安徽亳州市蒙城第一中学2026-2027学年高一上学期第一次教学质量检测数学试题

2026级蒙城一中高一年级上学期第一次质量检测 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．若，，，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（ ） A． B． C．，或 D． 5．某班级共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则，两项公益活动都不参加的有（ ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 6．若一元二次不等式的解集为，则的值为（ ） A． B． C． D． 7．正实数，满足，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 8．设集合，，且，则集合的子集个数为（ ） A．4 B．8 C．16 D．32 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知集合，，为任意集合，则下列结论正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则． 10．下面命题正确的是（ ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C．“”的一个充分不必要条件是“” D．设，，则“”是“且”的充分不必要条件 11．已知关于的不等式的解集是，，则（ ）． A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．用列举法表示集合的结果为________． 13．已知集合，若，则实数的值为________． 14．已知正数，满足，则的最小值为________． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知全集，集合，． （1）求，； （2）求，． 16．（15分）设命题：对，不等式恒成立；命题：，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 17．（15分）（1）已知，求的最大值； （2）已知克糖水中含有克糖，若再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了． （ⅰ）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； （ⅱ）已知的三边长是，，，利用上述不等式证明：． 18．（17分）如图，长方形表示一张（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分），中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点）到外边框，的距离分别为1分米，2分米．现欲经过点锯掉一块三角形废料，其中，分别在，上．设，的长分别为分米，分米． （1）求的值； （2）为使剩下木板的面积最大，试确定，的值； （3）求剩下木板的外边框长度（，，，的长度之和）的最大值及取得最大值时，的值． 19．（17分）已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）当时，解不等式； （3）若不等式的解集为，若，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级蒙城一中高一年级上学期第一次质量检测数学答案 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B D C B A C B C 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，） 9 10 11 BCD ABC AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 13．0 14． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）解：（1）因为，， 所以， ． （2）因为，， 所以． 又，所以． 又 所以． 16．（15分）解：（1）若为真命题，则对恒成立， 又， 故当时，， ，即． （2）若为真命题，由（1）知， 若为真命题，则：，使得不等式成立， 即，， ，都为假命题时，． ，至少有一个是真命题时，，或． 17．（15分）解：由，令，则 则 当且仅当，即时取等号．所以的最大值为． （2）（ⅰ）这一事实表示为：若，，则， 证明如下： 因为，所以，，，故， 所以，即得证； （ⅱ）证明： 下面只需证明就可以了，即证（*） 而，，为的三边长，有，满足（1）质，故（*）成立． 故不等式得证 18．（17分）解：（1）过点分别作，的垂线，垂足分别为，， 则，所以，则， 整理可得； （2）要使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料的面积最小， 因为，，则，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以当，时，剩下木板的面积最大； （3）要使剩下木板的外边框长度最大，则锯掉的边框长度最小， 则， 当且仅当，即，时等号成立， 故此时剩下木板的外边框长度的最大值为分米， 此时，． 19．（17分）解：（1）①，即时，解集不是空集，舍去， 1分 ②时， 即时，，即， ，解得 的取值范围是 4分 （2）化简得：， 5分 ①时，即时，解集为， 6分 ②时，即时，， 因为，解集为， 8分 ③时，即时，解集为， ，，， ∴解集为． 10分 （3）因为不等式的解集为，且， 即对任意的，不等式恒成立， 即恒成立 因为， 所以 12分 设，， 所以， 当且仅当，时，取“”号， 15分 所以的最大值为 所以 17分 学科网（北京）股份有限公司 $