精品解析：山西省太原市实验中学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

太原市实验中学校九年级12月份阶段测评数学试卷 注意事项： 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 3. 下列选项能正确反映小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是18V C. 当时， D. 当时， 5. 某批羽毛球的质量检验结果如下： 抽取的羽毛球数a 100 200 400 600 800 1000 1200 优等品的频数b 93 192 380 561 752 941 1128 优等品的频率 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940 小明估计，从这批羽毛球中任意抽取的一只羽毛球是优等品的概率是0.94．下列说法中，正确的是（ ） A. 如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动 B. 从这批羽毛球中任意抽取一只，一定是优等品 C. 从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有47只 D. 从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率在0.940~0.941的范围内 6. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 7. 若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 9. 如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，点、是双曲线上的点，分别过点、是作轴和轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为______________． 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 13. 为了对学生进行消防安全教育，传播消防安全知识，某校计划将以下四张海报随机张贴在两个教室，每个教室张贴两张海报，则①③两张海报张贴在同一教室内的概率为_________________． 14. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为____． 15. 如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是______度． 三、解答题（共75分，16/8分，17/6分，18/7分，19/7分，20/7分，21/8分，22/8分，23/10分，24/14分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0． （1）当m=3时，判断方程的根的情况； （2）当m=﹣3时，求方程的根． 18. 阳光明媚的天，实践课上，亮亮准备用所学的知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，米，点D、B、F、G在一条直线上，，，，已知教学楼的高度为16米，请你求出假山的高度． 19. 李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《行路难•其一》是李白不受重用，求仕无望后满怀愤慨所作的名篇．王铭和李虹将这首诗中的四句分别写在编号为，，如图所示，卡片除编号和内容外，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好 （1）王铭从中抽取一张卡片，恰好抽到“长风破浪会有时”的概率为 　； （2）李虹先抽一张卡片，接着王铭从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率．（注：与为一联，与为一联） 20. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 为了开展趣味学习活动，张教师带领学生们在操场上利用所学的知识测量一棵树的高度．如图，某一时刻树在太阳光照下，一部分影子落在了墙上，另一部分树影落在了地面上，张老师在树另一侧的地面C点放置一平面镜，在平面镜左侧点S处竖直放置了一根木杆，秦飞同学在平面镜右侧的点T处刚好可从平面镜中观察到木杆的顶端．与此同时，秦飞发现木杆影子的顶端恰好落在平面镜C点处．现测得木杆高2米，秦飞的眼睛距地面为1米，长为9米，树影为5米，为21米，求树的高．（平面镜大小忽略不计） 22. 年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 23. 如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于A（1，a）和B（b，1）两点，与x轴交于点C． （1）求点B的坐标和反比例函数的关系式； （2）直接写出当x＞0时，不等式的解集； （3）若点P在y轴上，且△APB的面积为3，求点P的坐标． 24. 中，，，点为直线上一动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）探究猜想：如图，当点在线段上时， 与的位置关系为：______________； 、、之间的数量关系为：______________； （2）深入思考：如图，当点在线段的延长线上时，结论、是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸：如图，当点在线段的延长线上时，正方形对角线交于点．若已知，，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 太原市实验中学校九年级12月份阶段测评数学试卷 注意事项： 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，根据已知条件可设，，代入到化简后直接得出结果. 【详解】解：∵， ∴设，， ∴. 故选：A 2. 关于的方程的两根分别为，，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，即求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的两根分别为，， ∴． 故选：B． 3. 下列选项能正确反映小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据中心投影的特点及小亮和小美的身高差判断即可. 【详解】解：小亮和小美在同一盏路灯的两侧站立时影子情况应如图所示： 故选D. 【点睛】本题考查了中心投影的特点．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 4. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是18V C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C． 【详解】解：设，将代入可得，故A错误； ∴蓄电池的电压是36V，故B错误； 当时，，该项正确； 当当时，，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 5. 某批羽毛球的质量检验结果如下： 抽取的羽毛球数a 100 200 400 600 800 1000 1200 优等品的频数b 93 192 380 561 752 941 1128 优等品的频率 0.930 0.960 0.950 0.935 0.940 0.941 0.940 小明估计，从这批羽毛球中任意抽取的一只羽毛球是优等品的概率是0.94．下列说法中，正确的是（ ） A. 如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动 B. 从这批羽毛球中任意抽取一只，一定是优等品 C. 从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有47只 D. 从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率在0.940~0.941的范围内 【答案】A 【解析】 【分析】根据频数和频率的关系进行判断即可 【详解】A. 如果继续对这批羽毛球进行质量检验，优等品的频率将在0.94附近摆动，故此选项正确； B. 从这批羽毛球中任意抽取一只，不一定是优等品，故此选项错误； C. 从这批羽毛球中任意抽取50只，优等品有不一定为47只，故此选项错误； D. 从这批羽毛球中任意抽取1100只，优等品的频率不一定在0.940~0.941的范围内，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率的知识，熟练掌握利用频率估计概率的知识是解题的关键． 6. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：卯的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 7. 若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，从而可以比较出的大小关系． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长． 【详解】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1， 而A（1，2），C（3，1）， ∴D（2，4），F（6，2）， ∴DF＝=， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k． 9. 如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象进行分析即可得结果； 【详解】解：∵ ∴ 由图象可知，函数和分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为， 由图象可以看出当或时，函数在上方，即， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解本题的关键． 10. 如图，在菱形纸片中，，E是边的中点，将菱形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在直线上的点G处，折痕为与交于点H，有如下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】如图：连接，得到是等边三角形，根据三线合一的性质得到，由折叠得，求出的度数即可判断①；利用30度角的性质求出，勾股定理求出，即可判断②；连接，由等边对等角求出，得到，即可判断③；过点F作于点M，先求出，由折叠得，，设，则，求出，再得到，根据求出四边形的面积，即可判断④． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即，故②正确； 如图：连接，由折叠得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 如图：过点F作于点M， ∵， ∴， 由折叠得∶， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴，故④错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质、三线合一的性质、等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，点、是双曲线上的点，分别过点、是作轴和轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为______________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：∵点A、B是双曲线y＝上的点， ∴S矩形ACOG＝S矩形BEOF＝6， ∵S阴影DGOF＝2， ∴S矩形ACDF+S矩形BDGE＝6+6﹣2﹣2＝8． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数k值的几何意义，将k转换成矩形的面积是解答本题的关键． 12. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 13. 为了对学生进行消防安全教育，传播消防安全知识，某校计划将以下四张海报随机张贴在两个教室，每个教室张贴两张海报，则①③两张海报张贴在同一教室内的概率为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求概率问题，涉及简单概率公式等知识，根据题意，列出表格，得到满足题意的等可能情况的结果数，利用简单概率公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：设有两间教室，将四张海报随机张贴在两个教室，每个教室张贴两张海报的情况有： 种类 1 ①② ③④ 2 ①③ ②④ 3 ①④ ②③ 4 ②③ ①④ 5 ②④ ①③ 6 ③④ ①② 由表可知，将四张海报随机张贴在两个教室，每个教室张贴两张海报的情况有6种，其中，①③两张海报张贴在同一教室内的情况有两种， ①③两张海报张贴在同一教室内的概率为， 故答案为：． 14. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为____． 【答案】6 【解析】 【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论． 【详解】解：连接BD，DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于直线AC对称， ∴DE的长即为BQ+QE的最小值， ∵DE=BQ+QE=， ∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，解题的关键是熟知轴对称的性质． 15. 如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是______度． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质知，再根据图b折叠计算出，依据图c折叠求出即可． 【详解】∵， ∴， ∵图b是将纸带沿折叠而成， ∴， ∵图c沿折叠而成， ∴． 【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中注意折叠前后的图形的形状和大小不变，角度也不变． 三、解答题（共75分，16/8分，17/6分，18/7分，19/7分，20/7分，21/8分，22/8分，23/10分，24/14分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解得，； 【小问2详解】 或 解得，． 17. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0． （1）当m=3时，判断方程的根的情况； （2）当m=﹣3时，求方程的根． 【答案】（1）原方程无实数根. （2）x1=1，x2=﹣3. 【解析】 【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式△=b2－4ac的值的符号即可判断：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根. （2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可. 【详解】解：（1）∵当m=3时，△=b2﹣4ac=22﹣4×3=﹣8＜0， ∴原方程无实数根. （2）当m=﹣3时，原方程变为x2+2x﹣3=0， ∵（x﹣1）（x+3）=0，∴x﹣1=0，x+3=0. ∴x1=1，x2=﹣3. 18. 阳光明媚的天，实践课上，亮亮准备用所学的知识测量教学楼前一座假山AB的高度，如图，亮亮在地面上的点F处，眼睛贴地观察，看到假山顶端A、教学楼顶端C在一条直线上．此时他起身在F处站直，发现自己的影子末端和教学楼的影子末端恰好重合于点G处，测得米，亮亮的身高EF为1.6米．假山的底部B处因有花园围栏，无法到达，但经询问和进行部分测量后得知，米，点D、B、F、G在一条直线上，，，，已知教学楼的高度为16米，请你求出假山的高度． 【答案】 【解析】 【分析】根据同一时刻，物高和影长对应成比例得到，求出的长，进而得到的长，证明，列式求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是证明三角形相似． 19. 李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《行路难•其一》是李白不受重用，求仕无望后满怀愤慨所作的名篇．王铭和李虹将这首诗中的四句分别写在编号为，，如图所示，卡片除编号和内容外，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好 （1）王铭从中抽取一张卡片，恰好抽到“长风破浪会有时”的概率为 　； （2）李虹先抽一张卡片，接着王铭从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率．（注：与为一联，与为一联） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式可得答案； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，王铭从中抽取一张卡片，恰好抽到“长风破浪会有时”的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中两人所抽卡片上的诗句恰好成联的结果有：，，，，共4种， ∴两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率为． 20. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】 （1）证明：∵AB//CD， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵∥， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． （2）OE=2． 【解析】 【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可． （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点， ∴，，， ∴， 在Rt△AOB中，， ∴， ∵， ∴， 在Rt△AEC中，，为中点， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 21. 为了开展趣味学习活动，张教师带领学生们在操场上利用所学的知识测量一棵树的高度．如图，某一时刻树在太阳光照下，一部分影子落在了墙上，另一部分树影落在了地面上，张老师在树另一侧的地面C点放置一平面镜，在平面镜左侧点S处竖直放置了一根木杆，秦飞同学在平面镜右侧的点T处刚好可从平面镜中观察到木杆的顶端．与此同时，秦飞发现木杆影子的顶端恰好落在平面镜C点处．现测得木杆高2米，秦飞的眼睛距地面为1米，长为9米，树影为5米，为21米，求树的高．（平面镜大小忽略不计） 【答案】12米 【解析】 【分析】先利用相似求出小三角形的边长,再利用相似求出大三角形的边长,最后求和即可 【详解】解：如图所示，过点P做，再令木杆顶点为点E，秦飞的眼睛为点F， 由平面镜反射定律可知． ∴， ∴． 设，则，． 解得． 又由太阳光线同时刻平行得 ∴，即， ∴， ∵， ∴米， 答：树的高为12米． 【点睛】本题考查了相似的判定与性质,找到相似三角形,并证明它们相似,以及利用相似正确运算是关键 22. 年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1）平均每天可以售出个模型，此时每天获利元． （2）要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元.. 【解析】 【分析】（1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润； （2）设每个模型降价x元，则每件利润 元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程和不等式，解方程即可. 【小问1详解】 解：依题意得： 降价4元后每件利润：（元）， 降价4元后销量：（个）， 降价4元后每天获利：（元）， 答：每个模型降价4元，平均每天可以售出个模型，此时每天获利元． 【小问2详解】 解：设每个模型降价x元， 则每件利润 元，平均每天可以售出个模型， 依题意得： 即：， 解得，， 因为每个模型盈利不少于元， 所以 即， 故， 答：要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键. 23. 如图，一次函数的图像与反比例函数在第一象限的图像交于A（1，a）和B（b，1）两点，与x轴交于点C． （1）求点B的坐标和反比例函数的关系式； （2）直接写出当x＞0时，不等式的解集； （3）若点P在y轴上，且△APB的面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用点在上求，进而代入反比例函数求得，即可求得反比例函数的表达式； （2）把代入反比例函数，求得，观察图象即可求得当时，不等式的解集； （3）由直线求得，设出点坐标表示三角形面积，求出点坐标． 【小问1详解】 解：把点代入，得， 解得， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入反比例函数得：， ， 由图象可知，当时，不等式的解集为：； 【小问3详解】 解：当时，则， 点， 设点的坐标为， ， ， ， 点或． 【点睛】本题是一次函数和反比例函数交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积以及函数与不等式的关系，解题的关键是利用数形结合思想求解． 24. 中，，，点为直线上一动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）探究猜想：如图，当点在线段上时， 与的位置关系为：______________； 、、之间的数量关系为：______________； （2）深入思考：如图，当点在线段的延长线上时，结论、是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸：如图，当点在线段的延长线上时，正方形对角线交于点．若已知，，请求出的长． 【答案】（1）； （2）结论成立，结论不成立，， 理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故结论仍然成立； ， ， ， ， 故结论不成立，正确结论是：； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，利用直角三角形的两个锐角互余可证得，于是可得结论；由可得到，于是可得结论； （2）根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，利用外角的性质可证得，于是可得结论；由可得到，于是可得结论； （3）利用勾股定理可求得，于是可得，，根据正方形的性质得到，进而可证得，于是可得，，利用直角三角形的两个锐角互余可证得，利用邻补角互补可求得，利用勾股定理可求得，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出答案． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ，， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即：， ， 故答案为：； ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即：， ， ， 四边形是正方形， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，垂线的定义，外角的性质，勾股定理，利用邻补角互补求角度，直角三角形斜边中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $