精品解析：福建厦门市第五中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学 试卷

厦门五中2026-2027学年上学期九年级数学学情调研 （完成时间：90分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 函数的图象是（ ）． A. 线段 B. 直线 C. 双曲线 D. 抛物线 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 5. 把一元二次方程配方后，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　） A. x1≠x2 B. x1+x2＞0 C. x1•x2＞0 D. x1＜0，x2＜0 7. 学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环，共21场比赛．若比赛组织者计划邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A. B. C. D. 8. 下列对二次函数的图象描述不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标为 C. 与y轴交于点 D. 当时，函数值y随x的增大而减小 9. 点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可以是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数为常数，且中的与的部分对应值如下表： 其中正确的结论是（ ）． A. 抛物线开口向上 B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 当时， D. 方程的负根在与之间 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 方程的解是_________． 12. 二次函数的最小值是_________． 13. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是_________． 14. 若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为______． 15. 受国际形势影响，某油品价格在一个月内两次上涨，其中第二次上涨率是第一次上涨率的一半．若第一次上涨前价格为元，第二次上涨率为，则经历两次上涨后的价格为_________． 16. 已知抛物线经过其对称轴右侧的，和两点，若，则的取值范围是_________． 三、解答题（本大题有7小题，共56分） 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式； （2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 19. 在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 售价x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 … 销售量y（千克） … 34.8 32 29.6 28 … （1）求y与x之间的关系式； （2）该天水果的售价为多少元时，销售这种水果获利最大？ 20. 如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC•AB(AC＞BC)，则称点C为线段AB的黄金分割点.某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac(b≠0)，则称此抛物线为黄金抛物线. (Ⅰ)若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点(0，8)，求y的最小值； (Ⅱ)若黄金抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)的顶点P为(1，3)，把它向下平移后与x轴交于A(+3，0)，B(x0，0)，判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由. 21. 已知关于的方程 （1）求证：无论取任何实数，方程恒有实数根； （2）若方程有两个解时，求的值． 22. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为，请直接写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； （2）关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 23. 已知抛物线经过和，交轴于点． （1）求这条抛物线的解析式与顶点坐标； （2）点和在该抛物线上，试比较的大小； （3）点是抛物线上的动点，点是直线上的点，请判断是否存在以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门五中2026-2027学年上学期九年级数学学情调研 （完成时间：90分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一个选项正确） 1. 函数的图象是（ ）． A. 线段 B. 直线 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D 【解析】 【详解】解：函数是二次函数， ∴图象是关于轴对称，最低点为，开口向上的抛物线． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 3. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将原方程化为一般形式（其中），然后分别找出对应的项及其系数即可． 【详解】解：将原方程化为一般形式为：， 确定各项及其系数：二次项为，其系数为， 一次项为，其系数为， 常数项是． 4. 已知一元二次方程的两根分别是3和，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法解方程和根与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：A：方程的解是，不符合题意； B：由题意得，而方程中，不符合题意； C：方程的解是，符合题意； D：由题意得，而方程中，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程和一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的相关知识． 5. 把一元二次方程配方后，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】掌握配方法解一元二次方程即可得出答案． 【详解】， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，准确掌握方法是本题的关键． 6. 已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（　　） A. x1≠x2 B. x1+x2＞0 C. x1•x2＞0 D. x1＜0，x2＜0 【答案】A 【解析】 【分析】A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；D、由x1•x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．综上即可得出结论． 【详解】A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0， ∴x1≠x2，结论A符合题意； B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根， ∴x1+x2=a， ∵a的值不确定， ∴B结论不一定正确，不符合题意； C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根， ∴x1•x2=﹣2，结论C错误，不符合题意； D、∵x1•x2=﹣2， ∴x1＜0，x2＞0，结论D错误，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 7. 学校要组织一次篮球赛，赛制为单循环，共21场比赛．若比赛组织者计划邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单循环赛制可知，每只队伍比赛场，同两只队伍只比赛一场，由此可列方程． 【详解】解：单循环赛制下，x个队共21场比赛， ， 故选B． 【点睛】本题考查列一元二次方程，理解单循环赛制的比赛规则是解题的关键． 8. 下列对二次函数的图象描述不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标为 C. 与y轴交于点 D. 当时，函数值y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小，时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大．逐个进行分析即可． 【详解】解：A、，开口向下，故A选项正确，不符合题意； B、二次函数的顶点坐标是，故B选项正确，不符合题意； C、当时，，与y轴交于点，故C选项不正确，符合题意； D、二次函数的对称轴为，函数开口向下，当时，函数值y随x的增大而减小，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解本题的关键是熟练掌握二次函数的性质与各系数的关系． 9. 点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，两点纵坐标相等， 对称轴为，故D错误， ， 顶点的纵坐标大于，A、C错误，B正确， 故选：B． 10. 二次函数为常数，且中的与的部分对应值如下表： 其中正确的结论是（ ）． A. 抛物线开口向上 B. 当时，的值随值的增大而减小 C. 当时， D. 方程的负根在与之间 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线，当时，，当时，，进而解得，，得到二次函数的解析式为，进而根据二次函数的图象和性质对各选项判断即可得到答案． 【详解】解；由表格数据可知，和的函数值都是，且当时，， 二次函数的对称轴为直线，即，即， 当时，， ，即， 代入，得，解得：，， 二次函数的解析式为：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而减小，故选项错误； 当时，，故选项错误； 当时，；当时，， 方程的负根在与之间，故选项正确． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 方程的解是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ∴，即 ∴或 解得：． 12. 二次函数的最小值是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】由解析式为顶点式，根据其解析式即可直接求的二次函数的最小值． 【详解】解：∵a＝1＞0， ∴当x＝2时，y有最小值3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式y＝a（x−h）2＋k的图象与性质是解题的关键． 13. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】对于一元二次方程的一般形式，当方程有实数根时，根的判别式． 【详解】解：已知关于的方程有实数根， ∴， 解得：． 14. 若n（）是关于x的方程的根，则m+n的值为______． 【答案】-2 【解析】 【详解】解：由题意得， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：-2 15. 受国际形势影响，某油品价格在一个月内两次上涨，其中第二次上涨率是第一次上涨率的一半．若第一次上涨前价格为元，第二次上涨率为，则经历两次上涨后的价格为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，第二次上涨率为，则第一次上涨率为， 故第一次上涨后的价格为，第二次上涨后的价格为. 16. 已知抛物线经过其对称轴右侧的，和两点，若，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围即可． 【详解】解：∵ 抛物线 经过抛物线对称轴右侧的，和两点， ∴二次项系数为，则抛物线开口向上，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴， 将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 解得． 三、解答题（本大题有7小题，共56分） 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得：，． 18. 已知二次函数的图象经过点，． （1）求该二次函数的解析式； （2）在平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先列表，然后描点、连线即可． 【小问1详解】 解：把点，代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数图象，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 19. 在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 售价x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 … 销售量y（千克） … 34.8 32 29.6 28 … （1）求y与x之间的关系式； （2）该天水果的售价为多少元时，销售这种水果获利最大？ 【答案】（1）y=﹣2x+80；(2)该天水果的售价为30元时，销售这种水果获利最大． 【解析】 【分析】（1）我们根据表中的信息，根据待定系数法可求函数关系式； （2）根据函数的最值问题即可求解． 【详解】（1）设y与x之间的一个函数关系式为y=kx+b， ∴， 解答：， ∴y与x之间的关系式为：y=﹣2x+80； （2）设销售这种水果获利为W元， 由题意得，W=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x2+120x﹣1600， ∵W=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200， ∴该天水果的售价为30元时，销售这种水果获利最大． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的应用，得出销售定价和销售量的函数关系是解题的关键． 20. 如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC•AB(AC＞BC)，则称点C为线段AB的黄金分割点.某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac(b≠0)，则称此抛物线为黄金抛物线. (Ⅰ)若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点(0，8)，求y的最小值； (Ⅱ)若黄金抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)的顶点P为(1，3)，把它向下平移后与x轴交于A(+3，0)，B(x0，0)，判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由. 【答案】(Ⅰ)y有最小值为6； (Ⅱ)原点是线段AB的黄金分割点，理由如下： ∵黄金抛物线y＝ax2+bx+c(a＞0)的顶点P为(1，3)， 把它向下平移后与x轴交于A(+3，0)，B(x0，0)， ∴x0＝﹣1﹣. ∴OA＝3+，OB＝1+，AB＝4+2. OA2＝(3+)2＝14+6. OB•AB＝(1+ )(4+2)＝14+6. ∴OA2＝OB•AB. ∴原点是线段AB的黄金分割点. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据对称轴确定a和b的关系，再根据已知条件即可求解； (Ⅱ)根据抛物线的顶点坐标确定x0的值，再根据黄金分割的定义即可判断. 【详解】(Ⅰ)∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2， ∴﹣＝2， ∴b＝﹣4a，又b2＝ac ∴16a2＝ac. 且与y轴交于点(0，8)， ∴c＝8. ∴a＝，b＝﹣2. ∴y＝x2﹣2x+8 ＝(x﹣2)2+6， ∵＞0， ∴y有最小值为6. (Ⅱ)略 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键. 21. 已知关于的方程 （1）求证：无论取任何实数，方程恒有实数根； （2）若方程有两个解时，求的值． 【答案】（1）证明：当时，原方程为， 解得，有实数根； 当时，原方程为一元二次方程，， ， 无论为任何实数，方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）分，时分别验证，当时，求出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有两个解 ∴，， ∵ ∴ ∴ 22. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）若方程为，请直接写出该一元二次方程的衍生点M的坐标； （2）关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值． 【答案】（1） （2）此时m的值为0 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则． （1）先利用因式分解法解方程得到，，然后根据新定义写出衍生点M的坐标； （2）先利用根与系数的关系得到，，再利用勾股定理得到，然后根据二次函数的性质解决问题． 【小问1详解】 解：，，， 或， 解得，， ∴该一元二次方程的衍生点M的坐标为； 【小问2详解】 解：设的两个实数根为， ，， ∴， 当时，有最小值，最小值为1， 即当它的衍生点M距原点最近时，此时m的值为0． 23. 已知抛物线经过和，交轴于点． （1）求这条抛物线的解析式与顶点坐标； （2）点和在该抛物线上，试比较的大小； （3）点是抛物线上的动点，点是直线上的点，请判断是否存在以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为； （2） （3）存在，符合条件的点坐标为、、、 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出二次函数解析式，再将其化为顶点式即可； （2）根据二次函数解析式可知抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，函数值越大，进而计算点到对称轴的距离的平方与点到对称轴的距离的平方的差值即可； （3）求出，设，，分两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：将和代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴抛物线开口向上， ∴点到对称轴的距离越远，函数值越大， ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 且， ∴到对称轴的距离始终比到对称轴的距离更远， ∴； 【小问3详解】 解：当时，即， 设，， 当为边时，且， 可知、横坐标相等，纵坐标差为2， ①且， 解得， 对应（舍去）、 ②且， 解得、， 对应、； 当为对角线：平行四边形对角线互相平分，中点为， 因此中点也为， 得，， 解得， 对应（舍去）、． 综上所述，符合条件的点坐标为、、、． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $