福建省厦门市双十中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题

厦门双十中学2025-2026学年上学期 高二数学第一次月考参考答案 1.B 2.D 3.A4.B 5.D 6.C 7.B 8.C 9.ABD 10.AC 11.ACD 12.3元 13.x-3+y=: 4 2 14.店1 8.【详解】过A作AD,AE,分别与圆M相切于D,E两点， 连结AM,BM,CM,∠BAC=∠BAM+∠CAM 在△BAM中，由正弦定理得， sin∠BAM sin∠ABM →sin∠BAM= BM sin∠ABd BM AM AM 当点A相对固定时，BM,AM均为定值，要使得∠BAM最大， 则需要sin∠ABM最大。当∠ABM=90°时，即AB与圆M相切 时，∠BAM最大，即为∠DAM,所以∠BAM≤∠DAM 1++ 同理，∠CAM≤∠EAM, 故∠BAM+∠CAM≤∠DAM+∠EAM,即∠BAC≤∠DAE 所以要使圆M上存在两点B,C,使得∠BAC=60°，只需要 ∠DAE>60° .AM平分∠DAE, ∴.只需要30°≤∠DAM<90° 只需要≤$mn∠DAM<I 、1√ 2 MA 2<1→2<MM≤25 则直线1与圆M:(x-1)2+(y-1)2=8相交或相切， 又已知直线1与圆M:(x-1)+(y-1)=2相离， 则弦心距d满足 V2<ds25=V5<2-m≤2N2m>0→4<ms6→me4 √2 1【详解】设点功，则向器到 V(x+2)2+y2 1 V(x-4)2+y2 e, 化简可得(x+4)2+y2=16,故选项A正确： 己知点M(3,V3),N5,-√3)，QM⊥QW,则点Q在以MN为直径的圆上，该圆方程为 (x-3)(x-5)+(y-V3)y+V3)=0→(x-4)2+y2=4,则该圆圆心R(4,0),半径5=2， 由A选项知圆C方程为(x+4)2+y2=16,则圆心C(-4,0),半径r=4, 则点Q为两圆的交点，但是RC=8>r+,所以两圆外离， 故不存在点Q满足条件，故选项B错误： 圆心C(4,0)到直线x+V5y-8=0的距离a=上486>4=7，则该直线与圆相离， 又d-2=r，,则该直线向圆心方向平移2个单位的那条平行线刚好与圆相切， 所以圆上恰有一个点到该直线的距离为2，故选项C正确： 假设x轴上存在异于A,B的两定点D,B,使得P园2 PD1 可设D0,0),E(n,0),可得Vx-)2+y2=2V(x-)2+y2, 由P的轨迹方程为x2+y2+8.x=0,可得8m-2n=-24,4m2-n2=0, 解得m=-6,n=-12或m=-2,n=4（舍去)，即存在D(-6,0),E(-12,0),故选项D正确 故选：ACD. 14.【详解】法一（坐标法）通法，大题小题都适用 设P(xy,),x,z∈[0,2]y∈[0,2W②] C1(0,2V2,2),A1(2,0,2),B(2,2V2,0),C(0,2W2,0) ∴.A1B=(0,2V2,-2),C1P-(x,y-2V2,2-2) .A1BC1P-0,.V2y-z-2=0 ∴.PBPC-(2-x,2V2-y,z(-x,2V2-y,-2) x2-2x+y2-4V2y+8+z2 B =x2-2x+y2-4W2+8+(W2y-2)2 x2-2x+3y2-8V2+12 2=V2y2∈[0,2]，.y∈[V2,2V2] :P形C1P+30等+方 42、。1 当x1,PR；当0或2,2W5,Pra, 所以PBPC∈，A 法二（几何法）只适用于小题 取AB中点M,CD中点N,设AB∩B,M=E 得-0∠4=∠BM=0 △ABA1~△BB1M .LABA1=∠BB1M, ∠BEB=T-(∠BBE+∠EBB,)=元-（∠AB4,+∠ABB)=T-T=T 22 A1B⊥B1M 长方体ABCD-AB,C,D D ∴.BC⊥面ABBA B .BC⊥AB :长方体ABCD-AB,CD .ABCD为矩形 又：M为AB中点，N为CD中点 D ∴.NBC B ∴.MN⊥AB 又.W∩BM=M .A1B⊥平面B1MNC1 ∴P∈平面B1MNC1,取BC中点F,则由极化恒等式知PB·PC=P2-BF2=P2-1 :BC//平面B1MNC1 ·.F到平面B1MNC1距离=B到平面B1MNC1距离=BE 2 PFa=B6看 由对称性可知PFmax=max{FM,FB1}=max{W3,V5=V5 1 PB.PCE[4] 15.【详解】1)由题意得A(-2,2),B12,0)(2分)， ∴.AB=V142+22=10W2km;(3分) (2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, F=0 D=-12 因为该圆经过O,A,B三点，∴.{-2D+2E+8=0,(6分)解得E=-16 144+12D=0 F=0 所以该圆的方程为：x2+y2-12x-16y=0,化成标准方程为：(x-6)+(y-8)=100.(9分) 设轮船航线所在的直线为1，则直线1的方程为：y=x-10, 圆心（6,8)到直线1：x-y-10=0的距离d-6-810=65<r=10,所以直线1与圆相交， √2 即轮船会驶入安全预警区.(11分) 直线1与圆截得的弦长为L=2100-(62=47km, 卡8方0,5小时即在安全警示区内行驶时长为半小时(13分) 行驶时长t=_45 16.【详解】(1)因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD,(1分) 因为平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,ACC平面ABCD, 所以AC⊥平面PBD,(3分) 因为POc平面PBD,所以AC⊥PO,(4分) 同理，BD⊥PO,(5分) 因为AC∩BD=O, 所以PO⊥平面ABCD;(6分) (2)由(1)知，AC,PO,BD两两垂直， 以O为坐标原点，OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，(7分) OA=20D=2,则D(0,-1,0),C(-2,0,0),B(0,1,0),DC=(-2,1,0), 7 设P(0,0,t),t>0,则PB=(0,1,-t),CB=(2,1,0),(8分) 平面PAC的一个法向量为i=(01,0),(9分) 设平面PBC的一个法向量为i=(x,y,), mPB=(x,y)(0,1,-t)=y-=0 iCB=(x,y)(2,1,0)=2x+y=0 令z=2得y=2t,x=-t,故m=(-t,2,2),（11分) 直线DC与平面PBc所成角的正弦值为4V5 15 即leos{(Dc,m= DC成 (-2,10)(t,21,245 DC4x()+4+4 151 化简得t=1（负值舍去)，则i=(-1,2,2),(13分) 设平面PAC与平面PBC夹角为0，cos0=cosm训 m (-1,2,2)(01,02 城·园 V1+4+4 3 所以平面PAC与平面PBC夹角余弦值为}.(15分) 17.【详解】（1)因为直线CD的方程为x+y=0,设C(t,-),(2分) 义4(2，所以线段4C的中点坐标为号是马 ，(4分) 因为线段4C的中点在直线g上，所以5号-2x生10=0， 2 整理得7t=-28,即t=-4,所以C(4,4).(6分) (2)因为CD是△4BC的一条角平分线，所以点A关于直线CD的对称点A在直线BC上，设 A'(0,), 则/m-2*(-2)-1 n-1 =-1 ,解得 m+2++1=0 n=-2’ 、2 2 则A'(-1,-2)(9分) 新以：42，所以直线2C方程为y-4=2x+4,整理得2x+y+4=0,(10分） 联立直线BC与直线BE的方程， 5x-2y+10=0’解得-2 「2x+y+4=0 =0,即B(20,(12分) 所以BC-2++0-4=25,点A到直线BC的距离d-4+1+4_9 V4+1√5’ 所以sckd-宁2559.(1s分) 18.【详解】(1)取AD中点O,取BC中点E,连接PO,OE .侧面PAD为正三角形 .P0O⊥AD1分) ,平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD POC面PAD .PO1面ABCD2分) ,底面ABCD为矩形 ∴.OE∥AB且OE⊥AD 则以O为原点，OA,OE.OP所在直线分别为 x,y,z轴建系如图，(3分) 所以P(0,0,3), A(1,0,0),D(-1,0,0),B(1,3,0),C(-1,3,0), 设PM=元PC,2∈[0,1]， 则DA=(2,00),Di=Dp+Pd-Dp+Pc=Q,05)+(-l,3,V5)=1-,3元30-》(4分) P01面ABCD→平面ABCD的一个法向量=(O,0,1(5分) 设平面ADM的一个法向量为=(x,y,),则 DA●2，=0 2x=0 DM%=03+V51-E=0→%=(0，元-LV3) (7分) h●n 平面ADM与底面ABCD的夹角为60°→cos60°= cos √3元 %x% V(-1)2+322 又1e[0,,解得元-，则存在点M满足条件， PM=1(9分) 4 P℃4 (2):AD∥BC,ADE面PBC .AD∥面PBC 又.ADC面ADMW 面ADMN∩面PBC=MW ∴.AD∥MN ∴.BC∥IN ∴由L)知W-PWPM1 BC PB PC4(12分) 法D0加-面10的个法向兰为云-0-号马 则点P到平面ADMN的距离 2,14分) w-5-5丽-网项-网m 所以ADMN为等腰梯形，所以等腰梯形的高h=DM2-（ 2 2 所以SA=AD+Wxh=x(2+x3-15 :5(16分) 2 228 wd=号9-语a7分 1 所以Vp-ADN= (法2) e5,7aam9-专paa=5.aew-g44分) SoO MN1 SMua1 Vp-AN0=Saua=1 SAADM AD 4 器6w=5 VA-PBC SAPEC 16 16 5-6分) 1 又VP-ABCD= 5×P0-}x3x2xV5=25, 3 则了Aa= *28-5g 16 (17分) 19.【详解】(1)（法一）由题意，可设所求三角形的外接圆方程为： (x-3y+2)(x+2y+2)+x+2y+2)3x+y-4)+u(3x+y-4)(x-3y+2)=0（元，L为参数)，(2分) (1+31+3)x2+(-1+7-8u)y+(-6+22-34)y2+(4+2元+24)x+(-2-62+14u)y+4-81-8u=0,(*) 若方程表示圆，则326+22-3业+0，解得 -1+72-8=0 =-1(4分) 2=-1 将任代入(）式化简得2y40, 验证：由02+22-4×(4)=20>0，可知该方程表示圆.（没验证不扣分） 故该三角形的外接圆方程为x°+(y+1)=5.(5分) (法二) x-3y+2=0 三A(-2,0), x+2y+2=0 3x+y-4=0 →B(2,-2), x+2y+2=0 3x+y-4=0 x-3y+2=0 三CL)(2分) 设外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+y+F=0 「-2D+4+F=0 「D=0 则{2D-2E+F+8=0→{E=2,(4分) D+E+F+2=0F=-4 所以圆的一般方程为x+y+2y-4=0, 故该三角形的外接圆方程为x2+(y+1)2=5.(5分) （2)如图，在平面直角坐标系中， 设直线BC与x轴的交点M(,O),直线AD与x轴的交点N(t,0), 由题意知直线BC,AD均不与y轴垂直， 则直线BC方程可设为x=y+,直线AD方程可设为x=y+, 由题意可知≠%，且4≠0,5≠0.(6分) B 不妨记直线BA,AD,DC,CB分别为，，l,4, 且4∩4=A,l∩3=D,l∩l4=C,l4∩以=B, 其中：kx-y=0,3:x-my-t3=0,13:kx-y=0,14x-y-专=0 故由题意，过A,D,C,B四点的二次曲线系方程可设为 图1 (作x-y)飞x-y)+(x-西y-5)(x-y-4)=0（1为参数)，(8分) 即(kk3+2)x2-k+飞3+2(+2)xy+(1+)y2-2(传+i)x+2(453+1)y+t=0①， 若1=0时，方程(kx-y)(飞x-y)=0表示两条直线，，不表示圆， 故1≠0.由A,D,C,B四点不共线，且都在圆x2+y2+2y-4=0②上，（10分) 所以方程①②表示同一圆，则有-(4+)=0③， 且心.4子0分剂 (i)由③式及≠0，可得+t=0,即OM=OW:故(i)得证；(14分) =2, 由③式可得=-4，令4=1，则5=+，代入④式可得 联立CD直线方程秘y解得=4。 2-% 即交点P在定直线y=4上，(16分) 故OP列≥4.如图2，由对称性可知，当k=-k时，交点P在y轴上， 图2 即P(0,④，此时OP =4.故Or的最小值为4.(17分) 6厦门双十中学2025-2026学年上学期 高二数学第一次月考 (时间：120分钟满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上 2选择题答案必须用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上， 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上： 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上方式 作答无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的)， 1.已知平面的一个法向量为n=(4,-2,m),直线1的一个方向向量为ū=(-1，-3,2)，若1∥， 则m=（) A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.已知a=(2,3,-2),b=(-4,2,1),c=(10,3,2),若a、6、c三个向量不能构成空间的一个基底， 则实数等于() A日 B. c. D.号 3.如图，已知空间四边形OABC,其对角线OB,AC,M,N分别是对边 OA,BC的中点，点G在线段N上，且GN=2MG,现用向量OA,OB,OC M 表示向量OG,设OG=xOA+yOB+zOC,则x+y叶z=() B.1 c D. 2 N 4.已知圆C,:x2+y2-2x+y+1=0(≠0)关于直线x+2y+1=0对称， 圆C,:(x+2)2+(y-3)2=16,则圆C,与圆C,的位置关系是() A.外离 B.外切 C.相交 D.内含 5.若x,y满足x2+y2-2x+4y-20=0,则x2+y2的最小值为( A.5+√5 B.5-5 C.30+10W5 D.30-10w5 6.若点P(,)在以A(-3,1),B(-1,0),C(-2,0)为顶点的△ABC的内部运动（包含边界），则-2 x-1 的取值范围是( A.5 B.(, c D.) 7.已知点O是坐标原点，点Q是圆(x-3)2+(y+4)2=1上的动点，点P是直线x+y+4=0上的 一个动点，则Pg+PO的最小值为() A.7 B.6 C.5 D.4 试卷第1页，共4页 8.已知圆M:(x-1)+(y-1)2=2,直线1为x+y-m=0（m>0),已知直线1与圆M相离，若 在直线1存在点A,在圆上存在两点B、C,使得∠BAC=60°，则实数m的取值范围是() A.(0,4] B.(4,6) C.(4,6] D.(4,8] 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知直线4：ax+2y+3a=0,直线l,:3.x+(a-1)y+3-a=0,以下说法正确的有() A.直线4定过定点斗 B.若，则a-号 C.l的充要条件是a=3 D.点P(1,3)到直线的距离的最大值为5 10.在空间直角坐标系Oxz中，A(2,0,0),B(1,1,-2),C(2,3,1),则下列选项正确的有() A.AB·BC=-5 B. AC=23 C.异面直线OB与AC所成角的余弦值为 30 D.点O到直线BC的距离是32 14 11.古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A,B, 的距离之比为定值≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗 尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),B(4,0),点P满足 P4=.设点P的 PB 2 轨迹为圆C,则下列结论正确的是() A.圆C的方程为(x+4)2+y2=16 B.已知点M(3,V3),N(5,-√3)，圆C上存在点Q,使得QM⊥QN C.圆C上恰有一个点到直线x+√3y-8=0的距离为2 D.在x轴上存在异于4B的两个定点D,E,使得PD1 PE2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若直线1的一个方向向量d=(-1,1),则1的倾斜角等于 13.已知圆C:(x-1)+(y-2)=5,又点M在圆C上运动，点N(4,-2),则线段MN中点P的 轨迹方程为 试卷第2页，共4页 14.如图，在长方体ABCD-AB,CD,中，AB=2W2,AD=A4,=2,P为长方体内部 (含边界)一点，满足CP⊥AB,则PB·PC的取值范围是 D B B 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.（13分)为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平 台O的北偏西45°方向2√2km处设立观测点A,在平台O的正东方向12k处设立 观测点B,规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示： 以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系. (1)试写出A,B的坐标，并求两个观测点A,B之间的距离： (2)某日，经观测发现，在该平台O正南10kmC处，有一艘轮船 正以每小时8√7k的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变， 该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由：如果 进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？ ,B 16.(15分)底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，AC与BD交 P 于点O,平面PBD⊥平面ABCD,平面PAC⊥平面ABCD, (1)证明：PO⊥平面ABCD:(2)若OA=2OD=2,直线DC与平 面PBC所成角的正弦值为45，求平面PMc与平面PBC夹角 15 的余弦值. B 17.(15分)已知△ABC的一条内角平分线CD的方程为x+y=0,一个顶点为A(2,1), AC边上的中线BE所在直线的方程为5x-2y+10=0. (1)求顶点C的坐标；(2)求△ABC的面积. 试卷第3页，共4页 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三 角形，平面PAD⊥平面ABCD,AB=3,AD=2 (I)在棱PC上是否存在某一点M,使得过点AD,M的截面与底面ABCD的夹角为 60°？若存在，求出P4的值，若不存在，请说明理由： (②)在(1)的条件下，设过点A,D,M的截面交PB于N,求四棱锥P-ADMW的体 积 19.(17分)已知二次曲线Ax2+By+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件为 A=C≠0，B=0且D2+E2>4AF 关于二次曲线，有以下结论： ①若4：f=0,h:方=0,4：=0，为平面内三条直线，且⌒☑2=A,4⌒l=B, 4⌒=C,则过A,B,C三点的二次曲线系方程为f方+5方+ff=0(2,u为 参数). ②若4：f=0,:方=0,1：方=0,14f4=0为平面内四条直线，且⌒l2=A, 42⌒3=B,∩l4=C,4∩4=D,则过A,B,C,D四点的二次曲线系方程为方+4=0 (1为参数). (1)若三角形三边所在直线方程分别为：x-3y+2=0,x+2y+2=0,3x+y-4=0,求 该三角形的外接圆方程. (2)记（1)中所求的外接圆为ω，直线y=kx(k>0)与o交于A,B两点（A在第一象 限)，直线y=x(k<O)与ω交于C,D两点(C在第二象限)，直线BC交x轴于点M, 直线AD交x轴于点N,直线BC与直线AD交于点P, (i)求证：OM=lOW: (ii)求OP的最小值. 试卷第4页，共4页