精品解析：四川达州市渠县丰乐镇初级中学2026-2027学年八年级上学期9月学情自测数学试题

渠县丰乐镇初级中学2026年秋季学期八年级第一次月考数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数即为无理数，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：∵0是整数，是分数，是有限小数， ∴它们都不是无理数， ∵是无限不循环小数， ∴是无理数， 故选：C． 2. 的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理的逆定理．解决本题的关键是根据角之间的关系和三角形内角和定理分别求出三角形的三个内角判断三角形是否直角三角形，根据三角形三边的关系利用勾股定理逆定理判断三角形是否直角三角形． 【详解】解：A选项：， 设，则，， ， 解得:， ∴最大角：， 不是直角三角形， 故A选项符合题意； B选项：， ， ， ， ， 是直角三角形， 故B选项不符合题意； C选项：， 设，则，， ， 是直角三角形， 故C选项不符合题意； D选项：， 是直角三角形， 故D选项不符合题意． 故选：A． 3. 的立方根与的算术平方根的和是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根与立方根的定义．熟记定义是解此题的关键．由算术平方根、立方根的定义，即可求得答案，注意的算术平方根就是求9的算术平方根． 【详解】解：的立方根是， ∵， ∴的算术平方根是， ∴的立方根与的算术平方根的和是， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的四则运算，需掌握同类二次根式的加减法则、二次根式的乘除运算顺序及化简方法．根据二次根式的运算可直接进行排除选项． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B：，故选项计算错误，不符合题意； C：，故选项计算错误，不符合题意； D：，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ） A. 13 m B. 12 m C. 4 m D. 10 m 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高． 【详解】如图：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m．BC=5m， 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2， ∴x2+52=（x+1）2， 解得x=12， ∴旗杆的高12m． 故选B. 【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力．熟练运用勾股定理是解题关键. 6. 已知a，b为实数，且，则的值为（ ）． A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根成立的条件，立方根，根据算术平方根的开方数是非负数得到，进而求得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：D． 7. 如图，在中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，取的中点，过点作于点，连接，先利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，再利用矩形的判定证明是矩形，得出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，过点作于点，连接，     ∵，，点为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∵点是的中点，点为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 故选：． 8. 已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（ ） A. 136 B. 131 C. 100 D. 94 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若一个直角三角形的两边长为9和12，则这个三角形的斜边长为_____． 【答案】12或15 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．注意12可能是直角边，也可能是斜边，所以得分两种情况讨论． 【详解】解：当9和12都是直角边时， 斜边； 当9是直角边，12是斜边时， 斜边为12． 故答案为：12或15． 10. 满足的所有整数x的和是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查无理数大小的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，灵活使用夹逼法进行估算．首先通过对，大小的估算，可得满足的所有整数，进而对其求和． 【详解】解：， ， ， 又， ， 满足的所有整数有，，，， 它们和为， 故答案为：． 11. 一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ___________ ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出m的值． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 故答案为：2． 12. 若直角三角形的两条边长为a、b．且满足，则该直角三角形的周长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理． 根据非负数的性质得到，，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即，， 当为直角边时， 则直角三角形的斜边为， ∴该直角三角形的周长为； 当为斜边时， 则另一直角边为， ∴该直角三角形的周长为 故答案为：或． 13. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是______． 【答案】47 【解析】 【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形E的边长为x，y，z，由勾股定理得出，，，即最大正方形E的面积为：． 【详解】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得： ， ， ， 即最大正方形E的面积为：． 故答案为：47． 【点睛】本题采用了设“中间变量法”如题中所示：分别由勾股定理求出，，再由勾股定理求出大正方形边长的平方，主要考查运用勾股定理解决实际问题的能力． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先算二次根式的除法和乘法，化简二次根式，再算二次根式的加减即可； （2）首先计算完全平方公式，二次根式的乘法，零指数幂，然后计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 已知a，b，c满足． （1）求a，b，c的值； （2）试问以a，b，c为边长能否构成直角三角形？若能构成求出三角形面积． 【答案】（1），， （2）能构成直角三角形，面积为 【解析】 【分析】（1）几个非负数（平方、算术平方根、绝对值）之和为，则每一个都为，由此求出、、； （2）用勾股定理的逆定理判断直角三角形并求面积，注意最大边应为斜边． 【小问1详解】 解：∵，，， 且， ∴，，， ∴，，． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴以，，为边长能构成直角三角形，其中为斜边， ∴． 16. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离； （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）处与地面的距离是米 （2）消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【小问1详解】 解：在中， 米，米，米， （米）， （米）， 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 解：由题意得米， 米，（米）， （米）， （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 17. 先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． （1）的整数部分是_____，小数部分是_____； （2）若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 【答案】（1）3， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，求平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据即可求解； （2）根据，求出a，b的值，然后代入求值，再根据平方根定义解答即可． 【小问1详解】 解：， ∴ ∴的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴ ∴， ∵16的平方根是， ∴的平方根是． 18. 如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论．这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． （3）在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号） ①方程思想 ②数形结合思想 ③分类讨论思想 【答案】（1） 证明：观察图形可知或． 所以． 整理，得，即； （2） （3）①② 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的推导以及勾股定理得结构特征． （1）根据梯形面积公式求得，根据割补法求出，联立等式并化简即可； （2）根据勾股定理可得，，据此即可求得答案． （3）结合解题过程即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，所以． 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 所以， 解得； 【小问3详解】 解：在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有①方程思想，②数形结合思想， 故答案为：①②. B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1_____．（填“＞”或“＜”或“=”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】依据勾股定理即可得到AD==，AB==，BD+AD=+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到+1＞． 【详解】∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1， ∴CD=2，AD==，AB==， ∴BD+AD=+1， 又∵△ABD中，AD+BD＞AB， ∴+1＞， 故答案为＞． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理以及三角形三边关系是解题的关键． 20. 如图，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，数轴上的点所表示的数为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据圆的半径相等得到，结合点在数轴上的位置即可求解． 【详解】解：由图和题意可知，，，， 在中，由勾股定理得： ，  ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点， ∴，  ∵点在点的左侧， ∴点所表示的数为． 21. 已知a，b为实数，满足，且，则的值______． 【答案】4或5 【解析】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值．先根据立方根和算术平方根的定义求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴或， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 22. 如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，，由的周长及的长可求出的长，设，则，在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点， ， ， 的周长为12， ， ， ， ，即， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得 ∴，解得：， ． 23. 如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm． 【答案】10 【解析】 【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：将长方体展开，连接A、B′， ∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm， 根据两点之间线段最短，AB′==10cm． 故答案为：10 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 为了探索代数式的最小值，小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设，则，则问题即转化成求的最小值． （1）我们知道当A、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于________，此时________； （2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值． 【答案】（1）10； （2）13 【解析】 【分析】（1）根据两点之间线段最短可知的最小值就是线段的长度．过点E作，交的延长线于F点，在中运用勾股定理计算求解； （2）由（1）的结果可作，过点A作，交的延长线于F点，使，，连接交于点C，然后构造矩形，，利用矩形的直角三角形的性质可求得的值就是代数式的最小值． 【小问1详解】 解：过点作，交的延长线于点， 根据题意，四边形为矩形， ，， ， 即的最小值是10． ， ， ∴， ， 解得：． 故答案为：10；． 【小问2详解】 解：为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设，则，，过点A作，交的延长线于点， 根据题意，四边形为矩形， ∴，， ， 即的最小值是13． 【点睛】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． 25. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； （2）利用所探索的结论，填空：； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 【答案】（1）， （2）1， （3）12或28 【解析】 【分析】（1）先将展开，根据有理数部分和含根号部分分别对应相等的原则，推导得出a、b关于m、n的表达式． （2）对于，结合第一步得到的b的表达式，先确定的值，再找出满足条件的正整数m、n，验证对应的a是否为13即可． （3）已知，先根据b的表达式得到，即，找出所有满足条件的正整数m、n组合，再分别代入a的表达式计算a的值． 【小问1详解】 解：将等式右边完全平方展开： ，  ∵等式左右两边的有理部分和带根号的无理部分分别对应相等， ∴，． 【小问2详解】 解：对比第（1）问的结论，这里，，即满足： ，， 也就是． ∵是正整数， ∴m、n的取值有两种情况： 当，时， ，不符合． 当时， ，完全符合， 因此两个空依次填1、​． 【小问3详解】 解：根据第（1）问的结论，这里， ∴，即。 ∵都是正整数，正整数乘积为3的组合只有两种： 情况1：，， 代入，得； 情况2：，， 代入，得． ∴符合条件的正整数为12或28． 26. 如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． （1）求证：≌； （2）试说明：； （3）如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：，， ， ， 即， 是等腰直角三角形，且， ， 在和中， ， ； （2） 证明：，，是等腰直角三角形，且， ，， ， 由（1）可知，≌， ，， ， ， ， ； （3）或． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）由等腰直角三角形的性质，，则，再由全等三角形的性质得，，则，然后由勾股定理即可解决问题； （3）分两种情况，①点在延长线上时，过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由（2）可知，，，再由勾股定理求出的长即可； ②点在延长线上时，过点作于点，由等腰直角三角形的性质得，同（2）得，则；即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：和是等腰直角三角形，，， ，， ，，， 分两种情况： ①如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， 由（2）可知，，， ； ②如图，点在延长线上时，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 同（2）得：， ； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渠县丰乐镇初级中学2026年秋季学期八年级第一次月考数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 的三边长分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 3. 的立方根与的算术平方根的和是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 6 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ） A. 13 m B. 12 m C. 4 m D. 10 m 6. 已知a，b为实数，且，则的值为（ ）． A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 7. 如图，在中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接．若，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（ ） A. 136 B. 131 C. 100 D. 94 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 若一个直角三角形的两边长为9和12，则这个三角形的斜边长为_____． 10. 满足的所有整数x的和是__________． 11. 一个正数a的平方根分别是m和，则这个m为 ___________ ． 12. 若直角三角形的两条边长为a、b．且满足，则该直角三角形的周长为______． 13. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1） （2） 15. 已知a，b，c满足． （1）求a，b，c的值； （2）试问以a，b，c为边长能否构成直角三角形？若能构成求出三角形面积． 16. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离； （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 17. 先阅读下面文字，再解答问题：大家知道是一个无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1，将减去其整数部分1，差就是小数部分为． （1）的整数部分是_____，小数部分是_____； （2）若是的整数部分，是的小数部分，求的平方根． 18. 如图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理． 思路：大正方形的面积有两种求法，一种是等于．另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式．化简便得结论．这种用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）美国第20任总统詹姆斯·伽菲尔德利用图②验证了勾股定理：把两个全等的直角三角形如图②所示放置，请根据图形面积之间的关系，验证勾股定理． （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． （3）在解决以上问题的过程中，让我们感悟的数学思想有_______．（填序号） ①方程思想 ②数形结合思想 ③分类讨论思想 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1_____．（填“＞”或“＜”或“=”） 20. 如图，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，数轴上的点所表示的数为________． 21. 已知a，b为实数，满足，且，则的值______． 22. 如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 23. 如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 为了探索代数式的最小值，小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设，则，则问题即转化成求的最小值． （1）我们知道当A、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于________，此时________； （2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值． 25. 阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a、b、m、n均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示a、b，得：___________，___________； （2）利用所探索的结论，填空：； （3）若，且a、m、n均为正整数，求a的值？ 26. 如图，在中，，，若点是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角，且，，连接． （1）求证：≌； （2）试说明：； （3）如图，当点是延长线上一点改成点是直线上一点，其它条件不变，连接，若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $