精品解析：北京市第五十中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

北京市第五十中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 考生须知 1.本试卷分为试题、答题卡两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.认真填写所在班级、姓名、教育ID.准确粘贴条形码. 3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知、、，且，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用特殊值法可判断A、B选项的正误，利用不等式的基本性质可判断C、D选项的正误. 【详解】取，，则，，A、B选项错误； ，，由不等式的基本性质可得，C选项正确； 当时，，则，D选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的基本性质、作差法、特殊值法、函数单调性以及中间值法来判断，考查推理能力，属于基础题. 2. 已知全集，，或，则集合（    ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，根据补集的定义求，再由交集的定义求. 【详解】因为全集，或， 所以，又， 所以， 故选：B. 3. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】存在性命题的否定应为全称命题，同时结论也要否定 【详解】命题“，”的否定为“，”. 故选：B. 4. 已知正实数满足，则的最大值是 A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式直接求解即可. 【详解】因为正实数满足，所以，当且仅当，即、时等号成立，所以的最大值是. 故选：C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属基础题. 5. 设奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性和奇偶性分析的符号，进而解不等式即可. 【详解】因为在上为减函数，且， 当时，；当时，； 又因为为奇函数，可得当时，；当时，； 若，则或，可得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 6. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例说明函数，在定义域内不是单调递增函数，根据幂函数性质判断CD. 【详解】对于A，函数的定义域为， 取，，则，， 所以函数在定义域内不单调递增， 对于B，函数的定义域为， 取，，则，， 所以函数在定义域内不单调递增， 对于C，由幂函数性质可知在其定义域上单调递增，C正确； 对于D，由幂函数性质可得在其定义域内不单调递增，D错误. 故选：C. 7. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出函数在定义域上连续且单调递增，计算出端点值，利用零点存在性定理得到答案. 【详解】定义域为，在定义域上连续且单调递增， 其中，，， ，， 由零点存在性定理可得：包含零点的区间为. 故选：D 8. 已知函数，则“”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的性质、偶函数定义及充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】当时，为偶函数，故充分性成立， 为偶函数， 则，解得或，故必要性不成立， 即“”是“是偶函数”的充分不必要条件. 故选：. 9. 奇函数的定义域为，当时的图象为如图所示折线，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出和的图象，由此求得不等式的解集. 【详解】当时，，由解得（负根舍去） 当时，设，将代入得： ，解得，所以， 由，解得或. 而、都是奇函数，图象关于原点对称， 由此画出和的图象如下图所示， 由图可知，不等式的解集是. 故选：C 10. 设函数，给出下列四个命题： ①当时，为奇函数； ②函数的图像关于点对称； ③当时，存在，使得有两个不同的零点； ④存在，使得函数有三个不同的零点． 其中，真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对于①：根据奇函数定义分析判断即可；对于②：根据中心对称的定义分析判断；对于③：整理可得，构建，结合函数图像分析判断；对于④：取，代入解方程即可得零点个数. 【详解】由题意可知：的定义域为， 对于①：当时，， 则，所以为奇函数，故①正确； 对于②：因为， 所以函数的图像关于点对称，故②正确； 对于③：若，令，可得， 构建，可得其图像如图所示， 可知在上单调递增，且的值域为， 则与恒有一个交点，即有且仅有1个零点，故③错误； 对于④：例如，则， 令，解得或， 所以存在，使得函数有三个不同的零点，故④正确； 综上所述：真命题的个数为3. 故选：C. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 12. 函数的零点个数是________ 【答案】 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域为，将原问题转化为，解方程，即可得出的零点个数． 【详解】由题意可知的定义域为，令， 可得， 解得（舍去）或， ； 所以函数的零点个数为个． 故答案为：1． 【点睛】本题把二次函数与二次方程有机的结合来，由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点． 13. 能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意给出一个满足题意的函数解析式，然后绘制函数图像说明命题为假命题即可. 【详解】考查函数，绘制函数图像如图所示， 该函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，,但是函数在内存在零点，故该函数使得原命题为假命题. 【点睛】本题主要考查函数零点存在定理应用的条件，注意所有的条件都满足时才能利用函数零点存在定理，否则可能会出现错误. 14. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 画出图形，根据图形分析可得，进而求出范围. 【详解】解：作出函数图像如下 互不相等的实数，，满足 不妨设，则关于对称，所以 根据图像可得 所以，所以的取值范围为 故答案为： 【点睛】根据函数零点或根或相交的情况求参数有三种常用方法： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解. 15. 设函数的定义域为D，若对，，使得，则称函数具有性质T，给出下列四个结论： ①函数具有性质T； ②函数不具有性质T； ③函数具有性质T； ④若函数，具有性质T，则. 其中，所有正确结论的序号是___________. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据“性质”的定义对四个结论逐一分析，从而确定正确答案. 【详解】①，函数的定义域为， 对，，要使，，且， 只需，由于，所以具有性质，①正确. ②，对于函数，由于时，，所以不存在， 使，所以函数不具有性质，②正确. ③，对于函数，时，，而， 所以不存在，使，所以函数不具有性质，③错误. ④，若函数，具有性质， 则对于，，使， 即，，所以，则，所以④正确. 综上所述，正确的结论为①②④. 故答案为：①②④ 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知全集，集合，其中． （1）化简集合A，并求集合； （2）若，求集合； （3）若，都有或，求实数的取值范围． 【答案】（1）化简见解析， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式求集合A，进而可得其补集； （2）可得，进而可得交集； （3）分析可知，结合交集运算求解. 【小问1详解】 由，解得或，可得或， 所以. 【小问2详解】 若，则， 所以或. 【小问3详解】 由题意可知：， 且或，， 可得，所以实数的取值范围为. 17. 如图，动物园要围成2间相同的长方形禽舍，四周和中间隔板均用钢筋网围成．（接头处不计） （1）现有可围18m长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？ （2）若使每间禽舍面积为12，则每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使围成2间禽舍的钢筋网总长最小？ 【答案】（1）每间禽舍的宽，长时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为； （2）每间禽舍的宽，长时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为. 【解析】 【分析】（1）设每间长方形禽舍宽为，长为，由题意得，，每间禽舍面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值； （2）先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值. 【小问1详解】 设每间长方形禽舍宽为，长为， 由题得，， 设每间禽舍面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间禽舍的宽，长时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为. 【小问2详解】 由题意可得， 设钢筋网总长为，则， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以每间禽舍的宽,长时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为. 18. 已知二次函数的最小值为1，且. （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质，结合题意，求得对称轴，由最值与己知点，可得答案； （2）根据二次函数的性质，由题意可得对称轴与给定区间的关系，建立不等式，可得答案； （3）整理不等式，构造函数，利用分类讨论思想，根据对称轴与区间的关系，可得答案. 【小问1详解】 由，则二次函数的对称轴， 由二次函数的最小值为，则其顶点为， 可设二次函数，由，则， 所以. 【小问2详解】 由题意可得，则，解得. 【小问3详解】 由不等式，整理可得， 令，则其对称轴， ①当，即时，在上单调递增， 则， 令，解得，可得； ②当，即， 在上单调递减，在上单调递增， ， 令，解得，可得； ③当，时，在上单调递减， ， 令，解得，此时无解； 综上所述，. 19. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若为真命题，即对于，即可. （2）若为真命题，即转化为对于，即可求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【小问1详解】 若为真命题，即，使得不等式成立， 则对于，即可. 由于,，则. 【小问2详解】 若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得 p、q有且只有一个是真命题，则或， 解得. 20. 已知函数的定义域为，且．当时，． （1）求； （2）证明：函数在为增函数； （3）如果，解不等式． 【答案】（1）0 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. 【小问1详解】 ∵， 令，则， ∴； 【小问2详解】 由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； 【小问3详解】 因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题. 解题方法主要有： （1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值） （2）构造函数法：(如（2）题中，对于，构造，从而得用来证明函数单调性) （3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解. 21. 对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. （1）若，求； （2）若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组； （3）若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值. 【答案】（1） （2）的最大值为， （3）n的最大值为11 【解析】 【分析】（1）根据新定义即可求出； （2）由，且要使得取到最大，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值. （3）要n的值最大，则集合的幅值最小，且是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合中元素分析列出方程解出即可. 【小问1详解】 由集合知，， 所以. 【小问2详解】 因为，， 由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同， 根据定义要让取到最大值， 则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中， 4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中 这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为， 所以有一组满足题意， 【小问3详解】 要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为， 因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集， 不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如, 则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如， 同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如， 是集合中有个元素的非空真子集，且，例如， 所以， 解得或（舍去）， 所以n的最大值为11. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第五十中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 考生须知 1.本试卷分为试题、答题卡两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.认真填写所在班级、姓名、教育ID.准确粘贴条形码. 3.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分. 1. 已知、、，且，则下列不等式成立的是 A. B. C. D. 2. 已知全集，，或，则集合（    ） A. B. C. 或 D. 3. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知正实数满足，则的最大值是 A. B. 2 C. D. 5. 设奇函数在上为减函数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则“”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 奇函数的定义域为，当时的图象为如图所示折线，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，给出下列四个命题： ①当时，为奇函数； ②函数的图像关于点对称； ③当时，存在，使得有两个不同的零点； ④存在，使得函数有三个不同的零点． 其中，真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是_________． 12. 函数的零点个数是________ 13. 能说明“函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线．若，则在内无零点”为假命题的一个函数是_________． 14. 设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________． 15. 设函数的定义域为D，若对，，使得，则称函数具有性质T，给出下列四个结论： ①函数具有性质T； ②函数不具有性质T； ③函数具有性质T； ④若函数，具有性质T，则. 其中，所有正确结论的序号是___________. 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知全集，集合，其中． （1）化简集合A，并求集合； （2）若，求集合； （3）若，都有或，求实数的取值范围． 17. 如图，动物园要围成2间相同的长方形禽舍，四周和中间隔板均用钢筋网围成．（接头处不计） （1）现有可围18m长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？ （2）若使每间禽舍面积为12，则每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使围成2间禽舍的钢筋网总长最小？ 18. 已知二次函数的最小值为1，且. （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 19. 设命题，使得不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 20. 已知函数的定义域为，且．当时，． （1）求； （2）证明：函数在为增函数； （3）如果，解不等式． 21. 对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则. （1）若，求； （2）若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组； （3）若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $