第2章 圆与方程15大题型75题（期中专项训练）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

函学科网·上好课 基础固本强基 提升进阶突破 拔高·压轴破难 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章圆与方程 题型图谱导航总览 题型1圆的方程 题型2圆的一般方程求参数取值范围 题型3点与圆的位置关系 题型4圆上的点到定点距离最值 题型5直线与圆的位置关系 题型6由直线与圆的位置关系求参数 题型7圆上的点到定点距离为定值 题型8弦长问题 题型9已知弦长求参数 题型10已知弦长求直线方程 题型11圆的切线问题 题型12弦长最值问题 题型13类比法求最值问题 题型14圆与圆的位置关系 题型15圆与圆的位置关系求参数 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1圆的方程（共5小题) 【模型】圆的方程 【步骤】待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而 确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： 如设 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2: 2列一一由已知条件，建立关于a,b,r的方程组；③解一一 解方程组，求出a,b,r; ④代 一将a,b,r代入所设方程，得所求圆的方程. 【易错】若是已知三个点求圆的方程，可以使用一般方程法。 1.(25-26高二上江苏泰州姜堰区，期中)已知圆的一条直径的端点分别是A2,1、B-4,-3,则该圆的方 程为() A.(x+1+y+1=13 B.x-1+y-12=1 C.{x+1P+y-12=9 D.x-12+y+12=5 2.(25-26高二上江苏徐州第三十七中学.期中)若圆C过两点A-1,0,B5,0,且圆心在直线2x-y=0上， 则圆C的方程为 3.(25-26高二上·江苏淮安高中校协作体期中)分别求满足下列条件的圆的方程 (1)过点P1,3,圆心为C2,-2: (2)圆心在第一象限，半径为V13,且与直线2x-3y=0相切于点3,2. 4.(25-26高二上江苏无锡宜兴六校期中)已知直线：k+1x-2k-1y-3=0 (1)求直线1所过定点A的坐标 (2)已知圆M经过定点A,B3,4,C-1,2,求圆M的方程 5.(25-26高二上江苏准阴中学期中)已知△ABC的三个顶点是A4,0,B6,6,C0,4.求： (1)AB边上的中线所在直线的方程； (2)△ABC的外接圆方程. 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2圆的一般方程求参数取值范围（共5小题） 【模型】圆的一般方程 【步骤】当D+E-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为 【易错】若x、y系数含参，则参数一定相等。 6.(24-25高二上江苏扬州江都区，期中)若方程x+y+x+4y+m+1=0表示圆，则实数m的取值范围 为 7.(23-24高二上江苏扬州大学附属中学东部分校期中)若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆，则m的取 值范围是() A.-0,-82 B.-∞，-22U22,+0 C.-00,-3 D.0,-23U23,+∞ 8.(24-25高二上江苏南京师范大学附属实验学校期中)若方程x2+y2-2ax+2ay+2a+a-1=0表示圆， 则实数a的取值范围是() A.(-∞，1) B.（-0∞，1] C.(1,+∞）. D.[1,+∞ 9.(23-24高二上江苏启东中学期中)若方程x2+y2+4mx-2y+4m2-m=0表示一个圆，则实数m的取 值范围是() A.m<-1 B.m<1 C.m>-1 D.m≥-1 、13 10.23-24高二上江苏泰州靖江商级中学期中)若a∈-2，-1,0241 则方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 题型3点与圆的位置关系（共5小题） 【模型】点与圆的位置关系 【步骤】1.几何法：利用圆心与点的距离与半径判断位置关系。2.代数法，将点带入圆的方程判断位置 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 关系。 【易错】若直线式一般式，需要考虑一般式方程表示圆求参数的取值范围。 11.25-26高二上江苏盐城五校联盟：期中)点p(m,2)与圆(x 题(x-12+(y+1)2=8 的位置关系为() A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.与m的值有关 12.(25-26高二上江苏连云港海州区期中)已知点A-2,3在圆C:x2+y2-2mx-4y+5=0外，则实数m的 取值范围是() 3 3 A. B -00,2 U1,+0∞ C. D. 13.24-25商二上江苏常州高级中学期中)若点P(1,-2在圆C:X+y-X-y+m=0m∈R)的外部，则 实数m的取值可能为() A.5 B.1 C.-4 D.-7 14.24-25高二上江苏镇江三校、泰州部分学校期中)若点P1,1在圆C:x2+y2+4x-2y+a=0外，则实 数a的取值范围为() A.(-4,5) B.-0∞，5 C.-0,-4 D.(-6,5) 15.(24-25高二上江苏徐州期中)已知△ABC的三个顶点分别为A(2,0),B(2,4),C(4,2), (1)求△ABC的外接圆M的方程： (2)设D(-4,2),若点P是圆M上任意一点，试问：在平面上是否存在点E,使得PD=3PE.若存在，求 出点E的坐标，若不存在，请说明理由. 提升进阶突破 题型4圆上的点到定点距离最值问题（共5小题） 【模型】圆上的点到距离最值问题 【步骤】点与圆心距离，加半径最大，减半径最小 【易错】注意判断点是否在圆的外面 4/15 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(25-26高二上江苏泰州姜堰区期中)如果实数x、y满足x+y2-8x+12=0,那么x+y的最大值是 () A.2 B.4 c.6 D.36 17.(25-26高二上江苏盐城期中)点P-3,1在动直线mx+y-m-n=0上的投影为点M,若点N3,3,那 么MN的最小值为 18。(25-26商二上江苏无锡患山区锡山高级中学期中)已知园C:x-2?+y+1?=g若Q为直线 m:2x-y+5=0上的动点，M是圆C上的动点，定点N2,4,则QM+QN的最小值() A.V69+3 B.V65+3 c.V65-3 D.V69-3 19.(23-24高二上江苏无锡滨湖区太湖高级中学期中)（多选）若P为圆C:x2+y2-4x-6y+9=0上任意 一点，点Q(-1,-1),则PQ的取值可以为() A.3 B.5 C.7 D.9 20.(25-26高二上江苏苏州大学附属中学期中)已知直线l2与直线l1:kx-3y-4k+3=0有共同的定点A, (1)若直线12在x,y轴上的截距相等，求直线2的方程： (2)若点P是圆O:x2+y2=9上的动点，点Q满足PQ=3,-4,求AQ的最大值 题型5直线与圆的位置关系（共5小题) 【模型】直线与圆的位置关系 【步骤】求出圆心到直线的距离，d>r,相离；d<r,相交；d=r,相切。 【易错】若圆的方程一般形式，需要考虑一般方程表示圆的方程求出取值范围。 21.(25-26高二上江苏泰州靖江斜桥中学期中)已知ab≠0，点Ma,b是圆O:x2+y2=4内一点，直线m 是以点M为中点的弦所在的直线，直线的方程是bx-ay=4,则下面正确的是() A.m1,且l与圆相交 B.mL,且l与圆相离 c.m⊥1，且l与圆相切 D.m⊥l,且l与圆相离 22.24-25高二上江苏常熟期中)直线1：x-2y-2=0与圆c:(x-1P+(y-2}=g的位置关系是（） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法判断 23.(24-25高二上·江苏南京外国语学校期中)设k为实数，直线l:心-y-4k+3=0与圆 C:x2+y2-6x-8y+21=0交点个数为() 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0 B.1 C.2 D.无法确定 24.(25-26高二上江苏扬州第一中学.期中)（多选）已知圆C:x2+y+6x-4y+8=0,则(). A.圆C的面积是25π B.圆C关于直线x+3y-3=0对称 c.点(-1,4)在圆C外 D.直线3x-4y-8=0与圆C相离 25.(25-26高二上·江苏奔牛高级中学、武进高级中学期中)已知两直线l1:x-y-1=0,12:x+y-5=0」 (1)求过两直线的交点，且垂直于直线3x+4y-5=0的直线方程： (2)已知两点A-1,1,B0,2,判断直线l1与以A,B为直径的圆D的位置关系： 题型6由直线与圆的位置关系求参数（共5小题） 【模型】直线与圆的位置关系求参数 【步骤】求出圆心到直线的距离，d>r,相离；d<r,相交；d=r,相切。 【易错】若圆的方程一般形式，需要考虑一般方程表示圆的方程求出取值范围。 26.(25-26高二上·江苏南通如皋·期中)若方程 .4-x2=m 有两个不相等的实根，则实数的取值范围为 m ) A.-2V2<m<-2 B.-2V2≤m<-2 c.-2V2≤m≤-2 D.-2V2<m≤-2 27.(25-26高二上江苏宿迁泗阳县期中)已知A-3,0,B3,0两点，若直线x+y+3=0上存在点M,使 得MA=2MB,则实数m的取值范围为 28.(25-26高二上江苏无锡第三高级中学.期中)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则X-y的最大 值是() A.1+3V2 B.4 c.3V2 D.7 29.(25-26高二上江苏常州合作学校期中)已知在平面直角坐标系xOy中，A-1,0,B1,0,动点M满足 MA2+MB2=20,得到动点M的轨迹为曲线C.直线l:y=kx+2+b与曲线C恒有公共点，则b的取值 范围是() A.-3,3 B.-V10,10 c.-4,4 D.-5,5 30.(25:26高二上江苏苏州实验中学期中)若直线x+2y-1=0是圆x2+(y-m了=1的一条对称轴，则m= 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 A. 1 B.2 C.1 D.-1 拔高压轴破难 题型7圆上的点到直线距离为定值（共5小题） 【模型】圆上的点到直线距离为定值 【步骤】通过距离与半径的大小关系确定圆的位置。 【易错】注意分类讨论相离相交相切三种情况。 31.25-26高二上江苏宿迁泗阳县：期中若圆X+y+2P=r2r>0上到直线y=3x+2的距离为1的点有 且仅有4个，则r的取值范围为 32.25-26高二上江苏无锡宜兴六校，期中若圆X+y-1?=8上恰有三个点到直线1：y=X+a的距离等于 2, 则a的值为· 33.(25-26高二上江苏连云港赣榆区期中)在平面直角坐标系xOy中，点A-3,0,点Px,y到直线 x-3y-1=0的距离为1，且PA=2PO,则符合要求的点P的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 34.(25-26高二上江苏新海高级中学期中)若圆x2+y=1,直线1：y=x+b,圆上恰有3个点到直线1的 距离为5 则实数b的取值为() 1 1 A.2或2 B.V2或-V/2 C. 男 或 1 D.2 2 35.(25-26高二上江苏无锡运河实验中学期中)已知直线：X-y+4=0,圆C:x2+y=r2r>0,若圆C上 有且仅有三个点到直线的距离为2V2,则r=() A.2 B.4 c.22 D.4V2 题型8弦长问题（共5小题） 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型】弦长问题 【步骤】直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： (1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L=2. (2)代数法：若直线y=x+b与圆有两交点A(X1,y1),BX2,y2),则有： 1AB|=X1-X2|=ly1-y2 【易错】弦长问题通常使用几何法。 36.(25-26高二上江苏南通如东县期中)若实数X,y满足x2+y2=4,则x+y的最大值是() A.2 B.2V2 C.4 D.4/2 37.(25-26高二上江苏无锡宜兴六校.期中)已知圆方程为x2+y2+2x-4y+1=0,直线2X-y+6=0截圆 所得的弦长为() 4.85 8.45 C.4 D.2 5 5 38.(25-26高二上江苏扬州扬州中学教育集团树人学校期中)过原点且倾斜角为30°的直线被圆C: x2+y+4y-3=0所截得的弦长为() A.3 B.2 c.2V3 D.4 39.24-25高二下-江苏南京六校联合体期中)直线1：y= 被圆C: (x-2+y2=4截得的弦长为() A.1 B.2 C.2 D.2V2 40.(25-26高二上江苏镇江实验高级中学、茅以升中学期中)已知圆O是以原点为圆心的圆，斜率为互为 相反数的两条直线m和n都过点P3,1,直线m与圆O相交于A、B两点且圆心O到直线m距离是1，而直线 n与圆O相切，则弦AB长为_ 题型9已知弦长求参数（共5小题） 【模型】已知弦长求参数 【步骤】几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L=2. 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】若是圆的方程为一般式，需要先求参数取值范围 41. (25-26商二上江苏苏州常热：期中已知直线1：X-2y+m=0与圆C:x+2+y-42=5相离，若c关于 I对称的圆被x轴截得的弦长为2，则实数m的值是() 1 15 A:2 B. C. D. 15 4 2 42.(25-26高二江苏南京金陵中学.期中)若直线 +y-m=0被圆C:x-1P+y+1=4截得的弦长为22 则m=() A.±2 B.±V2 C.2 D.±2V2 43.(26-27高二江苏期中)直线y=x+1被圆x+y2+2x-4y+a=0截得的弦长小于2V3,则a的取值范围 是() A.-5,5 B.0,3 c.-1,4 D.0,5 44.(25-26高二上江苏常州北郊高级中学.期中)已知直线x+y-m=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点， 且△OAB为等腰直角三角形，则实数m的值为() A.±1 B.±2 c.±V2 D.±2V2 45.(25-26高二上江苏梅村高级中学空港分校期中)已知关于x,y的方程C:x2+y2-2x-4y+m=0. (1)当m为何值时，方程C表示圆： 2若圆C与直线：x+2y-4=0相交于M,N两点，且MN=5: 求m的值： (3)若m=1,求过点P-1,3且与C相切的直线方程， 题型10已知弦长求直线方程（共5小题） 【模型】弦长求直线 【步骤】几何法：因为半弦长、弦心距小、半径构成直角三角形，所以由勾股定理得L=2 【易错】直线方程一般使用点斜式，使用点斜式时，需要令讨论斜率不存在的情况。 46.(25-26高二上江苏南通如东县期中)若圆C过两点A(0,4),B(4,6),且圆心C在直线：x-2y-2=0 上 (1)求圆C的标准方程： 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)过点P(1,4)的直线与圆C的交于M,N两点，且MN=8,求直线MN的方程. 47.(25-26高二上江苏泰州姜堰区期中)已知圆经过A-6,2和B-3,3两点，且圆心C在直线x+y+5=0 上 (1)求圆C的方程： (2)若过点M1,4的直线与圆C相交于P,Q两点，且PQ=6,求直线的方程 48.(25-26高二上江苏连云港赣榆区.期中)已知圆C过A0,4,B4,6两点，且圆心C在直线x-2y-2=0上. (1)求圆C的标准方程： (2)若直线l过点1,2，且被圆C截得的弦长为8，求直线的方程. 49.(25-26高二上江苏泰州第二中学期中)已知直线l1经过点-4,2，且与直线l2:2x-y+3=0垂直. (1)求直线l1的一般式方程： (2)已知圆C与x轴相切，直线l1被圆C截得的弦长为4，圆心C在直线3x+y=0上，求圆C的标准方程. 50.25:26商二上-江苏苏州实验中学期中已知圆C:(X-2}+(y-2}=8,AB为过圆C内一点p4,1且倾 斜角为ac的弦 (1)当a=45时，求AB的长. (2)若弦AB的长为4，求直线AB的方程. 题型11圆的切线问题（共5小题) 【模型】圆的切线 【步骤】.过圆上一点的圆的切线过圆(x-a)+y-=子上一点M为，y)的切线方程是凶-x- +6-y-b=2 2过圆外一点的圆的切线：过圆外一点M,%)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直 线的距离等于半径求出斜率k,从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不 存在，其方程为X= 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】设直线方程时，需要考虑斜率不存在的情况。 51.(25-26高二上江苏无锡梁溪区无锡第一中学期中过点P1,2作圆C:(x-3?+y=8 的切线，则切 线方程为 52.(25-26高二上江苏连云港赣榆区.期中)过圆x2+y=5上一点M1,2作圆的切线l,则l的方程为() A.X+2y-3=0 B.X-2y+3=0 C.2x+y-5=0 D.X+2y-5=0 53.(25-26高二上江苏苏州常熟期中)已知点P0,4和圆E:x-1P+y-2P=1 (1)求过点P的圆的切线方程； (2)已知圆C经过点P和点E,且C在直线l:2x+y-9=0上，求圆C的方程. 54.(25-26高二上-江苏徐州第三十七中学期中已知直线：x+2y+1=0和圆C:(x-1P+(y+2P=4 点P(-3,-4). (1)判断直线1与圆C的位置关系；若相交，求直线1被圆C截得的弦长： (2)求过点P且与圆C相切的直线方程 55.(25-26高二上江苏前黄高级中学.期中)已知圆C:x2+y=4,直线过点P2,4. (1)若直线1与圆C相切，求直线的方程： (2)若直线l与圆C交于A,B两点，∠ACB=90°，求直线l的方程. 题型12弦长最值问题（共5小题) 【模型】弦长最值 【步骤】直线过定点，当定点在院内，圆心与定点之间的距离为最值 【易错】若是直线没有斜率，可以考虑数形结合。 55. 25-26高二上江苏盐城五校联盟期中)已知直线：m-2x+y-2m+1=0圆CX-32+y-2P=9 ，直线1与圆C交于M,N两点，则弦长MN的最小值为() A.2V79 B.7 c.V79 D.2V7 56.24-25高二上江苏泰州兴化：期中)若线段x+2y-2=010≤x≤2与圆(x-1P+(y-2P=r2r>0有两个 交点A,B,则弦AB的最大值为() 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 95 A. 5 B. 35 C. D.5 57.24-25高二上江苏常州高级中学期中）（多选）已知圆c:(X-1}+(y-2}?=20直线 1:(m+2)x+(m+1)y-4m-7=0m∈R),则以下命题正确的有() A.直线l恒过定点1,3 B.直线l与圆C恒相交 C.x轴被圆C截得的弦长为8 D.直线l被圆C截得的弦长最短时，的方程为 2x-y-5=0 58.(24-25高二上江苏锡山高级中学.期中)已知圆E过三点A3,-1,B1,1,C-1,-5. (1)求圆E的标准方程； (2)已知直线ax+by+c=0与圆E相交于M,N两点，且a+C=b,求MN的最小值. 59.(24-25高二上江苏南京师范大学附属实验学校期中)已知⊙C的圆心在x轴上，经过点(1，V3)和 （2,2. (1)求⊙C的方程： (2)过点P(3,1)的直线1与⊙C交于A、B两点. (i)若AB=2V3,求直线1的方程； (ⅱ)求弦AB最短时直线I的方程， 60.(25-26高二上江苏宿迁泗阳县期中)圆x2+y2-4x+4y+4=0被直线X-y-5=0所截的弦长为() A.2 B.2V2 C.3 D.9V14 题型13类比法求最值问题（共5小题） 【模型】类比法求最值 【步骤】类比斜率，位置关系，点到直线的距离 【易错】斜率问题注意斜率不存在的情况 61.(24-25高二上江苏无锡第三高级中学.期中)我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数 时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如：若实数x、y满足 x2+y2-8x+13=0'则x+y的最小值为 x+V3y-1的最大值为 Vx2+y2-2x+1 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 62.(25-26高二上江苏泰州中学.期中)直线x+y-2=0分别与x轴，y轴交于A,B两点，点P在圆 (x+4P+y'=2上，则△ABP面积的取值范围是（) A.[2,6] B.[4,8] c.[2,32] D.「2V2,3V21 63.(23-24高二上江苏泰州中学.期中)已知直线3x+4y-12=0与x轴、y轴相交于A,B两点，点C在圆 (x-5P+(y-6P=9上移动，则△ABC面积的最大值与最小值之和为 64.(25-26高二上江苏无锡宜兴六校期中)（多选）已知实数X,y满足曲线C的方程x+y2-2X-3=0, 则下列选项正确的是() A.x2+y的最大值是9 8.y+2的最大值是9 x+2 C.x+y的最大值是2V2+1 D.x-y+3的最小值是2V2-V3 65.(23-24高二上江苏泰州靖江高级中学期中)已知Mx,y,A(1,2,B-2,-1,且MA=V2MB, 点Q-2,2. (1)求MQ的最大值和最小值： 2)求2。 状-2的最大值和最小值： (3)求y-x的最大值和最小值. 题型14圆与圆的位置关系（共5小题) 【模型】圆与圆的位置关系求解策略 【步骤】判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不 采用代数法 【易错】注意相切分为外切与内切两种情况 66.(26-27高二上江苏期中)圆C1:x2+y=1与圆C2:x2+y+6x+5=0公切线的条数是() A.1 B.2 C.3 D.4 67.2526商=上江苏徐州第三十七中学期中)园C,°X+y+4x=0与圆C,:x+1+y-2=1的位置 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 关系为() A.外离 B.内含 C.内切 D.相交 68.25-26高=上-江苏期中)两圆C,:X+y.4x+3=0和C,:X+y+43y+3=0的位置关系是 () A.相离 B.相交 C.内切 D.外切 69.(25-26高二上江苏宿迁沭阳如东中学期中)已知圆C1:X+y=1和圆C2:X+y-4x-4y+4=0则 C1,C2的公切线共有 条 70.(25-26高二上江苏扬州广陵区扬州大学附属中学期中)（多选）下列说法中，正确的有() A.过点5,4且斜率不存在的直线方程为X-5=0 B.直线y=kx-2在y轴上的截距是2 C.两平行线x-y+1=0和2x-2y+3=0之间的距离为V2 D.圆C1:X+y2-2x-4y+4=0与圆C2:x-1P+y+2=g的位置关系为外切 题型15圆与圆的位置关系求参数（共5小题) 【模型】圆与圆的位置关系求参数 【步骤】若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到， 【易错】注意圆心连线垂直交线 71. (25-26高二上江苏无锡宜兴六校期中)若圆X+y=1与圆x-2P+y-a?=4外切，则a=（） A.-3 B.3 c.3或-3 D.±V5 72.(25-26高二上江苏泰州姜堰区期中)圆x2+y2+6x-6y=0与圆x+y2+3x-18=0的公共弦所在的直 线方程为 73.(25-26商二上江苏射阳县陈洋中学期中已知圆C:X-a'+y-a+1P=1'A0,30为坐标原点 ()若a=1求圆c与圆C,x-2+y-2=4的公共弦长： (2)若圆C上存在点M,使得MA=2MO,求a的取值范围. 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 74.(25-26商二上江苏盐城五校联盟期中)（多选)圆0，：X2+yY2-2x-2y=0和圆 O2:x2+y2+4x-8y=0的交点为AB:则() A.圆O1和圆O2的公切线有3条 B.两圆圆心距0,0=32 C.公共弦AB的长为2V2 D.公共弦AB所在直线的方程为X+y=0 75.(25-26高二上江苏淮阴中学.期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点P-1,a,圆 C:x2+y+2x-6y+9=0. (1)若a=2」 ①直线过点P且被圆C截得弦的弦长为3，求直线的方程： ②设圆N与X轴相切，与圆C外切于点P,求圆N的方程： (2)斜率为1的直线m过点P,若直线m上存在点M,以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，求实数a 的取值范围. 15/15第2章圆与方程 基础·固本强基 题型1 圆的方程 题型2 圆的一般方程求参数取值范围 题型3 点与圆的位置关系 提升·进阶突破 题型4 圆上的点到定点距离最值 题型5 直线与圆的位置关系 题型6 由直线与圆的位置关系求参数 拔高·压轴破难 题型7 圆上的点到定点距离为定值 题型8 弦长问题 题型9 已知弦长求参数 题型10 已知弦长求直线方程 题型11 圆的切线问题 题型12 弦长最值问题 题型13 类比法求最值问题 题型14 圆与圆的位置关系 题型15 圆与圆的位置关系求参数 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1圆的方程（共5小题） 【模型】圆的方程 【步骤】待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设————设所求圆的方程为（x- a）²+（y-b）²=r²； ②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；③解———解方程组，求出a，b，r； ④代————将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程. 【易错】若是已知三个点求圆的方程，可以使用一般方程法。 1．(25-26高二上·江苏泰州姜堰区·期中)已知圆的一条直径的端点分别是、，则该圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出圆心坐标和半径，即可得出圆的方程. 【详解】由题意可知，圆心坐标为，半径为， 故所求圆的方程为. 故选：A. 2．(25-26高二上·江苏徐州第三十七中学·期中)若圆过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为__________. 【答案】 【分析】根据圆心在直线上，可设，结合圆过两点，可知，解方程即可得圆心与半径，即可得解. 【详解】根据圆心在直线上， 则设圆心坐标为， 又圆过两点，， 则， 即， 解得， 所以圆心， 半径， 即圆的方程为， 故答案为：. 3．(25-26高二上·江苏淮安高中校协作体·期中)分别求满足下列条件的圆的方程 (1)过点，圆心为； (2)圆心在第一象限，半径为，且与直线相切于点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆的半径，结合圆心坐标可得出圆的方程； （2）设圆心坐标为，其中，，根据已知条件得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】（1）由题意可知，圆的半径为， 故圆的标准方程为. （2）设圆心坐标为，其中，，记点， 由题意可知直线与直线垂直，则， 又因为，解得，即圆心为， 故所求圆的方程为. 4．(25-26高二上·江苏无锡宜兴六校·期中)已知直线 (1)求直线所过定点的坐标 (2)已知圆经过定点，，，求圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将直线方程变形成，再由，即可求解； （2）设圆的方程为，将点的坐标代入求出，即可求解. 【详解】（1）由，得到， 由，解得，所以直线所过定点的坐标为. （2）由（1）知，又，， 设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 5．(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)已知的三个顶点是．求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)的外接圆方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求边的中点为，结合直线的两点式方程运算求解； （2）设的外接圆方程为，代入点运算求解即可. 【详解】（1）因为，则边的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）设的外接圆方程为， 将代入可得， 解得， 所以的外接圆方程为. 题型2圆的一般方程求参数取值范围（共5小题） 【模型】圆的一般方程 【步骤】当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为r＝ . 【易错】若x、y系数含参，则参数一定相等。 6．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)若方程表示圆，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据二元二次方程与圆的一般式方程之间的关系直接列式求解即可. 【详解】若方程表示圆， 则，即，可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 7．(23-24高二上·江苏扬州大学附属中学东部分校·期中)若方程表示圆，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件列不等式求解即可. 【详解】因为表示圆， 所以,解得或. 故选：B. 8．(24-25高二上·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)若方程表示圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．. D． 【答案】A 【分析】圆的一般式中，由得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】表示圆， 则，解得. 故选：A 9．(23-24高二上·江苏启东中学·期中)若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足. 【详解】由， 得， 即, 解得 故选： 10．(23-24高二上·江苏泰州靖江高级中学·期中)若 ，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由圆的一般方程表示圆的条件计算即可. 【详解】由题意可知：， 解之得， 又，所以. 故选：C 题型3点与圆的位置关系（共5小题） 【模型】点与圆的位置关系 【步骤】1.几何法：利用圆心与点的距离与半径判断位置关系。2.代数法，将点带入圆的方程判断位置关系。 【易错】若直线式一般式，需要考虑一般式方程表示圆求参数的取值范围。 11．(25-26高二上·江苏盐城五校联盟·期中)点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 12．(25-26高二上·江苏连云港海州区·期中)已知点在圆外，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆化成标准形式，确定圆心和半径，结合点在圆外及两点距离公式列不等式求参数范围. 【详解】由圆，则圆， 所以，半径为，且或， 由点在圆外，则， 所以，可得， 综上，或. 故选：D 13．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中)若点在圆的外部，则实数的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用关于的二元二次方程表示圆的条件及点与圆位置的判断方法，列方程组，得到，结合选项即可求解. 【详解】因为点在圆的外部， 则，即，解得， 故选：C. 14．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据曲线为圆可得，再结合在圆外得，则答案可得. 【详解】化简可得圆的标准方程为：， 所以，即， 又因为在圆外，故， 解得，综上可得， 故选：A. 15．(24-25高二上·江苏徐州·期中)已知的三个顶点分别为． (1)求的外接圆的方程； (2)设，若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）法一：设圆的方程为，代入点的坐标，进而解方程组可求圆的方程；法二：求得，可得的圆心是的中点，可求圆的方程； （2）假设存在，对任意的都有，计算利用恒成立可得，求解即可. 【详解】（1）法一：设圆的方程为，则 ， 解得：， 所以圆的方程为，即， 法二：因为， 所以，所以，所以， 又因为，所以是等腰直角三角形， 所以的圆心是的中点，即圆心，半径， 所以的方程为； （2）假设存在，对任意的都有， 即：， 化简得：， 又满足，即， 即：， 所以， 解得：， 即存在满足条件． 提升·进阶突破 题型4圆上的点到定点距离最值问题（共5小题） 【模型】圆上的点到距离最值问题 【步骤】点与圆心距离，加半径最大，减半径最小 【易错】注意判断点是否在圆的外面 16．(25-26高二上·江苏泰州姜堰区·期中)如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的方程表示为标准方程，求出的范围，由可得，结合的范围可得出的范围，即可得解. 【详解】由可得可得，解得， 由可得，故的最大值为. 故选：D. 17．(25-26高二上·江苏盐城·期中)点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为______. 【答案】 【分析】易知直线过定点，再由题意得，进而得到M的轨迹是以为直径的圆，然后利用点与圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线即过定点， 因为点在动直线上的投影为点M， 所以，所以M的轨迹是以为直径的圆， 且圆心为，半径， 由得，点N在圆C的外部， 如图：   ， 故答案为：. 18．(25-26高二上·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，进而可得，由此即可得解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 则， 当且仅当、、、四点共线（点在、两点之间）时，取等号， 所以的最小值为.    故选：C. 【点睛】结论点睛：若点是半径为的圆外的一点，则点到圆的上一点的距离的取值范围是. 19．(23-24高二上·江苏无锡滨湖区太湖高级中学·期中)（多选）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】ABC 【分析】根据的取值，计算的取值范围，即可判断选项. 【详解】圆，代入点， 则，则点在圆外， 所以的最大值为，最小值为，， 所以的取值范围是，所以的取值是3,5,7. 故选：ABC 20．(25-26高二上·江苏苏州大学附属中学·期中)已知直线与直线有共同的定点. (1)若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若点是圆上的动点，点满足，求的最大值. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）对直线在，轴上的截距是否为零进行分类讨论，可得结果； （2）求得点的轨迹方程，再由圆上点到直线距离的最值计算即可. 【详解】（1）由， 得， 由，所以定点. 因为直线在，轴上的截距相等，设截距分别为，， 当时，直线经过原点，设直线方程为，又经过点， 则有，直线的方程为； 当时，设直线的方程为，代入点，解得， 所以直线的方程为. 综上可得，直线的方程为或. （2）设，，由， 可得，代入， 得即为点的轨迹方程，如下图所示： 圆心，半径，点在圆外，点到圆心的距离为 ， 所以的最大值为. 题型5直线与圆的位置关系（共5小题） 【模型】直线与圆的位置关系 【步骤】求出圆心到直线的距离， 【易错】若圆的方程一般形式，需要考虑一般方程表示圆的方程求出取值范围。 21．(25-26高二上·江苏泰州靖江斜桥中学·期中)已知，点是圆内一点，直线是以点为中点的弦所在的直线，直线的方程是，则下面正确的是（   ） A．，且与圆相交 B．，且与圆相离 C．，且与圆相切 D．，且与圆相离 【答案】D 【分析】由题意可得，求得，进而利用圆心到直线的距离公式可求得圆心到直线的距离，可得结论. 【详解】因为在圆内，所以， 又因为直线是以点为中点的弦所在的直线，，所以， 所以.又因为，，所以直线与直线垂直. 又因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相离. 故选：D. 22．(24-25高二上·江苏常熟·期中)直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据圆方程得出圆心坐标，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较，即可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆心到直线的距离为， 所以直线l与圆C相交. 故选: 23．(24-25高二上·江苏南京外国语学校·期中)设k为实数，直线与圆交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【答案】C 【分析】找到直线所过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可确定交点数. 【详解】由，即直线恒过，而圆可化为， 所以，即点在圆内，则直线与圆恒有2个交点. 故选：C 24．(25-26高二上·江苏扬州第一中学·期中) （多选）已知圆，则（   ）． A．圆的面积是 B．圆关于直线对称 C．点在圆外 D．直线与圆相离 【答案】BCD 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，再利用圆的性质、面积公式、两点间距离公式及点到直线的距离公式等知识点逐一判断选项． 【详解】， ，即圆是圆心为，半径是的圆． 圆的面积为：，故A错误； 圆心在直线上，即， 圆关于直线对称，故B正确； 设点与圆心距离为，则， 点在圆外，故C正确； 设圆心到直线的距离为，则， 直线与圆相离，故D正确． 故选：． 25．(25-26高二上·江苏奔牛高级中学、武进高级中学·期中)已知两直线，. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，，判断直线与以，为直径的圆的位置关系； 【答案】(1)； (2)相离. 【分析】（1）求出交点坐标，根据垂直求斜率，然后由点斜式可得方程； （2）求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离与半径的大小关系即可判断. 【详解】（1）解方程组，得，即直线的交点坐标为， 因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为， 所以所求直线方程为，即. （2）因为，， 所以圆心坐标为，半径， 因为圆心到直线的距离，， 所以圆与直线相离. 题型6由直线与圆的位置关系求参数（共5小题） 【模型】直线与圆的位置关系求参数 【步骤】求出圆心到直线的距离， 【易错】若圆的方程一般形式，需要考虑一般方程表示圆的方程求出取值范围。 26．(25-26高二上·江苏南通如皋·期中)若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线和半圆的位置关系进行求解即可. 【详解】， 问题方程有两个不相等的实根，可以转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，如图所示： 半圆的圆心为，半径为， 点到直线的距离为，或舍去， 函数的图象与直线有两个不同的交点， 只需. 故选：D 27．(25-26高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)已知，两点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【分析】首先求出点的轨迹，问题转化为直线与圆有交点，利用直线与圆的位置关系列式即可求解. 【详解】设点，则由可得， 整理得，圆心为，半径， 由题意可知直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离，解得或， 所以的取值范围为. 故答案为： 28．(25-26高二上·江苏无锡第三高级中学·期中)已知实数x，y满足，则的最大值是（   ） A． B．4 C． D．7 【答案】A 【分析】令，利用判别式法即可. 【详解】令，则， 由， 得， 整理得，， 因为存在实数满足等式， 所以， 解得， 则的最大值为. 故选：A. 29．(25-26高二上·江苏常州合作学校·期中)已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点M的轨迹为曲线．直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先求出动点的轨迹方程，再根据直线与曲线的位置关系求出的取值范围. 【详解】设动点的坐标为，已知，且. 则，化简得：. 所以曲线：是以原点为圆心，为半径的圆. 因为直线：与曲线恒有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径. 即，化简得恒成立. 所以，解得：. 故选：. 30．(25-26高二上·江苏苏州实验中学·期中)若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由题意，圆心在已知直线上，代入坐标求参数值. 【详解】由题设，圆心在直线上，则. 故选：A 拔高·压轴破难 题型7圆上的点到直线距离为定值（共5小题） 【模型】圆上的点到直线距离为定值 【步骤】通过距离与半径的大小关系确定圆的位置。 【易错】注意分类讨论相离相交相切三种情况。 31．(25-26高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)若圆上到直线的距离为1的点有且仅有4个，则的取值范围为____________. 【答案】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再利用圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有4个，则，然后解不等式即可. 【详解】圆心到直线的距离，又圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有个， 所以，即，解得. 故答案为： 32．(25-26高二上·江苏无锡宜兴六校·期中)若圆上恰有三个点到直线的距离等于，则的值为_____． 【答案】或 【分析】根据条件，将问题转化成圆心到直线的距离为，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 要使圆上恰有三个点到直线的距离等于， 则圆心到直线的距离为， 所以，整理得到，解得或， 故答案为：或. 33．(25-26高二上·江苏连云港赣榆区·期中)在平面直角坐标系中，点，点到直线的距离为，且，则符合要求的点的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据可求得点的轨迹为圆，根据直线过圆心且点到直线距离小于半径可确定符合要求的点的个数. 【详解】，，且， ，整理可得：， 即点轨迹为以为圆心，半径的圆， 直线过圆心，且， 圆上到直线距离为的点有个. 故选：D. 34．(25-26高二上·江苏新海高级中学·期中)若圆，直线l：，圆上恰有3个点到直线l的距离为，则实数b的取值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据圆的方程得出圆心坐标和半径，利用圆心到直线距离为求解即可. 【详解】圆的圆心坐标是，半径为1. 因为圆上恰有三个点到直线距离等于， 所以圆心O到直线：的距离d为， 即，得. 故选：C. 35．(25-26高二上·江苏无锡运河实验中学·期中)已知直线，圆，若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由圆心到直线的距离，即可判断. 【详解】圆的圆心到直线距离， 若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则，即. 故选： D. 题型8弦长问题（共5小题） 【模型】弦长问题 【步骤】直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法： (1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. (2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有： |AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|. 【易错】弦长问题通常使用几何法。 36．(25-26高二上·江苏南通如东县·期中)若实数满足，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数形结合的思想，将问题转化为求直线在轴上的截距的最值问题，计算即可. 【详解】易知表示圆心为坐标原点，半径为2的圆， 设，即，为该直线在纵轴上的截距， 当直线与圆相切时，截距可取到最值， 此时原点到直线的距离为， 所以的最大值为. 故选：B 37．(25-26高二上·江苏无锡宜兴六校·期中)已知圆方程为，直线截圆所得的弦长为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，然后得到圆心到直线的距离，最后利用勾股定理求弦长即可. 【详解】圆的方程可整理为，所以圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离， 所以弦长为. 故选：A. 38．(25-26高二上·江苏扬州扬州中学教育集团树人学校·期中)过原点且倾斜角为的直线被圆：所截得的弦长为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】先由点斜式求出直线的方程，再利用圆的弦长公式求解即得. 【详解】过原点且倾斜角为的直线方程为， 即， 圆：，圆心，半径， 圆心到的距离， 故直线被圆所截得的弦长为. 故选：D 39．(24-25高二下·江苏南京六校联合体·期中)直线被圆C：截得的弦长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆方程可知圆心坐标，半径为2， 圆心到直线的距离为：， 所以弦长为， 故选：D 40．(25-26高二上·江苏镇江实验高级中学、茅以升中学·期中)已知圆是以原点为圆心的圆，斜率为互为相反数的两条直线和都过点，直线与圆相交于、两点且圆心到直线距离是1，而直线与圆相切，则弦长为_____. 【答案】 【分析】先设出直线m和n的方程，再结合直线与圆的位置关系求出圆的半径，最后利用弦长公式求出弦的长． 【详解】设圆的半径为，设直线m的斜率为k， 因为直线m和n的斜率互为相反数，所以直线n的斜率为． 又因为直线m和n都过点， 可得直线m的方程即； 直线n的方程即， 由题意，点必在圆外，则，即， 圆心到直线距离是1，则，解得或， 当时，直线m与直线n重合，不符合题意，舍去，所以． 圆心到直线n的距离为 ， 直线与圆相切，则圆的半径，符合， 所以． 故答案为：. 题型9已知弦长求参数（共5小题） 【模型】已知弦长求参数 【步骤】几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. 【易错】若是圆的方程为一般式，需要先求参数取值范围 41．(25-26高二上·江苏苏州常熟·期中)已知直线与圆相离，若关于对称的圆被轴截得的弦长为2，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线l与圆C相离，可得m的范围，根据点关于直线的对称点的求法，可求得圆心C的对称点的坐标，根据题意，结合弦长公式，计算求解，讨论分析，即可得答案. 【详解】由题意，圆C的圆心为，半径， 因为直线l与圆C相离， 所以圆心C到直线l的距离，即， 解得或， 设圆心C关于直线l的对称点坐标为， 则，解得，即对称点坐标为， 因为关于对称的圆被轴截得的弦长为2， 且对称的圆心到x轴的距离为，对称圆的半径为， 所以，解得，则， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，符合题意. 所以实数的值是. 故选：C 42．(25-26高二·江苏南京金陵中学·期中)若直线被圆截得的弦长为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】直接根据圆的弦长公式可得. 【详解】由圆，圆心，半径. 则圆心到直线的距离， 又因为截得的弦长为，所以，化简得，解得. 故选：A. 43．(26-27高二·江苏·期中)直线被圆截得的弦长小于，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程得圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式结合弦长公式即可求解. 【详解】由题意有：， 所以圆心为，半径为， 由圆心到直线的距离为， 设直线与圆相交与两点， 所以， 所以， 所以，即， 故选：B. 44．(25-26高二上·江苏常州北郊高级中学·期中)已知直线与圆相交于两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，从而得圆心到直线的距离，再结合点到直线距离公式即可求解. 【详解】由题意得， 所以， 所以到直线的距离为： ， 所以，解得：， 故选：B. 45．(25-26高二上·江苏梅村高级中学空港分校·期中)已知关于，的方程. (1)当为何值时，方程表示圆； (2)若圆与直线：相交于，两点，且，求的值； (3)若，求过点且与相切的直线方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）借助圆的一般方程表示圆需要满足的条件计算即可得； （2）得到圆心和半径后，结合点到直线的距离以及垂径定理计算即可得； （3）利用切线定义，分直线斜率不存在与直线斜率存在进行讨论即可得. 【详解】（1）由题意可得，解得， 即时，方程表示圆； （2），且， 则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 由圆的弦长公式得，解得； （3）当时，，，， 若直线斜率不存在，则直线为， 此时圆心到的距离为，与半径相等，符合； 若直线斜率存在，设为，即， 则有，化简得，即， 即切线方程为； 综上所述：切线方程或. 题型10已知弦长求直线方程（共5小题） 【模型】弦长求直线 【步骤】几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2. 【易错】直线方程一般使用点斜式，使用点斜式时，需要令讨论斜率不存在的情况。 46．(25-26高二上·江苏南通如东县·期中)若圆过两点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点的直线与圆的交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，利用求得点的坐标，进而求得圆的半径，得解； （2）由题意根据弦长公式求得弦心距，分直线的斜率不存在、存在两种情况讨论，求得直线的方程． 【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设. 因为圆过两点，，所以， 所以，所以. 因为，所以圆的半径为5， 所以圆的标准方程为. （2）设圆心到直线的距离为，则，所以. 当直线的斜率不存在时，直线的方程，此时，符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程， 所以，所以， 所以，直线的方程. 综上可得：直线的方程或. 47．(25-26高二上·江苏泰州姜堰区·期中)已知圆经过和两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）设圆心，半径为，根据可求圆心和半径； （2）先求出圆心到直线的距离，再分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论. 【详解】（1）由题意设，圆心，半径为， 则，即， 解得，，即圆心， 故圆的方程为； （2）因弦长，则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，则，符合题意； 若直线的斜率存在，则设，即， 则，解得，则， 故直线的方程为或. 48．(25-26高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知圆过两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出的中垂线方程，求出圆心方程和半径，求出标准方程； （2）根据斜率不存在和存在进行求解方程. 【详解】（1）根据题意得,的中点坐标， 则的中垂线方程，即， 由圆心在直线， 故，解得，半径， 故圆的标准方程 （2）依题意，圆心到直线的距离为， 若直线的斜率不存在，圆心到直线 当斜率存在时，设，故，则， 直线方程为. 故直线方程为或. 49．(25-26高二上·江苏泰州第二中学·期中)已知直线经过点，且与直线垂直. (1)求直线的一般式方程； (2)已知圆与轴相切，直线被圆截得的弦长为4，圆心在直线上，求圆的标准方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）依题意可设直线的方程为，然后将点的坐标代入可求出，从而可求得直线方程； （2）设圆的方程为，则，再根据弦长，圆心距和半径的关系列方程，和圆心在直线上所得到的方程，可求出，从而可求出圆的方程. 【详解】（1）依题意可设直线的方程为， 将点的坐标代入，得， 所以直线的一般式方程为． （2）设圆的方程为， 因为圆与轴相切，所以， 圆心到的距离， 又圆心在直线上，所以， 所以，解得． 当时，，圆的标准方程为； 当时，，圆的标准方程为． 50．(25-26高二上·江苏苏州实验中学·期中)已知圆为过圆内一点且倾斜角为的弦. (1)当时，求的长. (2)若弦的长为4，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据已知，应用点斜式写出直线方程，点到直线距离公式求圆心到直线的距离，再应用几何法求圆的弦长； （2）根据已知得圆心到直线的距离为，讨论的斜率，结合点到直线距离公式列方程求参数，即可得方程. 【详解】（1）当时，直线的斜率为1，直线， 所以圆心到直线的距离为， 所以； （2）若，所以圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意， 当直线斜率存在时，直线方程设为，所以， 所以，圆心到直线的距离为，解得， 所以直线方程为， 综上，直线方程为或. 题型11圆的切线问题（共5小题） 【模型】圆的切线 【步骤】.过圆上一点的圆的切线:过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 2.过圆外一点的圆的切线:过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. 【易错】设直线方程时，需要考虑斜率不存在的情况。 51．(25-26高二上·江苏无锡梁溪区无锡第一中学·期中)过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【分析】先验证点在圆上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理． 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 52．(25-26高二上·江苏连云港赣榆区·期中)过圆上一点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用切线与切点和圆心所在直线垂直，根据直线垂直的条件得到切线的斜率，进而利用点斜式写出切线的方程. 【详解】圆的圆心为，则直线的斜率为， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直，即， 所以，则切线的斜率为, 所以直线的方程为,即. 故选：D 53．(25-26高二上·江苏苏州常熟·期中)已知点和圆. (1)求过点的圆的切线方程； (2)已知圆经过点和点，且在直线上，求圆的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分切线的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，利用点到直线的距离等于半径可求出切线的斜率，进而求出切线的方程. （2）根据圆心在直线上，并且圆心到的距离相等联立方程，从而求得圆心和半径即可. 【详解】（1）当不存在时，即，此时圆心到直线的距离等于半径，符合题意； 当存在时，设过点的切线方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得， 切线方程为 综上所述：切线方程为或 （2）圆心在直线上，且圆心到,距离都为半径 ，解得 圆心到的距离为 圆的方程为. 54．(25-26高二上·江苏徐州第三十七中学·期中)已知直线l：和圆C：，点. (1)判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长； (2)求过点P且与圆C相切的直线方程. 【答案】(1)相交，弦长为； (2)或. 【分析】（1）求出圆心到直线距离即可确定位置关系，再利用圆的弦长公式求解. （2）按切线斜率是否存在分类，再利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求解. 【详解】（1）圆C：的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此直线与圆相交，直线l被圆C截得的弦长. （2）当切线的斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，即直线不是圆的切线， 则切线的斜率存在，设切线方程为，即， 由，解得或， 所以所求切线方程为或. 55．(25-26高二上·江苏前黄高级中学·期中)已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先判断点在圆C外，当切线斜率存在时，利用圆心到直线距离为半径列式求解斜率即可，当直线斜率不存在时，与圆相切，即可求解. （2）确定直线斜率存在，由直角三角形可得圆心到直线的距离，设出直线方程，由点到直线距离公式求得参数得直线方程． 【详解】（1）因为，所以点在圆C外， 当切线斜率存在时，可设直线方程为：，即. 因为直线与圆相切， 所以点到直线的距离为2，即，解得， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，即，此时满足直线与圆相切. 综上可知直线l的方程为或. （2）因为，且，所以， 则圆心到的距离为. 由题意易得的斜率一定存在， 所以可设的方程为，即. 由，解得或， 故的方程为或. 题型12弦长最值问题（共5小题） 【模型】弦长最值 【步骤】直线过定点，当定点在院内，圆心与定点之间的距离为最值 【易错】若是直线没有斜率，可以考虑数形结合。 55．(25-26高二上·江苏盐城五校联盟·期中)已知直线l：，圆C：，直线l与圆C交于M，N两点，则弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与l垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题设l：即， 令得，所以直线过定点， 而圆C：，圆心为，半径为3， 所以，即定点在圆C内， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心的连线与垂直，此时. 故选：D 56．(24-25高二上·江苏泰州兴化·期中)若线段与圆有两个交点，则弦的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式和垂径定理求出，要使弦的最大值则，代入求解即可. 【详解】圆心到直线的距离为， ， 令线段中，则，即， 令线段中，则，即， 所以线段的两端点为，， 而，， 要使弦的最大值则，所以. 故选：B. 57．(24-25高二上·江苏常州高级中学·期中) （多选）已知圆，直线，则以下命题正确的有（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆恒相交 C．轴被圆截得的弦长为 D．直线被圆截得的弦长最短时，的方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，整理直线方程，分离出参数，建立方程组，可得答案；对于B，由圆的标准方程可得圆心与半径，计算定点与圆心的距离，并与半径比较，可得答案；对于C，由圆的方程，求得与轴的交点纵坐标，可得答案；对于D，由题意可得直线与直线垂直，利用两点求斜率，结合点斜式公式，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 令，解得，所以直线恒过定点，故A错误； 对于B，由，则圆心，半径， 因为，即定点在圆内，故B正确； 对于C，令，整理圆的方程为，解得或， 所以轴被圆截得的弦长为，故C正确； 对于D，当时，直线被圆截得的弦长最短， 由直线的斜率，直线的斜率，且， 则，所以直线的方程为，化简可得，故D正确. 故选：BCD. 58．(24-25高二上·江苏锡山高级中学·期中)已知圆过三点． (1)求圆的标准方程； (2)已知直线与圆相交于两点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，设出圆的方程，代入点的坐标建立方程组，可得答案. （2）由题意可得直线过顶点，根据弦长公式，可得答案. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题意可得，解得， 则圆的方程为， 整理可得标准方程为. （2）由圆的方程，则圆心，半径， 由，即，则直线过定点， 由圆心到定点的距离， 则定点在圆内，易知当时，最短， . 59．(24-25高二上·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)已知的圆心在x轴上，经过点和． (1)求的方程； (2)过点的直线l与交于A、B两点． （ⅰ）若，求直线l的方程； （ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程． 【答案】(1) (2)①或；②. 【分析】（1）设圆心为，根据题中条件求出的值，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （2）①求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线写出直线的方程，直接验证即可；      在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出结果；      ②分析可知，当时，取最小值，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】（1）设圆心为，由题意可得，解得， 所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为. （2）①当时，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. ②当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值， 因为，则， 此时，直线的方程为，即. 60．(25-26高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)圆被直线所截的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】首先把圆的一般方程变形为标准方程，求出圆心坐标和半径，圆心到直线的距离，最后利用弦长公式即可求解. 【详解】方程可变形为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离，所以弦长 . 故选：D 题型13类比法求最值问题（共5小题） 【模型】类比法求最值 【步骤】类比斜率，位置关系，点到直线的距离 【易错】斜率问题注意斜率不存在的情况 61．(24-25高二上·江苏无锡第三高级中学·期中)我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为_________，的最大值为_________． 【答案】 【分析】设，则与有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，得到不等式，求出的最小值为；变形得到式子几何意义为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，得到，数形结合得到过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时，此时取得最大值，设直线为，与圆方程联立，根据根的判别式为0求出，从而得到切点坐标，代入求出最大值. 【详解】设，故，的几何意义为直线与轴交点的纵坐标， 且直线与有公共点， 其中是圆心为，半径为的圆， 故，解得， 故的最小值为； ， 可以看作上的点到直线的距离 与它到点的距离比值的2倍， 圆心到的距离为， 故直线与相交，且圆心在直线上方， 过点作⊥直线于点， 则，故， 当过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时， 此时取得最大值， 故取到最大值， 设直线为， 联立与得 ， 由得， 结合图形可知， 将代入中得， 解得， 将代入中得，故切点坐标为， 代入中得， 故的最大值为. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：变形得到，转化为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，进一步转化为，数形结合得到最值 62．(25-26高二上·江苏泰州中学·期中)直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出A，B两点坐标得到长度，再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可 【详解】 直线分别与轴，轴交于，两点,则， 点P在圆上 圆心为，半径为：， 则圆心到直线距离， 故点P到直线的距离的范围为， 则， 故选：B. 63．(23-24高二上·江苏泰州中学·期中)已知直线与轴､轴相交于两点，点在圆上移动，则面积的最大值与最小值之和为__________． 【答案】27 【分析】根据题意转化为先求圆上的点到直线的距离的最大值和最小值，即可求面积的最大值和最小值. 【详解】由题意可知，，，， 圆心到直线的距离， 点到直线距离的最大值，最小值为， 所以面积的最大值和最小值的和为. 故答案为： 64．(25-26高二上·江苏无锡宜兴六校·期中) （多选）已知实数，满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值是9 B．的最大值是9 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】AC 【分析】先将曲线的方程化为标准方程，确定其几何图形，再根据不同选项的要求，结合圆的性质进行分析. 【详解】曲线的方程可化为， 令，其几何意义是圆上的点到原点的距离的平方， 圆心到原点的距离为， 圆上的点到原点的最大距离为圆心到原点的距离加上半径，即， 的最大值为，正确. 设，其几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 则可化为，即， 直线与圆有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径， 即，化简得，解得， 的最大值为，错误. 设，则，其几何意义是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时的截距取得最值， 圆心到直线的距离，即， 解得或， 的最大值是，正确. 设，即，其几何意义是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时取得最值， 圆心到直线的距离，即， 解得或， 的最小值是，错误. 故选：. 65．(23-24高二上·江苏泰州靖江高级中学·期中)已知，，，且，点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为； (2)最大值为，最小值为0； (3)最大值，最小值为. 【分析】（1）由求出点的轨迹，结合两点间距离即可求； （2）将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算； （3）将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算. 【详解】（1）由题意，因为， 所以， 整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，6为半径的圆. 所以点到的距离为， 所以的最小值为，最大值为. （2）设，则 ， 由题意与有交点， 所以， 解得， 所以的最大值为，最小值为0. （3）设，则 当直线与圆相切时，截距取到最值， 所以，解得或， 所以的最大值为，最小值为. 题型14圆与圆的位置关系（共5小题） 【模型】圆与圆的位置关系求解策略 【步骤】判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． 【易错】注意相切分为外切与内切两种情况 66．(26-27高二上·江苏·期中)圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由圆：，所以圆心，半径， 又由圆：得，所以圆心，半径， 所以，， 所以， 所以圆与圆外切，所以圆与圆有3条公切线， 67．(25-26高二上·江苏徐州第三十七中学·期中)圆：与圆：的位置关系为（   ） A．外离 B．内含 C．内切 D．相交 【答案】D 【分析】根据两圆的位置关系的判定方法，即可求解. 【详解】由圆化为，可得圆心，半径， 圆，可得圆心，半径， 则，且， 所以，所以两圆相交. 故选：D. 68．(25-26高二上·江苏·期中)两圆和的位置关系是（ ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】根据两圆的圆心距与两圆的半径之和的关系，可得两圆的位置关系． 【详解】由圆可化为，则圆心，半径为； 由可化为，则圆心，半径为. 则，即两圆外切． 故选：D． 69．(25-26高二上·江苏宿迁沭阳如东中学·期中)已知圆和圆，则的公切线共有_____条. 【答案】2 【分析】先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可． 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为1， 的圆心坐标为，半径为2， 则圆心距为， 故两圆相交，则两圆的公切线的条数是2条. 故答案为：2 70．(25-26高二上·江苏扬州广陵区扬州大学附属中学·期中) （多选）下列说法中，正确的有（    ） A．过点且斜率不存在的直线方程为 B．直线在轴上的截距是2 C．两平行线和之间的距离为 D．圆与圆的位置关系为外切 【答案】AD 【分析】对于A，利用斜率不存在的直线与轴垂直即可求解，对于B，利用截距的定义求解即可；对于C，利用两平行线间距离求解即可；对于D，利用圆与圆的位置关系即可判断. 【详解】对于A，过点且斜率不存在的直线与轴垂直，所以方程为，即，故A正确； 对于B，令，得，则直线在轴上的截距是，故B不正确： 对于C，由可化为，所以两平行线和之间的距离为，故C不正确； 对于D，圆,半径，圆，半径，所以，则两个圆外切，故D正确； 故选：AD 题型15圆与圆的位置关系求参数（共5小题） 【模型】圆与圆的位置关系求参数 【步骤】若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 【易错】注意圆心连线垂直交线 71．(25-26高二上·江苏无锡宜兴六校·期中)若圆与圆外切，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】分别求出两圆的圆心和半径，再利用圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 又两圆外切，则，即，解得， 故选：D. 72．(25-26高二上·江苏泰州姜堰区·期中)圆与圆的公共弦所在的直线方程为______. 【答案】 【分析】将两圆方程作差可得出两圆公共弦所在直线的方程. 【详解】将两圆方程作差得，即. 故两圆公共弦所在直线的方程为. 故答案为：. 73．(25-26高二上·江苏射阳县陈洋中学·期中)已知圆，，为坐标原点. (1)若，求圆与圆的公共弦长； (2)若圆上存在点，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两圆的公共弦的方程，利用圆的弦长公式求得答案； （2）设，由可求得M的轨迹方程，结合M在圆C上，可判断两圆有公共点，列出不等式即可求得答案. 【详解】（1）当时，圆即为圆， 的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 则，即两圆相交， 将与相减得， 即两圆公共弦的方程为， 到直线的距离为， 故圆与圆的公共弦长为； （2）设，由，得， 即得， 即M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆； 又因为M在圆上，即圆D和圆C有公共点， 故，即，即， 解得， 即a的取值范围为. 74．(25-26高二上·江苏盐城五校联盟·期中) （多选）圆和圆的交点为，，则（    ） A．圆和圆的公切线有3条 B．两圆圆心距 C．公共弦的长为 D．公共弦所在直线的方程为 【答案】BC 【分析】把两圆分别化成标准方程，得到圆心和半径，求出圆心距即可判断B；把两圆方程相减得到公共弦所在直线的方程，即可判断D；判断两圆的位置关系，即可判断A；因为公共弦所在直线过圆心，所以公共弦的长等于，即可判断C． 【详解】圆化成标准方程， 则圆心，半径， 圆化成标准方程， 则圆心，半径， 故两圆圆心距，故B正确； 圆和圆， 将两方程相减得，即， 即公共弦所在直线的方程为，故D错误； 因为， 所以，则两圆相交， 所以圆和圆的公切线有2条，故A错误； 因为公共弦所在直线过圆心， 所以公共弦的长等于，故C正确． 故选：BC． 75．(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)在平面直角坐标系中，已知点，圆． (1)若． ①直线过点且被圆截得弦的弦长为，求直线的方程； ②设圆与轴相切，与圆外切于点，求圆的方程； (2)斜率为的直线过点，若直线上存在点，以为圆心且半径为1的圆与圆有公共点，求实数的取值范围． 【答案】(1)①或；② (2) 【分析】（1）①先对的斜率进行分类讨论，再结合勾股定理与点到直线的距离公式建立方程，求解参数，最后得到直线方程，②作出符合题意的图形，利用圆与圆的位置关系得到三点共线，进而确定，再代入求解参数，最后得到圆的方程即可. （2）结合题意转化为点到直线距离问题，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）对于①：当时，， 将圆化为标准方程，可得， 可得，，由题意得过点， 当的斜率不存在时，的方程为，令，解得或， 则弦长为2，与题意不符，故排除， 当的斜率存在时，设的方程为，即， 设圆心到直线的距离为，且弦长为， 则由勾股定理得， 由点到直线的距离公式得， 得到，解得或， 则直线的方程为或. 对于②：如图，作出符合题意的图形，设， 因为圆与轴相切，所以， 因为圆与圆外切于点，所以三点共线， 可得，即，圆的方程为， 将代入，可得，解得， 则圆的方程为. （2）因为斜率为的直线过点， 所以直线的方程为，即， 因为圆与圆有公共点，所以， 设点到直线的距离为， 因为在直线上存在点，所以， 由，则，解得， 则实数的取值范围为. $