学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷（北京专用，范围：人教B版选择性必修第一册第一章～第二章）

■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 贴条形码区 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 目 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] r 3[A][B][C][D] 7[A][BJ[C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、 填空题（每小题5分，共25分) 11 12. 13. 14. 15. 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) A 的1 B - 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 7米 B 不2米 55郑5 10米 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第一册全册。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点的坐标是，则， 所以，解得， 所以点的坐标是. 2．直线在x轴上的截距是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【详解】令得，所以直线在轴上的截距为. 3．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】椭圆：的长半轴长， 分别是椭圆左、右焦点，点在上， 由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于长轴长， 所以. 4．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】根据空间向量共线的充要条件，对应坐标成比例求出参数、的值，再计算即可. 【详解】空间两非零向量的充要条件为：存在实数，使得. 已知，，代入得： ， 横坐标：，解得； 纵坐标：； 竖坐标：. 因此. 5．圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆. 圆即，表示以为圆心，半径为4的圆. 两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切， 所以两圆的公切线条数为3. 6．条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分类判断充分性和必要性，即可得到结果. 【详解】记直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 若直线的斜率为， 当截距均为时，直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍， 当截距均不为时，设直线方程为，变形为， 得，，则能推出，必要性成立； 若，当截距都不为时，斜率为， 当截距均为时，直线斜率可以是任何实数，不一定是， 所以不能推出，充分性不成立. 所以是的必要不充分条件. 7．若直线与直线互相平行，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据两直线平行的系数等价关系列方程求解的值可得. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以，，解得. 因此. 8．双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意作图，根据双曲线定义表示各线段的长，利用余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 则①，②， 在中，， 可得， 则， 由，则， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 由，则，解得. 9．如图，在平行六面体中，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量线性运算，可得，利用数量积运算性质即可得出． 【详解】， 又，，，， ， 。 10．已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，从而得，代入椭圆方程可得，再由及离心率公式求解即可, 【详解】由题意，抛物线的焦点为，则. 抛物线方程为. 因为轴且点在第一象限，所以点的横坐标为. 将代入抛物线方程得，故. 又点在椭圆上，且椭圆过焦点的通径半长为，因此. 由代入得. 两边同除以并设离心率，得. 解得（负根已舍去）. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【答案】 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 12．抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则__________． 【答案】2 【详解】由双曲线，所以， 其焦点为，抛物线的焦点为． 由题意得，两边平方并整理得， 即． 因为，所以． 13．已知点，直线，光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为________． 【答案】 【详解】设点关于直线对称点为 则点在反射光线的延长线上，所在直线与垂直， 反射光线所在直线方程为即 14．若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】或 【分析】直接分椭圆的焦点在轴或轴上，再结合椭圆的性质及离心率的定义计算可得. 【详解】当椭圆的焦点在轴时， 此时椭圆满足，由焦距，得， 根据椭圆关系，有，解得， 所以​，离心率. 当椭圆的焦点在轴时， 此时椭圆满足，同理由焦距，得， 由得，解得， 所以，离心率​. 综上，椭圆的离心率为​​或. 15．已知正方体的棱长为2，若P是线段上的动点（包括端点），则下列说法正确的有___________（填写所有正确结论的编号） ① ； ②直线AP与直线BD所成角的取值范围为； ③三棱锥中，点到面的距离为定值； ④过点P且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为； ⑤若点Q在四边形内（包括边界）运动，点F是棱的中点，平面，则点的轨迹的长度为. 【答案】①④⑤ 【分析】①根据线面垂直可得线线垂直可判断A；②根据异面直线所成角的求法可判断B；③根据等体积法可求点到平面的距离；④根据面面平行可得截面. ⑤根据面面平行可判断点的位置 【详解】连接相交于,故,则平面 因为平面,故，故①对. 连接,则为等边三角形，当点与重合时，AP与所成角最小为，当点在的中点时，AP与所成角最大为， 由于,故AP与所成角即为，所成角,因此直线AP与直线BD所成角的取值范围为，故②错误. 因为，所以平面,P是线段上的动点,故点到面的距离为到面的距离,即为定值，设为h，,平面, 所以,即 ,解得 ，故③错误. 因为平面平面,故即为截面，而为等边三角形，且边长为，故面积为，故④正确； 取中点为,连接 ， 由,结合线面、面面平行的判定可得平面平面, 点Q在四边形内,故的轨迹即为线段， ,故⑤正确. 故答案为：①④⑤. 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （13分）16. （13分）如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点.    (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的夹角的大小 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，的中点，连接、，即可证明平面、，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解. 【详解】（1）取的中点，的中点，连接、， 因为三棱柱是正三棱柱，所以，，平面， 所以平面， 如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 所以，取. 所以点到平面的距离.    （2）因为平面的一个法向量为， 设二面角的夹角为，显然二面角为锐二面角， 所以，又，所以， 即二面角的夹角为. 17. （14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组求解； （2）设直线l：y＝x＋m，，直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后应用韦达定理，然后由圆锥曲线中的弦长公式求解. 【详解】（1）由题可知解得a＝2，， 所以C的方程为. （2）设直线l：y＝x＋m，. 由得，则， ， 解得，所以l的方程为. 18. （14分）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米． (1)以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该隧道抛物线部分的方程； (2)若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据抛物线顶点在原点且开口向下设出标准方程，利用隧道截面尺寸确定抛物线上一点的坐标，代入求解即可； （2）根据行车道宽度确定车辆边缘的横坐标，代入抛物线方程求出隧道顶部对应点的纵坐标，结合安全高度差即可计算车辆限制高度. 【详解】（1）由题意知，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且开口向下，故设抛物线的方程为， 由图可知，隧道截面总宽度为米，总高度为米，长方形部分高度为米，则抛物线部分的高度为米. 因为抛物线关于轴对称，所以点的横坐标为， 又因为点在轴下方米处，所以点的纵坐标为，即. 将点代入方程，得，解得， 所以该抛物线的方程为. 又因为隧道宽度为米，所以的取值范围是， 故该隧道抛物线部分的方程为. （2）因为行车道总宽度为米，且关于轴对称， 所以车辆最外侧边缘的横坐标为或. 不妨取，代入抛物线方程，得，解得. 此时，隧道顶部在处距离地面的高度为米. 设通过隧道的车辆限制高度为米， 根据题意， 要求行驶车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米， 即，即，解得. 故通过隧道的车辆限制高度为米. 19. （14分）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)设点在线段上，探究直线是否能在平面AEF内，若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)平面，平面，， 又，平面，平面， 所以平面； (2) (3)直线 AG 能在平面 AEF 内，且 . 【分析】（1）由平面得，结合根据线面垂直的判定定理可证； （2） 由平面得，利用等腰三角形性质得及线面垂直的判定定理得平面，从而可得是二面角的平面角，在中，求得，在中由余弦定理可求，即可求得二面角的平面角的余弦值； （3）设，得，，求出平面AEF的法向量，求解方程可解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，平面，， ，， 平面，平面， 平面，平面，平面， ， 且平面，平面 是二面角的平面角， 如图在中，， 又由余弦定理可知， ，， 在中，，， 即二面角的余弦值 （3） 以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴， 建立空间直角坐标系，，，，， ，，， ，，设平面AEF的法向量， 则，取，得， 设点 G 在线段 PB 上，令 ，即 ， 又 ， ，解得， 故存在满足条件的点G，直线AG能在平面AEF内，， 故直线AG能在平面AEF 内，且. 20. （15分）已知圆：，直线的斜率为1，与圆交于、两点. (1)若直线经过圆的圆心，求出直线的方程； (2)当直线平行移动的时候，求面积的最大值以及此时直线的方程； (3)是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. (2)；或 (3)存在，或 【分析】（1）把圆化为标准方程，得到圆心坐标，点斜式求出直线的方程； （2）圆心到直线的距离为，利用面积公式结合配方法求出面积的最大值，由此时的值求出直线的方程； （3）设点，，则有，直线与圆联立方程组，结合韦达定理求解. 【详解】（1）圆的标准方程为：，所以圆心，半径为3； 又直线斜率为1，经过圆的圆心，所以直线的方程为，即． （2）设直线的方程为：，圆心到直线的距离为，则， ， 当且仅当，时取等号，由，得或， 所以直线的方程为或. （3）假设存在直线：满足题设要求，点，， 以为直径的圆过原点，所以，有，即   ① 联立，得， 由于，得，，  ② 则 ③ 将②，③ 代入①，得，解得或，均符合， 故存在直线，使以线段为直径的圆过原点，其方程为或． 21. （15分）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用实轴长与渐近线定义计算即可得； （2）不妨设点在第一象限，再分与讨论，再结合双曲线的对称性即可得. 【详解】（1）由题意可得，且， 则，，所以的方程为：； （2）不妨设点在第一象限，则， 若，由，则， 又，则，故， 又在第一象限，则； 若，则由， 由、， 即， 整理得，又，则， 故，则，又在第一象限，则； 综上，结合双曲线的对称性可得. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A C B A D B B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题 11． 12. 2 13. 14. 或 15. ①④⑤ 三、解答题 16．（13分） 【详解】（1）取的中点，的中点，连接、， 因为三棱柱是正三棱柱，所以，，平面，……（ 2分） 所以平面，……（ 3分） 如图建立空间直角坐标系，则，，，，，……（ 4分） 所以，，，……（ 5分） 设平面的一个法向量为， 所以，取. ……（ 6分） 所以点到平面的距离. ……（ 7分）    （2）因为平面的一个法向量为， 设二面角的夹角为，显然二面角为锐二面角，……（9 分） 所以，又，所以，……（12分） 即二面角的夹角为. ……（ 13分） 17．（14分） 【详解】（1）由题可知解得a＝2，，……（3 分） 所以C的方程为. ……（ 4分） （2）设直线l：y＝x＋m，. 由得，则，……（ 8分） ，……（12 分） 解得，所以l的方程为. ……（ 14分） 18．（14分） 【详解】（1）由题意知，抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且开口向下，故设抛物线的方程为，……（ 1分） 由图可知，隧道截面总宽度为米，总高度为米，长方形部分高度为米，则抛物线部分的高度为米. 因为抛物线关于轴对称，所以点的横坐标为， 又因为点在轴下方米处，所以点的纵坐标为，即. ……（ 3分） 将点代入方程，得，解得，……（5 分） 所以该抛物线的方程为. ……（ 7分） 又因为隧道宽度为米，所以的取值范围是， 故该隧道抛物线部分的方程为. ……（ 8分） （2）因为行车道总宽度为米，且关于轴对称， 所以车辆最外侧边缘的横坐标为或. ……（ 9分） 不妨取，代入抛物线方程，得，解得. 此时，隧道顶部在处距离地面的高度为米. ……（ 11分） 设通过隧道的车辆限制高度为米， 根据题意， 要求行驶车辆顶部与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米， 即，即，解得. ……（ 13分） 故通过隧道的车辆限制高度为米. ……（ 14分） 19．（14分） 【详解】（1）(1)平面，平面，，……（2分） 又，平面，平面， 所以平面；……（4分） （2）由（1）知平面，平面，， ，， 平面，平面， 平面，平面，平面， ， 且平面，平面 是二面角的平面角，……（6 分） 如图在中，， 又由余弦定理可知，……（8 分） ，， 在中，，， 即二面角的余弦值……（ 9分） （3） 以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴， 建立空间直角坐标系，，，，，……（10 分） ，，， ，，设平面AEF的法向量， 则，取，得，……（11 分） 设点 G 在线段 PB 上，令 ，即 ， 又 ， ，解得，……（ 13分） 故存在满足条件的点G，直线AG能在平面AEF内，， 故直线AG能在平面AEF 内，且. ……（ 14分） 20．（15分） 【详解】（1）圆的标准方程为：，所以圆心，半径为3； 又直线斜率为1，经过圆的圆心，所以直线的方程为，即．……（3分） （2）设直线的方程为：，圆心到直线的距离为，则， ，……（5分） 当且仅当，时取等号，由，得或， 所以直线的方程为或. ……（7分） （3）假设存在直线：满足题设要求，点，， 以为直径的圆过原点，所以，有，即   ①……（9 分） 联立，得， 由于，得，，  ②……（ 11分） 则 ③……（13 分） 将②，③ 代入①，得，解得或，均符合， 故存在直线，使以线段为直径的圆过原点，其方程为或．……（15 分） 21．（15分） 【详解】（1）由题意可得，且， 则，，所以的方程为：；……（ 4分） （2）不妨设点在第一象限，则， 若，由，则，……（ 6分） 又，则，故， 又在第一象限，则；……（ 9分） 若，则由， 由、， 即，……（11 分） 整理得，又，则， 故，则，又在第一象限，则； 综上，结合双曲线的对称性可得. ……（15 分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第一册全册。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．直线在x轴上的截距是（   ） A． B．4 C． D． 3．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 5．圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若直线与直线互相平行，则（    ） A． B． C．或 D．或 8．双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平行六面体中，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 10．已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 12．抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则__________． 13．已知点，直线，光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为________． 14．若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为__________. 15．已知正方体的棱长为2，若P是线段上的动点（包括端点），则下列说法正确的有___________（填写所有正确结论的编号） ① ； ②直线AP与直线BD所成角的取值范围为； ③三棱锥中，点到面的距离为定值； ④过点P且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为； ⑤若点Q在四边形内（包括边界）运动，点F是棱的中点，平面，则点的轨迹的长度为. 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （13分）如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点.    (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的夹角的大小 17. （14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 18. （14分）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米． (1)以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该隧道抛物线部分的方程； (2)若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？ 19. （14分）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)设点在线段上，探究直线是否能在平面AEF内，若能，求出的值；若不能，说明理由． 20. （15分）已知圆：，直线的斜率为1，与圆交于、两点. (1)若直线经过圆的圆心，求出直线的方程； (2)当直线平行移动的时候，求面积的最大值以及此时直线的方程； (3)是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 21. （15分）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版选择性必修第一册全册。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点，若向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．直线在x轴上的截距是（   ） A． B．4 C． D． 3．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．已知向量，，若，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 5．圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若直线与直线互相平行，则（    ） A． B． C．或 D．或 8．双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平行六面体中，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 10．已知椭圆：（）与抛物线：（）有相同的焦点，椭圆与抛物线在第一象限交于点，轴，则椭圆的离心率等于（     ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 12．抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则__________． 13．已知点，直线，光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为________． 14．若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为__________. 15．已知正方体的棱长为2，若P是线段上的动点（包括端点），则下列说法正确的有___________（填写所有正确结论的编号） ① ； ②直线AP与直线BD所成角的取值范围为； ③三棱锥中，点到面的距离为定值； ④过点P且平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为； ⑤若点Q在四边形内（包括边界）运动，点F是棱的中点，平面，则点的轨迹的长度为. 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （13分）如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，是的中点.    (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的夹角的大小 17. （14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，是C上一点. (1)求C的方程； (2)已知斜率为1的直线l与C交于M，N两点，若，求l的方程. 18. （14分）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有米． (1)以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该隧道抛物线部分的方程； (2)若行车道总宽度为米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？ 19. （14分）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，点在上，且． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)设点在线段上，探究直线是否能在平面AEF内，若能，求出的值；若不能，说明理由． 20. （15分）已知圆：，直线的斜率为1，与圆交于、两点. (1)若直线经过圆的圆心，求出直线的方程； (2)当直线平行移动的时候，求面积的最大值以及此时直线的方程； (3)是否存在直线，使以线段为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由. 21. （15分）已知双曲线：（，），实轴长为4，其中一条渐近线方程为． (1)求的方程； (2)设双曲线的两个焦点分别为、，为上的点，若为钝角三角形，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $