第12讲 圆的面积巧算（一） 专题讲义-人教版数学六年级上册奥数培优

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第12讲圆的面积巧算专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 才幼识讲料 1. 基础公式回顾 圆的面积：S=πr2(r为半径，π通常取3.14) 己知直径时：S=π 12 d-2 半圆的面积：圆面积的一半，S车=号π广2 2 扇形的面积：圆心角为n的扇形，面积占所在圆的” 360 n×πr2 公式：S扇形=3601 常见特殊扇形：90°（四分之一圆）面积=πr己，180° 就是半圆。 2.核心巧算1：整体减空白法 适用场景：阴影部分形状不规则，但空白部分是规则图形，且整体也是规则图形。 核心公式：阴影面积=整体图形面积-空白部分面积 常见题型：正方形里挖最大圆、长方形里挖半圆、大圆里挖小圆等。 优势：不用拆分阴影，直接用规则图形面积相减，计算简便。 第1页共17页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.核心巧算2：割补拼接法 核心思路：将分散的阴影部分通过切割、平移、旋转，拼接成一个完整的规则图形（整圆、 半圆、扇形、正方形等)，形状改变但总面积不变。 常见类型： 多个扇形拼接：利用内角和（三角形180°、四边形360°），把多个小扇形拼成整圆/半 圆； 对称图形割补：沿对称轴分割阴影，平移后拼成长方形、正方形等。 关键：拼接前后总面积不变，优先找相同半径、相同圆心角的扇形。 4.核心巧算3：圆环与扇环面积 圆环面积：外圆面积减内圆面积，利用平方差公式简化计算 公式：S圆环=πR2-πr2=π(R2-r2) (R为外圆半径，r为内圆半径) 扇环面积：圆环的一部分，圆心角为n 公式：S限跃F3607 n×π(R2-r2) 计算技巧：先算半径的平方差，再乘π，比分别算两个圆面积更简便。 第2页共17页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.核心巧算4：容斥原理（重叠型) 适用场景：两个规则图形交叉重叠，阴影是重叠部分，或求两个图形覆盖的总面积。 核心公式： 两个图形覆盖总面积=图形A面积+图形B面积-重叠部分面积 重叠阴影面积=图形A面积+图形B面积-覆盖总面积 经典题型：正方形中两个扇形交叉形成的“叶形”阴影、两个半圆重叠阴影等。 6.经典模型：方中圆 正方形里最大的圆：圆的直径=正方形的边长。 面积关系：圆的面积=乃×正方形面积（约占正方形的78.5%） 正方形减圆的阴影面积：S=1- 14 ×边长 7.解题通用步骤 ①观察阴影图形，判断对应题型： ②选择方法：整体减空白、割补拼接、圆环公式、容斥原理： ③找准对应数据（半径、边长、圆心角）： ④代入公式计算，检查单位是否统一。 说例题饼阔 第3页共17页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典型例题1】整体减空白法 求下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米） d=4 【跟踪训练1】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：dm) 2dm 3dm 【典型例题2】割补拼接法 求阴影部分的面积。（单位：cm) 第4页共17页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ●1 10 6 【跟踪训练2】 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 4 【典型例题3】圆环面积计算 求阴影部分的面积。 3cm 2cm 第5页共17页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【跟踪训练3】 求阴影部分的面积。（单位：cm) 【典型例题4】容斥原理（叶形阴影） 求下列各图中阴影部分的面积。（π取3.14） 6cm 8dm 10cm 【跟踪训练4】 第6页共17页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 求阴影部分的面积。 0 d=10cm 巩国练习 1.求阴影部分的面积。 人45 4cm 2.求涂色部分的面积。（单位：厘米） 3 6二6时 第7页共17页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.求涂色部分的面积。（单位cm) 2 4.求出图中阴影部分的面积。 2cm 6cm 5.计算阴影部分的面积。（单位：厘米，π=3.14） 第8页共17页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8cm 6.求阴影部分的面积。 (1) (2) 3cm 11cm 2cm 11cm 7.正方形的边长是10厘米，求阴影部分的面积。（π取3.14） 第9页共17页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.求阴影部分的面积。（已知图中正方形的面积是30cm) E B 9.求阴影部分的面积。（单位：厘米) 8 10.求阴影部分的面积。 8cm 15cm 第10页共17页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.一个圆形旱冰场的周长是94.2米，扩建后周长增加了31.4米，扩建后旱冰场的面积是多 少平方米？ 12.草地上有一间边长4米的正方形木屋，在木屋一条边的中点位置，用6米长的绳子拴着 一只羊。这只羊能吃到的草地面积是多少平方米？ /氨透训练 13.在一张长是28厘米，宽是20厘米的长方形纸片上剪下一个最大的圆，剩下纸片的面积 是多少平方厘米？ 第11页共17页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.小狐狸有两个4寸的圆形蛋糕（直径约为10厘米)，长颈鹿有一个8寸同款圆形蛋糕 (直径约为20厘米)，小狐狸想用自己的两个4寸蛋糕换长颈鹿的一个8寸蛋糕，如果你是 长颈鹿，你愿意换吗？请通过计算说明。 15.中式窗户有很多被设计成方形或圆形，具有独特的艺术风格。下图中窗户的周长是4.396 米，这扇窗户的面积是多少平方米？ 16.社区要修建一个圆形花坛，花坛的直径是8米，要在花坛的周围铺一条宽2米的石子路， 求这条石子路的面积是多少平方米？如果每平方米石子路的造价是100元，那么修建这条石 子路需要多少元？ 第12页共17页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8米 2米 17.一块长方形木板（如下图），先剪下一个最大的圆木盖后，剩下的木料再剪下一个最大 的圆木盖。 80cm 140cm ()每个圆木盖的面积是多少？ (②)剩下木板的面积是多少？ 18.如今，很多景区推出了颜值与文化气息兼具的文创雪糕。下图是惠州市合江楼文创雪糕， 若其圆形主体的周长为18.84厘米，则这部分的面积是多少平方厘米？ 第13页共17页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 19.指南针是我国古代四大发明之一，战国时期出现的司南是世界上最早的磁性指南仪器。 下图是司南的模型，它的底座是边长为22厘米的正方形，中间有一个半径为5厘米的圆形凹 槽。请你算一算，正方形和圆之间的面积是多少平方厘米？ 20.已知下图中正方形的边长是14厘米，求其中阴影部分的面积。 转化 第14页共17页 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)用转化的方法在右图中画出阴影部分转化后的结果。 (2)根据转化后的结果列式计算。 21,如图，生态园有个花坛，中间正方形的边长是6米，正方形的顶点正好是4个扇形的圆 心，扇形的半径是2米，这个花坛的面积是多少平方米？ 22.这么近，那么美，周末到河北！河北省成为众多游客的首选。为助力乡村旅游体验感， 张庄村准备建一个周长是62.8米的圆形音乐喷水池。 ()这个圆形音乐喷水池的半径是多少米？ (2)绕着这个喷水池修一条宽1米的水泥路，水泥路的路面面积是多少平方米？ 第15页共17页 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.为了美化环境，工人师傅要依靠古城墙用栅栏围成一块半圆形的菜地（如下图），半径 是6米。 学校 ()围这块菜地至少要用多长的栅栏？ (2)如果要扩建这块菜地，把它的直径增加2米，这块菜地的面积增加了多少？ 24.故宫博物院收藏的玉器品种齐全，工艺精湛，其中有一件玉环因沁蚀成牙色，外沿薄， 此环造型规矩，素面无纹，磨制光润。它的外径为9厘米，孔径62厘米，请你算一算这件玉 环表面的面积是多少平方厘米？（得数保留两位小数） -6.2cm 9cm 第16页共17页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 第17页共17页 第12讲 圆的面积巧算 专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 基础公式回顾 圆的面积：（为半径，通常取 3.14） 已知直径时： 半圆的面积：圆面积的一半， 扇形的面积：圆心角为的扇形，面积占所在圆的 公式： 常见特殊扇形：90°（四分之一圆）面积，180° 就是半圆。 2. 核心巧算 1：整体减空白法 适用场景：阴影部分形状不规则，但空白部分是规则图形，且整体也是规则图形。 核心公式： 常见题型：正方形里挖最大圆、长方形里挖半圆、大圆里挖小圆等。 优势：不用拆分阴影，直接用规则图形面积相减，计算简便。 3. 核心巧算 2：割补拼接法 核心思路：将分散的阴影部分通过切割、平移、旋转，拼接成一个完整的规则图形（整圆、半圆、扇形、正方形等），形状改变但总面积不变。 常见类型： 多个扇形拼接：利用内角和（三角形 180°、四边形 360°），把多个小扇形拼成整圆 / 半圆； 对称图形割补：沿对称轴分割阴影，平移后拼成长方形、正方形等。 关键：拼接前后总面积不变，优先找相同半径、相同圆心角的扇形。 4. 核心巧算 3：圆环与扇环面积 圆环面积：外圆面积减内圆面积，利用平方差公式简化计算 公式： （为外圆半径，为内圆半径） 扇环面积：圆环的一部分，圆心角为 公式： 计算技巧：先算半径的平方差，再乘，比分别算两个圆面积更简便。 5. 核心巧算 4：容斥原理（重叠型） 适用场景：两个规则图形交叉重叠，阴影是重叠部分，或求两个图形覆盖的总面积。 核心公式： 两个图形覆盖总面积 = 图形 A 面积 + 图形 B 面积 - 重叠部分面积 重叠阴影面积 = 图形 A 面积 + 图形 B 面积 - 覆盖总面积 经典题型：正方形中两个扇形交叉形成的 “叶形” 阴影、两个半圆重叠阴影等。 6. 经典模型：方中圆 正方形里最大的圆：圆的直径 = 正方形的边长。 面积关系：圆的面积 = 正方形面积（约占正方形的 78.5%） 正方形减圆的阴影面积： 7. 解题通用步骤 ① 观察阴影图形，判断对应题型； ② 选择方法：整体减空白、割补拼接、圆环公式、容斥原理； ③ 找准对应数据（半径、边长、圆心角）； ④ 代入公式计算，检查单位是否统一。 例题讲解 【典型例题 1】整体减空白法 求下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】 4.56平方厘米 【分析】正方形的对角线等于圆的直径厘米，根据求出圆的半径，再用圆的面积公式：计算圆的面积。可以把这个正方形沿着图中的对角线拆分成2个完全相同的等腰直角三角形：每个三角形的斜边就是正方形的对角线（长4厘米），斜边上的高为另一条对角线的一半，等于圆的半径，高＝（厘米），通过三角形的面积公式：求出一个三角形的面积，再乘2，即可算出空白正方形的面积。最后用圆的面积减去空白正方形的面积，得到阴影部分的面积。 【详解】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 【跟踪训练 1】 计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：dm） 【答案】 【分析】解答这道题需明确：长方形的面积＝长×宽；圆的面积。根据图片可知：长方形的长为3dm，宽为2dm，根据公式求出长方形的面积。圆是长方形中最大的圆，所以圆的直径等于长方形的宽2dm，利用半径＝直径÷2，求出圆的半径，再求出圆的面积。最后用长方形的面积－圆的面积解答即可。 【详解】长方形面积： 圆的面积： 阴影部分面积： 所以，阴影部分的面积是。 【典型例题 2】割补拼接法 求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】5.44cm2；12.5cm2 【分析】①用梯形的面积减去圆的面积就是阴影部分呢的面积。 ②将左侧的阴影部分以中间的半径为对称轴，对称移动到右侧，如图： 阴影部分是等腰直角三角形，其直角边长等于半圆的半径，求出直角三角形的面积即可。 【详解】①梯形的面积： （3＋6）×4÷2 ＝9×4÷2 ＝36÷2 ＝18（cm2） 圆的面积： 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 阴影部分的面积：18－12.56＝5.44（cm2） ②10÷2＝5（cm） 5×5÷2 ＝25÷2 ＝12.5（cm2） 【跟踪训练2】 求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】22平方厘米 【分析】观察图形可知：左边阴影扇形与右边空白扇形完全相同，所以整个阴影部分的面积就等于梯形的面积，其中梯形的上底是4厘米，下底是7厘米，高是4厘米（梯形的高等于圆的半径），根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可。 【详解】（4＋7）×4÷2 ＝11×4÷2 ＝44÷2 ＝22（平方厘米） 所以阴影部分的面积是22平方厘米。 【典型例题 3】圆环面积计算 求阴影部分的面积。 【答案】15.7cm2 【分析】由图知：阴影是圆环，大圆的半径R是3cm，小圆的半径r是2cm，代入公式：圆环面积＝π（R2－r2）求解。 【详解】3.14×（32－22） ＝3.14×（9－4） ＝3.14×5 ＝15.7（cm2） 【跟踪训练 3】 求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】263.76cm2 【分析】如图所示，圆环的外半径是10cm，内半径是4cm，根据圆环面积公式S＝π（R2－r2），解答即可。 【详解】3.14×（102－42） ＝3.14×（100－16） ＝3.14×84 ＝263.76（cm2） 故阴影部分的面积是263.76cm2。 【典型例题 4】容斥原理（叶形阴影） 求下列各图中阴影部分的面积。（取） 【答案】； 【分析】由图可知，外圆的直径是，内圆的直径是；圆环的面积用外圆的面积减去内圆的面积即可； 由图可知，大圆的半径是，小圆的直径是；阴影部分的面积用大圆的面积减去小圆的面积即可。 【详解】 （） （） 【跟踪训练 4】 求阴影部分的面积。 【答案】19.625cm2 【分析】阴影部分面积等于大半圆的面积减去空白小圆的面积，先用大半圆的直径除以2求出大半圆的半径，再观察得出空白小圆的直径等于大半圆的半径，进而算出小圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，分别求出大半圆和小圆的面积，最后将两个面积相减，就得到阴影部分的面积。 【详解】×3.14×（10÷2）2－3.14×（10÷2÷2）2 ＝×3.14×52－3.14×2.52 ＝×3.14×25－3.14×6.25 ＝39.25－19.625 ＝19.625（cm2） 巩固练习 1．求阴影部分的面积。 【答案】4cm2 【分析】可以用割补法，把左边半圆里的阴影移到右边，阴影部分就拼成一个小三角形；这个小三角形的面积正好是大等腰直角三角形面积的一半（大三角形直角边长4cm）。先根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，求出大三角形的面积，再除以2，即可求出阴影部分的面积。 【详解】4×4÷2÷2 ＝16÷2÷2 ＝8÷2 ＝4（cm2） 2．求涂色部分的面积。（单位：厘米） 【答案】84.78平方厘米；12.56平方厘米；207.24平方厘米 【分析】第一幅图：图形为圆环，因为涂色面积是外圆面积减内圆面积，所以直接用圆环面积公式，代入外圆半径厘米、内半径厘米计算。 第二幅图：外半圆直径为8厘米，大半圆半径：（厘米），内部空白圆的直径等于外半圆的半径，即小圆直径为4厘米，小圆半径（厘米）。因为涂色面积是半圆面积减去内部空白圆的面积，所以分别用圆面积公式：计算对应部分再作差。 第三幅图：为半圆环，半圆环的内圆半径（厘米），半圆环的外圆半径（厘米），涂色面积是完整圆环面积的，所以半圆环面积公式：计算。 【详解】 （平方厘米） （厘米）、（厘米） （平方厘米） （厘米）、（厘米） （平方厘米） 3．求涂色部分的面积。（单位cm） 【答案】； 【分析】（）先判断涂色部分为个相同的半圆，因为半圆的直径等于正方形边长，所以可将个半圆合并为个完整的圆，代入圆的面积公式计算总面积。 （）先确定涂色部分可转化为个直径为的半圆的面积和，减去直角边为的等腰直角三角形的面积，，分别代入圆和三角形的面积公式计算。 【详解】①半径：（） （） （） ②半径：（） （） （） （） 4．求出图中阴影部分的面积。 【答案】6平方厘米 【分析】首先明确2cm是圆的半径，因此可得到圆的直径为4cm，上半部分是半圆，下半部分的梯形上底等于圆的直径。 如果用上半圆的面积减去半圆内空白三角形的面积，那么就能得到上半部分阴影的总面积，用到半圆面积公式和三角形面积公式。 计算下半部分阴影面积：如果用下底为6cm、高为2cm的梯形面积减去下半部分空白半圆的面积，那么就能得到下半部分阴影的总面积，用到梯形面积公式。 将两部分阴影面积相加，得到整体阴影面积。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 则图中阴影部分的面积为6平方厘米。 5．计算阴影部分的面积。（单位：厘米，） 【答案】平方厘米 【分析】 如图所示，阴影部分的面积等于两个四分之一圆的面积之和减去边长为4厘米的正方形的面积，所以先分别计算单个四分之一圆的面积和正方形的面积。 用到的公式为：圆的面积公式，正方形的面积公式。 【详解】圆的面积为： （平方厘米） 边长为4厘米的正方形面积为：4×4＝16（平方厘米） 阴影部分面积等于两个四分之一圆的面积之和减去边长为4厘米的正方形的面积，即： 2××50.24－16 ＝×50.24－16 ＝25.12－16 ＝9.12（平方厘米） 6．求阴影部分的面积。 【答案】（1）15.7cm2；（2）60.5cm2 【分析】（1）圆环的面积＝大圆的面积－小圆的面积＝πR2－πr2； （2）如图， 阴影部分的面积＝直角三角形的面积＝底×高÷2。 【详解】（1）3.14×32－3.14×22 ＝3.14×9－3.14×4 ＝3.14×（9－4） ＝3.14×5 ＝15.7（cm2） （2）11×11÷2 ＝121÷2 ＝60.5（cm2） 7．正方形的边长是10厘米，求阴影部分的面积。（π取3.14） 【答案】28.5平方厘米 【分析】 如图：，把下方叶片形阴影分割平移填补后，两块阴影可以拼接等效替换，整体阴影总面积＝以正方形边长为半径的圆面积−正方形内直角三角形ABC的面积。圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，三角形面积＝底×高÷2，代入数值即可解答。 【详解】×3.14×102－10×10÷2 ＝×3.14×100－10×10÷2 ＝78.5－50 ＝28.5（平方厘米） 8．求阴影部分的面积。（已知图中正方形的面积是30cm2） 【答案】17.1cm2 【分析】阴影部分的面积＝×圆的面积－正方形的面积，把正方形沿对角线分成两个完全一样的三角形，三角形的底＝圆的半径＝r，三角形的高＝圆的半径÷2＝r，一个三角形的面积＝底×高÷2＝r2，正方形的面积＝2×三角形面积＝r2，已知正方形面积，可求出r2，根据圆的面积＝πr2，求出圆的面积，即可求出阴影部分的面积。 【详解】30×2＝60（cm2） 3.14×60＝188.4（cm2） （cm2） 47.1－30＝17.1（cm2） 9．求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】6.88平方厘米；7.74平方厘米 【分析】长方形长是8厘米，内部空白是直径为8厘米的半圆，所以长方形的宽等于半圆的半径。阴影面积＝长方形面积－半圆的面积，据此计算。 边长为6厘米的正方形，内部空白是半径为6厘米的圆。阴影面积＝正方形面积－圆的面积 【详解】第一个图形： 半径：8÷2＝4（厘米） 长方形面积：8×4＝32（平方厘米） 半圆面积：（平方厘米） 阴影面积：32－25.12＝6.88（平方厘米） 第二个图形： 正方形面积：6×6＝36（平方厘米） 圆面积：（平方厘米） 阴影面积：36－28.26＝7.74（平方厘米） 10．求阴影部分的面积。 【答案】9.12；32.25 【分析】阴影部分的面积等于直径是8cm的圆的面积÷2减去底是8cm，高是8cm÷2的三角形的面积，圆的面积＝π，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据即可； 由图可知，一条直径＋一条半径＝15cm，直径＝半径×2，即2条半径＋1条半径＝15cm，所以半径＝15÷3＝5cm，阴影部分的面积等于长是15cm，宽是圆的直径的长方形的面积，减去半径是5cm的圆的面积，再减去半径是5cm的圆的面积÷2，代入数据即可求解。 【详解】8÷2＝4（cm） 3.14×÷2－8×4÷2 ＝3.14×16÷2－32÷2 ＝50.24÷2－16 ＝25.12－16 ＝9.12（） 15÷3＝5（cm） 5×2＝10（cm） 15×10－3.14×－3.14×÷2 ＝150－3.14×25－3.14×25÷2 ＝150－78.5－78.5÷2 ＝71.5－39.25 ＝32.25（） 11．一个圆形旱冰场的周长是94.2米，扩建后周长增加了31.4米，扩建后旱冰场的面积是多少平方米？ 【答案】1256平方米 【分析】先计算扩建后的总周长，再根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，求出扩建后圆形旱冰场的半径；最后根据圆的面积公式S＝，求出扩建后圆形旱冰场的面积。 【详解】扩建后的周长： （米） 扩建后的半径： （米） 扩建后的面积： （平方米） 答：扩建后旱冰场的面积是1256平方米。 12．草地上有一间边长4米的正方形木屋，在木屋一条边的中点位置，用6米长的绳子拴着一只羊。这只羊能吃到的草地面积是多少平方米？ 【答案】 81.64平方米 【分析】羊的活动区域可分为三部分：一是以拴点为圆心、6米为半径的半圆（背对木屋的一侧，无遮挡）；二是分别以木屋该边的两个墙角为圆心、剩余绳长为半径的两个圆心角为90°的扇形（木屋两侧的区域，绳子被墙角挡住后形成）。将三部分面积相加即可得到总面积。 【详解】拴点到同侧两个墙角的距离：（米） 半径6米的半圆面积： （平方米） 绳子绕过墙角后剩余的长度：（米） 单个小扇形（圆心角为90°，即圆）的面积： （平方米） 两个小扇形的总面积：（平方米） 羊能吃到的草地总面积：（平方米） 答：这只羊能吃到的草地面积是81.64平方米。 真题训练 13．在一张长是28厘米，宽是20厘米的长方形纸片上剪下一个最大的圆，剩下纸片的面积是多少平方厘米？ 【答案】平方厘米 【分析】要在长方形中剪下最大的圆，圆的直径最长等于长方形的宽，用长方形面积减去圆的面积即可得到剩余纸片的面积。长方形的面积＝长×宽，圆的面积＝圆周率×半径的平方。 【详解】 （平方厘米） 答：剩下纸片的面积是246平方厘米。 14．小狐狸有两个4寸的圆形蛋糕（直径约为10厘米），长颈鹿有一个8寸同款圆形蛋糕（直径约为20厘米），小狐狸想用自己的两个4寸蛋糕换长颈鹿的一个8寸蛋糕，如果你是长颈鹿，你愿意换吗？请通过计算说明。 【答案】 不愿意换； （平方厘米） （平方厘米） 两个4寸蛋糕的总面积157平方厘米小于一个8寸蛋糕的面积314平方厘米。 【分析】判断是否愿意换，需比较两个4寸蛋糕的总面积与一个8寸蛋糕的面积大小，利用圆的面积公式分别计算后比较即可。 【详解】两个4寸蛋糕的总面积： （平方厘米） 一个8寸蛋糕的面积： （平方厘米） 答：不愿意换。 15．中式窗户有很多被设计成方形或圆形，具有独特的艺术风格。下图中窗户的周长是4.396米，这扇窗户的面积是多少平方米？ 【答案】1.5386平方米 【分析】已知圆形窗户的周长是4.396米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出窗户的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出这扇窗户的面积。 【详解】4.396÷3.14÷2 ＝1.4÷2 ＝0.7（米） 3.14×0.72 ＝3.14×0.49 ＝1.5386（平方米） 答：这扇窗户的面积是1.5386平方米。 16．社区要修建一个圆形花坛，花坛的直径是8米，要在花坛的周围铺一条宽2米的石子路，求这条石子路的面积是多少平方米？如果每平方米石子路的造价是100元，那么修建这条石子路需要多少元？ 【答案】62.8平方米；6280元 【分析】石子路就是圆环：内圆是花坛，石子路宽度是环宽。根据公式：圆环的面积＝计算。其中：内圆（花坛）半径，：外圆（花坛＋石子路）半径。花坛半径：，外圆半径：。再根据总造价＝圆环面积×每平方米造价计算。 【详解】 （米） （平方米） （元） 答：这条石子路的面积是62.8平方米。修建这条石子路需要6280元。 17．一块长方形木板（如下图），先剪下一个最大的圆木盖后，剩下的木料再剪下一个最大的圆木盖。 (1)每个圆木盖的面积是多少？ (2)剩下木板的面积是多少？ 【答案】(1)5024平方厘米；2826平方厘米 (2)3350平方厘米 【分析】（1）长方形宽80厘米，第一次剪最大圆，圆的直径等于长方形的宽；第二个圆的直径等于长方形长减去大圆的直径。先用直径除以2分别求出两个圆的半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，计算面积。 （2）先根据长方形面积＝长×宽求出整块长方形木板的面积，再用长方形的总面积减去两个圆木盖的面积，得到剩下木板的面积。 【详解】（1）大圆半径：80÷2＝40（厘米） 大圆面积：3.14×402 ＝3.14×1600 ＝5024（平方厘米） 小圆直径：140－80＝60（厘米） 小圆半径：60÷2＝30（厘米） 小圆面积：3.14×302 ＝3.14×900 ＝2826（平方厘米） 答：两个圆木盖面积分别是5024平方厘米和2826平方厘米。 （2）长方形木板面积：140×80＝11200（平方厘米） 剩下面积：11200－5024－2826＝3350（平方厘米） 答：剩下木板的面积是3350平方厘米。 18．如今，很多景区推出了颜值与文化气息兼具的文创雪糕。下图是惠州市合江楼文创雪糕，若其圆形主体的周长为18.84厘米，则这部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】平方厘米 【分析】根据圆的周长（）反求出半径。圆的面积，根据公式计算即可。 【详解】 （厘米） （平方厘米） 答：这部分的面积是平方厘米。 19．指南针是我国古代四大发明之一，战国时期出现的司南是世界上最早的磁性指南仪器。下图是司南的模型，它的底座是边长为22厘米的正方形，中间有一个半径为5厘米的圆形凹槽。请你算一算，正方形和圆之间的面积是多少平方厘米？ 【答案】平方厘米 【分析】正方形和圆之间的面积需要用正方形的面积（边长边长）减去圆的面积（），据此解答。 【详解】 （平方厘米） 答：正方形和圆之间的面积是平方厘米。 20．已知下图中正方形的边长是14厘米，求其中阴影部分的面积。 (1)用转化的方法在右图中画出阴影部分转化后的结果。 (2)根据转化后的结果列式计算。 【答案】(1) (2)（平方厘米） 平方厘米 【分析】（）通过转化把图中的不规则图形转化成一个规则的等腰直角三角形，具体操作见图解； （）再根据三角形的面积等于底乘高除以，代入数据得出答案。 【详解】（1）画图略； （2） （平方厘米） 答：阴影部分的面积是平方厘米。 21．如图，生态园有个花坛，中间正方形的边长是6米，正方形的顶点正好是4个扇形的圆心，扇形的半径是2米，这个花坛的面积是多少平方米？ 【答案】73.68平方米 【分析】观察图形，花坛由中间正方形和四个扇形组成，正方形顶点是四个扇形的圆心，每个扇形圆心角为270°（圆）；4个圆合起来相当于3个完整半径2米的圆。花坛总面积等于1个正方形面积加上3个圆的面积。根据正方形面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值计算即可。 【详解】6×6＝36（平方米） 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝12.56×3 ＝37.68（平方米） 36＋37.68＝73.68（平方米） 答：这个花坛的面积是73.68平方米。 22．这么近，那么美，周末到河北！河北省成为众多游客的首选。为助力乡村旅游体验感，张庄村准备建一个周长是62.8米的圆形音乐喷水池。 (1)这个圆形音乐喷水池的半径是多少米？ (2)绕着这个喷水池修一条宽1米的水泥路，水泥路的路面面积是多少平方米？ 【答案】(1)10米 (2)65.94平方米 【分析】（1）根据圆的周长公式：，那么，把数据代入公式计算出水池的半径。 （2）根据环形面积公式：，把数据代入公式计算出水泥路的路面面积。 【详解】（1） （米） 答：这个圆形音乐喷水池的半径是10米。 （2）（米）； （平方米） 答：水泥路的路面面积是65.94平方米。 23．为了美化环境，工人师傅要依靠古城墙用栅栏围成一块半圆形的菜地（如下图），半径是6米。 (1)围这块菜地至少要用多长的栅栏？ (2)如果要扩建这块菜地，把它的直径增加2米，这块菜地的面积增加了多少？ 【答案】(1)18.84米 (2)20.41平方米 【分析】（1）已知半圆形菜地的半径是6米，根据半圆的弧长公式：半圆的弧长＝πr（π取3.14），代入半径数值，求出半圆的弧长，即栅栏的长度。 （2）已知直径增加2米，即半径增加1米，先求出扩建后的半圆半径；利用半圆面积公式：S＝πr2（π取3.14），分别求出原半圆面积和扩建后的半圆面积；最后用扩建后的面积减去原面积，求出增加的面积。 【详解】（1）3.14×6＝18.84（米） 答：围这块菜地至少要用18.84米的栅栏。 （2）原半圆面积：×3.14×62 ＝×3.14×36 ＝1.57×36 ＝56.52（平方米） 扩建后的半圆面积：×3.14×（6＋1）2 ＝×3.14×72 ＝×3.14×49 ＝1.57×49 ＝76.93（平方米） 增加的面积：76.93－56.52＝20.41（平方米） 答：这块菜地的面积增加了20.41平方米。 24．故宫博物院收藏的玉器品种齐全，工艺精湛，其中有一件玉环因沁蚀成牙色，外沿薄，此环造型规矩，素面无纹，磨制光润。它的外径为9厘米，孔径6.2厘米，请你算一算这件玉环表面的面积是多少平方厘米？（得数保留两位小数） 【答案】33.41平方厘米 【分析】求这件玉环表面的面积，就是求外圆直径为9厘米，内圆直径为6.2厘米的圆环的面积，根据圆环的面积公式：（R为外圆半径，r为内圆半径）据此即可求得。再根据“四舍五入”法，将结果保留两位小数。 【详解】（厘米）   （厘米）    （平方厘米） 答：这件玉环表面的面积是33.41平方厘米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $