精品解析：贵州贵阳市北京师范大学贵阳附属中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

北师大贵阳附中2026-2027学年第一学期第一次月考 高二数学 考试时间：120分钟 试卷满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 2 D. -2 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则 的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 若、、，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知空间向量，，，向量，其中．则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若空间向量、满足，则 B. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C. 对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D. 若三个非零空间向量、、满足，，则 10. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ） A. 两条异面直线和所成的角为 B. 直线BC与平面所成的角等于 C. 三棱柱外接球半径为 D. 若M是线段AC上的动点，则M到面的距离为 11. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，，，则CD的长为______． 13. 如图，用，，三种不同的元件并联连接成系统，每个元件是否正常工作不受其他元件影响．当元件，，中至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件，，正常工作的概率分别为，，，则系统正常工作的概率为__________． 14. 在棱长为2的正方体中，P是棱上一动点，点O是面AC的中心，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的值； （2）若，，求的面积． 16. 已知空间中三点． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 17. 如图，正四棱柱中，，，点，分别是，的中点． （1）求直线与直线所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 18. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在[120，130）内的频率； （2）估计本次考试的中位数； （3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率． 19. 在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大贵阳附中2026-2027学年第一学期第一次月考 高二数学 考试时间：120分钟 试卷满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2. 若复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】计算，得到，得到答案. 【详解】，则，虚部为. 故选：C 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】函数有意义， 则需满足， 解得， 故函数的定义域为． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由诱导公式得， 解得， ． 5. 已知，则 的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 6. 若、、，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量、，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以点到直线的距离为. 7. 在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设定义得平面的法向量为，结合直线方向向量，求线面角的正弦值. 【详解】由过，可化为， 所以平面的法向量为，而直线的方向向量为， 所以直线与平面的所成角的正弦值. 故选：D 8. 已知空间向量，，，向量，其中．则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】证明出四点共面后，根据当平面时，有最小值，求出平面的一个法向量，利用点到面的距离公式求解即可． 【详解】设， 因为，所以， 所以四点共面，当平面时，有最小值． 可得，， 设平面的一个法向量，则， 取，则，所以为平面的一个法向量， 所以到平面的距离，故A正确. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面四个结论正确的是（ ） A. 若空间向量、满足，则 B. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C. 对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D. 若三个非零空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量相等的概念判定即可；对于B，根据空间基底不共面判断即可；对于C，、反向共线时也成立，结合充分条件与必要条件的概念判断即可；对于D，根据空间向量的位置关系判定即可. 【详解】对于A：方向相同、长度相等的两个向量才是相等向量，A明显错误； 对于B：已知是空间的一组基底， 若，不妨设，即，于是得出、、共面， 这与是空间的一组基底矛盾，故假设不成立，则可以作为基底； 则也是空间的一组基底，故B正确； 对于C：当、反向共线时也成立，但与夹角不为钝角； 但与夹角为钝角时一定成立，故C正确： 对于D：由于空间中垂直于同一直线的两直线（及其方向向量）可以不平行，所以D错误． 10. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ） A. 两条异面直线和所成的角为 B. 直线BC与平面所成的角等于 C. 三棱柱外接球半径为 D. 若M是线段AC上的动点，则M到面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平移法可求异面直线和所成的角判断A；根据线面角的定义可判断B；结合正方体的外接球可判断C，利用等体积法可判断D. 【详解】对于A，连接，因为, 故四边形为平行四边形，则， 则异面直线和所成的角即为或其补角， 由于，即为等边三角形，故，A错误； 对于B，连接，在正方形中，， 因为平面，平面，故， 平面，故平面， 故直线BC与平面所成的角为，B正确； 对于C，三棱柱外接球即为正方体的外接球， 球的半径为正方体体对角的一半，即，C正确； 对于D，连接，由于， 即四边形为平行四边形，则， 平面，平面，故平面， M是线段AC上的动点，则M到平面的距离等于A到平面的距离， ，则, 设A到平面的距离为h， 则，即, 即，则， 即M到平面的距离等于，D正确， 故选：BCD 11. 已知函数，则（ ） A. 函数为偶函数 B. 曲线的对称轴为 C. 在区间单调递增 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】 ， 即， 对于A，，易知为偶函数，所以A正确； 对于B，对称轴为，故B错误； 对于C，，单调递减，则 单调递增，故C正确； 对于D，，则，所以，故D错误； 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB．已知，，，则CD的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意有，，由，两边同时平方，利用数量积的性质即可得出. 【详解】由条件，知，，， 所以， 所以. 故答案为： 13. 如图，用，，三种不同的元件并联连接成系统，每个元件是否正常工作不受其他元件影响．当元件，，中至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知元件，，正常工作的概率分别为，，，则系统正常工作的概率为__________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】“系统正常工作”的对立事件为“元件，，均不正常工作”，利用对立事件求概率. 【详解】记事件：“系统正常工作”，则：“元件，，均不正常工作”， 因为每个元件是否正常工作相互独立， 则， 所以. 故答案为： 14. 在棱长为2的正方体中，P是棱上一动点，点O是面AC的中心，则的值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】由，结合数量积的运算律即可求解.. 【详解】如图所示： 因为是正方体，所以， ，所以， 由图可知：， 所以 . 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的值； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理求解即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 由，得，由正弦定理得. 又，，所以，，所以， 故. 【小问2详解】 由（1）知， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 即的面积为. 16. 已知空间中三点． （1）求； （2）求向量在向量上的投影向量的坐标； （3）若点在平面内，求的值． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【小问1详解】 由可得， 故； 【小问2详解】 易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； 【小问3详解】 因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因，对照可得， 解得．故． 17. 如图，正四棱柱中，，，点，分别是，的中点． （1）求直线与直线所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，即可根据向量的夹角求解， （2）求解平面法向量，进而根据点面距离的向量法公式即可求解. 【小问1详解】 正四棱柱中，平面，且， 分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则，，，，，． 因为点是的中点，所以，所以． ． 所以． 直线与直线所成角的正弦值为． 【小问2详解】 由（1）知，，，，． 设平面的法向量， 则，所以． 令，则，，所以平面的一个法向量． 因为，所以． 所以点到平面的距离为． 18. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在[120，130）内的频率； （2）估计本次考试的中位数； （3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率． 【答案】（1）0.3；（2）（3） 【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为1，求出分数在内的概率；(2)由直方图左右两边面积相等处横坐标计算出中位数；(3)计算出与分数段的人数，用分层抽样的方法求出在各分数段内抽取的人数组成样本，利用古典概率公式求出“从样本中任取2人，至多有1人在分数段内”的概率即可. 【详解】（1）分数在[120，130）内的频率为 1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3； （2）由于图中前3个小矩形面积之和为0.4 则设中位数，则 ，则 （3）依题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人）， [120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）； ∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n； 在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d； 设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A， 则基本事件有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种； 则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种；∴P（A）== 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数. 19. 在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，，， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面. （2） （3） 存在，或 【解析】 【分析】（1）先证明出平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成角的大小； （3）设，根据空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ， 翻折前，在中，，则，则， 则，则，， 翻折后，因为平面，平面，则， 所以，，，则， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 不妨令，则，，则． 设直线与平面所成角的大小为， 则有，则， 直线与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为． 在空间直角坐标系中，，，， 设， 则， 设平面的法向量为，则有， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为． 则满足， 化简得，解得或，即或， 则或. 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为． 此时的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $