精品解析：重庆市万州高级中学2026-2027学年上学期期九月学情自测数学试题

初2024级九年级（上）第一次综合素质测评 数 学 试 卷 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将每小题的答案直接涂在答题卡中对应的位置上． 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是二次根式，故本选项符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．当时，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．的被开方数不是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，4，6 B. 2，3，5，8 C. 2，3，6，9 D. 1，，， 【答案】C 【解析】 【分析】计算前两条线段之比与后两条线段之比，若二者相等，则这组线段是成比例线段，否则不是． 【详解】解：A、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； B、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； C、∵， ∴这组线段是成比例线段，符合题意； D、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意． 4. 如图，在中，，分别交，于，，若：：2，，则的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】首先，依据平行线分线段成比例定理确定线段间的比例关系；接着，代入已知的和的值求出；最后，通过计算出的长度． 【详解】， ． ，且， 代入得到． 解得：． ． 5. 估算的值应在（ ） A. 0与1之间 B. 1与2之间 C. 2与3之间 D. 3与4之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对无理数的估算，二次根式的乘法．先化简后，再根据即可得到答案． 【详解】解： ， ∵ ， ， 故选：B． 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位通过平移可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 7. 已知实数 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值、立方根、二次根式性质的综合运用，熟练掌握“绝对值、立方根、二次根式的化简规则，结合数轴判断数的符号”是解题的关键．先根据数轴确定、的取值范围，再依据绝对值、立方根、二次根式的性质化简式子，最后计算得出结果． 【详解】解：由数轴可知，，． （小于），（）， ∴ 故选：． 8. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为点为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以， 故选：C． 9. 如图，在正方形中，是边上一点，是延长线上一点，连接交对角线于点，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证，得出，再证，得出，于是有，然后根据三角形外角的性质求出，即可求出． 【详解】解：连接，，过点作交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 10. 已知两个非零实数，，按规则进行运算，运算的结果记为，称此为一次操作：再从，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为；再从，，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为，⋯，依次进行下去，以下结论正确的个数为（ ） ①若，为方程的两个根，则； ②若，，则； ③若，要使得成立，则k至少为5． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先解方程得到或，则不妨设，据此根据定义求出，进而求出，即可判定①；根据定义可得，解方程即可判断②；每次操作后，得到的所有结果都大于0，且的所有结果最小为3，故要使得成立时，k最小，那么每次操作都要使对应的最大，故每次操作时选择的两个数一定要是可选择的数中最大的两个数，据此可判断③． 【详解】解：①解方程得，或， ∵为方程的两个根， ∴不妨设， ∴， ∵， ∴从中任选两个数，只有两种情况，即选择或， 当选择时，则， 当选择时，则， 综上所述，，故①正确； ②∵， ∴， ∴或， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴每次操作后，得到的所有结果都大于0，且的所有结果最小为3， 要使得成立时，k最小，那么每次操作都要使对应的最大， ∴每次操作时选择的两个数一定要是可选择的数中最大的两个数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴若，要使得成立，则k至少为5，故③正确， 综上，正确的有3个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义可得且，解之即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 12. 已知，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】将已知代数式进行变形即可求出答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 13. 一元二次方程的两根为、，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到，再由根与系数的关系得到，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入方程得， 整理得， ∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴． 14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，关于的分式方程的解为非负整数，那么所有满足条件的的值的和为_____． 【答案】12 【解析】 【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根得到根的判别式大于0，求出a的范围，表示出分式方程的解，由解为非负整数确定出a的值，求出之和即可． 【详解】解：由条件可知：，且， 解得：且， ， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解为非负整数， ∴为非负整数， ∵且， ∴，4，6， ∴整数，5，7， ∵，即， ∴， ∴整数，7， 则所有满足条件的a的值之和为． 15. 如图，在中，，点为边的中点，连接，将沿翻折至，连接交于点，连接，，且．则_______；当时，过点作，则_______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】设与交于点O，根据中位线的性质求出，，证明四边形为平行四边形，得出，，，证明，得出，设，则，，求出，根据勾股定理求出，最后根据等积法求出结果即可． 【详解】解：设与交于点O，如图所示： ∵将沿翻折至， ∴，， ∴， ∵点为边的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 16. 对于一个四位自然数（，，，），若满足，则称N为“星环数”．例如：1836，因为，，所以1836是“星环数”；例如：2318，因为，，所以2318不是“星环数”．最小的“星环数”是______．记，．若一个“星环数”N，满足是完全平方数，则满足条件的所有N中，最大值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先整理“星环数”定义得到核心等式，根据的取值范围得到仅两种符合条件的情况：和，求最小四位数时优先让高位数字最小得到最小星环数，再结合完全平方数条件化简，优先让高位数字最大得到满足条件的最大值． 【详解】解 ：由题意得，，满足  代入得  整理得  ∵， ∴，，且均为正整数， ∵和互质， ∴整除，可得或，对应或，仅这两组符合条件； 若最小，则优先让取最小，最小为，当时，得 此时，再让取最小，最小为，得，符合取值要求， ∴最小“星环数”是； 由题意得，  当时，， 当时， ，则，结果不是整数，不可能是完全平方数， ∴该情况无符合条件的； 当时，，， ， 代入得 则  ∴该式是完全平方数，是完全平方数， ∴是完全平方数， ∵，且 ， ∴，， 要最大，优先让取最大，得 ，此时，， ∴，范围内完全平方数为 ，得， 则，，得 验证得，符合条件， ∴满足条件的最大为． 三、解答题：（本大题共9个小题，17-18题每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解答下列各题 （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得：． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】先计算整式的乘法运算，合并同类项，同步计算括号内分式与整式的减法运算，再将除法转化为乘法，最后计算分式的加法运算得到化简的结果，最后把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在四边形中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形． 【答案】（1） 如图，为所求作的线段的垂直平分线； （2） 证明：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形（对角线垂直的平行四边形为菱形） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线，即为的垂直平分线． （2）先利用垂直平分线的性质得到且，再由得出内错角相等，通过角边角定理证明三角形全等，得到，结合证明四边形是平行四边形，最后根据对角线垂直的平行四边形是菱形来证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定及性质、菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法以及菱形的判定定理是解题的关键． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）将代入方程得，整理得出，再代入，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵方程是一元二次方程，且有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵p是方程的一个实数根， ∴将代入方程得：， 变形得， 将其代入得：， 解得：，， ∵， ∴． 21. 开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． （1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价； （2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10％．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？ 【答案】（1）商家购进每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元； （2）每个套尺的售价为11元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、列出方程是解题的关键． （1）设商家购进每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的单价是元，由题意：商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍列出分式方程求解即可； （2）设每个套尺的售价为m元，使笔和圆规平均每天的总获利为400元，列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设商家购进每本笔记本的单价是x元，则每个套尺的进价是元， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ∴． 答：商家购进每本笔记本的单价是4元，每个套尺的单价是6元． 【小问2详解】 解：设每个圆规的售价为m元， 由题意得：， 整理得：，解得：或， ∵降价幅度不超过， ∴，解得：， ∴． 答：每个套尺的售价为11元． 22. 在矩形中，，，点为的中点，动点以每秒1个单位的速度从点沿折线运动，同时动点以每秒2个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设运动时间为秒，的面积为，的面积与点的运动路程之比为，的函数图像如图2． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1），． （2）的图象如图所示： 性质：当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小（答案不唯一） （3）． 【解析】 【分析】（1）先得出当时，点Q在上运动，点P在上运动；当时，点Q在上运动，点P在上运动，分别画出图形，再求面积即可； （2）利用描点法画图，再利用图象写出性质即可； （3）利用时，x的取值范围即的图象在的图象上方时自变量x的取值范围，包括交点，求解即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，点为的中点， ，，，， 依题意，当点到达点时，用时， 当点到达点时，用时， 当时，点在上运动，点在上运动，此时如图， ∴， ∴； 当时，点在上运动，点在上运动，此时如图， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 综上，，． 【小问2详解】 解：画图见答案 性质：当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小（答案不唯一） 【小问3详解】 解：由，得， 则（负值舍去）， 由图可知时x的取值范围即的图象在的图象上方时自变量x的取值范围，包括交点； 由图可知． 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）判断方程是否是“邻根方程”：____________（填“是”或“否”）； （2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数）是“邻根方程”，且，求：的值． 【答案】（1）否 （2）的值为， （3） 【解析】 【分析】（1）先解方程，再根据“邻根方程”有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，求解即可； （2）先解方程得到，再根据“邻根方程”有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，求解即可； （3）根据“邻根方程”有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，设方程的两个根分别为，再根据根与系数的关系得到，，，最后结合消元计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴方程的根为， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； 【小问2详解】 解：方程左边因式分解得， ∴， ∵关于的方程（是常数）是“邻根方程”， ∴或， 即的值为，； 【小问3详解】 解：∵关于的方程（，是常数）是“邻根方程”， ∴设方程的两个根分别为， ∴，， 由可得， 代入得 整理得， ∵， ∴，整理得， ∴， 解得， ∴ ∴． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，已知点的横坐标为． （1）求直线的解析式； （2）如图2，连接，过点作轴的垂线，若点为垂线上的一个动点，点为轴上的一个动点，点为射线上一点，连接，，，．当时，求此时点的坐标及的最小值； （3）如图3，连接，点为上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2），的最小值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入函数，求出点E的坐标，再将点E的坐标代入直线，求解即可； （2）先求出点A，B，C，D的坐标，得到的长，根据求出的面积，设，其中，根据表示出的面积，根据列出方程，求出点P的坐标．作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称的性质得到，，因此，根据两点间距离公式求出，即可解答； （3）由点A，C，D的坐标可得出，都是等腰直角三角形，因此．过点D作x轴的垂线，且在垂线上取点F，使得，点F在x轴上方，连接，证明，得到，因此点Q是直线与直线的交点，待定系数法求出直线的解析式，联立直线与直线解析式，求出点Q的坐标．另外当点Q与点E重合时，也满足条件，即可解答． 【小问1详解】 解：∵直线过点E，点E的横坐标为， 把代入函数，得， ． ∵直线过点， ， ， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：对于直线， 令，则； 令，则，解得， ∴，． 对于直线， 令，则； 令，则，解得， ∴，． ∵，， ． ∴． 点在射线上， 设，其中， ∴． ， ，解得 ∴． ∵，， ∴点、点关于轴对称． ∵直线过点且垂直于轴， 直线． 作点关于直线的对称点， 连接， ∵点A与点C关于x轴对称，点P与点关于直线对称， ∴，， ∴， 即的最小值为的长． 的最小值为． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∴，都是等腰直角三角形， ∴， ∴． 过点D作x轴的垂线，且在垂线上取点F，使得，点F在x轴上方，连接． ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴点Q是直线与直线的交点． ∵，轴，， ∴． 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 解方程组，得， ∴． 当点Q与点E重合时，即，满足． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 25. 在平行四边形中，，点E是边上一点，连接，以为边向外作等腰，使，． （1）如图1，连接，若，，，求的面积； （2）如图2，，连接交于点G，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点P为边上一动点，连接，以为边向内作等边，连接，若，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）4 （2）证明：如图，在的延长线上取点K，使，连接，过点F作交于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴, ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明是等腰直角三角形，得到，根据是等腰直角三角形，证明，得证为直角三角形，继而得到答案． （2）在的延长线上取点K，使，连接，过点作交于点H，通过证明，得到对应边、对应角相等，通过证明，得证是的中位线，继而得证结论； （3）由等边三角形的性质结合已知条件可求出，，再根据已知条件通过证明，得出点M的运动轨迹，当时，取得最小值，利用等边三角形的性质和解含30度直角三角形的性质，得出相关线段的长度，最后通过三角形面积公式即可求出最终结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点P为边上一动点，以为边向内作等边， 如图，当点B与点P重合时，即点，以为边向内作等边， 此时点在边上， ∴，， ∴， ∴， 如上图，当点P在边的中点时，以为边向内作等边，连接， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M的运动轨迹是与边夹角为的直线l， 如图，当时，取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 如图，连接，延长交于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴是等边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2024级九年级（上）第一次综合素质测评 数 学 试 卷 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将每小题的答案直接涂在答题卡中对应的位置上． 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. 1，2，4，6 B. 2，3，5，8 C. 2，3，6，9 D. 1，，， 4. 如图，在中，，分别交，于，，若：：2，，则的长为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 5. 估算的值应在（ ） A. 0与1之间 B. 1与2之间 C. 2与3之间 D. 3与4之间 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　） A. B. C. 1 D. 8. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，是边上一点，是延长线上一点，连接交对角线于点，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知两个非零实数，，按规则进行运算，运算的结果记为，称此为一次操作：再从，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为；再从，，，中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为，⋯，依次进行下去，以下结论正确的个数为（ ） ①若，为方程的两个根，则； ②若，，则； ③若，要使得成立，则k至少为5． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 12. 已知，则的值为_____． 13. 一元二次方程的两根为、，则的值为________． 14. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，关于的分式方程的解为非负整数，那么所有满足条件的的值的和为_____． 15. 如图，在中，，点为边的中点，连接，将沿翻折至，连接交于点，连接，，且．则_______；当时，过点作，则_______． 16. 对于一个四位自然数（，，，），若满足，则称N为“星环数”．例如：1836，因为，，所以1836是“星环数”；例如：2318，因为，，所以2318不是“星环数”．最小的“星环数”是______．记，．若一个“星环数”N，满足是完全平方数，则满足条件的所有N中，最大值是______． 三、解答题：（本大题共9个小题，17-18题每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解答下列各题 （1）计算： （2）解方程： 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，在四边形中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交于点O，E，F．连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足，求m的值． 21. 开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用1600元购买笔记本，1200元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍． （1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价； （2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10％．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？ 22. 在矩形中，，，点为的中点，动点以每秒1个单位的速度从点沿折线运动，同时动点以每秒2个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设运动时间为秒，的面积为，的面积与点的运动路程之比为，的函数图像如图2． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）判断方程是否是“邻根方程”：____________（填“是”或“否”）； （2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数）是“邻根方程”，且，求：的值． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线：与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点，已知点的横坐标为． （1）求直线的解析式； （2）如图2，连接，过点作轴的垂线，若点为垂线上的一个动点，点为轴上的一个动点，点为射线上一点，连接，，，．当时，求此时点的坐标及的最小值； （3）如图3，连接，点为上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 25. 在平行四边形中，，点E是边上一点，连接，以为边向外作等腰，使，． （1）如图1，连接，若，，，求的面积； （2）如图2，，连接交于点G，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点P为边上一动点，连接，以为边向内作等边，连接，若，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $