精品解析：安徽芜湖市无为中学2026-2027学年-高一上学期第一次段考数学试题

无为中学2026-2027学年度第一学期高一年级第一次段考 数 学 时间:120分钟 分值:150分 命题人:胡支云 审题人:张志年 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，若，求实数组成的集合的子集个数有 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 4. 下列命题正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 5. 关于的一元二次方程有实数解的一个充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 6. “运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ） A. 51 B. 50 C. 49 D. 48 7. 已知，，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ） A. 3 B. 6 C. 18 D. 36 8. 集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素的乘积记为.则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. ab的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 下列说法正确的是（   ） A. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是假命题 D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 11. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知或，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若实数，满足，，则的取值范围是_____. 13. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 _____． 14. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为______ ． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合或，， （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知. （1）若.求证：； （2）若，求的最小值. 17. （1）设a，b为正实数，求证：． （2）设a，b，c为正实数，求证：． 18. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 19. 若实数满足，则称比接近， （1）请判断命题：“比接近”的真假，并说明理由； （2）若比接近，判断：“”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明. （3）已知，若，判断1与哪个数更接近，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无为中学2026-2027学年度第一学期高一年级第一次段考 数 学 时间:120分钟 分值:150分 命题人:胡支云 审题人:张志年 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为集合，， 所以. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定可得否定命题. 【详解】命题“”的否定是“”. 故答案为：B. 3. 设，，若，求实数组成的集合的子集个数有 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先解方程得集合A，再根据得，最后根据包含关系求实数，即得结果. 【详解】, 因为，所以， 因此，对应实数的值为，其组成的集合的子集个数有，选D. 【点睛】本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题. 4. 下列命题正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】代特殊值计算可判断ABC，利用作差法计算可判断D. 【详解】对于A，当时，满足，但此时，故A错误； 对于B，当时，满足，但此时，故B错误； 对于C，当时，满足，，但此时，故C错误； 对于D，若，则， 因为， 所以，即，故D正确. 5. 关于的一元二次方程有实数解的一个充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数解可求得其成立的充要条件，根据推出关系可得到结论. 【详解】若一元二次方程有实数解，则，解得：； 对于A，，，是一元二次方程有实数解的充分不必要条件，A正确； 对于B，是一元二次方程有实数解的充要条件，B错误； 对于C，，，是一元二次方程有实数解的必要不充分条件，C错误； 对于D，，，是一元二次方程有实数解的必要不充分条件，D错误. 故选：A. 6. “运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目A､径赛项目B､其他健身项目C.该班有25名同学选择球类项目A，20名同学选择径赛项目B，18名同学选择其他健身项目C；其中有6名同学同时选择A和名同学同时选择A和C，3名同学同时选择B和.若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ） A. 51 B. 50 C. 49 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合venn图，列式运算得解. 【详解】 由题意，，，，， ，， 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目， 所以这个班同学人数是. 故选：B. 7. 已知，，且不等式对任意恒成立，则的最大值为（ ） A. 3 B. 6 C. 18 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】先由不等式对任意恒成立求出，接着由和求出，再由得，求出的最大值即可得解. 【详解】因为不等式对任意恒成立， 所以， 因为， 所以，又，，所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故的最大值为18. 故选：C. 8. 集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素的乘积记为.则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将所有非空子集的元素乘积之和看作 展开式中除常数项 外各项之和，直接计算即可． 【详解】由乘法分配律， 展开后，每一项都对应集合 的一个子集：选择因式中的元素项表示该元素被选入子集，选择 表示该元素不被选入． 因此，包含常数项在内的展开式各项之和为 其中常数项 对应不选任何元素，而题目只统计非空子集，所以 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. ab的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可判断A项B项正误；对平方后再应用基本不等式即可判断C项正误；应用“1”的代换，将展开再应用基本不等式即可求解． 【详解】对于A，B,因为，，且， 所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为， 所以即的最大值是，故A错误，B正确； 对于C，因为，，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最大值是，故C正确； 对于D，因为， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值是，故D正确． 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（   ） A. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题“”的否定是假命题 D. “集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，对和进行分类讨论即可判断；对于B，根据不等式的性质和充分必要条件的概念即可判断；对于C，根据易知命题“”的否定为真命题；对于D，对和进行分类讨论，结合充分必要条件的概念即可判断. 【详解】对于A，当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得. 综上，当时，不等式恒成立，则的取值范围是，故选项A正确； 对于B，若，当时可得或；当时可得， 即或或， 故“”是“”的充分不必要条件，选项B正确； 对于C，由于， 所以命题“”为假命题，其否定为真命题，故选项C错误； 对于D，当时，， 集合中只有一个元素，符合题意； 当时，若集合中只有一个元素， 则，解得. 所以若集合中只有一个元素，则或. 故“集合”中只有一个元素是“”的必要不充分条件，选项D正确. 故选：ABD. 11. 我们知道，如果集合，那么的子集的补集为且，类似地，对于集合我们把集合且，叫作集合和的差集，记作，例如：，则有，下列解答正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知或，则或 C. 如果，那么 D. 已知全集、集合、集合关系如上图中所示，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】依题意根据的定义可知，可先求出，再求出其以为全集的补集，结合具体选项中集合的关系逐项判断，即可得出结论. 【详解】根据差集定义即为且， 由，可得，所以A错误； 由定义可得即为且， 由或，可知或，即B正确； 若，那么对于任意，都满足，所以且，因此，所以C正确； 易知且在图中表示的区域可表示为，也即，可得，所以D正确. 故选：BCD 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若实数，满足，，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，从而得到方程组，求出，得到，由，求出答案. 【详解】设， 故，故， 解得，故， 因为，， 所以，， 所以，即. 故答案为： 13. 已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【详解】由 ，在区间上单调递增，当时，； 当时，，即. 由，在区间上单调递减， 当时，；当时，，即. 由条件得，即，解得. 所以实数的取值范围是. 14. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别利用列举法和描述法表示出集合，然后根据新定义中集合中元素的构成，分类讨论即可. 【详解】已知集合， 当时，，即，对应点为； 当时，，即，对应点为； 当时，，即，对应点为； 所以集合， 又因为集合，，， 所以集合是由这个整数点组成的，可以表示为， 由于集合， ①当时，即，则，所以，此时集合有个元素； ②当时， 若，则，所以， 若，则，所以， 因此，当时，，此时集合有个元素； ③当时， 若，则，所以， 若，则，所以， 若，则，所以， 因此，当时，，此时集合有个元素； ④当时， 若，则，所以， 若，则，所以， 因此，当时，，此时集合有个元素； ⑤当时，即，则，所以，此时集合有个元素； 综上所述，集合共有个元素. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合或，， （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 代入求出集合，先求在全集下的补集，再与集合取交集得到结果； (2) 由转化为，分和两类讨论，列出对应不等式组求解的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 或 或或（也可写为） 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得； 当时，或解得或 所以实数的范围是. 16. 已知. （1）若.求证：； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） 由，所以. 所以 ， 当且仅当，时取等号， 即，由此得证. （2）4 【解析】 【分析】（1）结合基本不等式证得不等式成立. （2）结合基本不等式转化已知条件，从而求得的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，， 所以，当且仅当时等号成立， 整理得，解得， 所以的最小值为. 17. （1）设a，b为正实数，求证：． （2）设a，b，c为正实数，求证：． 【答案】 （1）证明：因为，a，b为正实数， 所以，所以，当且仅当时，取等号． （2）证明：由（1），得． 同理，得， 所以， 当且仅当时，取等号． 【解析】 【分析】（1）（2）根据题意，由不等式的性质，代入计算，即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 18. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 【答案】（1） （2）这批无人机使用4年后更新年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元。 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而解不等式即可求解； （2）由题意可得，进而结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，，， 令，得，即， 则，解得， 因此，要保证配送站每日利润不为负数，每单配送费的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，年平均总费用为， 当且仅当，即时等号成立， 则这批无人机使用4年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元. 19. 若实数满足，则称比接近， （1）请判断命题：“比接近”的真假，并说明理由； （2）若比接近，判断：“”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明. （3）已知，若，判断1与哪个数更接近，请说明理由； 【答案】（1）命题：“比接近”为真，理由如下； （2）充要条件； （3）1比更接近. 【解析】 【分析】（1）利用题干给出的新定义化简即可； （2）先对式子进行化简得到，进而分析即可； （3）对进行化简，再利用换元求出的范围即可求出. 【小问1详解】 ，，，故命题：“比接近”为真. 【小问2详解】 比接近，，即， 当时，则，当时，则， 故是的充要条件. 【小问3详解】 由题意得，， 设，则，当且仅当时取等， 原式， 设，则，令， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，当且仅当时取等号， 即，，1比更接近. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $