2026-2027学年人教版数学九年级上册 期中测试卷（考察范围：考至第二十七章）

2026-2027学年九年级数学上学期期中测试卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：考至第二十七章（人教版新教材2024）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．有理数2026的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 2．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（     ） A．调查某条河流水质污染情况 B．调查某品种柑橘的甜度情况 C．调查某批玉米种子的发芽率 D．调查某班同学的跳远成绩 4．若是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A．3 B． C． D．或3 5．石墨烯是突破硅基芯片极限的关键材料．二维石墨烯的晶体结构如下图所示（黑色圆点表示碳原子）：第①个图中有个碳原子，第②个图中有个碳原子，第③个图中有个碳原子，…，按照此规律，第⑧个图中碳原子的个数是（     ） A．30 B．34 C．38 D．42 6．若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 7．《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（     ） A．4 B．5 C．7 D．8 9．如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（     ） A． B． C． D． 10．已知整式：，其中为正整数，，，，为整数，，且满足（为常数）．下列说法正确的个数有（     ） ①若，则不存在满足条件的整式； ②若，则满足条件的所有整式中有且仅有2个单项式； ③若，，则当取任意实数时，其值一定为负数的整式有且仅有5个． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则______． 12．若为正整数，且满足，则________． 13．若点、、在二次函数的图像上，则、、的大小关系为_________．（用“”符号连接） 14．若实数，同时满足，，则的值为______． 15．如图，平行四边形中，对角线，相交于点．，，是上一点，连接交于点，，连接交于点，，若，则___________，___________． 16．若一个四位自然数的各数位上的数字均不为，且千位上的数字与百位上的数字的差等于十位上的数字与个位上的数字的和，那么称这样的四位数为“美美数”．若将的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，且． （1）若四位数为“美美数”，其中，则四位数________； （2）规定，若“美美数”满足为整数，则满足条件的的最大值与最小值的和为________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．第17-18题每题8分，第19-25题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18． 先化简，再求值：，其中． 19．某校初二年级组为了了解学生体育情况，组织学生进行体育模拟测试．分别从男生，女生中各随机抽取20名学生测试成绩进行整理分析（单位：分，满分：50分，成绩均为整数）． 抽取的男生成绩如下：42，43，44，44，44，45，45，46，48，49，49，49，49，49，50，50，50，50，50，50． 抽取的女生成绩用表示，整理后分成五组（A：；B：；C：；D：；E：）并绘制成如图所示扇形统计图，其中D组学生的成绩为：47，47，47，48，48，48． 抽取男生与女生成绩的平均数、中位数、众数、下四分位数如表所示： 平均数 中位数 众数 下四分位数 男生 49 c d 女生 49 46 (1)根据上述信息可得：_______，_______，_______， _______； (2)根据以上数据，你认为男生的体育成绩更好还是女生的体育成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校初二年级有男生1200人，女生800人，请估计该校初二年级体育在49分及以上的学生共有多少人． 20．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 21．学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他们的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据以上思路完成下列作图和填空： (1)用直尺和圆规，过点B作的角平分线，交于点F，连接、．（只保留作图痕迹） (2)已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点E，平分，交于点F，连接、． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，① ∴． ∵平分，平分， ∴． ∵ ∴② ， ∴ ∴③ ，． ∴， ∴四边形是平行四边形． 同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所④ ． 22．某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元． (1)若每月租出辆汽车（），则每辆汽车月租费增加________元，每辆汽车的月收益________元； (2)若出租公司的月收益为元，求与的函数关系式？ (3)为了尽可能多地占领市场，该公司决定每月出租车辆数不低于80，每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 23．如图，在中，，点是的中点，且，，动点以每秒个单位长度的速度沿方向运动．连接，，设运动时间为秒（），的面积记为，的面积与点运动的路程的比值记为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)过抛物线上的动点作于点，点为轴上一动点，连接，当的长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中的长度取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点的对应点为点，点的对应点为点，点为平移后抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25．如图，在中，，点D是边上一点，连接． (1)如图1，当且时，将线段绕着点D逆时针旋转到，连接，，若，求的度数； (2)如图2，过点D作于点E，线段的垂直平分线交于点F，点G为线段的中点，连接，，，，求证：； (3)如图3，，，过点D作，交于点M，点N是直线上一动点，点H是平面内一动点，连接，，，，当且时，请直接写出的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中测试卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：考至第二十七章（人教版新教材2024）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．有理数2026的倒数是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，所以的倒数是． 2．下列图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：、该图形是轴对称图形，符合题意； 、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 、该图形不是轴对称图形，不符合题意． 3．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（     ） A．调查某条河流水质污染情况 B．调查某品种柑橘的甜度情况 C．调查某批玉米种子的发芽率 D．调查某班同学的跳远成绩 【答案】D 【详解】解：A选项，河流水质调查范围大，适合抽样调查； B选项，检测柑橘甜度具有破坏性，适合抽样调查； C选项，种子发芽率具有破坏性，适合抽样调查； D选项，某班学生人数少，跳远成绩可逐一测量，适合全面调查. 4．若是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A．3 B． C． D．或3 【答案】B 【分析】需同时满足一元二次方程的两个核心条件：未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此联立求解． 【详解】解：∵ 是关于的一元二次方程， ∴ . 由，得或， 解得或； 由，得； ∴ ． 5．石墨烯是突破硅基芯片极限的关键材料．二维石墨烯的晶体结构如下图所示（黑色圆点表示碳原子）：第①个图中有个碳原子，第②个图中有个碳原子，第③个图中有个碳原子，…，按照此规律，第⑧个图中碳原子的个数是（     ） A．30 B．34 C．38 D．42 【答案】D 【分析】由前三个图总结出规律即可． 【详解】解：∵第①个图中有个碳原子，第②个图中有个碳原子，第③个图中有个碳原子， ∴每个图会比前一个图多个碳原子， ∴第⑧个图中，碳原子个数为（个）． 6．若，互为相反数，则函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，异号，分两种情况，根据一次函数与反比例函数的性质分析即可． 【详解】解：∵，互为相反数，且根据反比例函数的定义得， ∴，异号且均不为零， 当时，函数的图象过第一、三、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项符合； 当时，函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项． 7．《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 8．如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（     ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设与y轴交于点，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 轴， ， ∵点在上，点在上， ，， ． 9．如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点G作于点M，连接，证明，得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理和等面积法逐步表示出，，利用三角形中位线的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点G作于点M，连接 ∵在正方形中，点、点分别是边，上的中点， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 设，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点，点分别是，上的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得（负值舍去） ∴ ∴正方形的边长等于． 10．已知整式：，其中为正整数，，，，为整数，，且满足（为常数）．下列说法正确的个数有（     ） ①若，则不存在满足条件的整式； ②若，则满足条件的所有整式中有且仅有2个单项式； ③若，，则当取任意实数时，其值一定为负数的整式有且仅有5个． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】根据题目给定条件，逐个判断三个说法，结合绝对值性质、整数性质和二次函数恒负的条件逐一验证，统计正确说法的个数即可． 【详解】解：已知为正整数，，为整数，且， ①若，则， ∴，与矛盾，故不存在满足条件的整式，①正确，符合题意； ②若，∵，， ∴，且， ∵，即， ∴，，即或，此时为或，共2个单项式，②正确，符合题意； ③若，，则，为二次多项式，对任意实数值恒为负，需满足且， 当时，，即，此时，时值为0，不满足恒负，舍去； 当时，，仅当，时，，满足条件； 当时，，当，时，，满足条件；当，时，，满足条件；其余组合均不满足条件； 综上，满足条件的整式共有4个，③错误，不符合题意， 故说法正确的个数有2个． 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则______． 【答案】 【分析】首先明确三角板的直角为，由于、三角板的直角与在直尺的同一条边上，则和互余，两者之和为，从而求出的度数，由直尺的两条边是互相平行的，根据两直线平行，同位角相等，可得，从而求出的度数． 【详解】解：如图， 、三角板的直角与在直尺的同一条边上， 和互余， ， ， ， 直尺的两条边是互相平行的， 根据两直线平行，同位角相等， ． 12．若为正整数，且满足，则________． 【答案】 【分析】通过比较相邻正整数的平方大小，估算无理数的取值范围，结合不等式条件确定正整数的值． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， ∵ 为正整数，且满足， ∴ ． 13．若点、、在二次函数的图像上，则、、的大小关系为_________．（用“”符号连接） 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，根据开口向下的二次函数性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越小，计算三个点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：对于二次函数， ∵ ， ∴ 抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴点离抛物线的对称轴越近，对应的值越大， 分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离：到对称轴的距离：，到对称轴的距离：，到对称轴的距离：， ∵ ， ∴ ． 14．若实数，同时满足，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，二元一次方程组，分类讨论思想，由 和 ，当时，，则方程组化为，解得 ，若，则，得，矛盾；若，则，得 ，代入，得，然后检验即可；当时，，则方程组化为，由得，代入得，即 ，所以，由于，有，即，又 ，则，所以，代入得，即，矛盾，无解，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由和 当时，，则方程组化为： ， 由得，代入得：， 即， 所以， 由于，有，解， 若，则，得，矛盾； 若，则，得， 代入，得 验证第二方程：，成立； 当时，，则方程组化为： ， 由得 ，代入得：， 即，所以， 由于，有，即， 又 ，则 ，所以， 代入得，即，矛盾，无解， 因此，唯一解为，，故， 故答案为：． 15．如图，平行四边形中，对角线，相交于点．，，是上一点，连接交于点，，连接交于点，，若，则___________，___________． 【答案】 【分析】作，利用及平行四边形性质证为等腰直角三角形，结合推导线段关系求出及长，进而求；作，利用勾股定理求，计算比值． 【详解】解：作于点，过点作于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ∵， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ． ， ， ∴， ，，， ∴， 在中，； ，， ， ，，， ∴， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， ． 16．若一个四位自然数的各数位上的数字均不为，且千位上的数字与百位上的数字的差等于十位上的数字与个位上的数字的和，那么称这样的四位数为“美美数”．若将的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，且． （1）若四位数为“美美数”，其中，则四位数________； （2）规定，若“美美数”满足为整数，则满足条件的的最大值与最小值的和为________． 【答案】 【分析】根据“美美数”定义得到各数位数字的关系，结合和的定义计算，第一问求解得；第二问推导得为整数，分别找出满足条件的最大和最小，求和即可． 【详解】解：（1）由为“美美数”， 得， ， ， 对调后得，千位为，百位为，十位为，个位为， ， ， ， 解得， 则， ； （2） 对于“美美数”， 得， 即，其中都是到的整数，，， 计算得，， ， 由题意得是整数， 即是的倍数， 要使最大，可以假设最大， 当时，， 要最大，则最小， 当，时， ，不是的倍数，不满足条件， 当，时， ，是的倍数，满足条件， 此时， 最大， 要使最小，可以假设最小， 当时，可得， ，不是的倍数， 不满足； 当时， 要最小，则， ，取， ，是的倍数， 满足条件， 最小，因此最大值与最小值的和为． 三、解答题（本题共9小题，共86分．第17-18题每题8分，第19-25题每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：原方程变形为 ∴或 ∴，； （2）解：原方程变形为 即 ∴或 ∴，． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分得到最简分式；再根据零指数幂求出的值，代入最简分式计算结果． 【详解】解： ， 其中， 原式． 19．某校初二年级组为了了解学生体育情况，组织学生进行体育模拟测试．分别从男生，女生中各随机抽取20名学生测试成绩进行整理分析（单位：分，满分：50分，成绩均为整数）． 抽取的男生成绩如下：42，43，44，44，44，45，45，46，48，49，49，49，49，49，50，50，50，50，50，50． 抽取的女生成绩用表示，整理后分成五组（A：；B：；C：；D：；E：）并绘制成如图所示扇形统计图，其中D组学生的成绩为：47，47，47，48，48，48． 抽取男生与女生成绩的平均数、中位数、众数、下四分位数如表所示： 平均数 中位数 众数 下四分位数 男生 49 c d 女生 49 46 (1)根据上述信息可得：_______，_______，_______， _______； (2)根据以上数据，你认为男生的体育成绩更好还是女生的体育成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校初二年级有男生1200人，女生800人，请估计该校初二年级体育在49分及以上的学生共有多少人． 【答案】(1)15；48；50； (2)男生的体育成绩更好； 因为男生的体育成绩的中位数大于女生的体育成绩的中位数48．（答案不唯一） (3)人 【分析】（1）计算扇形统计图中的百分比，女生成绩的中位数，男生成绩的众数，下四分位数d即可； （2）比较男女生成绩，通过中位数判断成绩好坏； （3）利用样本中49分及以上的比例，估计总体中相应的人数． 【详解】（1）解：因为扇形统计图各部分百分比之和为， 所以， 女生抽取20人，中位数是第 、个数的平均数， 组有人，B组有人，组有人，D组有6人，那么前四组共有人，组有人， 所以第 、个数都在组的最后两个数，组成绩为， 所以第10个数是48，第11个数是48，则， 男生成绩中50出现的次数最多， 所以； 将男生成绩从小到大进行排序，排在第5的是44，第6的是45，因此下四分位数． （2）略 （3）解：据题意得：（人）， ∴估计该校初二年级体育在49分及以上的学生共有1020人． 20．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)50元 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得， 整理，得， 解得， 因尽可能让顾客得到实惠， 所以不合题意，舍去， 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 21．学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他们的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据以上思路完成下列作图和填空： (1)用直尺和圆规，过点B作的角平分线，交于点F，连接、．（只保留作图痕迹） (2)已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点E，平分，交于点F，连接、． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，① ∴． ∵平分，平分， ∴． ∵ ∴② ， ∴ ∴③ ，． ∴， ∴四边形是平行四边形． 同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所④ ． 【答案】(1) 如图，点即为所作； (2)①；②；③；④形成的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． （1）作的平分线，其中交于即可； （2）由于，根据全等三角形的性质得到根据等角的补角相等可得，，则，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【详解】（1）解：略． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵ ∴， ∴． ∴，． ∴， ∴四边形是平行四边形． 命题： 过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则形成的四边形是平行四边形． 故答案为：①；②；③；④形成的四边形是平行四边形． 22．某汽车出租公司每辆汽车月租费为3000元时，100辆汽车可以全部租出，若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车．已知每辆租出的汽车支付月维护费200元． (1)若每月租出辆汽车（），则每辆汽车月租费增加________元，每辆汽车的月收益________元； (2)若出租公司的月收益为元，求与的函数关系式？ (3)为了尽可能多地占领市场，该公司决定每月出租车辆数不低于80，每月租出多少辆汽车时，该出租公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【答案】(1)； (2)（，且x为整数） (3)每月租出80辆汽车时，该出租公司的月收益最大，最大月收益是304000元 【分析】（1）根据每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车列式求解即可； （2）根据总月收益等于每辆汽车的月收益月租出汽车量列式求解即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵若每辆汽车的月租费每增加50元，则少租出1辆汽车， ∴每辆汽车月租费增加元； ∵每辆汽车月租费为元， ∴每辆汽车的月收益元； （2）解：由题意得，（，且x为整数）； （3）解： ， ∵， ∴当时，w随x的增大而减小， 根据题意可得，且x为整数， ∴当时，w有最大值，最大值为； 答：每月租出80辆汽车时，该出租公司的月收益最大，最大月收益是304000元． 23．如图，在中，，点是的中点，且，，动点以每秒个单位长度的速度沿方向运动．连接，，设运动时间为秒（），的面积记为，的面积与点运动的路程的比值记为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围． 【答案】(1)； (2)画出函数，的图象如图所示；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； (3) 【分析】（1）由勾股定理可得的长，分两种情况讨论：当点在上时，过点作于，根据等面积法求出的长，再由三角形面积公式列式即可；当点在上时，直接根据三角形面积公式列式即可； （2）根据所求函数表达式画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，再根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时对应自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：点是的中点，， ， 在中，，，， ， 当点在上时，过点作于，如图所示， ，即， ， ， 当点在上时，如图所示， 则； ； ， ； （2）略 （3）解：联立， 整理得， 此时， 原方程无解； 联立， 整理得，即， 解得（舍去）或； 由函数图象可知，当时，． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)过抛物线上的动点作于点，点为轴上一动点，连接，当的长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中的长度取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点的对应点为点，点的对应点为点，点为平移后抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，的最小值为； (3)或 【分析】（1）利用对称轴公式与点代入抛物线，联立二元一次方程组求出、，即可得到抛物线解析式； （2）先求出B、C两点的坐标与直线的解析式，过点P作交于点，通过三角形相似，把垂线段表示为关于点P横坐标的二次函数，利用二次函数顶点求出最大时P点坐标；过点作射线使，过点作于点，连接，把转化为，当P、E、H三点共线时取得最小值，为，设，利用勾股定理列方程求解即可得到最小值； （3）先根据射线的方向算出水平、竖直的平移量，求出平移后抛物线以及对应点R、M；作垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出N点，再用面积法求得直角三角形边长，算出；结合已知角度差条件完成角度等量代换，得到的值；分Q在x轴上方、下方两种情况，利用正切定义列分式方程，解一元二次方程，舍去不符合题意的根，回代抛物线求出纵坐标即可得到全部符合条件的Q点坐标． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于， ， 抛物线的对称轴是直线， ，化简得， ，解得， ， 抛物线的表达式为； （2）解：抛物线的对称轴是直线，， ，即， 令得，即， ，， ， 设直线的解析式为，则，解得， 直线的解析式为， 过点作交于点，则， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 当时，的长度取得最大值，此时， 当的长度取得最大值时，， ， 如图，过点作射线使，过点作于点，连接，则， ， ， 当，，在同一条直线上时，最小为， 此时，设， ，， ，， ， 在中，， ， 化简得， ， ，即， ，，即， ，即， ， ， 的最小值为； （3）解：，，， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度为向右平移6个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线， ，，即，， ， ， 如图，过点作，令，过点作， 点在直线上， 设，， ，， 在中，， ，化简得， （舍去），， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 如图，当点在轴上方时， ，化简得， （舍去）或， ， ， 同理，当点在轴下方时，，化简得， 或（舍去）， ， ， 综上所述，或． 25．如图，在中，，点D是边上一点，连接． (1)如图1，当且时，将线段绕着点D逆时针旋转到，连接，，若，求的度数； (2)如图2，过点D作于点E，线段的垂直平分线交于点F，点G为线段的中点，连接，，，，求证：； (3)如图3，，，过点D作，交于点M，点N是直线上一动点，点H是平面内一动点，连接，，，，当且时，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) 解：如图1， 延长至W，使，连接，，交于V， ∵G是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∵点F在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）设，则，，从而，进而，进而得出，从而得出结果； （2）延长至W，使，连接，，交于V，可证得，，进而推出，从而，进一步得出结论； （3）如图所示，过点作且，连接，，，先求出，则，证明，得到，则，由此得到，进而推出，即，则点在以为直径的圆上运动，取中点，连接，，故当、、三点共线且点在上时，有最小值，最小值为，在中，由勾股定理求得，进而得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵线段绕着点D逆时针旋转到， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图所示，过点作且，连接，，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， 点在以为直径的圆上运动，取中点，连接，， 则， ， 当、、三点共线且点在上时，有最小值，最小值为， 在中，由勾股定理得， 的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直径所对的圆周角为，确定圆的条件，平行线间的距离处处相等，平行四边形的性质和判定，垂直平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $