精品解析：福建厦门市大同中学2026-2027学年度高二上学期第一次月考数学试卷

厦门市大同中学2026-2027学年度（上）第一次月考 高二数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟 班级： 姓名： 座号： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知直线经过两点，且直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 给出下列说法，其中不正确的是（ ） A. 若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量 B. 若，则点是线段的中点 C. 若，则A，，，四点共面 D. 若平面，的法向量分别为，，且，则 6. 如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 有下列命题：其中错误的是（ ） A. 若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B. 若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C. 坐标平面上所有的直线都有倾斜角； D. 坐标平面上所有的直线都有斜率． 10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.记，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）． A. 平面平面 B. 三棱锥的体积为 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如图，正方体的棱长为，则图中的点关于轴的对称点的坐标为________． 13. 设，向量，，，且，，则______. 14. 若，，则在上的投影向量的坐标为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 如图，在正方体中，分别是的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离. 16. 已知坐标平面内两点. （1）当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； （2）若直线的方向向量为，求的值. 17. 如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，是的中点，在上，且. （1）用表示； （2）求向量与向量所成角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，，E为的中点，平面与棱交于点F． （1）求证：F为的中点； （2）若G为的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值． 条件①：； 条件②：． 19. 如图，在四棱锥中，等边 所在的平面与正方形所在的平面互相垂直，为的中点，为的中点，且. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使线段与所在平面成角，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市大同中学2026-2027学年度（上）第一次月考 高二数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟 班级： 姓名： 座号： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知直线经过两点，且直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线斜率的两点式及其与倾斜角的关系可得，即可求参数a的值. 【详解】由题设，直线的斜率，又， ∴，解得. 故选：A 2. 如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得. 【详解】 如图，连接因点，分别是，的中点，点在棱上，且满足 则 即： 故选：C. 3. 若是空间中的一组基底，则下列可与向量构成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用表示即可得. 【详解】由是空间中的一组基底，故两两不共线， 对A：有，故A错误； 对B：设，则有， 该方程无解，故可与构成基底，故B正确； 对C：有，故C错误； 对D：有，故D错误. 故选：B. 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量线性运算，结合空间向量基本定理计算即得. 【详解】在四棱锥中，由，得， 所以 ，又，且不共面， 因此，所以. 故选：A 5. 给出下列说法，其中不正确的是（ ） A. 若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量 B. 若，则点是线段的中点 C. 若，则A，，，四点共面 D. 若平面，的法向量分别为，，且，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据基底向量的定义分析判断；对于B，根据线性运算可得，即可得结果；对于C，根据四点共面的结论分析判断；对于D，可得，结合向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】对于选项A：因为，则，与任何向量都共面， 所以，与任何向量都不能构成空间的一个基底向量，故A正确； 对于选项B：因为，即， 可得，所以M为AB中点，故B正确； 对于选项C：因为，且， 所以A，，，四点不共面，故C不正确； 对于选项D，平面α，β的法向量分别为，， 当时，则， 可得，解得，故D正确； 故选：C. 6. 如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过已知条件建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，再利用向量夹角余弦值公式计算异面直线和夹角的余弦值. 【详解】因为，，两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 已知，则，，，. 因为为的中点，根据中点坐标公式可得点坐标为. 又因为为的中点，所以. 由坐标可得. . 先计算. 再计算，. 所以. 但异面直线夹角范围是，所以异面直线和夹角的余弦值为. 故选：D. 7. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得直线和的斜率，再结合图象即可求解. 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 8. 如图，在直三棱柱中，为线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量法求出到的距离的范围后可求面积的范围. 【详解】 由直三棱柱可得平面，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系，， 设，其中，故， 而，， 故到直线的距离为， 因为，故，故， 故选：B. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 有下列命题：其中错误的是（ ） A. 若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应； B. 若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应； C. 坐标平面上所有的直线都有倾斜角； D. 坐标平面上所有的直线都有斜率． 【答案】BD 【解析】 【分析】 任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率，即可得到答案 【详解】任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率 当倾斜角为时，斜率不存在 故选：BD 【点睛】本题考查的是直线的倾斜角和斜率，较简单. 10. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.记，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，以作为基底，按照向量的线性运算和数量积公式，逐项计算即可得解. 【详解】由，故A正确； 由为中点， 所以， 故B错误； 对C，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是， 即模长为，夹角为， ，所以，故C正确； ，， 又， 所以， 故D正确. 故选：ACD. 11. 如图所示，棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）． A. 平面平面 B. 三棱锥的体积为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算，逐项判断即可. 【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则 对于A，连接，因为平面，平面，所以是平面的一个法向量， 又，所以，则， 又平面，所以平面 则是平面的一个法向量，又， 所以平面平面，故A正确； 对于B，连接，因为，，所以，则，又平面，平面，所以平面， 点在线段上的动点，点到平面的距离即点到平面的距离， 设平面的法向量为，又， 则，令，所以 又，所以距离， 在中，所以为正三角形 ，故B不正确； 对于C，点为线段上的动点（不含端点），则设 所以， 则，故C正确； 对于D，因为，，所以，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如图，正方体的棱长为，则图中的点关于轴的对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】写出点的坐标，即可得出点关于轴的对称点的坐标. 【详解】因为、，所以线段的中点为， 所以点关于轴的对称点的坐标为. 故答案为：. 13. 设，向量，，，且，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合空间向量的垂直和平行的坐标运算求出的值，进而根据空间向量的坐标运算求出，然后借助模长公式即可求出结果. 【详解】因为，，且，，， 所以，解得，所以， 则， 故答案为：. 14. 若，，则在上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】由在上的投影向量，坐标运算可得. 【详解】，， ，且， 则与方向相同的单位向量为， 设与的夹角为，则在上的投影向量为 . 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 如图，在正方体中，分别是的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后利用线面夹角正弦值的计算公式求解即可； （2）由（1）得出平面的法向量和，然后利用向量直接求解点到面的距离即可. 【小问1详解】 由题知，以为原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设直线与平面所成角为， 平面的法向量为，， 则得，取，则， 得平面的一个法向量为，向量， 则. 【小问2详解】 由（1）知，平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离为. 16. 已知坐标平面内两点. （1）当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； （2）若直线的方向向量为，求的值. 【答案】（1）直线的倾斜角为锐角时，为钝角时或； （2） 【解析】 【分析】（1）由斜率为正或为负求解； （2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论． 【小问1详解】 直线的倾斜角为锐角时，，解得， 直线的倾斜角为钝角时，，解得或， 所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或； 【小问2详解】 由已知，又直线的方向向量为， 所以，解得． 17. 如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，是的中点，在上，且. （1）用表示； （2）求向量与向量所成角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算即可得到结果； （2）由向量的数量积公式即可算出夹角的余弦值. 【详解】解：（1）因为是的中点，在上，且，所以，， 于是 （2）由（1）知 ， ，，所以. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，，E为的中点，平面与棱交于点F． （1）求证：F为的中点； （2）若G为的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值． 条件①：； 条件②：． 【答案】（1）证明：因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面，所以， 因为E为的中点，所以F为的中点； （2）选条件①：；选条件②： 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理、性质定理，结合条件即得证； （2）选条件①：利用线面平行的判定定理、性质定理得出平面，以点为原点建系，求出相关平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得；选条件②：．计算边长可证得，再由线面垂直的判定定理得出平面，以点为原点建系，求出相关平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 选条件①：， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又因为，，所以， 以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 得， ，， 设为平面的一个法向量，则 ，令，可得， 设为平面的一个法向量，则 ，令，可得， 由， 由图可知，二面角为钝二面角，故其余弦值为； 选条件②：．连接， 因为，，所以， 可得，由G为的中点，所以， 由得， 所以，又由， 所以，即，且， ，平面，所以平面， 又因为，，所以， 以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 得， ，， 设为平面的一个法向量，则 ，令，可得， 设为平面的一个法向量，则 ，令，可得， 由， 由图可知，二面角的余弦值为. 【点睛】 19. 如图，在四棱锥中，等边 所在的平面与正方形所在的平面互相垂直，为的中点，为的中点，且. （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使线段与所在平面成角，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）是等边三角形，为的中点， 平面平面，是交线，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）已知面面垂直，则可由面面垂直性质定理转化为线面垂直.由于是等边三角形，因此可利用等腰三角形性质转化为线线垂直，即，再根据面面垂直性质定理进行论证、转化. （2）以为原点，，为轴，以平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，再根据空间向量进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，，为轴，以平行于的直线为轴建立如图空间直角坐标系.设在线段上存在点, 使线段与所在平面成角, 平面的法向量为， ，即，因为，解得. 在线段上存在点，当线段时，与所在平面成角. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $