精品解析：福建厦门海沧实验中学2026-2027学年上学期九年级10月数学适应性练习

厦门海沧实验2026-2027学年九年级10月数学适应性练习 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 函数的二次项系数是（　） A. 4 B. C. 3 D. 1 2. 关于的一元二次方程，根的判别式中的表示的数是（　　） A. 1 B. C. D. 5 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 7. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值不可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 9. 若，则抛物线必过点（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①②④ D. ②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是______． 12. 一元二次方程的根是______． 13. 若关于x的一元二次方程有一个根为1，则m的值为_______． 14. 二次函数的顶点坐标是______． 15. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 16. 已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 如图，在菱形中，点E、F分别在边上，．求证：． 19. 某地区2023年投入教育经费1000万元，2025年投入教育经费1210万元． （1）求2023年至2025年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2026年该地区将投入教育经费多少万元． 20. 在平面直角坐标系中，列表描点法画出二次函数的图象； 列表： x … … y … … 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证方程有两个不相等实数根． （2）若为方程的实数根，且，求k的值． 22. 已知抛物线． （1）当时，求抛物线与y轴的交点坐标； （2）抛物线与x轴交于两点，是否存在正整数m，使得，如果有，求m的值，若不存在，说明理由． 23. 【阅读材料】设一元三次方程的三个实数根为、、，，展开，得， 对比方程可得以下结论： （1）填空：______，______，______． （2）问题解决．已知、、为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（ ）． A． B． C． D． （3）拓展提升．已知实数、、满足，且，求正数b的最小值． 24. 根据以下素材，完成项目式探索任务： 素材1：如图是某农场计划建一个矩形饲养室，其中一边靠现有旧墙（墙长不限），需再建三面新墙，建筑材料可建新墙的总长为20米． 素材2： 实际需求：1．想改造为两间矩形饲养室并安装两个门；饲养室的一面靠现有旧墙（旧墙长16米），中间用一道新墙隔开，建筑材料可建新墙的总长仍为20米，开2个门，且门宽均为1米（如图所示）．2．总费用（新增的建筑费用与门的价格和）不高于6400元，2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表． 型号 ① ② ③ 规格（门宽） 1米 1.2米 1.5米 单价（元） 250 280 300 素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米 （1）根据素材1，设垂直于墙的一边米，怎样围成面积为48平方米的饲养室？ （2）根据素材、，设米，矩形的面积为S，求S关于x的函数解析式． （3）在任务2条件下确定设计方案我的设计方案是选型号______门，当______米，______米时，S有最大值，最大值为______平方米． 25. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线：上， （1）当，时， ①求的值； ②将抛物线平移后得抛物线：，设抛物线与抛物线的交点为P，过点P的直线与抛物线的另一个交点为M，与抛物线的另一个交点为N，问的长是否为定值？若的长为定值，请求出这个值；若的长不为定值，请说明理由． （2）当时，若对于，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门海沧实验2026-2027学年九年级10月数学适应性练习 一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 函数的二次项系数是（　） A. 4 B. C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的标准形式为（其中a、b、c是常数，且），其中为二次项的系数，据此可得答案． 【详解】解：函数的二次项系数是4， 故选：A． 2. 关于的一元二次方程，根的判别式中的表示的数是（　　） A. 1 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】分清一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项，直接解答即可． 【详解】解：根据题意得． 故选：C． 【点睛】此题考查根的判别式，在解一元二次方程时程根的判别式，不要盲目套用，要看具体方程中的，，的值．代表二次项系数，代表一次项系数，是常数项． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的对称轴求解方法，直接根据二次函数配方后得到对称轴，就是，进而选出正确选项． 【详解】解：； ； ； 即； 所以对称轴为； 故选：D． 4. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 5. 将抛物线向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律解答． 主要考查的是函数图象的平移，解题的关键是用平移规律直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 【详解】将抛物线向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为， 故选D． 6. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，依据题意，由抛物线为，从而开口向上，对称轴是轴，结合抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，进而可以判断得解．掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线为， ∴该抛物线的图像开口向上，对称轴是轴， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ∵， ∴． 故选：C． 7. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 单循环赛的总比赛场数为队数乘以每队比赛场数除以2，等于总安排场数，据此列方程即可． 【详解】解：∵每个队都与其他队比赛一场， ∴每队比赛场数为场，总比赛场数为． 又∵赛程计划安排7天，每天4场比赛， ∴总比赛场数为． ∴满足的关系式为． 故选B． 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值不可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式列出关于的不等式，解不等式即可求解. 【详解】解：方程有实数根， ， 解得 的取值不大于，故不可以是. 9. 若，则抛物线必过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：当时，， 即抛物线必过点． 10. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ①②④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的图象可得，，即可判断①正确；由题意可得抛物线的对称轴为直线，由对称性可得抛物线经过点，即可判断②错误；求出，，再结合抛物线的顶点为，即可判断③正确；求出点关于对称轴对称点在抛物线上，即可判断④错误． 【详解】解：∵抛物线开口向下，抛物线与轴交于正半轴， ∴，， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵此抛物线经过点， ∴点关于对称轴对称点在抛物线上， ∴为方程的一个根，故④错误； 综上所述，所有正确结论的序号是①③． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴． 12. 一元二次方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， 或， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 13. 若关于x的一元二次方程有一个根为1，则m的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 把代入，转化为的方程求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得：， 故答案为：3． 14. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键． 利用二次函数性质求二次函数的顶点坐标即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴顶点坐标是， 故答案为：． 15. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解． 【详解】解：将方程变形为， 设，则原方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴有一个根为， 即，解得， 因此一元二次方程必有一个根为． 16. 已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∵分别位于抛物线对称轴的两侧， 假设点在对称轴的右侧，则，解得， ∴ ∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧， ∴ 解得： 又∵， ∴ ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法计算即可得出结果； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 18. 如图，在菱形中，点E、F分别在边上，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出相等的边和角，证明，即可得出结论． 【详解】略 19. 某地区2023年投入教育经费1000万元，2025年投入教育经费1210万元． （1）求2023年至2025年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2026年该地区将投入教育经费多少万元． 【答案】（1） （2）1331万元 【解析】 【分析】（1）一般用增长后的量增长前的量增长率，2024年要投入的教育经费是万元，在2024年的基础上再增长，就是2025年的教育经费数额，即可列出方程； （2）利用2025年的经费（1+增长率）即可． 【小问1详解】 解：设增长率为x， 根据题意则， 解得，（不合题意舍去）． 答：2023年至2025年投入教育经费的平均增长率为． 【小问2详解】 解：由题意知：预计2026年该地区将投入教育经费万元. 20. 在平面直角坐标系中，列表描点法画出二次函数的图象； 列表： x … … y … … 【答案】列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 … 作图如下： 【解析】 【分析】在给定坐标系中描出上述5个点，再用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的抛物线图象． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 列表、画图略． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证方程有两个不相等实数根． （2）若为方程的实数根，且，求k的值． 【答案】（1）证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，，根据题意，代入解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴． 22. 已知抛物线． （1）当时，求抛物线与y轴的交点坐标； （2）抛物线与x轴交于两点，是否存在正整数m，使得，如果有，求m的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）1或2 【解析】 【分析】（1）把代入解析式求出，然后把代入求解即可； （2）设，，根据根与系数关系得出，，进而求出，解得可求出，然后求出正整数m即可. 【小问1详解】 解：当时，， 把代入，得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线与x轴交于两点，设，， ∴、是方程的两个实数根， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴正整数m的值为1或2， 经检验，或2都符合题意. 23. 【阅读材料】设一元三次方程的三个实数根为、、，，展开，得， 对比方程可得以下结论： （1）填空：______，______，______． （2）问题解决．已知、、为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（ ）． A． B． C． D． （3）拓展提升．已知实数、、满足，且，求正数b的最小值． 【答案】（1）， ， （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）利用多项式因式分解与系数对应关系，将三次方程展开后与原方程同次项系数对比，即可解答． （2）根据第一问，代入， 即可判断A选项；B选项、C选项不知道、、的值，无法判断；D选项，代入， 即可判断正误． （3）由， ，求出， ，将、看作一元二次方程的两个实根，利用判别式建立关于b的不等式，求解b的最小值． 【小问1详解】 解：已知， 又有， 两个方程系数相对应，所以： ，解得， ，解得， ，解得． 【小问2详解】 解：、、为方程的三个实数根， 根据第一问，代入， ，可得，A选项正确； B选项、C选项中、、的大小顺序不确定，无法判断两个选项是否正确； D选项，代入， ，可得，D选项错误； 所以一定正确的只有A选项． 【小问3详解】 解：由， ， 可得， ， 将、看作一元二次方程的两个实数根， 则判别式， 所以，解得， 当时， ，满足题意， 所以正数b的最小值为2． 24. 根据以下素材，完成项目式探索任务： 素材1：如图是某农场计划建一个矩形饲养室，其中一边靠现有旧墙（墙长不限），需再建三面新墙，建筑材料可建新墙的总长为20米． 素材2： 实际需求：1．想改造为两间矩形饲养室并安装两个门；饲养室的一面靠现有旧墙（旧墙长16米），中间用一道新墙隔开，建筑材料可建新墙的总长仍为20米，开2个门，且门宽均为1米（如图所示）．2．总费用（新增的建筑费用与门的价格和）不高于6400元，2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表． 型号 ① ② ③ 规格（门宽） 1米 1.2米 1.5米 单价（元） 250 280 300 素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米 （1）根据素材1，设垂直于墙的一边米，怎样围成面积为48平方米的饲养室？ （2）根据素材、，设米，矩形的面积为S，求S关于x的函数解析式． （3）在任务2条件下确定设计方案我的设计方案是选型号______门，当______米，______米时，S有最大值，最大值为______平方米． 【答案】（1）当长米、长米或长米、长米时，围成面积为48平方米的饲养室 （2） （3）①，，， 【解析】 【分析】（1）设垂直于墙的一边米，则平行于墙的一边的长为米，根据长方形的面积公式列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设米，则米，米，米，再根据矩形的面积公式计算即可得出结果，由求出； （3）由（2）可得米，则米，米，米，表示出与现有墙垂直方向的墙建筑费用为元，与现有墙平行方向的墙建筑费用为元，分别求出两扇门的总费用，再分情况计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边米，则平行于墙的一边的长为米， 由题意可得， 整理可得， 解得，， 当时，米，符合要求； 当时，米，符合要求； ∴当长米、长米或长米、长米时，围成面积为48平方米的饲养室； 【小问2详解】 解：设米，则米，米， ∴米， ∵矩形的面积为S， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得米，则米，米，米， 与现有墙垂直方向的建筑材料的总长度为米，故与现有墙垂直方向的墙建筑费用为元， 与现有墙平行方向的建筑材料的总长度为米，故与现有墙平行方向的墙建筑费用为元， 两扇门的总费用为：型号①：（元）； 型号②：（元）； 型号③：（元）； ∵总费用（新增的建筑费用与门的价格和）不高于6400元， ∴当门选择型号①时，， 解得； 当门选择型号②时，， 解得； 当门选择型号③时，， 解得； 由（2）可得， ∵， ∴函数图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，面积S有最大值，此时米，米，的最大值为平方米， 综上所述，我的设计方案是选型号①门，当米，米时，S有最大值，最大值为平方米． 25. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线：上， （1）当，时， ①求的值； ②将抛物线平移后得抛物线：，设抛物线与抛物线的交点为P，过点P的直线与抛物线的另一个交点为M，与抛物线的另一个交点为N，问的长是否为定值？若的长为定值，请求出这个值；若的长不为定值，请说明理由． （2）当时，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）①；②的长为定值 （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意得，点，在抛物线：上，则，即可求出的值；②设，，，由①得，抛物线：，联立整理得到，则有，同理可得，推出，再利用勾股定理求出的长即可解答； （2）由可得，则问题转化为对于，都有，设，则函数图象开口向上，对称轴为，根据二次函数的性质可知当时，随着的增大而减小，要满足题意只需当时，据此列出关于的不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴，， ∵点，在抛物线：上， ∴， 解得； ②设，，， 由①得，抛物线：， 联立， 整理得：， ∴， 联立， 整理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴的长为定值； 【小问2详解】 解：∵点，在抛物线：上，且， ∴， ∴， ∵对于，都有， ∴对于，都有， 设，则函数图象开口向上，对称轴为， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数与不等式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合能力，适合有能力解决压轴题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $