2.2.1 基本不等式 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

讲课人： 日期： 2.2.1基本不等式 学习目标 学习目标 核心素养 1.探索基本不等式的证明过程，理解其几何解释. 逻辑推理 2.会用基本不等式解决最值问题. 数学抽象 复习回顾 不等式性质 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 提问：用篱笆围成一个矩形的果园，其面积为16平方米，要使该果园的使用的篱笆最少，该如何设置？请同学们建立数学模型 不妨设该矩形的长为x米，宽为y米， 则所求矩形周长C=2(x+y) 其实这个问题的本质是： 当长方形面积固定时，长和宽取何值时周长最小？ 今天我们要学习的“基本不等式”，就能从数学角度解答这个问题。 复习回顾 问题：上节课由“赵爽弦图”得到了一个什么样的不等式？ 一般的，如果 ，那么 （当且仅当 时，取得等号） 重要不等式： 探索新知 问题: 替换后得到： 即： 即： 即： 探索新知 叫做正数的算术平均数 叫做正数的几何平均数 基本不等式表明： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ∀，，有当且仅当 时，等号成立。通常称它为基本不等式。 基本不等式刻画两个正数在运算中出现的大小关系的变化规律 基本不等式 探索新知 求证： 作差比较法 ∵ - = = ≥0 ∴ (当a=b时取等号) 探索新知 求证： 要证 ① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当 时，⑤中的等号成立. 这时，只需要把上述过程倒过来，就可以推导基本不等式了。 分 析 法/执果索因 探索新知 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为 由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 方法三(几何法) 探究： 初中对乘法公式中的字母赋予几何意义，对乘法公式进行几何解释，从图形角度理解乘法公式。能否类比以上过程，尝试对基本不等式中的字母赋予几何意义，对基本不等式进行几何解释？ D A B C E 探索新知 问题：你能谈一谈基本不等式的结构特征吗？它与重要不等式有什么区别与联系？ 重要不等式 基本不等式 形式 适用范围 等号成立的条件 基本不等式形式更为简单、应用更为普遍，并且随着后续的学习，能感受到基本不等式应用更加广泛. 一正二定三相等 探索新知 √ √ √ √ × 典例分析 探索新知 变式： -2 因为x<0,所以x>0 探索新知 【例2】已知都是正数，求证： （1）如果等于定值P，那么当时，有最小值 【证明】所以 （1）等于定值P时， ，所以 当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值 （2）时， ，两边平方，所以 ，当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值 （2）如果等于定值S，那么当时，有最大值 探索新知 总结与拓展： 探索新知 变式1. 已知a+b=2，求ab的最值. 2. 已知ab=2，求a+b的最值. ,当且仅当a=b=1时等号成立，ab取得最大值1. 课堂小结 1、重要不等式与基本不等式的内容： 2、基本不等式的应用条件： 一正、二定、三相等 3、基本不等式的应用： 求最值 课堂检测 B 课堂检测 D 课堂检测 （课本46页练习） 课堂检测 （课本46页练习） 课后作业 课本第46页课后习题（必做）（15分钟） 分层作业基础练（必做）（20分钟） 分层作业过关练（选做）（15分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 分别代替式中的， 可以得到什么式子？ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab均成立．(　　) (2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2eq \r(ab).(　　) (3)若a>0，b>0，则ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2).(　　) (4)a，b同号时，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2.(　　) (5)函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值为2.(　　) 解： 因为,所以, 当且仅当,即,时,等号成立,因此所求的最小值为2. 解： 当且仅当,即,x= -1时,等号成立, 因此所求的最大值为-2. (1)基本不等式≤(a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系. (2)基本不等式的常见变形 ①≤； ②a＋b≥2 其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立． 基本不等式链:若a>0,b>0,则≤≤≤,当且仅当a=b时等 号成立.其中,即叫做a,b的调和平均数,叫做a,b的平方平均数. 2、如果a>0，那么a＋eq \f(1,a)＋2的最小值是(　　) A．2　　　　　　　　　　　 B．2eq \r(2) C．3 D．4 解析：选D.因为a>0，所以a＋eq \f(1,a)＋2≥2eq \r(a·\f(1,a))＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝1时取等号． 3. 已知、，求证：. 【分析】利用作差法可证明出所证不等式成立. 【解析】， ，即. 【解析】（1），，， 由于当且仅当，即时取等号，但， 因此不能取等号，； （2），，， 当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，. 4. 已知都是正数，且.求证：（1）；（2）. $