2.1 等式性质与不等式性质课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

等式性质与不等式性质 第二章 2.1　等式性质与不等式性质 索引 1.了解等式的性质. 2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题. 学习目标 通过上节课的学习,我们学会:(1)可以用等式和不等式来表示现实生活中的相等关系和不等关系;(2)关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础,那么不等式到底有哪些性质呢?本节课我们一起探究等式性质和不等式性质. 引入 课时精练 一、等式性质与不等式性质 二、利用不等式的性质证明不等式 三、利用不等式的性质求代数式的范围 课堂达标 内容索引 等式性质与不等式性质 一 探究1 判断下列命题是否正确? (1)如果a=b,那么b=a; (2)如果a=b,b=c,那么a=c; (3)如果a=b,那么a+c=b+c; (4)如果a=b,那么ac=bc; (5)如果a=b,c≠0,那么=. 提示　五个命题均正确,揭示了等式的基本性质. 6 探究2 类比以上等式的性质,你能猜想出不等式的性质吗?完成“知识梳理”中的图表填空. 7 不等式性质 知识梳理 < > > ac>bc ac<bc 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b___a 可逆 2 传递性 a>b,b>c⇒a___c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c___b+c 可逆 4 可乘性 a>b,c>0⇒____________ a>b,c<0⇒____________ c的符号 8 性质 别名 性质内容 注意 5 同向可加性 a>b,c>d⇒______________ 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒________________ 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an___bn(n∈N,n≥2) 同正 a+c>b+d ac>bd > 9 (1)性质3(可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边”的依据. (2)性质4(可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”. (3)性质5(同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等号方向不变,不能相减”. 温馨提示 10 (1)(多选)若<<0,则下面四个不等式成立的有 A.|a|>|b| B.a<b C.a+b<ab D.a3>b3 例1 √ √ 由<<0可得b<a<0, 从而|a|<|b|,A,B均不正确; a+b<0,ab>0,则a+b<ab成立,C正确; a3>b3,D正确. 11 (2)(链接教材P43习题2.1T8)已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,则下列选项中正确 的是 A.a+d>b+c B.a+c>b+d C.ad>bc D.ac>bd √ 不妨设a=2,b=1,c=0,d=-1,此时a+d=b+c=1,故A错误; ad=-2<bc=0,故C错误; 设a=-3,b=-4,c=-5,d=-6,则ac=15<bd=24,故D错误; 因为a>b,c>d,根据不等式的性质同向可加性得a+c>b+d,故B正确. 12 利用不等式的性质判断命题真假的注意点: (1)要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能想当然随意构造性质. (2)采用特殊值法进行排除,注意取值一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算. 思维升华 13 (1)已知a+b<0,且a>0,则 A.a2<-ab<b2 B.b2<-ab<a2 C.a2<b2<-ab D.-ab<b2<a2 训练1 √ 由a+b<0,且a>0,得0<a<-b. ∴a2<-ab,且-ab<(-b)2=b2, 因此a2<-ab<b2. 14 √ (2)(链接教材P42练习T2)(多选)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是 A.若a<b,c<d,则ac<bd B.若ab>0,bc-ad>0,则>0 C.若a>b,c>d,则a-d>b-c D.若a>b,c>d>0,则> √ 若a<0<b,c<d<0,则ac>bd,故A错误. 若ab>0,bc-ad>0,则=>0,故B正确. 若c>d,则-d>-c. 又a>b,∴a-d>b-c,故C正确. 若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则==-1,故D错误. 15 利用不等式的性质证明不等式 二 16 (链接教材P43习题2.1T7)已知a>b>0,c<d<0,e<0,试证明:>. 例2 因为c<d<0,所以-c>-d>0, 又a>b>0, 所以a-c>b-d>0, 则(a-c)2>(b-d)2>0, 因此<. 又e<0,所以>. 17 思维升华 1.利用不等式的性质解题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. 2.应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 18 (1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac<e-bc. (2)已知a<b<0,求证:<. 训练2 (1)因为a>b,c>0,所以ac>bc,即-ac<-bc. 又e>f,即f<e,所以f-ac<e-bc. (2)由于==, ∵a<b<0,∴b+a<0,b-a>0,ab>0, ∴<0,故<. 19 利用不等式的性质求代数式的范围 三 20 (链接教材P43T5)已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b与a-b的取值范围. 例3 ∵1<a<4,2<b<8, ∴2<2a<8,且6<3b<24, ∴8<2a+3b<32. ∵2<b<8,∴-8<-b<-2. 又∵1<a<4,∴-7<a-b<2. 故2a+3b的取值范围是8<2a+3b<32,a-b的取值范围是-7<a-b<2. 若将条件改为“1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3”,求3a-2b的取值范围. 迁移 令3a-2b=m(a+b)+n(a-b)(m,n∈R),即3a-2b=(m+n)a+(m-n)b, 则 则≤(a+b)≤,-≤(a-b)≤, 所以-+≤(a-b)+(a+b)≤+, 即-2≤3a-2b≤10, 因此3a-2b的取值范围是-2≤3a-2b≤10. 思维升华 1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围. 2.同向不等式的两边可以相加,这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. 已知-<β<α<,求2α-β的取值范围. 训练3 ∵-<α<,-<β<, ∴-<-β<,∴-π<α-β<π. 又∵β<α,∴α-β>0,∴0<α-β<π, 又2α-β=α+(α-β), ∴-<2α-β<π. 24 【课堂达标】 1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是 A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b √ 由a+b>0知,a>-b, ∴-a<b<0. 又b<0, ∴-b>0,∴a>-b>b>-a. 2 3 4 1 2.设a>b>0,c<d<0,则下列不等式中一定成立的是 A.ac>bd B.< C.> D.ac2<bd2 √ a>b>0,c<d<0,即为-c>-d>0, 则有-ac>-bd>0,即ac<bd<0,故A错; 由cd>0,又ac<bd<0,两边同乘,得<,则B对,C错; 由-c>-d>0,-ac>-bd>0,可得ac2>bd2,则D错. 2 3 4 1 3.不等式a>b和>同时成立的条件是____________.  ∵=, ∴a>b和>同时成立的条件是a>0>b. a>0>b 2 3 4 1 4.若2<a<5,3<b<10,则a-2b的取值范围为_______________,的取值范围是____________.  -18<a-2b<-1 <<5 由3<b<10得-20<-2b<-6, 又2<a<5, 所以-18<a-2b<-1. 由2<a<5得<<, 又3<b<10,所以<<5. 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.下列说法正确的是 A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,则a-1<b-2 C.若>,则a>b D.若a>b,则a2>b2 对于A,当c=0时,由a>b,得ac2=bc2,A错误; 对于B,若a>b,则a-1>b-1>b-2,B错误; 对于C,若>,则c≠0,即c2>0,故a>b,C正确; 对于D,若a>b,不妨取a=-1,b=-2,则a2<b2,D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.已知x>1,-1<y<0,a=x-y,b=x+y2,c=x2-y,则 A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a ∵x>1,-1<y<0, ∴c-a=x2-y-(x-y)=x(x-1)>0, a-b=x-y-(x+y2)=-y(1+y)>0. 因此c>a>b. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.设a,b∈R,若a+|b|<0,则下列不等式正确的是 A.a-b>0 B.a3+b3>0 C.a2-b2<0 D.a+b<0 本题可采用特殊值法,取a=-2,b=1, 则a-b<0,a3+b3<0,a2-b2>0, a+b=-1<0.故A,B,C错误,D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.(多选)设a<b<0,则下列不等式正确的是 A.> B.ac<bc C.|a|>-b D.> √ √ a<b<0,则>,选项A正确; 当c>0时,ac<bc,其余情况不成立,则选项B不正确; |a|=-a>-b,则选项C正确; 由-a>-b>0,可得>,则选项D正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.若1<a<3,-4<b<2,那么a-|b|的范围是 A.-3<a-|b|≤3 B.-3<a-|b|<5 C.-3<a-|b|<3 D.1<a-|b|<4 ∵-4<b<2,∴0≤|b|<4, ∴-4<-|b|≤0. 又∵1<a<3,∴-3<a-|b|<3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.(多选)若m≥1,则下列选项正确的是 A.1-m≤0 B.m3≥1 C.m2≤m D.>0 √ √ 因为m≥1,所以-m≤-1,1-m≤0,故A正确; 由不等式的性质可得m3≥1,故B正确; 当m=2时,m2>m,故C错误; 当m=1时,=0,故D错误. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.(多选)已知a>-b>0,c<0,则下列不等式不恒成立的是 A.> B.< C.a(1-c)>b(c-1) D.b(1+c)<b(1-c) √ √ √ 依题意a>0,b<0,c<0,∴<0<,故A不成立. 当a=2,b=-1,c=-1时,=,b(1+c)>b(1-c),故B,D不恒成立. 对于C,a(1-c)-b(c-1)=(a+b)(1-c), ∵a>-b>0,c<0,∴a+b>0,1-c>0,则(a+b)(1-c)>0, 故a(1-c)>b(c-1),故C恒成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.已知1<α<3,-4<β<2,若z=α-β,则z的取值范围是_________________.  ∵1<α<3,∴<α<, 又-4<β<2,∴-2<-β<4, ∴-<α-β<,故-<z<. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.若a<b<0,则与的大小关系是____________.  < ==, ∵a<b<0,∴a-b<0, 则<0,<. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.若-1<a+b<3,2<a-b<4,则b的取值范围是____________,2a+b的取值范围是____________.  -<b< 因为2<a-b<4, 所以-4<b-a<-2,又-1<a+b<3, 所以-5<(a+b)+(b-a)<1, 则-<b<. 设2a+b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b, -<2a+b< 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 所以 所以2a+b=(a+b)+(a-b). 又-1<a+b<3,2<a-b<4, 所以-<2a+b<. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.已知a>b>0,c<d<0,|b|>|c|,求证: (1)b+c>0;(2)<. (1)因为|b|>|c|且b>0,c<0, 所以b>-c,即b+c>0. (2)因为c<d<0,所以-c>-d>0. 又a>b>0,所以a-c>b-d>0, 所以>>0,所以<<. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中一定成立的是 A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y| √ 因为x>y>z,x+y+z=0, 所以3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0, 所以x>0,z<0,所以由可得xy>xz. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.(多选)若正实数x,y满足x>y,则下列结论正确的是 A.xy<y2 B.x2>y2 C.<(m>0) D.< √ √ √ 由于x>y>0,∴xy>y2,x2>y2. 所以A错误,B正确. C中,由于x,y为正实数,且x>y,m>0, 所以y(x+m)-x(y+m)=m(y-x)<0, 则y(x+m)<x(y+m),所以<成立,故C选项正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 D中,由于x,y为正实数,且x>y, 所以x>x-y>0,取倒数得0<<, 故D选项正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目,请你看看他们做得对吗?如果不对,请指出错误的原因. 甲:因为-6<a<8,-4<b<2, 所以-2<a-b<6. 乙:因为2<b<3,所以 <<, 又因为-6<a<8,所以-2<<4. 丙:因为2<a-b<4,所以-4<b-a<-2. 又因为-2<a+b<2,所以0<a<3,-3<b<0, 所以-3<a+b<3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 甲同学做的不对,因为同向不等式具有可加性,但不能相减,甲同学对同向不等式求差是错误的. 乙同学做的不对,本题中只知道-6<a<8,不明确a值的正负. 故不能将<<与-6<a<8两边分别相乘,只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘. 丙同学做的不对.同向不等式两边可以相加,这种转化不是等价变形.丙同学将2<a-b<4与-2<a+b<2两边相加得0<a<3, 又将-4<b-a<-2与-2<a+b<2两边相加得出-3<b<0,又将该式与0<a<3两边相加得出-3<a+b<3,多次使用了这种转化,导致了a+b范围的扩大. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.设a,b为正实数,有下列命题: ①若a2-b2=1,则a-b<1;②若=1,则a-b<1;③若||=1,则|a-b|<1. 其中正确的命题为____________(写出所有正确命题的序号).  对于①,由题意a,b为正实数, 则a2-b2=1⇒a-b=⇒a-b>0⇒ a>b>0,故a+b>a-b>0. ① 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 若a-b≥1,则≥1⇒a+b≤1≤a-b,这与a+b>a-b>0矛盾,故a-b<1成立. 对于②,取特殊值,a=3,b=,则a-b>1,②错. 对于③,取a=9,b=4,则|a-b|>1,③错. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.阅读材料: (1)如图,该图为初中化学实验试题的图片,请用数学中的不等式知识解释“氯化钠加的越多,溶液越咸”这句话,用a表示溶质的质量,b表示溶液的质量,c表示添加的溶质的质量,并证明在氯化钠能全部溶解的情况下,氯化钠加的越多,溶液越咸. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 要证“氯化钠加的越多,溶液越咸”这句话,即证>成立,即证>0成立,即证>0. 依题意得b>a>0,b-a>0,c>0, 显然>0成立, 故“氯化钠加的越多,溶液越咸”. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 51 (2)结合(1)中的不等式关系与a<b,c<d,则有a+c<b+d的不等式性质.解答问题: 已知a,b,c是三角形的三边长,求证:++<2. 因为a,b,c是三角形的三边长,所以b+c>a>0. 由(1)知<=, 同理<,<, 以上三式同向相加得++<2, 所以原不等式成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $