精品解析：重庆市第十一中学校2026－2027学年九年级上学期10月定时训练数学试题

重庆第十一中教育集团初2027级九年级（上）10月定时训练 数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 下列常见的物理单位符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，这个图形就是中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A选项：把符号绕任何一点旋转都不能与原来的图形重合，故A选项不符合题意； B选项：把符号绕任何一点旋转都不能与原来的图形重合，故B选项不符合题意； C选项：把符号绕任何一点旋转都不能与原来的图形重合，故C选项不符合题意； D选项：如下图所示，把符号绕点O旋转可以与原来的图形重合，符号是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家庭等都是必备的粮食度量用具．如图2，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的意义，判断解答即可． 【详解】解：“斗”的俯视图的是： ． 故选：C． 3. 若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的定义，解题思路是根据黄金分割的定义得到与的关系，再代入的长度计算即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ 又∵ ∴． 4. 下列语句中正确的个数是（ ） (1)每个定理都有逆定理 (2)在三角形中，如果一边是另一边的一半，那么这条边所对的角等于30° (3)如果CA=CB,则过点C的直线垂直平分线段AB (4)到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】利用定理及逆定理的定义，含30°的直角三角形性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：每个定理不一定都有逆定理，(1)说法错误， 在三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么这条边所对的角等于30°，(2)说法错误； 如果CA=CB,则过点C在线段AB的垂直平分线上，但过点C的直线不一定垂直平分线段AB，(3)说法错误； 根据垂直平分线的性质可知，到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点， (4)说法正确 正确的共1个 故选：B 【点睛】本题考查定理及逆定理的定义，含30°的直角三角形性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识点是本题的解题关键. 5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（ ） A. 9∶1 B. 25∶4 C. 9∶4 D. 25∶9 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形一定是相似图形，且面积比等于相似比的平方．由已知比例确定对应点到位似中心的距离之比，得相似比，进而计算面积比． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ． ， 设，．若点在、之间，则，与矛盾， 点在、之间，即． 与的相似比为． 与的面积之比为． 6. 美术课上，老师请同学们用黑色棋子设计有规律的图案，小华这组出色地完成了这个设计，摆出的图案不仅具有艺术美感，还存在数学规律，如图，观察他们的设计，按此规律，则第⑥个图案需要棋子的个数是（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数与形结合的规律，根据棋子发现规律：多一组图形，则多用5个棋子，即第n个图形中，需要棋子个，代入计算即可． 【详解】解：根据分析可得： （个） 所以，第6个图形中棋子的个数为29个， 故选：B． 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可得，根据一元二次方程根与系数的关系得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 8. 《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据“增长率问题”及题意可直接列出方程，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得方程为； 故选D． 9. 如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，为垂线交于点．以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；过点P作于点H，设交于点Q，由题意易得，然后可得，则有，，进而可证，由此可得，最后问题可求解． 【详解】解：过点P作交延长线于点H，设交于点Q，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 故选C． 10. 若整式，其中为正整数，n为自然数，均为整数，且满足：．若，则下列说法： ①存在满足条件的单项式M； ②若，满足条件的整式M恰有13个； ③若M为二次三项式，则满足条件的所有M的最小值都大于． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件，对24进行分解因数，逐个分析判断三个说法的正误即可． 【详解】∵，为正整数，其余为整数，满足，逐个判断： ①若M为单项式，取，得，，满足所有条件，是单项式，故①正确； ②时，所有都是正整数，是24的正因数，按分类计数： ：共1个；：共3个；：共3个；：共2个；：共2个；：共1个；：共1个；：共1个； 总和为个，故②错误； ③ 若M为二次三项式，则，都不为0，得，即，取，满足，符合所有条件，此时，最小值为，故③错误， 综上，只有1个说法正确． 二、填空题（共6小题） 11. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方运算法则，解题思路是先根据积的乘方法则将原式展开，再根据幂的乘方法则分别计算各项即可． 【详解】解：． 12. 写出一个比大且比小的整数______． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案． 【详解】解：∵2＜＜3，4＜＜5， ∴所有比小且比大的整数有3，4， ∴这个整数可以是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出与在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键． 13. 一个魔方静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若斜面的坡角的度数为，则支持力与重力方向的夹角的度数为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质．由已知得，即得，再根据平行线的性质得，进而得出，据此计算即可求解． 【详解】解：如图 ∵重力的方向竖直向下， ∴， ∴， ∵摩擦力的方向与斜面平行， ∴， ∵支持力的方向与斜面垂直， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 【答案】 8 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得． ∴． ∵， 是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 15. 自然数m与n均为两位数，它们个位上的数字相同，十位上的数字之和为．当的值最大时，值为________；当时，存在正整数，使得，则满足条件的的值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设自然数的十位数字为，个位数字为，其中，，且均为整数，由题意得的十位数字为，个位数字为，表示出，先整理的表达式，再求出最大时对应的值，计算；再利用平方差公式化简，结合的条件分类讨论，求出符合条件的即可． 【详解】解：设自然数的十位数字为，个位数字为，其中，，且均为整数， 由题意得，的十位数字为，个位数字为， ，， 要使最大，需使和同时最大， ， 当时，取得最大值， 为个位数字，最大值为， 当最大时，，，即，， ， 当时，，解得，故， 由平方差公式得： ， 是正整数， 为立方数，且，， ①当时，，区间内无立方数，无解； ②当时，，区间内只有，不是整数，无解； ③当时，，区间内无立方数，无解； ④当时，，区间内只有，解方程，得，符合条件， 此时，得正整数． 16. 在四边形中，，，连接，交于点，过点作交于，交于，且，则______，若，，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，先证明，则有，，可证，由，设，，则，所以，证明，则，然后代入得出，再得，，，过作于点，过作于点，证明，则，设，，则，通过勾股定理求出解得，即，则，求出，再由即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由，设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 如图，过作于点，过作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 三、解答题（17、18题各8分，其余每题10分，共86分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 18. 先化简，再求值：，其中从，，中取一个你认为合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后根据分式有意义的条件，代入合适的值计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵，， ∴，，， ∴当时，原式． 19. 如图，某数学兴趣小组做了以下探究：在菱形中，对角线相交于点O． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点C作的垂线交于点N（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为矩形． 【答案】（1）作图如下： （2）证明：∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ， ∴， ， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）根据线段、垂线的尺规作图方法求解即可； （2）首先证明四边形为平行四边形．再利用三个角是直角的四边形是矩形即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理： 跳绳个数记为x，共分为五组：A：，B：；C：，D：，E：，并绘制如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：131，135，133，135，135，133． 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析： 该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 a 135 女同学 134 136 b 请你认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ______， ______， ______，并补全频数直方图； （2）若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数有______人； （3）结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个组更优秀？说明理由． 【答案】（1），，，统计图见解析 （2）128 （3）女生组更优秀，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用中位数，众数以及部分数据百分比进行求解，然后补全条形统计图； （2）利用样本频数估计总体频数即可； （3）利用平均数，中位数，众数进行决策． 【小问1详解】 解：∵被抽取男同学跳绳个数在C组的数据有6个， ∴被抽取男同学跳绳个数在A组的数据有（个）， ∴中位数取第10位和第11位数据的平均数， ∴； ∵被抽取女同学跳绳个数在C组的数据有8个， 在A组的数据有个， 在D组的数据有个， 在E组的数据有个， 在B组的数据有个， 其中136出现了5次，出现的次数最多， ∴； ∵， ∴； 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：男同学D组和E组的人数和为， ∴（人）； 女同学D组和E组的人数和为， ∴（人）； ∴（人） ∴估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数有128人； 【小问3详解】 解：女生组更优秀，理由如下： 我认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀，因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生跳绳中位数，女生跳绳个数的众数大于男生跳绳个数，所以认为该校八年级女同学一分钟跳绳更优秀， 所以，整体来说女生组更优秀． 21. 综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1：某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为x米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过14米，且不小于7米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元． 问题解决 （1）若种植园区的面积为44800平方米，求出宽度x并说明是否符合要求？请说明理由． （2）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润销售利润承包费） 【答案】（1）解：符合要求，理由如下， 根据图示，种植园区的长米，宽为米， 根据题意可得， 整理得，， 解得， ∵道路宽度不超过14米，且不小于7米， ∴，即道路设置的宽度符合要求； （2）每平方米草莓的月利润应该下调48元 【解析】 【分析】（1）表示出种植园区的长米，宽为米，根据面积公式列式求解即可； （2）设每平方米草莓的月利润应该下调元，根据数量关系列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设每平方米草莓的月利润应该下调元， ， 整理得，， 解得，， ∵让客户得到实惠， ∴每平方米草莓的月利润应该下调48元． 22. 如图在中，，，过点作于点．动点，同时从点出发，点以每秒个单位的速度沿折线运动．点以每秒1个单位的速度沿线段运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，线段和线段的长度和记为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出线段和线段的长度和不大于7时的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数图象是轴对称图形，对称轴是直线  （3）或 【解析】 【分析】（1）分两种情况，当时，点E在上，证明，得出，求出，则可求出函数关系式，当时，点E在上，同理可得，求出和可得出答案； （2）由题意先列表，再描点画出图象，写出函数的性质即可； （3）求解当时的值，再结合图象可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，点E在上， ∵， ∴， ∴； 由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，点E在上， 如图， 同理可得：， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴； ∴关于的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 当时， 或， 解得：或， 当线段和线段的长度和不大于7时，即时， ∴或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，根据解析式画一次函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 23. 九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． （1）如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； （2）如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度． 【答案】（1）12 （2）10米 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质． （1）首先证明出，得到，然后代数求解即可； （2）证明出，得到，推出，然后表示出，同理证明出，得到，然后代数求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴电线杆的高度为10米． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． （1）求直线的表达式； （2）点P是线段上一动点，点E是直线上一动点，点F为x轴上一动点，过P作于Q，连接，当时，求的最小值； （3）如图2，在（2）问条件下，点M为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，进而求出点坐标，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作轴，根据等腰直角三角形的性质，求出点坐标，作点关于的对称点，根据对称的性质，推出点为的中点，进而求出的坐标，根据，得到当三点共线时，的值最小，为的长，再根据垂线段最短，得到轴时，最短，进而得到的最小值即为的纵坐标，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴，， 连接，过点作， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，则：， ∵， ∴三点共线，且为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 又∵为轴上的动点， ∴当轴时，最短，此时， ∴的最小值的最小值为； 【小问3详解】 当点在点的右侧时：将线段绕点逆时针旋转90度，得到，连接并延长，交轴于点，则：，，， 由（2）知：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴ 过点作轴，交于点，则：，点的纵坐标为， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，即：， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 当点在点左侧时，如图，将线段绕点顺时针旋转90度，得到，连接， 则：，， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 过点作，交于点，则：点的横坐标为， 同理可知：， ∴， ∴点的纵坐标为：， ∴， 同法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 25. 在中，D是所在平面内一点，连接． （1）如图1，若点D在边上，平分，，，求的度数； （2）如图2，若点D在边上，，，将线段绕点A顺时针旋转得到AE，连接交边于点F．求证：； （3）如图3，若，，M是的中点，N是的中点，将沿所在直线翻折到，连接，在上取一点Q，使得，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）证明：，， 是等边三角形， ，，由旋转得，，， 又是的外角， ， ， 如图，过点作交于点， 则， ， 又， ，在和中，， ， ，， ， ，在和中，， ， ， ，， ，整理得； （3） 【解析】 【分析】（1）本题考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，解题思路是先根据角平分线的性质和已知的角度比例关系求出的度数，再利用三角形内角和定理求出的度数． （2）本题考查全等三角形的判定与性质以及线段的等量关系证明，解题思路是通过旋转构造全等三角形，将、、转化到相关线段中进行证明． （3）本题考查利用旋转和三角形三边关系求线段和的最小值，解题思路是通过构造相似三角形，将转化为一条线段，再根据两点之间线段最短求解． 【小问1详解】 解：平分， ， ，， 设，， 在中，， 即， 解得， 又， ； 【小问2详解】 证明过程见答案． 【小问3详解】 取的中点，连接，， ∵， ∴为的中点， 由沿翻折到，可得，， 又∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴，且相似比为， ∴，， 则， 当，，三点共线时，的值最小， ∵，，是的中点， ∴，，， 可求得的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆第十一中教育集团初2027级九年级（上）10月定时训练 数学试题 一、选择题（共10小题） 1. 下列常见的物理单位符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家庭等都是必备的粮食度量用具．如图2，下列图形是“斗”的俯视图的是（　　） A. B. C. D. 3. 若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 3 4. 下列语句中正确的个数是（ ） (1)每个定理都有逆定理 (2)在三角形中，如果一边是另一边的一半，那么这条边所对的角等于30° (3)如果CA=CB,则过点C的直线垂直平分线段AB (4)到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（ ） A. 9∶1 B. 25∶4 C. 9∶4 D. 25∶9 6. 美术课上，老师请同学们用黑色棋子设计有规律的图案，小华这组出色地完成了这个设计，摆出的图案不仅具有艺术美感，还存在数学规律，如图，观察他们的设计，按此规律，则第⑥个图案需要棋子的个数是（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 7. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（　　） A. B. C. D. 且 8. 《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在正方形中，点为边上一点，连接，为垂线交于点．以，为邻边构造平行四边形，连接，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 若整式，其中为正整数，n为自然数，均为整数，且满足：．若，则下列说法： ①存在满足条件的单项式M； ②若，满足条件的整式M恰有13个； ③若M为二次三项式，则满足条件的所有M的最小值都大于． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（共6小题） 11. ___________． 12. 写出一个比大且比小的整数______． 13. 一个魔方静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，若斜面的坡角的度数为，则支持力与重力方向的夹角的度数为_______________． 14. 若，是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 15. 自然数m与n均为两位数，它们个位上的数字相同，十位上的数字之和为．当的值最大时，值为________；当时，存在正整数，使得，则满足条件的的值为________． 16. 在四边形中，，，连接，交于点，过点作交于，交于，且，则______，若，，则______． 三、解答题（17、18题各8分，其余每题10分，共86分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中从，，中取一个你认为合适的数代入求值． 19. 如图，某数学兴趣小组做了以下探究：在菱形中，对角线相交于点O． （1）尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点C作的垂线交于点N（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形为矩形． 20. 为扎实推进“五育并举”，丰富阳光体育活动内容，增强师生体质，培养团队协作精神，某校开展“绳舞校园，跃动精彩”2026年春季校园跳绳比赛，为师生搭建起运动竞技与风采展示的平台．某数学兴趣小组从八年级男、女同学（分男生组和女生组）中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析． 数据整理： 跳绳个数记为x，共分为五组：A：，B：；C：，D：，E：，并绘制如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图． 被抽取男同学跳绳个数在C组的数据：131，135，133，135，135，133． 被抽取女同学跳绳个数在C组的数据：133，132，136，133，136，136，136，136． 数据分析： 该数学兴趣小组对抽取的男同学与女同学的跳绳个数进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 方差 男同学 134 a 135 女同学 134 136 b 请你认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空： ______， ______， ______，并补全频数直方图； （2）若该校八年级参加此次跳绳比赛的男同学有200人，女同学有260人，请你估计此次跳绳比赛中八年级跳绳个数不少于140个的总人数有______人； （3）结合以上数据，分析在该校八年级同学一分钟跳绳中，男生组和女生组哪个组更优秀？说明理由． 21. 综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1：某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为x米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过14米，且不小于7米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元． 问题解决 （1）若种植园区的面积为44800平方米，求出宽度x并说明是否符合要求？请说明理由． （2）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润销售利润承包费） 22. 如图在中，，，过点作于点．动点，同时从点出发，点以每秒个单位的速度沿折线运动．点以每秒1个单位的速度沿线段运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，线段和线段的长度和记为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出线段和线段的长度和不大于7时的取值范围． 23. 九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． （1）如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； （2）如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． （1）求直线的表达式； （2）点P是线段上一动点，点E是直线上一动点，点F为x轴上一动点，过P作于Q，连接，当时，求的最小值； （3）如图2，在（2）问条件下，点M为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 25. 在中，D是所在平面内一点，连接． （1）如图1，若点D在边上，平分，，，求的度数； （2）如图2，若点D在边上，，，将线段绕点A顺时针旋转得到AE，连接交边于点F．求证：； （3）如图3，若，，M是的中点，N是的中点，将沿所在直线翻折到，连接，在上取一点Q，使得，连接，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $