析：“全书的”说明全书是单位“1”。60页对应分率是，用具体量÷分率求单位1。 详解： 60页对应分率 。 全书 = 60 ÷ = 60 × = 100（页）。 答：这本书共有100页。 图3 例1线段图 方法点睛：求单位1：具体量 ÷ 对应分率 = 单位“1”。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：小红看一本故事书，已经看了全书的，正好看了80页。这本书共有多少页？ 解答： 80页对应分率 。 全书 = 80 ÷ = 80 × = 200（页）。 答：这本书共有200页。 点拨：与例1同法：具体量 ÷ 对应分率 = 单位“1”。 例2【求一个数的几分之几】 题目：果园里有苹果树120棵，梨树的棵数是苹果树的。梨树有多少棵？ 分析：苹果树是单位“1”，已知苹果树120棵，求它的是多少，用乘法。 详解： 苹果树120棵是单位“1”，梨树对应分率 。 梨树 = 120 × = 90（棵）。 答：梨树有90棵。 图4 例2线段图 方法点睛：已知单位1求具体量：单位“1” × 分率 = 具体量。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：饲养场有黑兔80只，白兔的只数是黑兔的。白兔有多少只？ 解答： 白兔 = 80 × = 48（只）。答：白兔有48只。 点拨：与例2同法：单位1已知，直接乘分率。 例3【比一个数多几分之几】 题目：学校五月份用电120度，六月份比五月份多用电。六月份用电多少度？ 分析：“比五月份多”，五月份是单位“1”。六月份对应分率是 (1+)，不是。 详解： 五月份120度是单位“1”，六月份对应分率 = 1 + = 。 六月用电 = 120 × = 150（度）。 答：六月份用电150度。 图5 例3线段图 方法点睛：“比单位1多几分之几”乘 (1+分率)；“少几分之几”乘 (1−分率)。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一种商品原价200元，现在降价出售。现价多少元？ 解答： 现价对应分率 = 1 − = 。 现价 = 200 × = 160（元）。答：现价160元。 点拨：与例3同法：降要乘 (1−)，不是直接减元。 例4【剩余分率问题】 题目：一袋大米，第一天吃了总数的，第二天吃了总数的 ，还剩16千克。这袋大米原来有多少千克？ 分析：先求剩下的16千克对应几分之几：1 − − ，再用16÷剩余分率。 详解： 剩余分率 = 1 − − = − − = 。 大米总量 = 16 ÷ = 16 × = 60（千克）。 答：这袋大米原来有60千克。 图6 例4线段图 方法点睛：剩余量 ÷ 剩余分率 = 总量；剩余分率 = 1 − 各次用掉的分率之和。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一根绳子，第一次用去全长的，第二次用去全长的 ，还剩10米。这根绳子全长多少米？ 解答： 剩余分率 = 1 − − = 。 全长 = 10 ÷ = 24（米）。答：全长24米。 点拨：与例4同法：先求剩余分率，再用剩余量÷剩余分率。 例5【倒推还原问题】 题目：一筐苹果，第一次卖出总数的，第二次卖出余下的 ，这时还剩20个。这筐苹果原来有多少个？ 分析：第二次卖的是“余下的”，要先把它转化成占总数的几分之几，再求剩余分率。 详解： 第一次卖后余 1 − = 。 第二次卖总数的 × = 。 剩余分率 = 1 − − = 。总数 = 20 ÷ = 60（个）。 答：这筐苹果原来有60个。 图7 例5倒推线段图 方法点睛：倒推问题关键：每次的分率要统一到同一个单位“1”上。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一桶油，第一次倒出总数的，第二次倒出余下的 ，还剩8升。这桶油原有多少升？ 解答： 第一次后余 ；第二次倒总数的 ×=。 剩余 = 1 − − = ；原有 = 8 ÷ = 16（升）。 点拨：与例5同法：每次分率都要转化成占总数的几分之几。 例6【综合：多量率对应】 题目：小明读一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读10页，这时还剩80页没读。这本书共多少页？ 分析：第二天读的不只是，还多10页。把“多的10页”和“剩的80页”合起来，对应剩下的分率。 详解： 第一天读 ，第二天读 还多10页。 (80+10)页 对应 1 − − = 。 全书 = 90 ÷ = 180（页）。 答：这本书共180页。 图8 例6线段图 方法点睛：综合题：把“多的具体量”和“剩余具体量”合并，对应剩下的分率。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一堆煤，第一天运走总数的，第二天比第一天多运6吨，还剩14吨。这堆煤共多少吨？ 解答： (14+6)吨 对应 1 − − = 。 共 = 20 ÷ = = 33（吨）。 点拨：与例6同法：把多运的量和剩余量合起来，对应剩下的分率。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【连续运货】（某名校小升初真题） 题目：一批货物，第一天运走总数的，第二天运走余下的 ，还剩120吨。这批货物共多少吨？ 分析：和例5同类型，先把第二天的分率转化成占总数的几分之几，再求剩余分率。 详解： 第一天后余 1 − = 。 第二天运总数的 × = 。 剩余分率 = 1 − − = 。 总吨数 = 120 ÷ = 360（吨）。 答：这批货物共360吨。 方法点睛：连续两次运走，第二次的单位1是“余下的”，要先统一到总数上。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一批水泥，第一次用去总数的，第二次用去余下的 ，还剩200袋。这批水泥共多少袋？ 解答： 第一次后余 ；第二次用总数的 ×=。 剩余 = 1 − − = ；共 = 200 ÷ = 500（袋）。 点拨：与真题1同法：先转化分率，再求剩余。 真题2【两桶倒油】（某重点中学分班考试真题） 题目：甲、乙两桶油，从甲桶倒出给乙桶后，两桶油正好相等。原来甲桶比乙桶多几分之几？ 分析：设甲为单位1，倒出后甲剩，此时乙也是，可求乙原来是多少，再算甲比乙多几分之几。 详解： 设甲为单位1。甲倒出 后剩 。 此时乙也是 ，乙原来 = − = 。 甲比乙多：(1 − ) ÷ = ÷ = 。 答：原来甲桶比乙桶多 。 方法点睛：“甲比乙多几分之几”是以乙为单位1；“乙比甲少几分之几”是以甲为单位1，二者不同。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：甲仓库比乙仓库多存粮，乙仓库比甲仓库少几分之几？ 解答： 设乙为1，甲 = 1+=。 乙比甲少：÷=。答：乙比甲少。 点拨：关键：“比谁”就以谁为单位1，单位1变了结果就变。 八、方法总结表 题型 关键 公式 检验要点 求单位“1” 找具体量对应的分率 量÷分率=单位1 单位1乘分率应等于具体量 求具体量 单位1已知 单位1×分率=具体量 结果应小于单位1（分率<1时） 多/少几分之几 比字后面是单位1 单位1×(1±分率) 多乘(1+)，少乘(1−) 剩余分率 先求剩余占几分之几 剩余量÷剩余分率 各部分分率之和=1 倒推还原 分率统一到总数 逐步转化再除 从结果验算回总数 九、解题口诀 分数应用题不用怕，先找单位“1”在哪； “是占比的”后面找，量率对应是关键； 求量就用单位1乘，求单位1就用除法； 多几分之几乘(1+)，少几分之几乘(1−)； 倒推问题往前推，分率统一不抓瞎。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 一堆煤，运走了总数的，正好是60吨。这堆煤共多少吨？ A2. 六年级有学生240人，其中男生占。男生有多少人？ A3. 一件衣服原价150元，现在降价出售。现价多少元？ A4. 一桶水，用去了，正好是8千克。这桶水原来有多少千克？ A5. 图书馆有故事书360本，科技书的本数是故事书的。科技书有多少本？ B组 能力提升（5题） B6. 一根绳子长20米，第一次用去全长的，第二次用去全长的 。还剩多少米？ B7. 小明看一本180页的书，第一天看了全书的，第二天看了全书的 。还剩多少页没看？ B8. 一批零件，师傅做了总数的，徒弟做了总数的 ，还剩48个没做。这批零件共多少个？ B9. 某厂九月份用水80吨，十月份比九月份节约用水。十月份用水多少吨？ B10. 果园有苹果树和梨树共280棵，苹果树是梨树的。梨树有多少棵？ C组 思维挑战（5题） C11. 一筐橘子，第一天卖出总数的，第二天卖出余下的 ，还剩60个。这筐橘子原来有多少个？ C12. 修一条路，第一天修了全长的，第二天比第一天多修20米，还剩160米没修。这条路全长多少米？ C13. 甲比乙多存钱，乙比甲少几分之几？ C14. 一堆煤，第一天运走总数的，第二天运走余下的 ，还剩60吨。这堆煤共多少吨？ C15. 读一本书，第一天读了全书的，第二天读了24页，这时已读的和未读的比是 2:3。这本书共多少页？ 十一、参考答案与详细解析 A组 基础过关（5题） A1 60吨对应 ；共 = 60 ÷ = 160（吨）。 A2 男生 = 240 × = 150（人）。 A3 现价 = 150 × (1 − ) = 150 × = 120（元）。 A4 8千克对应 ；原有 = 8 ÷ = 20（千克）。 A5 科技书 = 360 × = 240（本）。 B组 能力提升（5题） B6 剩余分率 = 1 − − = ；剩 = 20 × = 11（米）。 B7 剩 = 180 × (1 − − ) = 180 × = 105（页）。 B8 剩余分率 = 1 − − = ；共 = 48 ÷ = 180（个）。 B9 十月 = 80 × (1 − ) = 80 × = 72（吨）。 B10 设梨树为1，苹果树=，共=；梨树 = 280 ÷ = 160（棵）。 C组 思维挑战（5题） C11 第一天后余 ；第二天卖总数的 ×=；剩 = 1−−=； 原有 = 60 ÷ = 120（个）。 C12 (160+20)米 对应 1−−=；全长 = 180 ÷ = 300（米）。 C13 设乙为1，甲=；乙比甲少 ÷=。答：乙比甲少。 C14 第一天后余 ；第二天运总数的 ×=；剩 = 1−−=； 共 = 60 ÷ = 120（吨）。 C15 已读占 ；24页对应 −=；共 = 24 ÷ = 120（页）。 十二、本讲小结 本讲核心是量率对应：先找单位“1”，再找具体量对应的分率。 求单位“1”用除法，求具体量用乘法；多几分之几乘(1+)，少几分之几乘(1−)。 倒推问题要把各次分率统一到总数上，再用剩余量÷剩余分率。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 找错单位“1” “是、占、比、相当于”后面才是单位“1” “多”列成 × 要乘 (1+)，不是直接乘 剩余量除以已知分率 剩余量要除以剩余分率 倒推分率不统一 每次分率都要转化成占总数的几分之几 【学习建议】本讲建议课后再练5道量率对应题，重点练“找单位1、画线段图”。下一讲，我们学习比与比例，深入探索数与代数领域的奥秘。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $