精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

数学 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.14 2. 麻将是中国传统棋牌游戏，益智有趣．下列麻将图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与相切于点，若，，则的半径长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 4 5. 用六角星花纹按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个六角星，第②个图案中有5个六角星，第③个图案中有8个六角星，第④个图案中有11个六角星，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中六角星的个数为（ ） A. 11 B. 17 C. 23 D. 25 6. 估计的计算结果应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 在反比例函数中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点、分别是、上一点，且，连接、相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中，为正整数，，，…为整数，且．若满足．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且只有一个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③当时，满足条件的所有二次整式共有16个． 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 月球与地球的平均距离约为384400千米，将数384400用科学记数法表示为______． 12. 已知点和点关于原点对称，则的值为_________． 13. 某地一家制造业企业营收稳步增长，企业纳税额逐年递增．该企业2024年缴纳税款50万元，2026年缴纳税款60.5万元，该企业这两年缴税的年平均增长率为_________． 14. 如图，将绕顶点逆时针旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，则_________． 15. 如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点，交于点．设，则_________（用含的式子表示）；若，，则_________． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“两倍数”．例如：四位数5211，因，所以5211是“两倍数”．按照这个规定，最小的“两倍数”是_________；一个“两倍数”，去掉个位数字得到一个新的数，记，若是11的倍数，则满足条件的中，的最大值与最小值之差为_________． 三、解答题：（本大题共9个小题，17题、18题各8分，19题—25题，每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 按要求完成下列各题： （1）解不等式组： （2）解方程： 18. 先化简，再求值：，其中 19. 某工厂为了解工人加工零件的用时，从甲、乙两个队各随机抽取名工人，调查了他们加工同款零件的用时（单位：分钟），随后进行整理、分析（用时最高不超过分钟，用表示，共分为四组： A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 甲队名工人加工用时为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙队名工人加工用时在组中的数据是：，，，，，，，． 扇形统计图中，组数据所对圆心角度数为，组占比为． 甲、乙两队所抽取工人加工用时统计表 甲队 乙队 平均数 众数 中位数 （1）填空 ， ， ； （2）根据以上数据，你认为甲、乙两个队哪个队加工效率更高？请说明理由（写出一条即可）； （3）若甲队共有工人名，乙队共有工人名，根据以上信息，估计甲乙两队加工一个零件用时不超过分钟的工人人数共是多少？ 20. 在学习了平行四边形后，同学们利用尺规作图进行了拓展性探究．如图，是平行四边形的对角线． （1）用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）证明：四边形是平行四边形． 21. 某城市为倡导绿色低碳出行，每年都会举办环湖自行车骑行挑战赛，环湖赛道全程为42公里． （1）据活动组委会统计，今年报名参加环湖骑行挑战赛的总人数比去年增加了，今年与去年共有6.5万人参赛，那么今年与去年分别有多少万人报名参赛？ （2）甲、乙两名骑行爱好者一同参加本次环湖骑行挑战赛．甲平均每小时比乙多骑2公里，乙骑完全程所花费的时间是甲骑完全程时间的倍．分别求出甲、乙二人在本次骑行全程中的平均速度． 22. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，同时点以相同速度从出发沿射线方向运动，当点到达点时两点同时停止运动，设运动时间为秒（），的面积为，记的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23. 如图，海岸边有、、、四个监测点，四个点在同一平面内．监测点位于的正北方向千米处，监测点位于的正东方向，且位于的北偏东方向，监测点位于的南偏东方向，同时位于的南偏东方向．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留为整数）； （2）巡逻员甲、乙同时从监测点出发，分别沿、方向前往、处巡逻，且甲、乙的速度之比为，巡逻途中，两人雷达显示直线距离为千米，求此时乙距离监测点有多少千米（结果保留根号）？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接、，过点作直线，交抛物线于点． （1）求抛物线表达式； （2）点是线段下方抛物线上一点，连接，，点是轴上一动点，连接，当的面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，抛物线与轴和分别交于点和点，且点，位于轴左侧，连接，点为原抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 25. 在中，，，点是边上一点（不与点，重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，若，，，连接，求线段的长； （2）如图2，若，连接，点是线段的中点，连接．求证：． （3）如图3，若，，点在边上运动，连接，点是线段的中点，连接．当取得最小值时，记此时的点为点；当取得最小值时，记此时的点为点．直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3.14 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，结合有理数的定义求解即可． 【详解】解：，，3.14是有理数，是无理数， 故选项A符合题意． 2. 麻将是中国传统棋牌游戏，益智有趣．下列麻将图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算错误； D、，计算正确． 4. 如图，与相切于点，若，，则的半径长为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由切线的性质可得，在中，由勾股定理解直角三角形即可得解． 【详解】解：∵与相切于点， ∴， ∴在中，． 5. 用六角星花纹按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个六角星，第②个图案中有5个六角星，第③个图案中有8个六角星，第④个图案中有11个六角星，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中六角星的个数为（ ） A. 11 B. 17 C. 23 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形中六角星的个数，找到变化规律，即可求解 【详解】解：第①个图案中六角星的个数为：， 第②个图案中六角星的个数为：， 第③个图案中六角星的个数为：， 第④个图案中六角星的个数为：， ...... 第⑧个图案中六角星的个数为： 6. 估计的计算结果应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简后再利用无理数的估算解答即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴． 7. 在反比例函数中，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中，，， ∴反比例函数在内，y随x的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∴． 8. 如图，在中，，、分别交于点、，为的直径，连接，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，可得，从而得阴影部分的面积，结合扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵在中，， ∴是的中线， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 9. 如图，在正方形中，点、分别是、上一点，且，连接、相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长至，使，连接，，与交于点，设正方形边长为，根据正方形和得到，，，，，再根据，求出，，接着证明，得到是等腰直角三角形，得到，推出，则四边形为平行四边形，，，最后根据，求出，代入计算即可． 【详解】解：延长至，使，连接，，与交于点， 设正方形边长为， ∵正方形， ∴，，， ∵， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 已知整式，其中，为正整数，，，…为整数，且．若满足．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且只有一个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③当时，满足条件的所有二次整式共有16个． 其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】①由单项式定义：除最高次项外其余系数全部为0，得到后代入等式，求得与的关系，进行列举后将所有整式相加即可． ②按题意将代入条件等式中，可得、之间的关系，再进行列举即可． ③按照题意，二次整式中，，代入后，对的情况逐个枚举即可． 【详解】解：由题可知，，为正整数，，故的值为、、， 由单项式定义可知，， 代入等式左侧： ， 则， 当，，代入整式后得到单项式， 当，，此时不是整数，舍去， 当，，代入整式后得到单项式， 得到2个单项式，因此说法①错误． ②时，，的值为、、， 条件式子为：，为整数， 即或， 当，或，代入整式后得到：， 当，或，代入整式后得到：，， 当，或，代入整式后得到：，； 将上述全部整式相加求和： 故说法②正确． ③当时， 二次整式，， 整式，、为整数． 条件：， 代入， ， 设（为整数），对上述等式变形得， 由绝对值的非负性可知，， 求解得； 对每个整数，的整数解为的个数， 接下来逐个枚举： 1.时：，，，共1个 2.时：，，，，共个； 3.时：，，，，共个； 4.时：，，，，共个； 5.时：，，，，共个； 6.时：，，，，共个； 7.时：，，，，共个； 8.时：，，，共个； 9.时：，，，共个； 总个数为： 说法③正确． 综上所述，正确的个数为2，选择C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 月球与地球的平均距离约为384400千米，将数384400用科学记数法表示为______． 【答案】3.844×105 【解析】 【详解】试题解析：384400=3.844×105． 【点睛】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于384400有6位，所以可以确定n=6-1=5．此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键． 12. 已知点和点关于原点对称，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此建立方程求解即可． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，解得． 13. 某地一家制造业企业营收稳步增长，企业纳税额逐年递增．该企业2024年缴纳税款50万元，2026年缴纳税款60.5万元，该企业这两年缴税的年平均增长率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均增长率为x，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该企业这两年缴税的年平均增长率为． 14. 如图，将绕顶点逆时针旋转得到，点对应点，点对应点，点刚好落在边上，，则_________． 【答案】##47度 【解析】 【分析】根据旋转性质得到、、，结合三角形内角和和等腰三角形性质得到度数，再利用外角性质得到度数． 【详解】解：∵绕顶点逆时针旋转得到，点对应点，点对应点， ∴，，， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点，交于点．设，则_________（用含的式子表示）；若，，则_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，由圆周角定理得到，由直径得到，求出，再根据等腰三角形和垂直得到；根据角度关系得到，则，设，则，在中，根据列方程解得，则直径，连接并延长交于，则，根据垂径定理的推论得到，，再根据勾股定理计算，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵ ， ∴ ， 由题意可知，是的直径， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵中，，， ∴， 解得， ∴，直径， 连接并延长交于，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 16. 我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“两倍数”．例如：四位数5211，因，所以5211是“两倍数”．按照这个规定，最小的“两倍数”是_________；一个“两倍数”，去掉个位数字得到一个新的数，记，若是11的倍数，则满足条件的中，的最大值与最小值之差为_________． 【答案】 ①. 1011 ②. 7 【解析】 【分析】要求最小的“两倍数”，令，，则，可令，，则M的最小值是1011；，整理化简得，，则，得是11的倍数，考虑b、d的取值范围，则或17；因为，所以，则的取值有以下5种情况：，；，；，；，；，；于是的取值可求得． 【详解】解：四位数中，，， 要求最小的两倍数，则， ∵， ∴， 要求最小的两倍数，则尽可能小，取， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴M的最小值是1011； ， ∵， ∴， ∴， ∵是11的倍数， ∴是11的倍数， ∵， ∴，即， ∵是11的倍数， ∴或； ∵，且最大都是9， ∴， ∴，即； 若，即时， ∴， 又， ∴可取0，1，2，3， ∴当时，，且，； 当时，，且，； 当时，，且，； 当时，，且，； 若，则，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，，； 当时，（不合题意，舍去）， ∴的最大值为7，最小值为0， ∴的最大值与最小值之差为． 三、解答题：（本大题共9个小题，17题、18题各8分，19题—25题，每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 按要求完成下列各题： （1）解不等式组： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】，24 【解析】 【详解】解： ∵， ∴原式． 19. 某工厂为了解工人加工零件的用时，从甲、乙两个队各随机抽取名工人，调查了他们加工同款零件的用时（单位：分钟），随后进行整理、分析（用时最高不超过分钟，用表示，共分为四组： A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 甲队名工人加工用时为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙队名工人加工用时在组中的数据是：，，，，，，，． 扇形统计图中，组数据所对圆心角度数为，组占比为． 甲、乙两队所抽取工人加工用时统计表 甲队 乙队 平均数 众数 中位数 （1）填空 ， ， ； （2）根据以上数据，你认为甲、乙两个队哪个队加工效率更高？请说明理由（写出一条即可）； （3）若甲队共有工人名，乙队共有工人名，根据以上信息，估计甲乙两队加工一个零件用时不超过分钟的工人人数共是多少？ 【答案】（1），， （2）甲加工效率更高．两队用时平均数相同，但是甲队加工用时的众数和中位数都小于乙队 （3） 【解析】 【分析】（1）找甲队出现次数最多的数据可求出，先由扇形圆心角、百分比算出各组人数，取乙队第、个数求平均得到中位数，用组人数÷总人数得到； （2）根据平均数、众数、中位数进行判断； （3）先算出甲乙两队样本中用时不超过分钟的占比，再用总人数×对应占比，最后甲乙两队的结果相加． 【小问1详解】 解：根据题意可知，在甲队的工人用时中，出现频率最高， 则； 乙队组数据所对圆心角度数为， 则组人数为，占比为， 组人数为，占比为， 则组占比为，人数为人， 则， 组人数为， 乙队加工用时的中位数为第、个数据的平均数，、组的人数和为， 可得乙队第、个数据为组中的第和第个数据，即，， 则． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在甲队名工人加工用时中，加工用时不超过的数据有个， 占比为， 则甲队有工人名时，加工用时不超过的工人人数有， 在乙队名工人加工用时中，加工用时不超过的数据有个， 占比为， 则乙队有工人名时，加工用时不超过的工人人数有， 甲乙两队加工一个零件用时不超过分钟的工人人数共是． 20. 在学习了平行四边形后，同学们利用尺规作图进行了拓展性探究．如图，是平行四边形的对角线． （1）用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）证明：四边形是平行四边形． 【答案】（1）解：作图如下； 则直线即为所求． （2）证明：根据题意，得的交点为点O， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∵， ∴， ， 故四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的基本作图，解答即可； （2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． 【小问1详解】 解：分别以点A，C为圆心，以大于长为半径画弧，二弧交于点M，N，连接，交，，于点，，，连接，，直线即为线段的垂直平分线；则直线即为所求． 【小问2详解】 证明：略． 21. 某城市为倡导绿色低碳出行，每年都会举办环湖自行车骑行挑战赛，环湖赛道全程为42公里． （1）据活动组委会统计，今年报名参加环湖骑行挑战赛的总人数比去年增加了，今年与去年共有6.5万人参赛，那么今年与去年分别有多少万人报名参赛？ （2）甲、乙两名骑行爱好者一同参加本次环湖骑行挑战赛．甲平均每小时比乙多骑2公里，乙骑完全程所花费的时间是甲骑完全程时间的倍．分别求出甲、乙二人在本次骑行全程中的平均速度． 【答案】（1）去年有万人报名参赛，今年有万人报名参赛 （2）甲的平均速度是公里/小时，乙的平均速度是公里/小时 【解析】 【分析】（1）设去年有万人报名参赛，则今年有万人报名参赛，根据“今年与去年共有6.5万人参赛”列方程，求出答案； （2）设乙的平均速度是公里/小时，则甲的平均速度是公里/小时，根据“乙骑完全程所花费的时间是甲骑完全程时间的倍”列方程，求出答案． 【小问1详解】 解：设去年有万人报名参赛，则今年有万人报名参赛， 由题意得，， 解得， ∴（万人）， 答：去年有万人报名参赛，今年有万人报名参赛； 【小问2详解】 解：设乙的平均速度是公里/小时，则甲的平均速度是公里/小时， 由题意得，， 整理得：， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴（公里/小时）， 答：甲的平均速度是公里/小时，乙的平均速度是公里/小时． 22. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，同时点以相同速度从出发沿射线方向运动，当点到达点时两点同时停止运动，设运动时间为秒（），的面积为，记的面积为，的面积为，． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1），； （2） ：当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小 ：y随x增大而减小 （3）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，进而得到，可知，，即可求出关于的函数表达式；分两种情况求解关于的函数表达式即可； （2）根据函数解析式作图即可，根据函数图象作答即可； （3）根据函数图象作答即可． 【小问1详解】 解：∵在矩形中，，， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∴，， ∴（）， 当时，； 当时，如图， 可知， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：当时，，， 当时，，， 当时，， 当时，，， 作图略； 性质略； 【小问3详解】 解：根据函数图象可知当时，． 23. 如图，海岸边有、、、四个监测点，四个点在同一平面内．监测点位于的正北方向千米处，监测点位于的正东方向，且位于的北偏东方向，监测点位于的南偏东方向，同时位于的南偏东方向．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留为整数）； （2）巡逻员甲、乙同时从监测点出发，分别沿、方向前往、处巡逻，且甲、乙的速度之比为，巡逻途中，两人雷达显示直线距离为千米，求此时乙距离监测点有多少千米（结果保留根号）？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先在中求出，再由方位角得到的三个内角，作将分割成两个直角三角形，算出、，即可求解； （2）利用路程比等于速度比设未知数，作构造直角三角形，表示出，后，由勾股定理求得乙与监测点的距离． 【小问1详解】 解：如图，过点作， 根据题意可知，，，， 则，， ，， ，，， ，， ， ，， ， ，， ， ，， ． 【小问2详解】 解：如图，当雷达测距时甲运动到点处，乙运动到点处，过点作， 根据题意可知，， 设，， 据（1）可知， 则， 可得，， 则， 在中，， 可得， 解得， 可得， 故乙距离监测点有． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接、，过点作直线，交抛物线于点． （1）求抛物线表达式； （2）点是线段下方抛物线上一点，连接，，点是轴上一动点，连接，当的面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，抛物线与轴和分别交于点和点，且点，位于轴左侧，连接，点为原抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2），的最小值 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把B、C的坐标代入计算即可求解； （2）令，求出A的坐标，根据待定系数法求出直线的表达式为，结合可求出直线的表达式为，联立方程组，求出，过P作轴交于，设，则，求出，进而求出，根据二次函数的性质得出当时，取最大值，此时；在y轴上取点，作直线，过Q作，连接，根据勾股定理、等腰三角形的判定与性质可得出，则，故当P、Q、G三点共线时，最小，最小值为，根据待定系数法求出直线解析式为，设，根据勾股定理得出，求出，即可求解； （3）根据二次函数的性质，平移的规律等知识求出抛物线的表达式为，则可求出，联立方程组，可求出，过作轴，过M作于H，过B作于S，则，，，根据等边对等角和三角形内角和定理得出，结合推出，过C作轴，过A作于T，则，，证明，得出，则直线与抛物线的交点为符合题意的点K，令，即可求出的坐标；作直线关于的轴对称直线交抛物线于，交轴于，可证，在中，根据勾股定理得出，则可求出，待定系数法求出直线的表达式为，联立方程组可求出的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：把、代入， 得， 解得， ∴抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得，， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 过P作轴交于， 设，则， ∴ ， ∴ ， ∵，， ∴当时，取最大值， 此时， ∴， 在y轴上取点，作直线，则， ∴， 过Q作，连接， ， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 则当P、Q、G三点共线时，最小，最小值为的长， 同理可求直线的表达式为， 设， ∵，，， ∴，即， 化简得， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 即的最小值为； 【小问3详解】 解：， ∵，， ∴， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位长度得到抛物线， ∴， 当时，，， ∵M在y轴的左侧， ∴， 联立方程组， 解得或， ∵N在y轴的左侧， ∴， 过作轴，过M作于H，过B作于S， 则，，， ∴， 又， ∴， 过C作轴，过A作于T， 则，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴直线与抛物线的交点为符合题意的点K， 当时， 解得，（不符合题意，舍去） ∴的坐标为； 作直线关于的轴对称直线交抛物线于，交轴于， 则， ∵轴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 同理可求直线的表达式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 综上，K的坐标为或． 25. 在中，，，点是边上一点（不与点，重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，若，，，连接，求线段的长； （2）如图2，若，连接，点是线段的中点，连接．求证：． （3）如图3，若，，点在边上运动，连接，点是线段的中点，连接．当取得最小值时，记此时的点为点；当取得最小值时，记此时的点为点．直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 延长交于点G， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 延长到点M使得，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点E作于点N， ∴，， 根据勾股定理，得， ∴ ， 过点G作于点H， ∴， ∴， ∴， 根据题意，得 ， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）过点A作于点Q，利用等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，解答即可； （2）证明：连接，证明是等边三角形，是等边三角形，再证明，延长交于点G，证明，延长到点M使得，连接，证明是等边三角形，过点E作于点N，根据勾股定理，得，过点G作于点H，根据特殊角的三角函数，勾股定理，直角三角形的性质证明即可． （3）过点C作，则，过点A作于点V，过点D作于点K，作 ，交的延长线于点Q，则，,在上截取，连接， 以为边在其下方构造等边三角形，过点E作于点H，根据垂线段最短，当B，E，H三点共线，且时，取得最小值，故过点B作于点M，交于点，此时满足了取得最小值，过点C作，交的延长线于点W，过点作，交的延长线于点R，根据平行线间的距离处处相等，得，根据垂线段最短，知道当时，取得最小值，解答即可． 【小问1详解】 解：过点A作于点Q， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴； 【小问2详解】 证明：略． 【小问3详解】 解：过点C作， 则， 过点A作于点V， ，， ，，， ，，， 过点D作于点K，作 ，交的延长线于点Q， 则，, 在上截取，连接， ， ∴， ∴， ∴， ∴线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴点E的轨迹是射线 根据题意，得， ， 根据勾股定理，得 , ， ， ， 以为边在其下方构造等边三角形， 则，， 过点E作于点H，根据题意，得， ， 根据垂线段最短，当B，E，H三点共线，且时，取得最小值， 故过点B作于点M，交于点，此时满足了取得最小值， 根据题意，得 ， ， 过点C作，交的延长线于点W， ，， ，，， 过点作，交的延长线于点R， ， 根据平行线间的距离处处相等，得， 根据垂线段最短，知道当时，取得最小值， ， ∴， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $