第1章 直线与方程17大题型85题（期中专项训练）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

函学科网·上好课 基础固本强基 提升进阶突破 拔高·压轴破难 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章直线与方程 题型图谱导航总览 题型1直线的倾斜角 题型2直线的斜率 题型3直线与线段相交问题 题型4直线的方程 题型5直线过定点 题型6倾斜角取值范围 题型7象限问题 题型8方向向量 题型9截距问题求参数 题型10两条直线的位置关系 题型11两条直线的位置关系求参数 题型12两条直线的位置关系求直线方程 题型13点到直线的距离 题型14两条平行线的距离 题型15将军饮马问题 题型16点到直线的距离最值 题型17对称问题 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1直线的倾斜角（共5小题） 【模型】直线的倾斜角 【步骤】k=tan= y2-y1。 X2-X1 【易错】注意考虑斜率不存在的情况。 1.(25-26高二上江苏盐城第一中学.期中)直线V3x-y-2=0的倾斜角为() 4.n B. C. 2π D. 5 6 3 3 6 2.(25-26高二江苏苏州西安交通大学苏州附属中学期中)已知直线x+y-3=0的倾斜角为30°，则实数m 的值为() A.-3 3 3 B.- c.V/3 3 0.3 3.2526商二上江苏无锡宜兴六校期中尼知直线的倾斜角为且直线经过P-1,3.Qm,0两点， 则实数m的值为() A.-2 B.0 C.1 D.2 4.(25-26高二上江苏常州田家炳高级中学.期中)经过A2,3x-1,B-4,2两点的直线的倾斜角为0，则实 数x的值为() A.-1 B.3 C.1 D.3 5.(24-25高二上江苏常州联盟学校期中)直线x= 2 的倾斜角为() A.0 B.45 c.90 D.120 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2直线的斜率（共5小题） 【模型】直线的斜率 【步骤】k=tana=y,当 X2-X1 【易错】不能忽略斜率不存在的情况。 6.(25-26高二上江苏盐城五校联盟.期中)已知点A(-1,1),B(4,5),则直线AB的斜率为() A.、4 B.-2 C.2 4 0.5 7.(25-26高二上江苏苏州南京航空航天大学苏州附属中学.期中)已知直线经过点A-1,2与B1,0,则直 线的斜率k与倾斜角8分别为（) A1小晋 ®1小4 c 0.小 则实数m的值为() 3 1 A.- 2 B.- C.2 D. 2 9.(25-26高二上江苏宿迁中学.期中)已知A0,3,B-1,m,C3,0三点共线，则实数m的值为 10.(25-26高二上江苏常州田家炳高级中学.期中)若直线1的斜率k的变化范围是[-1，V3],则1的倾斜角 Q的范围为 题型3直线与线段相交问题（共5小题） 【模型】直线与线段相交 【步骤】求出临界情况的斜率，逆时针方向斜率增大。 【易错】注意，倾斜角为90°是，斜率不存在，可以考虑为∞ 11.(25-26高二上江苏南菁高级中学期中)已知A-2,3、B2,1,若斜率存在的直线1经过点P0,-1, 且与线段AB有交点，则1的斜率的取值范围为() 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-2,1 B.-1,2 c.-0,-2Ul1,+oD.-o,-1Ul2,+oo 12.(24-25高二上江苏锡山高级中学.期中)已知直线1经过点M3,1,且在x轴上的截距的取值范围为 -1,3U3,5,则直线的斜率k的取值范围为() & 11 4’2 c,+ 13.(24-25高二上·江苏苏州张家港期中)经过点P0,-1作直线1，若直线1与连接A(-3,2),B2,1两点的 线段总有公共点，则直线I的倾斜角Q的取值范围是() A.0, .[0,4lu(,) π3π c.44 。.2u受3 14.(24-25高二上江苏南京师范大学附属实验学校.期中)直线1过点P4,2,且与以A8,1,B5,8为端点 的线段有公共点，则直线1斜率可能是() A.1 B.2 C.8 D.6 15.(23-24高二上江苏无锡辅仁高级中学.期中)已知点A2,3,B-5,2,若过点C-1,5的直线l与线段 AB相交，则直线！的斜率的取值范围是一 提升进阶突破 题型4直线的方程（共5小题） 【模型】直线的方程 【步骤】运用直线的五种形式，求解直线的方程 【易错】使用点斜式，注意考虑斜率不存在的情况。 16.(25-26高二上江苏南通如皋期中)直线1经过点P-1,-1,且在两坐标轴上的截距相等，则l的方程为 () A.x-y=0 B.X+y+2=0 C.x+2y+3=0 D.x-y=0或x+y+2=0 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(25-26高二上江苏徐州第三十七中学.期中)已知直线ax-3y-1=0经过点2,1，则实数α的值为 18.(25-26高二上江苏徐州第三十七中学.期中)已知直线1过点4，-2且在两坐标轴上的截距之和为0，则 直线1的方程可能为() A.X-y-6=0 B.X+y-2=0 C.x+2y=0 D.x-2y=0 19.(25-26高二上江苏泰州姜堰区·期中)已知△ABC的三个顶点是A1,2、B-2,-2、C3,-4】 (1)求边AC上的中线BD所在直线方程： (2)求边AC上的高BE所在直线方程. 20.(25-26高二上江苏连云港赣榆区期中)已知直线1：1+4kx-2-3ky+2-14k=0,点 A6,-6,B-3,3. (1)证明：对任意实数k,直线都经过一个定点： (2)设C为直线l经过的定点，D为线段AB的中点，求直线CD的方程， 题型5直线过定点（共5小题） 【模型】直线过定点问题 【步骤】定点问题的本质是消参，将参数放到一起，令系数为0。 【易错】需要把直线重新化简，把全部的参数合并到一起。 21.(25-26高二上江苏无锡第一中学.期中)直线：x+2my+3-m=0过定点 22.(24-25高二上江苏扬州江都区，期中)对于任意的实数m,直线m+1x+y+3m=0恒过定点() A.3,3 B.-3,3 c.-3,-3 D.3,-3 23.(25-26高二上江苏新海高级中学期中)直线λx+2y=1(入是任意实数)恒过定点() A.0,1 B. 0 D.1,0 24.(25-26高二上江苏盐城五校联盟期中)不论m取何值，直线mx-y+m+1=0都过定点() A.(0,1) B.（1,-1) c.（-1,1 D.(0,0】 25.(24-25高二上江苏扬州中学.期中)（多选）下列说法正确的是() A.若abc≠0，且直线aX+by+c=0不经过第二象限，则ab>0,bc<0 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.方程2+x+1-2入y-5=0(入∈R)表示的直线都经过点2,1 c.m∈R,直线m2x+y+2=0不可能与y轴垂直 D.直线3x+3y-1=0的横、纵截距相等 题型6倾斜角取值范围（共5小题） 【模型】倾斜角的取值范围 【步骤】借用斜率取值范围求倾斜角的的取值范围 【易错】注意斜率不存在的情况。 26.(24-25高二上江苏南京南京师范大学附属中学期中)设直线1的方程为x+ysn0-1=00∈R,则直 线1的倾斜角c的范围是() 元元 A.0,T B. 2’4 4’4 D. 4’2 27.(25-26高二上·江苏太湖高级中学期中)直线cosQ·x+y+1=0的倾斜角的取值范围是() A.0, B. c.o. D. U 28.24-25高二上-江苏南通海门)若直线的方程为x-my=0m≤1则，的倾斜角的取值范围为（） A.o.u. 几3π C. 2’4 D.4’4 29.(24-25高二上江苏扬州扬州大学附属中学期中)（多选）已知点M2,3与N0,4关于直线1： Ax+By+C=0对称，则下列说法正确的是() A.AB>0 B.直线1不过第四象限 C.直线1在两坐标轴上的截距之和大于零 D.直线l的倾斜角a∈ ππ 43 30.(25-26高二上江苏无锡北高级中学.期中)（多选）下列说法正确的是（) A.“a=-1”是“直线ax-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件 B.“a=-2”是“直线aX+2y+a=0与直线x+a+1y+1=0互相平行”的充要条件 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 。直线xsina+y+2=0的倾斜角9的取值范围是0,4U,m D.若点A1,0,B0,2,直线过点P2,1且与线段AB相交，则1的斜率k的取值范围是-1≤k≤1 题型7象限问题（共5小题） 【模型】象限问题 【步骤】利用斜截式，通过斜率与y轴截距判断象限问题 【易错】注意斜率为0与斜率不存在的情况。 31.(24-25高二上江苏盐城五校联考期中)已知ab<0,bc<0,则直线ax+by=c经过() A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第一、二、四象限 D.第二、三、四象限 32.(25-26高二上江苏南通如东县期中)若直线y-1=k(x-只3)不经过第四象限，则实数k的取值范围是 () Af0, 3 B.[0, 3 D.（ 3 3 c.(-0,3 33.(24-25高二上江苏盐城七校联考期中)直线的方程为：(a-2)y=(1-3a)x-1,若直线不经过第一象 限，则实数a的取值范围为() 1 B.5≤d≤2 0.a23 A.a>2 C.a≥2 3 34.(24-25高二上江苏宿迁期中)（多选）设m为实数，直线l:x+my-2m-1=0,点M2,3,N4,-5, 则下列说法正确的有() A.直线l过定点1,2 B.若点M,N到直线的距离相等，则m= 3 C.直线l与x轴一定相交 D.若直线不过第二象限，则≤m<0 35.(24-25高二上江苏扬州第一中学.期中)（多选）下列说法正确的是（) A.如果A·C<0,B·C>0,则直线Ax+By+C=0不通过第二象限 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.直线过点P(5,6),它在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线方程为x+2y-17=0 C.无论k取任何实数，直线1+4kx-2-3ky+2-14k=0必过定点(2,2) D.△ABC的一条内角平分线CD的方程为x+y=0,A1,2,B-1,-1,则顶点C的坐标为-1,1 题型8方向向量（共5小题） 【模型】方向向量问题 【步骤】直线方向向量与斜率的关系k= Xo 【易错】方向向量横坐标为0，可以考虑斜率不存在。 36.、25-26高二上江苏无锡梁溪区无锡第一中学期中)若向量。=-L,3是直线的一个方向向量，则，的 倾斜角为() A B. c.2n D.5n 6 3 6 37.(25-26高二上·江苏苏州中学校期中)直线x+2y-1=0的一个方向向量AB可以是() A.1,2 B.2,1 c.1,-2 D.2,-1 38.(25-26高二上江苏无锡玉祁高级中学.期中)过点A1,4的直线的方向向量为m=1,2,则该直线方程 为() A.2X-y+2=0 B.2x+y-6=0 C.X-2y+7=0 D.2x+2y-10=0 39.(23-24高二上江苏苏州期中)直线3x+y-2=0的方向向量为() A.-1,3 B.1,3 c.-3,1 D.3,1 40.(25-26高二上江苏苏州期中)直线1与直线1：x-3y=0及直线l2:x+y-4=0相交于同一点，且1,1为l 的一个方向向量，则在y轴上的截距为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 题型9截距问题求参数（共5小题） 【模型】截距问题 8/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【步骤】通过截距式求解，也可以分别求出两个坐标轴的截距。 【易错】需要注意考虑过原点的情况，过原点的直线，没有截距式。 41.(25-26高二上江苏无锡玉祁高级中学期中)已知直线！过点3,5，且在两坐标轴上的截距相等，则直线！ 的方程为() A.5x-3y=0 B.X+y-8=0 C.5x-3y=0或x+y-8=0 D.X+y-6=0 42.(25-26高二上江苏扬州高邮期中)已知直线！：ax+2y-1+a=0在x轴上的截距是在y轴上的截距的3 倍，则实数a的值是() A.6 B. 2 D.6或1 43.(25-26高二上江苏无锡辅仁高级中学.期中)经过点1,2，且在x轴和y轴上截距相等的直线方程是 () A.X+y-3=0 B.x+y-3=0或2X-y=0 C.x-y+1=0 D.X-y+1=0或2x-y=0 44.(25-26高二上江苏泰州靖江斜桥中学.期中)过点P4,3的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直 线方程为 45.(24-25高二上·江苏扬州扬州大学附属中学东部分校期中)已知直线l经过点P(-5,-4). (1)若直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程； (2)若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程。 题型10两条直线的位置关系（共5小题） 【模型】两条直线的位置关系 【步骤】k1=k2,两直线平行k1k2=-1,两直线垂直 【易错】注意斜率不存在与斜率为0的情况，需要分类讨论。 46. (25-26高二上江苏常州金坛区期中)与直线2x-y-3=0相交的直线方程是() A.4x-2y-6=0 B.y=2x C.y-1=2x+2 D.+=1 63 47.(25-26高二上江苏射阳县陈洋中学期中)直线-2x+4y+1=0与直线x+2y-1=0一定() 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.平行 B.垂直 C.重合 D.相交但不垂直 48.(25-26高二上江苏苏州期中)已知点A-1,9,B5,1,点C在x轴上，△ABC是直角三角形，这样的 三角形的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 49.(23-24高二上江苏扬州第一中学期中)（多选）下列说法中错误的是() A.不过原点的直线都可以用方程X+兰=1表示 a b B.若直线l1‖12，则两直线的斜率相等 C.过两点P,X,y,P,X,y,的直线都可用方程x-xy2y=y-yX,x表示 D.若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 50.(25-26高二上江苏苏州工业园区星海实验高级中学期中)已知两条直线l1:aX-2y+4=0, L2:x+y+b=0 (1)若直线l1过点-3，-1，证明：直线l1与l2垂直： (2)若直线1,12关于x轴对称，求a,b. 拔高压轴破难 题型11两条直线的位置关系求参数（共5小题） 【模型】两条直线的位置关系求参数 【步骤】一判断两条直线是否平行的步骤： 看斜率： .斜率都不存在一看横截距：*Expression is faulty*横截距相等时：两条直线重合*Expression lis faulty*横截距不相等时：两条直线平行 2.斜率存在一看斜率是否相等：*Expression is faulty*斜率相等时一看纵截距：*Expression is faulty*)纵截距相等：两条直线重合，2)纵截距不相等时：两条直线平行， *Expression is faulty*斜率不相等时，两条直线不平行 二.1.若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件11⊥12一A1A2+B1B2=0判断. 若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件11⊥12~k1k2=-1判断 (3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断 【易错】。运用斜率，需要考虑斜率不存在与斜率为0 51. (25-26高二上江苏苏州常熟，期中)“m=2"是“直线mx+2y+1=0与直线x+m-1y-1=0平行”的 10/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.既不充分也不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.充分必要条件 52.(25-26高二上江苏南通如皋，期中)已知直线1：2x+3y-2=0,12:mx+2m-1y+1=0,若l1⊥12， 则m=() A B.2 C.-2 。 53.(24-25高二上江苏西交大附中.期中)已知直线n:3x+(2a-1y-1=0与直线m:bx+y+3=0a,b>0, 1 2 且m上n:则。+6的最小值为（） A.15 B.7+2V3 C.12 D.8+4V3 54.(25-26高二上江苏南通如东县期中)（多选）设m∈R,已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m和 1l2:2x+(5+m)y=8,则() A直线过定点(-3，子 B.当l1l2时，m=-1或m=-7 c.当m=.时，l412 3 0.当m=1时，4，人的交点堡标对-县，寻 55.(25-26高二上江苏梅村高级中学空港分校.期中)（多选）下列说法正确的是() A.若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为-1 8、直线登兰=1在)轴上的距为-3 C.“a=-1”是“直线l1:ax+4y-3=0与l2:x+a-3y+2=0平行”的充分不必要条件 D.若将直线沿X轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则 该直线的斜率为 1 题型12两条直线的位置关系求直线方程（共5小题) 【模型】两条直线的位置关系求直线方程 【步骤】1.当所求直线与已知直线Ax十By+C=0平行时，可设所求直线为Ax十By+入=O(入为参数， 惧入≠C):再结合基他条件求出入，即得所求直线方程， 11/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.当所求直线与已知直线Ax十+By十C=0垂直时，可设所求直线为Bx一Ay+入=O(入为参数)，再结合其 他条件求出入，即得所求直线方程 【易错】若使用斜率，需要考虑斜率不存在的情况。 56. (25-26高二上江苏准阴中学.期中)已知直线：2x+2y-1=0,过点2,1且与直线1平行的直线一般式方 程为 57.(24-25高二上江苏盐城射阳县陈洋中学期中)过点0,0且垂直于直线x-3y+5=0的直线方程为 () A.X+3y=0 B.3x+y=0 C.x-3y=0 D.3x-y=0 58.(24-25高二上江苏苏州期中)已知△ABC的三个顶点是A1,5,B-5,-7,C3,-3,求： (1)边BC上的中线所在直线的方程： (2)边BC上的高所在直线的方程； (3)∠ABC的角平分线所在直线的方程， 59.(24-25高二上江苏宿迁沭阳县期中)已知点A2,4,直线l:x-2y+1=0. (1)求过点A且与直线平行的直线的方程： (2)若点M在直线l上，且AM⊥1，求点M的坐标. 60.(25-26高二上江苏淮安期中)已知△ABC的顶点A2,1,B-1,-1,C3,4! (1)求BC边上的中线AD所在直线的方程； (2)求BC边上的高AE所在直线的方程. 题型13点到直线距离（共5小题） 【模型】点到直线的距离 【步骤】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 (1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式 (2)点P在直线I上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用 (3)直线方程Ax+By+C=0中，A=0或B=0公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂 12/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直)，故也可用数妍形结合求解 【易错】点到直线的距离，需要注意转化为一般式。 61. (25-26高二上江苏无锡惠山区锡山高级中学期中)已知点P(1,2)到直线：4x-3y+m=0的距离为2， 则m的值为 62.(25-26高二上江苏盐城五校联盟期中)已知点(a,1)(a<0)到直线：3x+4y+5=0的距离为3，则a等 于() A.-2 B.-8 C.-2或-8 D.2 63.(25-26高二上江苏扬州仪征精诚高级中学.期中)已知△OAB的三个顶点分别为O0,0A1,3,B3,1, 则△OAB的面积为() A.3 B.4 C.5 D.6 64.(25-26高二上江苏淮安期中)已知A-2,-1,B6,3两点到直线：ax+y+1=0的距离相等，则实数a 的值为() 1 A.0 B.2 C.0或-1 01成号 65.(25-26高二上江苏镇江实验高级中学、茅以升中学期中)已知△ABC的三个项点分别是A-1,1, B2,3,C3,-1 6 (1)若斜率为S的直线m经过点A且与直线BC交于点D,求点D的坐标 (2)求△ABC的面积. 题型14两条平行线的距离（共5小题） 【模型】两条平行线的距离 【步骤】对两条平行直线之间的距离公式的理解 1求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式， 2利用公式求平行线之间的距离时，两条直线方程必须是一般式，且×，y的系数对应相等 13/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3当两条直线都与×轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来解决 【易错】两条平行线求距离，需要把系数化成一致的情况。 66. (25-26高二上江苏泰州姜堰区期中)直线l1:3x-4y+2=0与l2:3x-4y-5=0上各有一动点P、Q, 那么PQ的最小值为() A.3 B. 3 7 12 67.(25-26高二上江苏连云港灌南县·期中)设a为实数，若两条平行直线2X+3y-6=0和2x+3y+a=0之 间的距离等于2，则a= 68.(25-26高二上·江苏准安期中)两条平行直线3x+4y-10=0与6x+8y+5=0之间的距离是 69.(25-26高二上江苏扬州邗江区期中)已知直线！1：ax-2y-3=0,12:2x-4y+9=0 (1)若l1在x轴上的截距与l2在y轴上的截距相等，求a的值： (2)若l11/12,求1与l2之间的距离 70.(25-26高二上江苏无锡惠山区锡山高级中学期中)求下列直线方程： (1)已知直线l经过直线2x+y-5=0和x-2y=0的交点，且A(5,0)到的距离为3，求直线的方程： (2)求与直线m:x-y-2=0平行且到m距离为23的直线方程. 题型15将军饮马问题（共5小题） 【模型】和差最值问题 【步骤】原理利用三角形边角关系，两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于等于第三边。 【易错】注意检验共线时，等候啊是否成立，不成立需要对称转化。 71.(25-26高二上江苏宿迁泗阳县期中)著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休” 事实上，有很多代数问恩可以转化为几何问题加以解决，如：x-Q产+y-b可以转化为平面上点 Mx,y与点Na,b之间的距离.结合上述观点，可得-X-1P+16-x-5+4的最大值为（） A.V17 B.V42 c.25 D.2V6 72.(23-24高二上江苏宿迁青华中学期中)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事 14/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何间题加以解决，如：x-a+y-bP可以转化为平面上 点M(x,y)与点N(Q,b)的距离.结合上述窥点，可得y=7+4x+8+-4x+8的最小值为（） A.42 B.2V2 c.V2+V10 D.3+V5 73.25-26高二上-江苏连云港灌南县期中函数fx=x-1+9-x-5Y+4的最大值为 74.24-25高二上-江苏镇江三校、泰州部分学校：期中)函数fx=x+3+4.X-1+1的最大值为 75.(25-26高二上江苏宿迁沭阳如东中学期中)已知点M(1,-2),N(0,-2),P是直线：x+2y-2=0上 一点，则PM+PN的最小值为 题型16点到直线距离最值（共5小题） 【模型】点到直线距离最值 【步骤】若直线过定点，点与定点之间的距离为最大值 【易错】含参直线需要考虑直线是否过定点 76.(25-26高二上江苏无锡青山高级中学.期中)点A-2,1到直线l:x-y-2m-2=0(m为任意实数) 的距离的最大值是() A.5 B.4 C.5 D.25 77.(24-25高二上江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟期中)已知l:3x+4y+6=0,P(m,n)为l上一 动点，则(m+1+n2的最小值为（） 8. 6 9 36 5 C.25 0. 25 78.(25-26高二上江苏南菁高级中学.期中)已知点P-2,-1和直线：1+2入x+1-3入y+入-2=0，则点 P到直线的距离最大值为 79.(23-24高二上江苏泰州靖江高级中学.期中)已知直线1：m+1x-2m+2y+3m+1=0恒过点P,点 Q在直线x+y+1=0上，则PQ的最小值为 15/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 80.(22-23高二上江苏准安盱眙县第二高级中学.期中)已知直线 1:ax-2y+3=0,12:x+a-3y+5a=01 (1)当a=1时，求两直线的距离： (2)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值， 题型17对称问题（共5小题) 【模型】对称问题 【步骤】实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线 1.当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐 标， y-4=-1 x-62 Ax+0+By++c=0 2 2 般地：设点(0，yo)关于直线Ax+By+C=0的对称点(x,y),则 2.当直线斜率不存在时：点X0,y0关于x=m的对称点为2m-X),y0) 【易错】若不确定计算是否准确，可以带回检验。 81.(25-26高二上江苏连云港赣榆区期中)点A1,2关于直线1：x+y-1=0的对称点为() A.0,-1 B.-1,0 c.2,1 D.-1,1 82.(25-26高二上江苏苏州实验中学期中)将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A0,4与点 B6,0重合，若此时y轴与直线y=kx+b也正好重合，则k的值是() A是 B.2 c 83.(23-24高二上江苏南通崇川区、通州区期中)已知三角形的三个顶点是A4,0,B6,5,C0,3,边 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC上的高所在直线为l. (1)求直线1的方程： (2)求直线1关于点B对称的直线！的方程， 84.(25-26高二上江苏常州金坛区期中)已知点A2,3,直线1：x+y+1=0. (1)求过点A,且与直线垂直的直线l的方程： (2)光线通过点A,经直线反射，其反射光线通过点B1,1,求反射光线所在直线的方程 85.(25-26高二上江苏南通如东县期中)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,4),直线l:x-2y+1=0, 且点M在直线l上，AM⊥L. (1)求直线AM的方程： (2)若点A(2,4)与点B关于直线l对称，求证：点B在x轴上. 17/17第1章直线与方程 基础·固本强基 题型1 直线的倾斜角 题型2 直线的斜率 题型3 直线与线段相交问题 提升·进阶突破 题型4 直线的方程 题型5 直线过定点 题型6 倾斜角取值范围 题型7 象限问题 题型8 方向向量 题型9 截距问题求参数 题型10 两条直线的位置关系 拔高·压轴破难 题型11两条直线的位置关系求参数 题型12两条直线的位置关系求直线方程 题型13 点到直线的距离 题型14 两条平行线的距离 题型15 将军饮马问题 题型16 点到直线的距离最值 题型17 对称问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1直线的倾斜角（共5小题） 【模型】直线的倾斜角 【步骤】。 【易错】注意考虑斜率不存在的情况。 1．(25-26高二上·江苏盐城第一中学·期中)直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角． 【详解】直线的斜率为，因此倾斜角为， 故选：B． 2．(25-26高二·江苏苏州西安交通大学苏州附属中学·期中)已知直线的倾斜角为，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率公式以及斜率的定义可得出关于的等式，进而即得. 【详解】由题意可知，直线的斜率为，解得. 故选：A. 3．(25-26高二上·江苏无锡宜兴六校·期中)已知直线的倾斜角为，且直线经过，两点，则实数的值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据直线的倾斜角求出其斜率，再由过两点， 的直线的斜率公式为求出的值. 【详解】直线的倾斜角为，故其斜率， 根据两点间斜率公式可得：，解得. 故选：B 4．(25-26高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)经过，两点的直线的倾斜角为0，则实数的值为（   ） A．-1 B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，直线平行于轴，则，可解. 【详解】根据经过，两点的直线的倾斜角为0， 即直线平行于轴， 则，解得. 故选：C 5．(24-25高二上·江苏常州联盟学校·期中)直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与倾斜角关系求解即可. 【详解】直线的斜率不存在，因此倾斜角为. 故选：C. 题型2直线的斜率（共5小题） 【模型】直线的斜率 【步骤】 【易错】不能忽略斜率不存在的情况。 6．(25-26高二上·江苏盐城五校联盟·期中)已知点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据经过两点的直线斜率公式即可得到答案. 【详解】由题意可得直线的斜率为. 故选：D. 7．(25-26高二上·江苏苏州南京航空航天大学苏州附属中学·期中)已知直线经过点与，则直线的斜率与倾斜角分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】利用斜率公式以及直线斜率与倾斜角的关系可求得结果. 【详解】由题意可得，即 ，因为，故. 故选：D. 8．(24-25高二上·江苏南通通州区、如东县2地·期中)已知经过两点的直线的斜率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点求斜率的公式列方程，化简求得的值. 【详解】依题意，. 故选：B 9．(25-26高二上·江苏宿迁中学·期中)已知三点共线，则实数的值为______. 【答案】4 【分析】根据A，B，C三点共线可得，然后利用两点间的斜率公式代入求解即可. 【详解】因为三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为：. 10．(25-26高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)若直线l的斜率k的变化范围是，则l的倾斜角的范围为__________. 【答案】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的变化关系，可得答案. 【详解】由题，，又， 所以. 故答案为：. 题型3直线与线段相交问题（共5小题） 【模型】直线与线段相交 【步骤】求出临界情况的斜率，逆时针方向斜率增大。 【易错】注意，倾斜角为90°是，斜率不存在，可以考虑为∞ 11．(25-26高二上·江苏南菁高级中学·期中)已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 12．(24-25高二上·江苏锡山高级中学·期中)已知直线经过点，且在轴上的截距的取值范围为，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线在轴上的截距的取值范围利用两点间斜率公式计算可得结果. 【详解】如下图所示： 易知点与点之间的斜率为， 当在轴上的截距的取值范围为时，直线的斜率的取值范围； 点点与点之间的斜率为， 当在轴上的截距的取值范围为时，直线的斜率的取值范围； 综上可知直线的斜率的取值范围为. 故选：C 13．(24-25高二上·江苏苏州张家港·期中)经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线l的倾斜角为，根据直线l与连接的线段总有公共点，可得或，结合正切函数的图象即得. 【详解】 如图所示，设直线l的倾斜角为， 则 直线与连接的线段总有公共点， 或，即或， 又，则有. 故选：C. 14．(24-25高二上·江苏南京师范大学附属实验学校·期中)直线l过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是（   ） A．1 B．2 C．8 D．6 【答案】ABD 【分析】分别计算出直线过点,时的斜率，结合斜率定义即可得直线的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】已知，，根据直线斜率公式，可得. 已知，，根据直线斜率公式，可得. 根据题意，直线与线段有交点，则. 故选：ABD. 15．(23-24高二上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是______. 【答案】 【分析】数形结合，观察倾斜角的变化情况确定斜率的变化情况. 【详解】如图直线与线段相交， 因为， 结合图形可知的斜率取值范围是. 故答案为： 提升·进阶突破 题型4直线的方程（共5小题） 【模型】直线的方程 【步骤】运用直线的五种形式，求解直线的方程 【易错】使用点斜式，注意考虑斜率不存在的情况。 16．(25-26高二上·江苏南通如皋·期中)直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】讨论截距是否为0，设直线方程，结合点在直线上求参数，即可得. 【详解】因为直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等， 当直线经过原点时，满足题意，设直线的方程为， 代入得，此时直线的方程； 当直线的截距都不为0时，设直线的方程为， 则有，解得，此时直线的方程为； 综上所述：所求直线的方程为或. 故选：D. 17．(25-26高二上·江苏徐州第三十七中学·期中)已知直线经过点，则实数a的值为__________. 【答案】2 【分析】直接代入点计算即可. 【详解】将代入直线得，解得. 故答案为：2. 18．(25-26高二上·江苏徐州第三十七中学·期中)已知直线l过点且在两坐标轴上的截距之和为0，则直线l的方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据直线是否过原点进行分情况讨论即可求解. 【详解】由题可知直线的斜率存在且不为， 当直线过原点时，设为，将代入中，得， 解得，故直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设为， 因为直线在两坐标轴上的截距之和为0，所以， 则直线的方程化为，将代入中，得， 解得，故直线的方程为，即. 综上，直线的方程为或. 故选：AC. 19．(25-26高二上·江苏泰州姜堰区·期中)已知的三个顶点是、、. (1)求边上的中线所在直线方程； (2)求边上的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出线段的中点的坐标，进而可求出直线的斜率，利用点斜式方程可得出直线的方程； （2）求出直线的斜率，进而可得出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】（1）由题意可知，线段的中点为，故， 故边上的中线所在直线方程为，即. （2）由题意可得，因为，则， 故边上的高所在直线方程为，即. 20．(25-26高二上·江苏连云港赣榆区·期中)已知直线，点． (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)设为直线经过的定点，为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) 因为直线， 所以， 因为， 所以，解得， 所以对任意实数，直线都经过一个定点. (2) 【分析】（1）将化为，建立方程组即可求解； （2）分别表示出，两点坐标，求出直线的斜率，再利用点斜式即可解得. 【详解】（1）略 （2）因为为直线经过的定点，由（1）可知的坐标为， 又因为为线段的中点，则，即， 则，则直线的方程为：，即为. 题型5直线过定点（共5小题） 【模型】直线过定点问题 【步骤】定点问题的本质是消参，将参数放到一起，令系数为0. 【易错】需要把直线重新化简，把全部的参数合并到一起。 21．(25-26高二上·江苏无锡第一中学·期中)直线过定点__________． 【答案】 【分析】将方程转化可解. 【详解】直线， 将直线方程化为， 当时，，此时与的值无关， 所以直线过定点. 故答案为： 22．(24-25高二上·江苏扬州江都区·期中)对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，联立方程组可得解. 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 23．(25-26高二上·江苏新海高级中学·期中)直线（是任意实数）恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线系过定点求解. 【详解】当时，， 所以直线（是任意实数）恒过定点， 故选：B 24．(25-26高二上·江苏盐城五校联盟·期中)不论取何值，直线都过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】提取得，从而得到方程组，解出即可. 【详解】，即，则，解得. 则过定点. 故选：C. 25．(24-25高二上·江苏扬州中学·期中) （多选）下列说法正确的是（    ） A．若，且直线不经过第二象限，则， B．方程（）表示的直线都经过点 C．，直线不可能与轴垂直 D．直线的横、纵截距相等 【答案】BD 【分析】将直线方程化为斜截式，从而得到的不等式组，求解可判断A，利用直线过定点的求法可判断B，直接举例可判断C，求出直线的横、纵截距可判断D. 【详解】对于A，因为，所以可化为， 若直线不经过第二象限，则即，，故A错误； 对于B，直线方程可整理为， 由得 所以直线恒过定点，故B正确； 对于C，当时，直线方程为，此时与轴垂直，故错误； 对于D，直线的横、纵截距均为，故正确． 故选：BD． 题型6倾斜角取值范围（共5小题） 【模型】倾斜角的取值范围 【步骤】借用斜率取值范围求倾斜角的的取值范围 【易错】注意斜率不存在的情况。 26．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期中)设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按是否为0分类讨论，求出斜率的取值范围，进而求出倾斜角的范围. 【详解】当时，直线的斜率不存在，则直线的倾斜角， 当时，直线的斜率， 当，即时，则；当，即时，， 所以直线的倾斜角的范围为. 故选：C 27．(25-26高二上·江苏太湖高级中学·期中)直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的倾斜角为，根据题意，求得直线的斜率为，得到，结合正切函数的性质，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，其中， 由直线，可得直线的斜率为，所以， 可得或，所以直线倾斜角的取值范围为. 故选：B. 28．(24-25高二上·江苏南通海门·)若直线的方程为，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两类讨论，当时先求出直线的斜率的取值范围，再根据正切函数图像求解. 【详解】当时，直线的倾斜角为； 当时，直线的斜率，因为，所以或， 根据正切函数的图像性质可知：倾斜角或； 综上： . 故选：D 29．(24-25高二上·江苏扬州扬州大学附属中学·期中) （多选）已知点与关于直线l：对称，则下列说法正确的是（   ） A． B．直线l不过第四象限 C．直线l在两坐标轴上的截距之和大于零 D．直线l的倾斜角 【答案】BC 【分析】根据题意，求出直线的斜率，和点的中点，根据垂直关系可得直线l的方程，进而逐项判断即可. 【详解】根据题意，，点与的中点， 所以直线l的斜率为2，且过点， 则直线l：，即, 所以，A错误； 直线l与两坐标轴的交点分别为， 所以直线过一、二和三象限，故B正确； 又，所以C正确； ，而在上单调递增， 所以直线l的倾斜角大于，D错误. 故选：BC 30．(25-26高二上·江苏无锡北高级中学·期中) （多选）下列说法正确的是（   ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B：由题意可得，进而可得倾斜角的范围；对于C：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据图形结合斜率公式分析求解. 【详解】对于选项A：当时，直线与直线斜率分别为1，， 斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立； 若“直线与直线互相垂直”， 则，故或， 所以得不到，即必要性不成立，故A错误； 对于选项B：由直线平行得，解得， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于选项C：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C正确； 对于选项D：如图所示：    可得，，结合图象知，故D正确； 故选：BCD. 题型7象限问题（共5小题） 【模型】象限问题 【步骤】利用斜截式，通过斜率与y轴截距判断象限问题 【易错】注意斜率为0与斜率不存在的情况。 31．(24-25高二上·江苏盐城五校联考·期中)已知，则直线经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，即可求解. 【详解】由于，故直线可变形为， 故，因此直线经过第一、三、四象限， 故选：B 32．(25-26高二上·江苏南通如东县·期中)若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，结合其不经过的象限列不等式求参数范围. 【详解】由题设不经过第四象限， 则. 故选：B 33．(24-25高二上·江苏盐城七校联考·期中)直线的方程为：，若直线不经过第一象限，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与截距讨论不经过第一象限时所满足的条件，解得结果. 【详解】若直线斜率不存在，即不经过第一象限， 若直线斜率存在，即， 所以， 综上实数的取值范围为， 故选：C. 34．(24-25高二上·江苏宿迁·期中)（多选）设为实数，直线：，点，，则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．若点，到直线的距离相等，则 C．直线与轴一定相交 D．若直线不过第二象限，则 【答案】AC 【分析】根据直线过定点的求法判断A，由特殊情况直线与两点连线平行判断B，分析直线不能写成的形式判断C，取特例判断D. 【详解】由直线：，可得， 当，即时，方程恒成立， 即直线过定点，故A正确； 当直线与平行（或重合 ）或直线过的中点时，点，到直线的距离相等， 由，可知时，直线为，与平行，符合题意，故B错误； 由直线：可知，直线倾斜角不可能 为0，所以一定与x轴相交，故C正确； 直线不过第二象限，当时，直线方程为，满足题意，故D错误. 故选：AC 35．(24-25高二上·江苏扬州第一中学·期中) （多选）下列说法正确的是（    ） A．如果，，则直线不通过第二象限 B．直线过点，它在轴上的截距是在轴上的截距的倍，则此直线方程为 C．无论取任何实数，直线必过定点 D．的一条内角平分线的方程为，，，则顶点的坐标为 【答案】AC 【分析】利用给定条件结合一次函数性质判断A，利用截距式方程结合分类讨论判断B， 对给定直线化简，令含参部分和其他部分同时为求解定点判断C， 利用角平分线性质得到两个角相等，再利用平面向量的夹角公式建立方程，求解参数判断D即可. 【详解】对于A，易得，直线方程可化为， 因为，，所以与符号相反，与符号相同， 则与符号相反，故直线的斜率，在y轴上的截距， 则直线不经过第二象限，故A正确； 对于B，设直线方程在轴上的截距为， 因为它在轴上的截距是在轴上的截距的倍， 所以它在轴上的截距是， 当时，设直线方程为， 将代入直线方程，得到，解得， 故直线方程为，化简得， 当时，则直线方程必过原点，设直线方程为， 将代入直线方程，得到，解得， 故直线方程为，化简得， 综上，此直线方程为或，故B错误， 对于C，因为， 所以， 故得， 即有，， 解得， 故原直线必过定点，故C正确， 对于D，因为的一条内角平分线的方程为， 且设顶点的坐标为，由题意得，， 因为是的一条内角平分线，所以， 而，， 而的方程为，故设， 因为，所以， 所以， 故得， 解得，故顶点的坐标为，故D错误. 故选：AC 题型8方向向量（共5小题） 【模型】方向向量问题 【步骤】直线方向向量与斜率的关系 【易错】方向向量横坐标为0，可以考虑斜率不存在。 36．(25-26高二上·江苏无锡梁溪区无锡第一中学·期中)若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率， 则，故. 37．(25-26高二上·江苏苏州中学校·期中)直线的一个方向向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由直线斜率得到直线的一个方向向量，再对选项逐一检验即可. 【详解】直线方程可化为：， 故直线的一个方向向量为：， 因为，所以D正确. 故选：D 38．(25-26高二上·江苏无锡玉祁高级中学·期中)过点的直线的方向向量为，则该直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的方向向量确定直线的斜率，利用直线点斜式方程进行求解即可. 【详解】由于直线的方向向量为，故直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 故选：A． 39．(23-24高二上·江苏苏州·期中)直线的方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的斜率得到直线的一个方向向量为，再求其共线向量即可. 【详解】由题意得直线的斜率为-3，所以直线的一个方向向量为， 又，所以也是直线的一个方向向量. 故选：A. 40．(25-26高二上·江苏苏州·期中)直线与直线及直线相交于同一点，且为的一个方向向量，则在轴上的截距为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据题意可得交点，再由方向向量可得直线斜率，接着求出直线方程即可． 【详解】联立方程，直线过点， 又为直线的一个方向向量，则直线斜率为1， 直线，当，，即在轴上的截距为． 故选：A 题型9截距问题求参数（共5小题） 【模型】截距问题 【步骤】通过截距式求解，也可以分别求出两个坐标轴的截距。 【易错】需要注意考虑过原点的情况，过原点的直线，没有截距式。 41．(25-26高二上·江苏无锡玉祁高级中学·期中)已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分为截距为和截距不为进行求解. 【详解】当截距为，则直线的方程为， 当截距不为，设，由直线过点， 故，解得， 即. 因此直线的方程为或. 故选：C 42．(25-26高二上·江苏扬州高邮·期中)已知直线：在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则实数的值是（   ） A．6 B． C．或1 D．6或1 【答案】C 【分析】根据直线的一般式方程，求出直线在轴与轴上的截距，注意计算时不随意约分，造成漏解. 【详解】由题可知若，则直线在轴上的截距不存在，不符合题意，因此. 令，得直线在轴上的截距为；令，得直线在轴上的截距为, ,解得或. 故选：C. 43．(25-26高二上·江苏无锡辅仁高级中学·期中)经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可. 【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为， 所以满足题意的直线方程为或， 故选：B 44．(25-26高二上·江苏泰州靖江斜桥中学·期中)过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为__________. 【答案】或 【分析】根据题意，分截距为0和截距不为0两种情况讨论，然后分别求解即可. 【详解】当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线方程为直线方程为， 将点代入可得，此时直线方程为，即； 当直线在两坐标轴上的截距不为0时，因为直线在两坐标轴上的截距之和为零，所以设直线方程为直线方程为， 将点代入可得，解得，此时直线方程为. 所以该直线方程为或. 故答案为：或 45．(24-25高二上·江苏扬州扬州大学附属中学东部分校·期中)已知直线经过点． (1)若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用截距式，设直线的方程为，再根据面积和经过的得到方程组，解出即可； （2）分直线过原点和不过原点讨论即可. 【详解】（1）由题意可设直线的方程为， 代入有，又由题意得，则， 联立解得或， 则直线的方程为或， 即或. （2）当直线经过原点时，则，则，即； 当直线不经过原点时，设，代入，则有，解得， 即. 综上所述直线的方程为或. 题型10两条直线的位置关系（共5小题） 【模型】两条直线的位置关系 【步骤】，两直线垂直 【易错】注意斜率不存在与斜率为0 的情况，需要分类讨论。 46．(25-26高二上·江苏常州金坛区·期中)与直线相交的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项计算所给直线的斜率，与原直线的斜率比较即可得. 【详解】直线斜率为； 对A：可化为，故两直线重合，故A错误； 对B：斜率为，故两直线平行，故B错误； 对C：斜率为，故两直线平行，故C错误； 对D：可化为，斜率为， 则两直线相交，故D正确. 故选：D. 47．(25-26高二上·江苏射阳县陈洋中学·期中)直线与直线一定（   ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】求得两直线的斜率，根据斜率关系判断直线的位置关系. 【详解】由直线得，, 由直线得，, 因为，故两直线相交但不垂直. 故选：D. 48．(25-26高二上·江苏苏州·期中)已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设点C的坐标，讨论当分别为直角时的情况，求得点C的坐标，得满足题意的三角形共有3个. 【详解】设.显然直线斜率都存在. 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法二：若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形； 若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 49．(23-24高二上·江苏扬州第一中学·期中) （多选）下列说法中错误的是（    ） A．不过原点的直线都可以用方程表示 B．若直线，则两直线的斜率相等 C．过两点的直线都可用方程表示 D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直 【答案】ABD 【分析】根据对直线的截距式、两点式的理解即可判断AC；根据两直线的位置关系即可判断BD. 【详解】A：直线的截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A错误； B：和的斜率有可能不存在，故B错误； C：选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果， 直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线， 但化为整式后就可以表示任意直线，故C正确； D：直线斜率不存在，则直线垂直于x轴； 直线斜率存在，但不一定为0，所以两直线不一定垂直，故D错误. 故选：ABD. 50．(25-26高二上·江苏苏州工业园区星海实验高级中学·期中)已知两条直线，. (1)若直线过点，证明：直线与垂直； (2)若直线，关于轴对称，求，. 【答案】(1) 因为直线过点， 所以，解得，所以直线，即， 又直线，即， 所以，所以直线与垂直. (2)， 【分析】（1）首先求出直线的方程，即可求出、，从而得证； （2）首先将直线方程化为斜截式，由直线，关于轴对称，得到，解得即可. 【详解】（1）略 （2）直线，， 因为直线，关于轴对称， 所以，解得. 拔高·压轴破难 题型11两条直线的位置关系求参数（共5小题） 【模型】两条直线的位置关系求参数 【步骤】一.判断两条直线是否平行的步骤： 看斜率： 1.斜率都不存在看横截距：①横截距相等时：两条直线重合②横截距不相等时：两条直线平行 2.斜率存在看斜率是否相等：①斜率相等时看纵截距：1）纵截距相等：两条直线重合，2）纵截距不相等时：两条直线平行. ②斜率不相等时，两条直线不平行. 二.1.若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件l1⊥l2A1A2+B1B2=0判断. 若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件l1⊥l2k1k2=-1判断. （3）若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断. 【易错】。运用斜率，需要考虑斜率不存在与斜率为0. 51．(25-26高二上·江苏苏州常熟·期中)“”是“直线与直线平行”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分必要条件 【答案】D 【分析】根据两直线平行的性质，结合充分性、必要性进行判断即可. 【详解】直线与直线平行， 所以且，解得， 所以“”是“直线与直线平行”的充分必要条件， 故选：D 52．(25-26高二上·江苏南通如皋·期中)已知直线，，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由可得，从而可求解. 【详解】由题意知，即得，解得，故A正确. 故选：A. 53．(24-25高二上·江苏西交大附中·期中)已知直线与直线，且，则的最小值为（    ） A．15 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】由直线垂直得到方程，求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得，故， 由于， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D 54．(25-26高二上·江苏南通如东县·期中) （多选）设，已知两条直线和，则（   ） A．直线过定点 B．当时，或 C．当时， D．当时，的交点坐标为 【答案】ACD 【分析】根据两条直线平行，两条直线垂直和求两条直线的交点等逐项分析即可. 【详解】直线进行变形， 令，解得，直线过定点，正确. 当时，，解得或， 当时，直线和，两条直线重合，不符合题意， 当时，直线，，即和，两条直线平行，因此仅当时，，错误 . 当时，直线和，此时， 当时，，正确. 当时，直线和，联立方程组，解得， 当时，的交点坐标为，正确. 故选：ACD. 55．(25-26高二上·江苏梅村高级中学空港分校·期中) （多选）下列说法正确的是（   ） A．若两条直线垂直，则这两条直线的斜率的乘积为 B．直线在轴上的截距为 C．“”是“直线：与：平行”的充分不必要条件 D．若将直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】BC 【分析】对A：考虑斜率不存在与斜率为的情况即可得；对B：令，解出即可得；对C：由平行性质计算可得，再结合充分条件与必要条件定义判断即可得；对D：设出直线方程后求出平移后直线，再利用截距相等计算即可得. 【详解】对A：当一条直线斜率为时，另一条直线斜率不存在，故A错误； 对B：令，解得，故该直线在轴上的截距为，故B正确； 对C：若、平行，则有，解得或， 当时，直线：与：，符合； 当时，直线：与：，符合； 故“”是“直线与平行”的充分不必要条件，故C正确； 对D：当直线斜率不存在时，左移再上移后不可能回到原来的位置，舍去； 直线斜率存在时，设直线，则将直线沿轴向左平移3个单位长度， 可得，再沿轴向上平移1个单位长度，可得， 即，则有，解得，故D错误. 故选：BC. 题型12两条直线的位置关系求直线方程（共5小题） 【模型】两条直线的位置关系求直线方程 【步骤】1.当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0平行时，可设所求直线为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，且λ≠C)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程． 2.当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直时，可设所求直线为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程 【易错】若使用斜率，需要考虑斜率不存在的情况。 56．(25-26高二上·江苏淮阴中学·期中)已知直线，过点且与直线平行的直线一般式方程为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用点斜式求解作答. 【详解】直线的斜率为，则所求直线的斜率为， 又直线经过点，所以所求直线的方程是，即. 故答案为：. 57．(24-25高二上·江苏盐城射阳县陈洋中学·期中)过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设直线方程为，代入原点即可. 【详解】设与垂直于直线的直线方程为， 若直线过原点，则， 所以所求直线方程为. 故选：B. 58．(24-25高二上·江苏苏州·期中)已知的三个顶点是，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)的角平分线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对于求边BC上的中线所在直线方程：首先要找到BC中点坐标，根据中点坐标公式，然后利用两点式求直线方程； （2）对于求边BC上的高所在直线方程：先求BC边的斜率，根据斜率公式，高与BC垂直，两条垂直直线斜率乘积为，再利用点斜式求直线方程； （3）对于求的角平分线所在直线方程：先求AB和BC边的斜率，根据夹角公式，设角平分线斜率为，求出，再利用点斜式求出直线方程. 【详解】（1）首先求BC中点坐标，已知， 根据中点坐标公式，BC中点， 已知中线过和两点，根据两点式， 即，化简得，整理得. （2）先求BC边的斜率，已知， 根据斜率公式， 因为高与BC垂直，设高的斜率为，则，解得， 又因为高过点，根据点斜式，整理得. （3）先求AB边的斜率，BC边的斜率， 设角平分线斜率为，根据夹角公式得，化简 交叉相乘得， 继续化简，即或， 继续化简（舍去），或，即， 因为角平分线的斜率应该在和之间，所以， 又因为角平分线过点，根据点斜式，整理得. 59．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县·期中)已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)若点在直线上，且，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）根据题意，设点，根据，可得出，求出的值，即可得出点的坐标. 【详解】（1）设所求直线方程为， 将点的坐标代入得，所以， 所以所求直线方程为. （2）因为点在直线上，设点， 因为，且直线的斜率为，故，解得， 所以点的坐标为. 60．(25-26高二上·江苏淮安·期中)已知的顶点. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出中点坐标后结合点坐标计算即可得； （2）求出直线的斜率后由高的性质可得直线斜率，结合点坐标计算即可得； 【详解】（1）由，有， 故中点的坐标为，又， 则，即； （2）由，则， 由为边上的高，故，则， 故，即. 题型13点到直线距离（共5小题） 【模型】点到直线的距离 【步骤】应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 （1） 直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式. （2） 点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用. （3）直线方程Ax+By+C=0中，A=0或B=0公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解. 【易错】点到直线的距离，需要注意转化为一般式。 61．(25-26高二上·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 【答案】或 【分析】由点到直线的距离公式可得. 【详解】点到直线的距离为，所以. 解得，或. 故答案为:或. 62．(25-26高二上·江苏盐城五校联盟·期中)已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式，即得解 【详解】由点到直线的距离公式得，即， 又，所以． 故选：B. 63．(25-26高二上·江苏扬州仪征精诚高级中学·期中)已知的三个顶点分别为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求，再求点到直线的距离，即可求的面积. 【详解】易得，，直线的方程为，即. 所以点到直线的距离为：. 所以的面积为：. 故选：B 64．(25-26高二上·江苏淮安·期中)已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】D 【分析】 利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即， 解得或 故选：D. 65．(25-26高二上·江苏镇江实验高级中学、茅以升中学·期中)已知的三个顶点分别是，，. (1)若斜率为的直线经过点且与直线交于点，求点的坐标. (2)求的面积. 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）分别求直线、的方程，联立方程即可求交点坐标； （2）先求和点到直线的距离，进而可得面积. 【详解】（1）由题可知：直线经过，， 则直线的方程，即， 直线的方程为，即， 联立方程，解得， 所以点坐标为. （2）由题意可知：， 点到直线：的距离， 则， 所以的面积为7. 题型14两条平行线的距离（共5小题） 【模型】两条平行线的距离 【步骤】对两条平行直线之间的距离公式的理解 1.求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式. 2.利用公式求平行线之间的距离时，两条直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等. 3.当两条直线都与x轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来解决. 【易错】两条平行线求距离，需要把系数化成一致的情况。 66．(25-26高二上·江苏泰州姜堰区·期中)直线：与：上各有一动点、，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因两条直线平行，得的最小值就是两条平行线间的距离可得. 【详解】由直线：与：，，所以. 所以的最小值就是两条平行线间的距离，. 故选：C. 67．(25-26高二上·江苏连云港灌南县·期中)设为实数，若两条平行直线和之间的距离等于2，则__________. 【答案】 【分析】根据两条平行直线的距离公式计算. 【详解】由题意得，，得. 故答案为： 68．(25-26高二上·江苏淮安·期中)两条平行直线与之间的距离是__________. 【答案】/ 【分析】借助两平行线距离公式计算即可得. 【详解】由题意得可化为， 则两平行线间距离. 故答案为：. 69．(25-26高二上·江苏扬州邗江区·期中)已知直线，. (1)若在轴上的截距与在轴上的截距相等，求的值； (2)若，求与之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别讨论与时在轴上的截距情况，根据已知截距的等量关系可构造方程求得结果； （2）利用两直线平行可构造方程求得的值，结合平行直线间距离公式可求得结果. 【详解】（1）由题意知在轴上的截距为； 当时，，其在轴上无截距，不合题意； 当时，，则在轴上的截距为， ，解得； 综上所述：. （2），，解得：， ，即， 与之间的距离. 70．(25-26高二上·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期中)求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程． 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）先求两直线的交点，再分斜率存在与不存在两种情况设直线方程，利用点到直线距离公式求解即可； （2）设平行直线方程，利用两平行直线距离公式列方程求参数，即可得所求直线方程. 【详解】（1）由题意，联立，解得，所以两直线的交点为， 当直线的斜率存在时，设的方程为，即， 则点到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 点到直线的距离为，成立； 综上所述，直线的方程为或. （2）因为所求直线与直线平行， 所以设所求直线为， 又所求直线到直线的距离为， 所以，解得或， 所以所求直线方程为或. 题型15将军饮马问题（共5小题） 【模型】和差最值问题 【步骤】原理利用三角形边角关系，两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于等于第三边。 【易错】注意检验共线时，等候啊是否成立，不成立需要对称转化。 71．(25-26高二上·江苏宿迁泗阳县·期中)著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 72．(23-24高二上·江苏宿迁青华中学·期中)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点间距离公式可将问题转化为轴上一点到点与点的距离之和的最小值，当三点共线时，进而即得. 【详解】，      则可看作轴上一点到点与点的距离之和，即， 则可知当三点共线时，取得最小值， 即. 故选：A. 73．(25-26高二上·江苏连云港灌南县·期中)函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据代数式的几何意义作图求解. 【详解】表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 74．(24-25高二上·江苏镇江三校、泰州部分学校·期中)函数的最大值为______________. 【答案】 【分析】可表示为点与点的距离减去点与点的距离，然后可得答案. 【详解】， 表示为点与点的距离减去点与点的距离， 所以， 又，当共线，且P在B的外侧时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 75．(25-26高二上·江苏宿迁沭阳如东中学·期中)已知点是直线上一点，则的最小值为__________． 【答案】5 【分析】根据点关于直线对称，可得可得对称点为，即可利用三点共线求解. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得， 故，故, 故最小值为：5 题型16点到直线距离最值（共5小题） 【模型】点到直线距离最值 【步骤】若直线过定点，点与定点之间的距离为最大值 【易错】含参直线需要考虑直线是否过定点 76．(25-26高二上·江苏无锡青山高级中学·期中)点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A． B．4 C．5 D．25 【答案】C 【分析】数形结合，利用当直线 与线段 垂直时，点 到直线 的距离最大，可得答案. 【详解】直线方程可改写为 ，表明直线 恒过定点 ， 点 与点 的距离为：. 当直线 与线段 垂直时，点 到直线 的距离最大，且最大值为 . 此时线段 的斜率为 ，直线 垂直于 ，直线 的斜率为 . 故选：C 77．(24-25高二上·江苏镇江一中、徐州三中等十三校联盟·期中)已知，为上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的最小值即为与的距离的平方的最小值，然后求点到直线的距离即可求解. 【详解】由于， 所以的最小值即为与的距离的平方的最小值， 则点到直线上的最小值即为点到直线的距离， 故，所以的最小值为. 故选：C. 78．(25-26高二上·江苏南菁高级中学·期中)已知点和直线，则点到直线的距离最大值为______． 【答案】 【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【详解】由， 即， 令，解得， 则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 79．(23-24高二上·江苏泰州靖江高级中学·期中)已知直线l：恒过点P，点Q在直线上，则的最小值为______________． 【答案】 【分析】求出定点P的坐标，的最小值即为点P到直线的距离，由点到直线的距离公式可得结果. 【详解】由直线l可得， 令，得P点坐标， 依题意：的最小值即为点P到直线的距离，由点到直线的距离公式可得 故答案为： 80．(22-23高二上·江苏淮安盱眙县第二高级中学·期中)已知直线. (1)当a=1时，求两直线的距离； (2)写出原点到直线的距离，并求出该距离的最大值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）直接根据两直线的距离公式计算得到答案. （2）直接根据点到直线的距离公式得到答案. 【详解】（1）当a=1时，， 所以两直线的距离为. （2）原点到直线的距离为，当时， 题型17对称问题（共5小题） 【模型】对称问题 【步骤】实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线 1.当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标， 一般地：设点(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点(x’，y’)，则 2.当直线斜率不存在时：点关于的对称点为（，） 【易错】若不确定计算是否准确，可以带回检验。 81．(25-26高二上·江苏连云港赣榆区·期中)点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点关于直线的对称点，求出的中点，然后利用的中点在直线上且直线与垂直，列出方程组求解即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 由中点坐标公式得的中点为， 则的中点在直线上且直线与垂直， 所以，化简得，则， 所以点关于直线的对称点为. 故选：B 82．(25-26高二上·江苏苏州实验中学·期中)将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知点对称，应用点斜式写出对称轴方程，并求出其与轴的交点，再由轴与直线关于对称轴对称，确定相关点在直线上求参数值. 【详解】由点与点重合，则的中点为，， 所以的对称轴所在的直线的斜率为，则对称轴为，即， 由，即对称轴与轴的交点为， 而折叠后，轴与直线也正好重合，即轴与直线关于直线对称， 由在轴上，所以点、都在上，则. 故选：A 83．(23-24高二上·江苏南通崇川区、通州区·期中)已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l． (1)求直线l的方程； (2)求直线l关于点B对称的直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用两点式求斜率，再由直线垂直得，应用点斜式写出直线l的方程； （2）由直线平行设直线的方程为，根据已知及点线距离公式列方程求参数，即可得直线的方程． 【详解】（1）因为点，，所以， 因为，所以，且直线l经过点， 所以直线l的方程为，即． （2）设直线的方程为， 由点到直线l和直线的距离相等， 所以，解得， 所以直线的方程为． 84．(25-26高二上·江苏常州金坛区·期中)已知点，直线. (1)求过点，且与直线垂直的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1)： (2) 【分析】（1）设直线：，将点代入直线，即可解出答案； （2）先求出点关于直线的对称点，再由两点式写出反射光线. 【详解】（1）因为直线垂直于直线，直线 所以设直线：， 将点代入直线：， 所以直线：. （2）设点关于直线的对称点为，则 所以， 所以反射光线:， 化简得：. 85．(25-26高二上·江苏南通如东县·期中)在平面直角坐标系中，已知点，直线，且点在直线上，． (1)求直线的方程； (2)若点与点关于直线对称，求证：点在轴上． 【答案】(1) (2) 因为，所以，即. 设，则，所以，即. 因为，所以点在轴上. 【分析】（1）由，求得直线的斜率，利用点斜式求出方程； （2）联立直线与直线的方程求出点，利用中点坐标公式求解. 【详解】（1）因为，即，所以直线的斜率为. 设直线的斜率为，因为， 所以，所以. 所以直线的方程，即. （2）略 $