专题03 立体几何中的5大非常规问题6题型：截面、轨迹、动点、折叠、新定义问题（期中专项训练·冲刺版）高二数学上学期人教A版

专题03 立体几何中的5大非常规问题：截面、动点、轨迹、折叠、新定义问题 题型1 正方体中的截面问题（常考点） 题型4动点问题（常考点） 题型2 其他几何体的截面问题 题型5 折叠问题（常考点） 题型3 轨迹问题（重难点） 题型6 新定义问题（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正方体的截面问题（共2小题） 1.（2026·辽宁抚顺·一模） 已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（  ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 2．（多选）（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）在正方体中，为的中点，点满足，，则（     ） A．当时， B．当时，平面 C．三棱锥的体积为定值 D．平面截正方体的截面可为五边形 题型二 其他几何体的截面问题（共3小题） 3．（25-26高二上·上海·期末）用一个平面去截一个底面半径为的圆柱，得到的几何体如图所示，其截面边界为椭圆.该椭圆上所有点中离底面最近的点为，其距离为，最远的点为，其距离为，且点和点在底面的投影分别为点和点.已知点是椭圆上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二下·江苏常州·期中）如图，在棱长均为的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（    ）    A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 5．（2026·山东青岛·二模）如图，在三棱柱中，过的截面交于，交于，过点的截面交于，交于，且． (1)求证：； (2)若，，直线与平面所成角的正弦值为，求． 题型三 轨迹问题（共4小题） 6．（多选）（2026·广东名校联考）如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．当时，点的轨迹长度为 C．存在唯一，使 D．若，则三棱锥外接球的半径为 7．（多选）（25-26高二下·浙江温州·期末）已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，，则下列选项中正确的是（   ） A．若直线平面，点P的轨迹长度为 B．若，则直线与所成角的取值范围是 C．若，则平面平面 D．若，则的最小值为 8．（多选）（26-27高二上·四川南充·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，下列结论正确的有（    ） A．三棱锥的各条棱中，最长的棱长度为 B．二面角的正切值为 C．点为底面（包括边界）上的动点，，则点的轨迹长度为 D．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是 9.(2026河南名校联考 ) 已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 题型四 动点问题（共3小题） 10．（多选）（25-26高三上·天津西青·月考）如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（   ） A．当时，点一定在线段上 B．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C．当点在棱上运动时，的最小值为 D．线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 11.（多选）（24-25高二上·广东·期末）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（不包括端点），则（   ） A．当点为的中点时，与平面所成角为 B．存在点，使得 C．对于任意点，均不成立 D．三棱锥的体积是定值 12．（多选）（26-27高二上·陕西西安·开学考试）如图，正方体的棱长为2，设是棱的中点，是线段上的动点（含端点），是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（     ） A．点的轨迹是一条线段 B．三棱锥的体积为定值 C．当点在线段上移动时，必存在点，使 D．直线与平面所成角的正切值的取值范围是 题型五 折叠问题（共7小题） 13．（24-25高二下·重庆·期中）如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，在中，，，E，F分别为AB，AC上的点，，．如图②，将沿EF折起，当四棱锥的体积最大时，点E到平面ACF的距离为（    ）    A． B． C． D． 15．（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）在中，，，，是的中点，将沿折起，使、两点间的距离为，此时三棱锥的体积为（    ）． A． B． C． D． 16．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高一下·云南昭通·期末）如图，直角梯形中，，为的中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且． (1)求证：平面平面； (2)二面角的大小． 18．（25-26高一下·甘肃兰州·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； 19．（25-26高一下·山西长治·期末）在边长为2的正方形中（图1），、分别为、的中点，将四边形沿向上折起，形成二面角，为的中点，在上运动.在图2中，连接、，其中点为的中点. (1)证明：； (2)当二面角为直二面角时， （i）求直线与面所成的角； （ii）证明：平面平面. 题型六 新定义问题（共8小题） 20．（25-26高二上·重庆·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面的位置关系为（   ） A． B．相交但不垂直 C． D． 21．（25-26高二上·浙江丽水·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 22．（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·北京通州·期中）如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角． (1)当时，求证：； (2)定义：过点作垂直底面于，且在内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率． （ⅰ）当时，求斜三棱柱的投影偏差率（不需证明），并求此时平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：． 25．（25-26高三上·江西南昌·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知； (1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； (2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为. （ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长. 26．（2026·陕西榆林·模拟预测）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．例如：正四面体在顶点A处的离散曲率为．如图，在三棱锥中． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和； (2)若平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为． （i）求点到平面的距离； （ii）若点为的中点，则在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 27．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点． (1)求； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． $专题03 立体几何中的5大非常规问题：截面、动点、轨迹、折叠、新定义问题 题型1 正方体中的截面问题（常考点） 题型4动点问题（常考点） 题型2 其他几何体的截面问题 题型5 折叠问题（常考点） 题型3 轨迹问题（重难点） 题型6 新定义问题（难点） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正方体的截面问题（共2小题） 1.（2026·辽宁抚顺·一模） 已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（  ） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 【答案】B 【解析】如图， 因为点、满足， 点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点， 延长与交于点，连接交于， 延长交于点，连接交于，连接， 则五边形为所求截面图形，故选B． 2．（多选）（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）在正方体中，为的中点，点满足，，则（     ） A．当时， B．当时，平面 C．三棱锥的体积为定值 D．平面截正方体的截面可为五边形 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，通过方向向量与法向量分析平行与垂直，使用三棱锥的体积公式求解. 【详解】设正方体棱长为2，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， ，，，，，，，，，，故， 当时，，，，故与不垂直，选项A错误； 当时，，设平面的一个法向量为，，，则，令，得，，， 因为，所以，又平面，故平面，选项B正确； 因为，平面，平面，所以平面， 点在线段上，则点到平面的距离是定值，又底面的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，选项正确； 平面与正方体的面相交，最多可与正方体的4个面相交，得到四边形截面，无法得到五边形，选项错误. 题型二 其他几何体的截面问题（共3小题） 3．（25-26高二上·上海·期末）用一个平面去截一个底面半径为的圆柱，得到的几何体如图所示，其截面边界为椭圆.该椭圆上所有点中离底面最近的点为，其距离为，最远的点为，其距离为，且点和点在底面的投影分别为点和点.已知点是椭圆上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，设，找出满足的关系，结合二次函数求的最小值即可. 【详解】作在底面的投影，，， 则，且，建立空间坐标系如图， 则， 设，则， ， ，则，， 在底面圆上，则， 则， 当时，， 故选：D. 4．（多选）（25-26高二下·江苏常州·期中）如图，在棱长均为的平行六面体中，底面是正方形，且，设，，，下列选项正确的是（    ）    A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为 【答案】ACD 【分析】A，通过向量表示即可. B，在A的基础上利用数量积求模. C，利用数量积求夹角余弦值. D，通过距离确定球心位置和半径后，通过等体积法求出截面半径以及面积. 【详解】选项A，，所以，正确. 选项B，， 所以，错误. 选项C，，且， 所以，正确. 选项D，因为，，所以为等腰直角三角形.    取中点，因为，所以该外接球是以为球心，. 对于锥体的体积， 因为投影落在上，所以， 所以到面的距离. 因为， 所以，解得. 所以截面半径， 所以，正确. 5．（2026·山东青岛·二模）如图，在三棱柱中，过的截面交于，交于，过点的截面交于，交于，且． (1)求证：； (2)若，，直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1) 三棱柱中，平面平面， 截面平面，截面平面， 由面面平行的性质定理得， 又，截面与平面分别交于， ， 由平行公理，平行于同一条直线的两条直线互相平行，故． (2) 【详解】（1）略 （2）已知，， 以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则，设，则， ， 由三棱柱的性质得， ， 设，，，则， ， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则， ，设直线与平面所成角为， ， 化简整理得，解得， ，故． 题型三 轨迹问题（共4小题） 6．（多选）（2026·广东名校联考）如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，在底面内（包括边界），则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．当时，点的轨迹长度为 C．存在唯一，使 D．若，则三棱锥外接球的半径为 【答案】BCD 【分析】作关于平面的对称点，则，根据长度及勾股定理，即可判断A的正误；过点作于，则为在平面上的射影，根据条件可证，即可得为的中点，分析求解，即可判断B的正误；如图建系，求得各点坐标，进而可得，坐标，根据，求得P点坐标，可判断C的正误；因为，，所以三棱锥外接球的直径为，求出长度，即可判断D的正误. 【详解】选项A：作关于平面的对称点， 则， 所以的最小值为，故A项错误； 选项B：过点作于，则为在平面上的射影， 若要，只要即可， 因为四边形为正方形，是棱的中点，且， 所以， 所以，又， 所以， 所以，即为的中点，又， 所以点的轨迹的中位线，长度为，故B项正确； 选项C：以为原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设， 则， 所以， 所以，即为的中点，故C项正确； 选项D：因为，，所以三棱锥外接球的直径为， 又，所以外接球的半径为，故D项正确．故选：BCD 7．（多选）（25-26高二下·浙江温州·期末）已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，，则下列选项中正确的是（   ） A．若直线平面，点P的轨迹长度为 B．若，则直线与所成角的取值范围是 C．若，则平面平面 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，由线面平行的性质，线面角，线面垂直的性质以及平面对称的向量求法即可求解. 【详解】依题意，如图以A为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 因为，则， 对于A，设平面的法向量为， 因为，，， 所以，故可取 ，由平面可得，即， 即点三条共线，故的轨迹为线段，而，故A正确； 对于B，当时，，所以，， 设与所成角为， 则， 当时，在，，故， 则有，故B错误； 对于C，设平面法向量为， 因为，， 则，故可取， 设平面的法向量为， 当时，，， ，故可取， ，故平面平面，即C正确； 对于D，当时，点在平面内， 关于平面的对称点，连接交平面于点， 连接，则，因， 由图知 则当三点共线且点在之间时，取得最小值为，故D正确. 8．（多选）（26-27高二上·四川南充·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，下列结论正确的有（    ） A．三棱锥的各条棱中，最长的棱长度为 B．二面角的正切值为 C．点为底面（包括边界）上的动点，，则点的轨迹长度为 D．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是 【答案】BC 【分析】对于A，根据题意计算出三棱锥的各棱长即可判断；对于B，以为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求二面角即可；对于C，设的中点为，中点为，由可得，则的轨迹是以为圆心，半径为的弧上，再求弧长即可；对于D，设，，，，再由异面直线夹角公式可得方程，求出答案． 【详解】平面平面，与均为等腰直角三角形， 且，，则， ，平面平面， 平面，又平面， ，则， 故最长的棱长度为，故A错误； 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ， 则，， 易知平面的一个法向量， 设平面的一个法向量， ，不妨取，则， 设二面角为， 又，二面角为锐角， ，，故B正确； 设的中点为，中点为，连接，， 又为等腰三角形，， ，， 又平面平面，平面平面， 平面，又平面， ，，解得， 则的轨迹是以为圆心，半径为的弧上，如图： 易得，则，则，故C正确； ，， 设，与为异面直线，故， ，，， 则，， 所以，解得， 所以，， 因为异面直线与成的角， 所以， 故，， 其中，故，又， 解得， ，故 线段长的取值范围是，故D错误． 9.(2026河南名校联考 ) 已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解. 【详解】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 题型四 动点问题（共3小题） 10．（多选）（25-26高三上·天津西青·月考）如图，点是棱长为1的正方体的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论不正确的（   ） A．当时，点一定在线段上 B．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 C．当点在棱上运动时，的最小值为 D．线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为 【答案】C 【分析】根据线面垂直判定A，应用空间向量法计算角及外接球球心，结合表面积公式计算判断B，D，应用展开图及勾股定理计算判断C. 【详解】对于A，若， 又因为平面，平面， 所以，又平面，可得平面， 所以，又因为是正方形，所以，所以点一定在线段上，故A正确； ， 对于C，如图，旋转平面，使之与平面共面， 连接交于，此时最短为，大小为，故C错误， 对于B，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 当为的中点时，则，，， 设三棱锥的外接球的球心为，则， 即，解得， ∴三棱锥的外接球半径， ∴三棱锥的外接球表面积为，则B正确； 设线段上存在点，设， 则可得，又，，， 则， 设异面直线与所成角为，若正切值为，则， 即，化简得， 解得，故线段上存在点，使异面直线与所成角的正切值为，故D正确. 故选：C. 11.（多选）（24-25高二上·广东·期末）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（不包括端点），则（   ） A．当点为的中点时，与平面所成角为 B．存在点，使得 C．对于任意点，均不成立 D．三棱锥的体积是定值 【答案】AC 【分析】在正方体中建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项；利用空间位置关系的向量证明判断BC；利用点到平面距离的向量求法计算判断D. 【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则、、、、、， 所以，， 对于A选项，当为的中点时，，， 易知平面的一个法向量为， 则， 故点为的中点时，与平面所成角为，A对； 对于B选项，令，则点，， ，若，则，必有，即与矛盾，B错； 对于C选项，，，其中， 若，则，解得，不合乎题意， 所以，对于任意点，均不成立，C对； 对于D选项，，设平面的法向量， 则，令，得， 于是点到平面的距离，，则不是常数， 又点、、是三个定点，面积是定值， 因此三棱锥的体积不是定值，D错. 故选：AC. 12．（多选）（26-27高二上·陕西西安·开学考试）如图，正方体的棱长为2，设是棱的中点，是线段上的动点（含端点），是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（     ） A．点的轨迹是一条线段 B．三棱锥的体积为定值 C．当点在线段上移动时，必存在点，使 D．直线与平面所成角的正切值的取值范围是 【答案】AC 【详解】选项A     要寻找满足 平面 的点 的轨迹，利用面面平行判定与性质。 在正方体中：取 中点 中点 ， 中点 中点 ， 为 中点，连接 ， 是 中位线， ；正方体中 ，因此 ，所以平面与平面重合，连接 ， ，， 且，则四边形为平行四边形，可得,则平面，,则平面，，平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，可得 平面 ， 所以动点 的轨迹为线段 .故 A 正确. 选项 B，利用等体积转换：,点 到平面 的距离为正方体棱长 2 ，是定值, 的轨迹为线段 ，直线 与 不平行，因此 沿 移动时，点 到直线 的距离不确定， 的面积不是定值，由 ，体积随底面积改变，故体积不是定值. 选项B 错误. 选项C，建立空间直角坐标系，以 为原点， 为 轴， 为 轴，为 轴建立空间直角坐标系。 由题意知正方体棱长为2，则各点坐标如下： 因为 是 的中点，所以 在线段 上，,设 ，其中 , ，则 且 ，若 ，则 ，，，联立 的轨迹方程 ，，，， ，我们需要判断是否存在 ，使得对应的 在 的轨迹范围内。 的轨迹是线段，端点为（1，2，0）和（0，2，1）.所以 的取值范围是 ,考察函数 在 上的值域。当 时， 当 时， 所以 ，因为 ，所以对于任意 ，都能找到满足条件的 ，进而找到对应的 ,即对于线段 上的任意点 ，都存在点 使得 . 选项 C正确.选项D. 因为 平面 是 在平面 内的射影. 为直线 与平面 所成角.， ，， 最小值最大值， 选项D 错误 . 【点睛】本题考查了立体几何中的动态问题，既可以采取空间向量求解，也可以通过扎实的基本功通过综合法证明. 题型五 折叠问题（共7小题） 13．（24-25高二下·重庆·期中）如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可. 【详解】已知平行四边形，，且， ，， 二面角为，，， ， ， 则，即与之间距离为. 故选：D． 14．（24-25高二上·全国·课后作业）如图①，在中，，，E，F分别为AB，AC上的点，，．如图②，将沿EF折起，当四棱锥的体积最大时，点E到平面ACF的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定四棱锥的体积最大时，平面，然后以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求点面距． 【详解】由得，所以，四边形的面积是确定的， 点到平面为，则，因此 四棱锥的体积最大时，取得最大值，所以平面， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以点到平面的距离为， 故选：B． 15．（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）在中，，，，是的中点，将沿折起，使、两点间的距离为，此时三棱锥的体积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，过点作直线，交延长线于,进而根据几何关系得向量所成角为二面角的平面角，记为，再根据向量的模的关系求得，即可求得点到平面的距离，最后计算体积即可。 【详解】 在中，，，，，， 为斜边的中点，， ，即为等边三角形. 取中点，连接， 是等边三角形，，且, 在中，，, 过点作直线，交延长线于,则， 所以 又，故， ，， 向量所成角为二面角的平面角，记为， ，，在直线上， ，即， 由向量关系：，两边取模的平方： 因为，代入得 将，，，代入得： 即：，解得，， 所以，点到平面的距离为 又因为等边的面积 所以，三棱锥体积 所以，三棱锥的体积为. 16．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）如图，四边形，，，将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，将几何问题转化为关于二面角的函数问题，再求解三角函数的最值即可. 【详解】取的中点记为，连接，，.，，则二面角的平面角为. 记二面角的大小为，则. 如图所示，以为原点，为轴，为轴， 过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. ，. ，，. 直线和所成角为， ，. 当，即，有最小值，最小值为. 17．（25-26高一下·云南昭通·期末）如图，直角梯形中，，为的中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且． (1)求证：平面平面； (2)二面角的大小． 【答案】(1)直角梯形中，，为的中点， 所以四边形为正方形，即.所以. 连接，则. 又， 所以，即. 又平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）利用勾股定理，线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理进行证明. （2）利用二面角的定义以及直角三角形的性质进行求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）有平面，又平面，所以. 又因为，平面，所以平面. 又因为平面，所以. 所以即为二面角的平面角. 在中，，所以. 所以二面角的大小为. 18．（25-26高一下·甘肃兰州·期末）如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，为中点．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； 【答案】(1)证明：因为，为中点，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明线面垂直. （2）利用体积法求点到面的距离. 【详解】（1）略 （2）连接，如图：   中，，，， 所以， 且， 所以，所以. 又因为, 由，，，，所以是直角三角形. 故. 设点到平面的距离为，则. 19．（25-26高一下·山西长治·期末）在边长为2的正方形中（图1），、分别为、的中点，将四边形沿向上折起，形成二面角，为的中点，在上运动.在图2中，连接、，其中点为的中点. (1)证明：； (2)当二面角为直二面角时， （i）求直线与面所成的角； （ii）证明：平面平面. 【答案】(1)在折叠过程中，，， 又因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. 图1中，、分别为、的中点，则，所以. 在中，，点为的中点，所以. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. (2) （i） （ii）在中，，，所以，即. 直二面角中，平面平面，平面平面，， 平面，所以平面，因为平面，所以. 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质证明即可. （2）（i）根据二面角及线面角的定义，结合直角三角形三角函数求解即可. （ii）根据面面垂直的性质、线面垂直的性质，结合线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）略 （2）因为，，平面平面， 所以是二面角的平面角，所以. （i）连接. 由（1）知，平面，所以为直线与面所成的角， 在中，，所以. 在中，，所以. 在Rt中，， 因为，所以， 故直线与面所成的角为. （ii）略 题型六 新定义问题（共8小题） 20．（25-26高二上·重庆·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面的位置关系为（   ） A． B．相交但不垂直 C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件分别确定平面和直线的法向量和方向向量，结合已知点，再判断它们的位置关系. 【详解】由题设，平面的方程可写为， 所以平面经过点，且一个法向量为， 又直线的一个方向向量为， 所以，即，则或， 由于点在直线上，显然不在平面内，故，即. 故选：A 21．（25-26高二上·浙江丽水·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目材料确定平面的法向量，由于同时满足两个平面方程的点在交线上，因此可取两个特殊点，作为交线的方向向量，再求解即可. 【详解】由题意可知，平面的法向量. 因为直线是平面与平面的交线， 因此直线上的点均满足两个平面方程, 我们可以取上的两个点，来计算直线的一个方向向量. 令,则,即在交线上； 令,则,即在交线上. 故直线的方向向量. 设直线与平面所成角为,则. 故选：A. 22．（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据叉乘公式直接代入计算即可. 【详解】由题意得： ， 则向量即为平面的法向量， 故选：A． 23．（24-25高二上·北京通州·期中）如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方体的特征结合阿波罗尼斯圆确定M轨迹，根据新定义确定P点轨迹，在平面中利用数形结合的思想及点与圆的位置关系计算即可. 【详解】根据正方体的特征易知平面，平面， 平面，所以， 又，则， 如图建立平面直角坐标系，设， 则，整理得， 即M轨迹为平面上的圆，以为圆心，2为半径； 因为，则P轨迹为以为中心， 一条对角线长4且在纵轴上的正方形， 如上图所示，，易得， 过圆心作的垂线，可知垂线方程为 易得上的垂足，显然在线段上， 而上的垂足，显然H距N远， 则圆心到的距离为， 圆心到H的距离. 故选：A 【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离问题的处理策略关键在于作出正方形框图，即得出P的轨迹为正方形，此外利用阿氏圆的定义确定M轨迹，再数形结合即可. 24．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角． (1)当时，求证：； (2)定义：过点作垂直底面于，且在内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率． （ⅰ）当时，求斜三棱柱的投影偏差率（不需证明），并求此时平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：． 【答案】(1)证明如下： 因为 ， 所以，即． (2)（ⅰ）， （ⅱ）证明如下： ， 已知存在两个不同的锐角，使得， 设， 则， 锐角，是两个不同的锐角，则符号相反， ，即， 化简整理得， ，，为锐角，则， ． 【分析】（1）利用基底法表示向量，结合已知条件求出向量的数量积，利用数量积为0证明结论； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，结合已知条件求出相关点和向量坐标，根据投影偏差率定义求解，求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解；（ⅱ）根据投影偏差率定义结合（ⅰ）化简，利用“存在两个不同的锐角，使得”的条件构造方程，进而求出，证明结论． 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，为轴，为轴，过A垂直于面的直线为轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则， （ⅰ）已知，，， 则，故， 已知与、所成角分别为、， 则， 则， ，则， ， ， 设平面的法向量为，则， 令，则， 平面的法向量可取， 设平面与平面夹角为，则 ； （ⅱ）略 25．（25-26高三上·江西南昌·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知； (1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； (2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为. （ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）直接套用球面三角形面积公式，代入角度计算即可； （2）（i）先建系求出各点坐标，最小值为异面直线，的距离，求出该距离即可；（ii）先设，再求出平面和平面的一个法向量为，根据题意列方程求解即可. 【详解】（1）由题意，，，，所以，则有， 所以球面三角形ABC面积为. （2）因为平面，平面，所以. 设，则，所以. 由勾股定理的逆定理可得，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为直线与平面所成的角为，所以. 易知在和中，斜边的中点到点的距离相等， 即为球的直径，所以. 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. （i）由题可知， 则. 设与都垂直的向量为， 则，令，则， 所以线段长度的最小值为. （ii）设，由题可知， 则. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面的一个法向量为， 则，取，可得. 设平面与平面的夹角为. 因为=， 化简得则， 故. 26．（2026·陕西榆林·模拟预测）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．例如：正四面体在顶点A处的离散曲率为．如图，在三棱锥中． (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率之和； (2)若平面ABC，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为． （i）求点到平面的距离； （ii）若点为的中点，则在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）根据离散曲率的定义分别计算各个顶点处的离散曲率，再利用三角形内角和计算即可； （2）利用线面垂直的性质和判定证得，即，根据离散曲率的定义计算得， 解法1：根据点面距离的定义作出点到平面的距离线段，根据边角关系求解即可； 解法2：利用等体积转换法即可求出； 解法3：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量代入公式即可； （3）如图建立空间直角坐标系，利用向量法计算线面角的正弦值，即可得解. 【详解】（1）由离散曲率的定义得： ， ， 因为，同理可得其他三个三角形内角和为， 所以； （2）由平面ABC，平面ABC，得， 又，AC，平面PAC，则平面PAC， 由平面PAC，得，即， 又，即，解得． 解法1：过点A作于点M，由平面PAC，平面PAC，得， 又平面PCB，则平面PCB， 因此点A到平面PCB的距离为线段AM的长． 在中，，所以，点A到平面PBC的距离为． 解法2：设点到平面的距离为， 则，， 所以，即点到平面的距离为． 解法3：过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得，， 设平面PBC的法向量， 则，即，令，则，得， 所以点到平面的距离． （ii）存在．过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得： ， 所以， 设，则， 设与平面所成的角为，因为，所以， 设平面的法向量， 则即 令，则，得 则， 整理得，解得： ， 所以，所以． 27．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点． (1)求； (2)若为线段的中点，求二面角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】（1）先证明为直线与所成角，再由定义去求解； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量进行求解； （3）由，，设，，得，即可求解． 【详解】（1）因为底面为矩形，所以，， 又底面，底面， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为，所以为直线与所成角，即， 在直角中， 所以， . （2）因为且为矩形， 所以可如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量， 则， 令，得   所以， 因为  所以平面的法向量可取， 设二面角的平面角为 ，则， 所以 ，     所以， 所以二面角的正弦值为． （3）依题意，，， 又， 所以，， 设，， 则 ， 所以， 由， 得 ，  所以 ， ， 由（1）知， 又因 ， 所以， 所以线段上存在点，使得，此时． $