第6讲 量率对应问题（基础篇）专题讲义-人教版数学六年级上册奥数培优

第6讲 量率对应问题（基础篇）专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 核心概念 单位 “1”（标准量）：把一个完整的总量（如总长度、总人数、总质量、原价等）看作一个整体，用自然数 1 表示，是分率的参照标准。 分率：表示部分量占单位 “1” 的几分之几，是没有单位的纯分数。 对应量：与分率相对应的具体数量，带有单位（如米、千克、人等）。 核心原则：一个分率对应一个具体量，一个具体量对应一个分率；只有量和率属于同一个单位 “1” 时，才能直接计算。 2. 三大基本公式（量率对应核心） 根据三个量的关系，已知任意两个量可以求出第三个量： 求分率： 求部分量： 求单位 “1”： 快速判断口诀：单位 “1” 已知用乘法，单位 “1” 未知用除法。 3. 找单位 “1” 的基本方法 快速定位单位 “1” 是解题的第一步，常用判断方法： “的” 字前面：例如 “甲的”，单位 “1” 是甲。 “比 / 占 / 是 / 相当于” 后面：例如 “甲比乙多”，单位 “1” 是乙。 总数、全长、原价、总人数、总成本等整体量，通常是单位 “1”。 4. 四类基础题型 （1）直接对应型 单位 “1” 和分率明确，量和率直接对应，直接套用公式计算。 单位 “1” 已知：求对应部分量，用乘法。 单位 “1” 未知：已知部分量和对应分率，求单位 “1”，用除法。 （2）剩余对应型 已知用去的分率和剩余的具体数量，先通过 “所有用去分率” 求出剩余数量对应的分率，再用量率对应求总量。 常见场景：修路、运货、看书等，告诉剩下多少，求原来总数。 （3）差量对应型 已知两个部分的数量差，以及它们对应的分率差，用公式： 常见场景：两天修路长度差、两种物品数量差等。 （4）量率调整型 当数量和分率不直接对应时（如 “用去多 2 米”“看了少 3 页”），先通过加减调整数量，使数量和分率精准匹配，再套用公式。 “多几” 就减：用去多几，剩余就加几，对应剩余分率。 “少几” 就加：用去少几，剩余就减几，对应剩余分率。 5. 解题通用步骤 ① 读题圈画：标出所有分率，找到每个分率对应的单位 “1”； ② 判断类型：确定单位 “1” 已知还是未知，选择对应公式； ③ 量率匹配：检查量和率是否直接对应，不对应则先调整数量； ④ 列式计算：套用公式计算结果； ⑤ 检验验证：把结果代入原题，验证是否符合所有条件。 例题讲解 【典型例题 1】已知单位 “1” 求部分量（连续分率） 一根绳子长 120 米，第一次用去全长的，第二次用去的长度是第一次的。第二次用去多少米？ 【跟踪训练 1】 果园里有苹果树 150 棵，梨树的棵数是苹果树的，桃树的棵数比梨树少。桃树有多少棵？ 【典型例题 2】已知部分量求单位 “1”（直接对应） 六（1）班男生有 24 人，占全班总人数的。全班共有多少人？ 【跟踪训练 2】 商店运来一批水果，苹果有 80 千克，占水果总质量的。这批水果一共有多少千克？ 【典型例题 3】剩余型量率对应 修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩 100 米没修。这条公路全长多少米？ 【跟踪训练 3】 一堆煤，第一次运走总数的，第二次运走总数的，还剩 16 吨。这堆煤原有多少吨？ 【典型例题 4】量率调整型（“多几” 型） 一根铁丝，第一次用去全长的多 2 米，还剩 10 米。这根铁丝原来长多少米？ 【跟踪训练 4】 小明看一本书，第一天看了全书的少 3 页，还剩 43 页没看。这本书共有多少页？ 巩固练习 1. 计算：一桶油重 20 千克，用去，用去了多少千克？ 2. 甲数是 60，乙数比甲数多，乙数是多少？ 3. 小明身高 120 厘米，是爸爸身高的。爸爸身高多少厘米？ 4. 一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第二天比第一天多修 20 米。这条公路全长多少米？ 5. 一根电线，用去全长的，还剩 24 米。这根电线原来长多少米？ 6. 加工一批零件，第一天加工了总数的，第二天加工了总数的，两天一共加工了 50 个。这批零件一共有多少个？ 7. 一根绳子，第一次剪去全长的多 1 米，还剩 11 米。这根绳子原来长多少米？ 8. 小明看一本故事书，第一天看了全书的少 2 页，还剩 32 页。这本书共有多少页？ 9. 果园里苹果树比梨树多 30 棵，梨树棵数是苹果树的。苹果树有多少棵？ 10. 超市运来大米 120 袋，面粉的袋数是大米的，小米的袋数是面粉的。小米有多少袋？ 11. 一件衣服原价 100 元，先涨价，再降价。现价是多少元？ 12. 一桶水，第一次倒出全桶的，第二次倒出余下的，还剩 20 千克。这桶水原有多少千克？ 真题训练 1.（小升初真题）一根绳子长 15 米，剪去，剪去了多少米？ 2.（希望杯模拟题）比 20 千克多是多少千克？ 3.（小升初真题）六（2）班有女生 20 人，占全班人数的。全班有多少人？ 4.（重点中学分班考）修一条路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩 80 米没修。这条路全长多少米？ 5.（华杯赛初赛）小明有 50 枚邮票，小红的邮票数比小明少。小红有多少枚邮票？ 6.（小升初真题）一堆沙子，第一天运走总数的，第二天运走总数的，第一天比第二天少运 6 吨。这堆沙子原有多少吨？ 7.（走美杯真题）一根铁丝，用去它的多 1 米，还剩 15 米。这根铁丝原来长多少米？ 8.（小升初压轴题）一本书，第一天看了全书的少 2 页，还剩 32 页。这本书共有多少页？ 9.（希望杯真题）某工厂十月份用水 480 吨，比原计划节约了。原计划用水多少吨？ 10.（重点中学自主招生）甲、乙两筐苹果共重 80 千克，甲筐苹果的质量是乙筐的。甲筐苹果重多少千克？ 11.（华杯赛模拟）一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的，两次一共剪去 18 米。这根绳子原来长多少米？ 12.（小升初思维题）有两堆煤，第一堆重 30 吨，如果从第一堆取出放入第二堆，两堆煤同样重。第二堆煤原有多少吨？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 量率对应问题（基础篇）专题讲义 【知识讲解+例题讲解+巩固练习+真题训练】 知识讲解 1. 核心概念 单位 “1”（标准量）：把一个完整的总量（如总长度、总人数、总质量、原价等）看作一个整体，用自然数 1 表示，是分率的参照标准。 分率：表示部分量占单位 “1” 的几分之几，是没有单位的纯分数。 对应量：与分率相对应的具体数量，带有单位（如米、千克、人等）。 核心原则：一个分率对应一个具体量，一个具体量对应一个分率；只有量和率属于同一个单位 “1” 时，才能直接计算。 2. 三大基本公式（量率对应核心） 根据三个量的关系，已知任意两个量可以求出第三个量： 求分率： 求部分量： 求单位 “1”： 快速判断口诀：单位 “1” 已知用乘法，单位 “1” 未知用除法。 3. 找单位 “1” 的基本方法 快速定位单位 “1” 是解题的第一步，常用判断方法： “的” 字前面：例如 “甲的”，单位 “1” 是甲。 “比 / 占 / 是 / 相当于” 后面：例如 “甲比乙多”，单位 “1” 是乙。 总数、全长、原价、总人数、总成本等整体量，通常是单位 “1”。 4. 四类基础题型 （1）直接对应型 单位 “1” 和分率明确，量和率直接对应，直接套用公式计算。 单位 “1” 已知：求对应部分量，用乘法。 单位 “1” 未知：已知部分量和对应分率，求单位 “1”，用除法。 （2）剩余对应型 已知用去的分率和剩余的具体数量，先通过 “所有用去分率” 求出剩余数量对应的分率，再用量率对应求总量。 常见场景：修路、运货、看书等，告诉剩下多少，求原来总数。 （3）差量对应型 已知两个部分的数量差，以及它们对应的分率差，用公式： 常见场景：两天修路长度差、两种物品数量差等。 （4）量率调整型 当数量和分率不直接对应时（如 “用去多 2 米”“看了少 3 页”），先通过加减调整数量，使数量和分率精准匹配，再套用公式。 “多几” 就减：用去多几，剩余就加几，对应剩余分率。 “少几” 就加：用去少几，剩余就减几，对应剩余分率。 5. 解题通用步骤 ① 读题圈画：标出所有分率，找到每个分率对应的单位 “1”； ② 判断类型：确定单位 “1” 已知还是未知，选择对应公式； ③ 量率匹配：检查量和率是否直接对应，不对应则先调整数量； ④ 列式计算：套用公式计算结果； ⑤ 检验验证：把结果代入原题，验证是否符合所有条件。 例题讲解 【典型例题 1】已知单位 “1” 求部分量（连续分率） 一根绳子长 120 米，第一次用去全长的，第二次用去的长度是第一次的。第二次用去多少米？ 【分析】两次分率的单位 “1” 不同，但都是已知量：第一次单位 “1” 是全长（已知 120 米），第二次单位 “1” 是第一次用去的长度（可求）。连续用乘法计算即可。 【详解】 第一步：求第一次用去的长度（单位 “1”：全长） （米） 第二步：求第二次用去的长度（单位 “1”：第一次用去的长度） （米） 综合算式： （米） 【答案】米 【跟踪训练 1】 果园里有苹果树 150 棵，梨树的棵数是苹果树的，桃树的棵数比梨树少。桃树有多少棵？ 【分析】先以苹果树为单位 “1” 求梨树棵数，再以梨树为单位 “1”，用 “” 得到桃树对应分率，求桃树棵数。 【详解】 梨树棵数：（棵） 桃树对应分率： 桃树棵数：（棵） 【答案】棵 【典型例题 2】已知部分量求单位 “1”（直接对应） 六（1）班男生有 24 人，占全班总人数的。全班共有多少人？ 【分析】单位 “1” 是全班总人数，未知。男生人数 24 人是部分量，对应分率是，根据 “单位‘1’的量 = 部分量 ÷ 对应分率” 直接计算。 【详解】 全班人数 = 男生人数 ÷ 男生占比 （人） 【答案】人 【跟踪训练 2】 商店运来一批水果，苹果有 80 千克，占水果总质量的。这批水果一共有多少千克？ 【分析】单位 “1” 是水果总质量，未知。苹果质量 80 千克对应分率，用除法求总量。 【详解】 （千克） 【答案】千克 【典型例题 3】剩余型量率对应 修一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩 100 米没修。这条公路全长多少米？ 【分析】单位 “1” 是公路全长，未知。先求出剩下的长度对应的分率，再用剩下的长度除以对应分率得到全长。 【详解】 剩下的长度对应全长的分率： 全长 = 剩余长度 ÷ 剩余分率： （米） 【答案】米 【跟踪训练 3】 一堆煤，第一次运走总数的，第二次运走总数的，还剩 16 吨。这堆煤原有多少吨？ 【分析】先求剩下的煤占总数的分率，对应剩余 16 吨，用量率对应求总吨数。 【详解】 剩余分率： 原有吨数：（吨） 【答案】吨 【典型例题 4】量率调整型（“多几” 型） 一根铁丝，第一次用去全长的多 2 米，还剩 10 米。这根铁丝原来长多少米？ 【分析】数量和分率不直接对应：用去的不是正好，而是多 2 米。假设第一次少用 2 米，就正好用去全长的，那么剩下的长度就会多 2 米，即米，此时 12 米正好对应全长的，量率对应即可求解。 【详解】 调整后剩余长度（对应全长的）： （米） 剩余对应分率： 全长： （米） 验证：全长 18 米，用去多 2 米，即用去米，剩下米，符合题意。 【答案】米 【跟踪训练 4】 小明看一本书，第一天看了全书的少 3 页，还剩 43 页没看。这本书共有多少页？ 【分析】假设第一天多看 3 页，就正好看了全书的，剩下的页数就会少 3 页，即页，对应全书的。 【详解】 调整后剩余页数：（页） 剩余对应分率： 全书页数：（页） 【答案】页 巩固练习 1. 计算：一桶油重 20 千克，用去，用去了多少千克？ 【分析】单位 “1” 是一桶油的质量，已知，求部分量用乘法。 【详解】 （千克） 【答案】千克 2. 甲数是 60，乙数比甲数多，乙数是多少？ 【分析】单位 “1” 是甲数，已知，乙数对应分率为，用乘法计算。 【详解】 【答案】 3. 小明身高 120 厘米，是爸爸身高的。爸爸身高多少厘米？ 【分析】单位 “1” 是爸爸身高，未知，小明身高对应分率，用除法求单位 “1”。 【详解】 （厘米） 【答案】厘米 4. 一条公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，第二天比第一天多修 20 米。这条公路全长多少米？ 【分析】差量对应型，先求第二天比第一天多修的分率差，对应 20 米，求全长。 【详解】 分率差： 全长：（米） 【答案】米 5. 一根电线，用去全长的，还剩 24 米。这根电线原来长多少米？ 【分析】剩余型量率对应，先求剩余分率，对应 24 米，求全长。 【详解】 剩余分率： 全长：（米） 【答案】米 6. 加工一批零件，第一天加工了总数的，第二天加工了总数的，两天一共加工了 50 个。这批零件一共有多少个？ 【分析】先求两天一共加工的分率和，对应 50 个，求总数。 【详解】 两天共加工分率： 总个数：（个） 【答案】个 7. 一根绳子，第一次剪去全长的多 1 米，还剩 11 米。这根绳子原来长多少米？ 【分析】量率调整型，“多剪 1 米”，剩余就加 1 米，对应剩余分率。 【详解】 调整后剩余长度：（米） 剩余分率： 全长：（米） 【答案】米 8. 小明看一本故事书，第一天看了全书的少 2 页，还剩 32 页。这本书共有多少页？ 【分析】“少看 2 页”，剩余就减 2 页，对应剩余分率。 【详解】 调整后剩余页数：（页） 剩余分率： 全书页数：（页） 【答案】页 9. 果园里苹果树比梨树多 30 棵，梨树棵数是苹果树的。苹果树有多少棵？ 【分析】差量对应，梨树比苹果树少的分率对应 30 棵，求苹果树（单位 “1”）。 【详解】 梨树比苹果树少的分率： 苹果树棵数：（棵） 【答案】棵 10. 超市运来大米 120 袋，面粉的袋数是大米的，小米的袋数是面粉的。小米有多少袋？ 【分析】连续求部分量，两次单位 “1” 都已知，连乘计算。 【详解】 面粉：（袋） 小米：（袋） 【答案】袋 11. 一件衣服原价 100 元，先涨价，再降价。现价是多少元？ 【分析】两次分率单位 “1” 不同，涨价单位 1 是原价，降价单位 1 是涨价后的价格，分步计算。 【详解】 涨价后：（元） 现价：（元） 【答案】元 12. 一桶水，第一次倒出全桶的，第二次倒出余下的，还剩 20 千克。这桶水原有多少千克？ 【分析】先求第二次倒出的对应全桶的分率，再求剩余分率，对应 20 千克。 【详解】 第一次余下： 第二次倒出全桶的： 剩余分率： 原有：（千克） 【答案】千克 真题训练 1.（小升初真题）一根绳子长 15 米，剪去，剪去了多少米？ 【分析】单位 “1” 已知，求部分量用乘法。 【详解】 （米） 【答案】米 2.（希望杯模拟题）比 20 千克多是多少千克？ 【分析】单位 “1” 是 20 千克，已知，求对应量用乘法。 【详解】 （千克） 【答案】千克 3.（小升初真题）六（2）班有女生 20 人，占全班人数的。全班有多少人？ 【分析】单位 “1” 是全班人数，未知，女生人数对应分率，除法计算。 【详解】 （人） 【答案】人 4.（重点中学分班考）修一条路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩 80 米没修。这条路全长多少米？ 【分析】剩余型量率对应，先求剩余分率，对应 80 米。 【详解】 剩余分率： 全长：（米） 【答案】米 5.（华杯赛初赛）小明有 50 枚邮票，小红的邮票数比小明少。小红有多少枚邮票？ 【分析】单位 “1” 是小明邮票数，已知，小红对应分率。 【详解】 （枚） 【答案】枚 6.（小升初真题）一堆沙子，第一天运走总数的，第二天运走总数的，第一天比第二天少运 6 吨。这堆沙子原有多少吨？ 【分析】差量对应，分率差对应 6 吨，求总量。 【详解】 分率差： 原有：（吨） 【答案】吨 7.（走美杯真题）一根铁丝，用去它的多 1 米，还剩 15 米。这根铁丝原来长多少米？ 【分析】量率调整，“多用 1 米”，剩余加 1 米对应剩余分率。 【详解】 调整后剩余：（米） 剩余分率： 原长：（米） 【答案】米 8.（小升初压轴题）一本书，第一天看了全书的少 2 页，还剩 32 页。这本书共有多少页？ 【分析】量率调整，“少看 2 页”，剩余减 2 页对应剩余分率。 【详解】 调整后剩余：（页） 剩余分率： 全书：（页） 【答案】页 9.（希望杯真题）某工厂十月份用水 480 吨，比原计划节约了。原计划用水多少吨？ 【分析】单位 “1” 是原计划用水量，未知，实际用水对应分率。 【详解】 （吨） 【答案】吨 10.（重点中学自主招生）甲、乙两筐苹果共重 80 千克，甲筐苹果的质量是乙筐的。甲筐苹果重多少千克？ 【分析】先求总份数，求出甲筐占总质量的分率，再求甲筐质量。 【详解】 甲占总质量的： 甲筐质量：（千克） 【答案】千克 11.（华杯赛模拟）一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的，两次一共剪去 18 米。这根绳子原来长多少米？ 【分析】先求第二次剪去全长的分率，再求两次一共的分率和，对应 18 米。 【详解】 第一次余下： 第二次剪全长的： 两次共剪分率： 原长：（米） 【答案】米 12.（小升初思维题）有两堆煤，第一堆重 30 吨，如果从第一堆取出放入第二堆，两堆煤同样重。第二堆煤原有多少吨？ 【分析】先求出第一堆取出的质量，再求第一堆剩下的质量（即第二堆现在的质量），最后减去放入的质量得原来的质量。 【详解】 取出的质量：（吨） 第一堆剩下：（吨） 第二堆原有：（吨） 【答案】吨 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $