江苏宿迁市沭阳县实验初级中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷

20262027学年度第一学期阶段性检测卷 九年级数学 (测试时间：120分钟 分值：150分) 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合 题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题纸相应位置上) 1.下列是一元二次方程的是（▲） A.x2+x=2y B.2x2=1 C.ax2+bx+c=0 D.x2+x+1 2.反比例函数y=的图象可能是（▲) 3.用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是（▲） A.(x+2)2=3 B.(x-2)2=3 C.(x-2)2=5 D.(x+2)2=5 4.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和 技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比为x,根据 “两天不练丢一半”，可列方程（▲) A.(1-x)2=50% B.(1+x)2=50% C.1-2x=50% D.(1-x)(1+x)=50% 5.若y=(5+m)x2+n是反比例函数，则m、n的取值是（▲) A.m=-5,n=-3B.m≠-5，n=-3C.m≠-5，n=3D.m≠-5，n=-4 6.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，AB=2,且AP>BP,则AP的长为（▲） ● A p B A.V5-1 B.V5+1 c.51 2 D.3-V5 7.若点A(m,)，B(-m,2)，C(2m,为)(m>0)在反比例函数y=的图象上，则 ,2,3的大小关系是（▲) A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.yⅥ>y3>2D.y3>y2>y1 1 8.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a0),下列说法： ①若a叶b+c=0,则b2-4ac≥0； ②若方程a2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立； ④若是一元二次方程ar2+bx+c=0的根，则b2-4ac=(2axo+b)2 ⑤存在实数m、n（m≠n),使得am2+bm+c=am2+bn+c: 其中正确的（▲） A.只有①②④B.只有①②④⑤C.①②③④⑤D.只有①②③ 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸 相应位置上) 9.如果x和y成反比例关系，当x=9时，y=2,那么当x=3时，y=▲· 10.若x=4是关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的一个根，则m的值是 1山.反比例函数y=《之的图象分布在第二、四象限内，则k的取值范围为 12.定义新运算，对于任意实数m、n满足m△n=m(m-n)+2n.若x△4=8，当x>0时，则x的值是 13.关于x的一元二次方程62+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是 14.如图，过反比例函数y=k上一点A作y轴的垂线，交y轴于点B,点C,D在x轴上，满足四边形ABCD 是平行四边形，若SHABCD的面积为6，则k的值是 B(2,m) A(6,1) D (第14题) (第15题) (第18题) 15.如图，若反比例函数y1-=x>0)与一次函数2=ax+b的图象交于A(2,m小、B(6,1)两点，则不 等式ax+b>的解集为 16.如果(a2+b2+1)(a2+b2-1)=8,那么a2+b2的值为_▲ 17.直线y=(k<0)与双曲线y=-是交于A(x,n),B,2)两点，则3x281的值是▲· 18.如图，点D是平行四边形OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=1,∠ADB=135°， SM0=多若反比例函数的y=生(x>0)的图象经过A、D两点，则k的值是A一 三、解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 2 19.(8分)解方程： (1)x2-1=0: (2)(2x+4)(x-2)=x+2. 20.(8分)已知y+1与x成反比例，且当x=3时，y=7. (1)求y与x之间的函数关系式： (2)当x=a时，y=b,求代数式ab+a-1的值. 21.(8分)阅读材料，解答问题： 已知实数m,n满足m2-m-1=0,n2-n-1=0,且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实 数根，由根与系数的关系就可以知道：m与n的和，m与n的积.根据上述材料，解决以下问题： (1)材料理解：m+n= ,mn=_ (2)类比应用：已知实数a,b满足：a2-5a+1=0,b2-5b+1=0且a呋b,求a2+b2的值. 22.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+（m+1)x+m=0. (1)求证：此方程有两个实数根； (2)若方程的两根均小于0，求m的取值范围. (6)果论ò A 23.(10分)在平面直角坐标系中，将一块含有45°角的直角三角板如图 的 放置，直角顶点C的坐标为(1,0)，顶点A的坐标为(0,2)，顶点B 恰好落在第一象限的双曲线上. D 3 (1)确定反比例函数的关系式； (2)现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点C的对 应点C的坐标 24.(10分)某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利 润，超市准备适当降价.据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱. (1)若售价下降1元，每天能售出箱饮料，若售价下降x元(0<x<12),每天能售出 箱饮 料； (2)若要使每天销售该饮料获利1400元，为了扩大销售，则每箱应降价多少元？ 25.(10分)如图，在平面直角坐标系x0y中，直线AB:y=x-4与反比例函数y= 的图象交于A、B两点，与x轴相交于点C,已知点B的坐标为(m,-6). (1)求反比例函数的解析式及点A的坐标； (2)点P为反比例函数y=图象上任意一点，若Sac=3Sa4oc,求点P的坐标. A 26.(10分)如图，在矩形ABCD中，AB=10cm,BC=12cm,点P从点A开始 沿边AB向终点B以2cms的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC 向终点C以4cms的速度移动.如果P,Q分别从A,B同时出发，当点Q运 B Q 动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒，(0<t≤3). (1)当t为何值时，点B在PQ的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，Pg的长度等于10cm? (3)连接PC,是否存在t的值，使得△PQC的面积等于32cm2?若存在，请求出此时t的值；若不存 在，请说明理由， 27.(12分)定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2(x1<x2),分 别以x1,x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1,x2),则称点M为该一元二次方程的衍生点. (1)若方程为x2+3x=0,求出该方程的衍生点M的坐标： (2)若关于x的一元二次方程为x2-(5m+1)x+5m=0的衍生点为M,且点M在直线y=-2x上，求m的 值； (3)是否存在b,c,使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=kx+ 2(k+3)的图像上？若有，请求出b,c的值；若没有，请说明理由. 28.(12分)为迎接校园艺术节，某班级计划制作一个面积为8m的矩形宣传展板ABCD(如图1).展 板一边固定在墙上（墙足够长），另外三边用装饰木条围边，木条总长度为1米 5 =8(x>0) B ▣ 1-- 图1 图2 【问题提出】同学们提出：若1=10米，能否制作出符合要求的矩形宜传展板？ 【问题探究】小明的分析方法：设AB=x米，BC=y米 由展板面积知y=8,则(，)可视为反比例函数y=8的图象在第一象限内点的坐标；由木条总长知 2x+y=10,则(xy)可视为一次函数y=-2x+10的图象在第一象限内点的坐标. 同时满足这两个条件的(x,y)就是两个函数的交点坐标。 如图2，双曲线y=是与直线y=-2x+10的交点坐标为0网)和因此，木条总长10m时，能制作出两种 不同尺寸的矩形宣传展板，其尺寸可以是：AB=lm,BC=8m或AB=_▲m,BC=▲m. (1)根据小明的分析思路，完成上面的填空 【类比探究】(2)若1=6米，能否制作出符合要求的矩形宣传展板？请仿照小明的方法，在图2中画出一 次函数的图象，并说明理由. 【问题延伸】(3)小颖从以上探究中发现“能否围成矩形宜传展板问题”可以转化为双曲线y=8与直线 y=一2x+I在第一象限内交点的存在问题”.若矩形宣传展板只能制作出一种尺寸，请求出此时木条总长1 的值. 6 沭阳实验初三数学第一次月考答案 12 一、选择题（每小题3分，共24分） x 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A 公 Y B 二、填空题（每小题3分，共30分） 9.6:10.-4:11.k<1:12.4;13.-1≤k<0或k>0: 14.-6;15.2<x<6:16.3:17.-10:18.4. 三、解答题（本大题共10题，共96分） 19.解：（1)x2-1=0,.X=1,X2=-1.. 4分 (2)原方程可化为2x2-x-10=0,即 (2x-5)x+2)= 0.… 5 6分 .X=2X=-2.,8分 k 20.解：(1)设y+1=(k0),把x=3,y=7代入得k=24, y与x的函数关系式为y=4-1..4分 (2)当x=a时y=b,即b=24-1,.ab=24-a, a .ab+a-1=(24-a)+a-1=23..............8分 21.解：（1)填空：m十n=1,n=-1. ..2分 (2)由题意知a、b是方程2-5x+1=0的两个根，.a+b=5,ab= 1.… .5分 .a2+b2=(a+b)-2ab=52-2×1=23.8分 22,解：（1)△=m+1)2-4m=(m-1)≥0，.此方程有两个实数 限。...........3分 (2)原方程可化为（区+1）8+m)=0,,x=-1,x2= -m。.5分 .方程的两根均小于0，m<0,.m>0..8 分 23.解：(1)由CA=V5,CA⊥CB且CA=CB,得B(3, 1) 3分 设反比例函数为y=二，把B(3,1)代入得k=3,y= 至.5分 (2)设三角板向右平移t个单位，则A'(t,2)在y=3x的图象上， 2=,t=2C(.2,0). .10分 24.解：(1)填空：120：100十20x..2分 (2)设每箱降价x元，依题意得 (12-x)(100+20x)= 1400......5分 整理得X2-7x十10=0，解得X1=2,X2=5..8分 :要扩大销售，取x=5·答：每箱应降价5 元.10分 25.解：(1)把B(m,-6)代入y=x-4得m=-2, .k=(-2)×(-6)=12,反比例函数的解析式为y= 12 .3分 由12=x-4得x2-4x-12=0,解得x=6或x=-2,∴.A(6,2) .5分 (2)由y=x-4得C(4,0),.S△A0C=2×4×2=4,S△P0C=3S△A0C= 12. ..7分 设 ,12 ×4×=12，.p = 2. .8分 .点P的坐标为P（2,6)或P(-2,-6)..10 分 26.解：(1)当点B在PQ的垂直平分线上时BP=BQ,即102t=4t, 5 ∴.t= 3· ….3分 (2)由PQ2=(10-2)2+(4t)2=100得t2-2t=0,∴.t=2(t=0不合题意，舍 去) 6分 (3)S△PQC=4(5-t)3-t)=32,即t?-8t+7=0,.t=1(t=7不合0<ts3,舍 去) .10分 27.解：(1)解x2+3x=0得=-3，=0，.衍生点M的坐标为(-3， 0). .3分 （2)方程可化为(&-1)x-5m)=0,两根为1和5m.,x<x2,.5m<1, 此时M(5m,1),代入y=-2x得1=-10m,∴.m= -1/10..7分 (3)设M(p,q)(p<q),由y=kx十2k+3)=kx+2)十6对任意k0都成立， 得p十2=0且q=6,即方程两根为-2和6..........10分 ∴.x2+bx+c=(区+2)x-6)=x2-4x-12,∴.b=-4,c= -12。J分 28.解：(1)填空：y=8:反比例函数y=是：2x+y=10:一次函数y=-2x+10: 交点坐标为(1,8)和(4,2)；尺寸可以是AB=1m,BC=8m或AB=4m,BC =2m. 4分 (2)不能.画出直线y=-2x十6（过(0,6）、(3,0))，它与双曲线y=8/x在 第一象限内没有交点： 由2x+y=6得y=6-2x,代入y=8得2x2-6x十8=0，△=36-64<0，方程无实数 根， .木条总长为6时，不能制作出符合要求的矩形宣传展 板.… .8分 (3)由2x2-k+8=0有两个相等的实数根得△=1P-64=0,又1>0，.1= 8。.12分